VARGA TAMÁS
K Í S É R L E T A M A T E M A T I K A T A N Í T Á S K O R S Z E R Ű S Í T É S É R E
(Egy tanítási óra)
Magyarországon a matematikának számottevő múltja van, jelene is biz- tató. Mégsem vagyunk elégedettek a matematikai műveltség állapotával. Sőt, nagyon elégedetlenek vagyunk. Azt látjuk ugyanis, hogy bár a matematikát értők és szeretők tábora szélesebb, mint bármikor, még mindig csak kis sziget a matematikát nem értők és nem is szeretők tengerében. Úgy látjuk, hogy a mate- matika tanításának eredményessége nincs arányban azokkal a nagy áldozatok- kal, amelyeket kormányzatunk az oktatás kiszélesítése érdekében hoz, sem azzal a nagy munkával, amit a tanárok és a tanulók a matematika tanítása, illetve el- sajátítása érdekében végeznek. A matematikatanítás produktivitása nálunk is
— mint világszerte — rendkívüli fontosságú problémává kezd válni, olyanná, amelytől néhány évtized múlva a termelés produktivitása is jelentékeny mérték- ben függhet.
Hogyan közeledünk ennek a problémának a megoldásához annak a kísér- letnek a keretében, amely az Országos Pedagógiai Intézet matematika tanszéké- nek irányításával folyik 1963 óta?
Célunk a matematikatanítás olyan — fokozatosan végbemenő — reformjá- nak előkészítése, amely a következő évtizedek iskolásainak felnőtt koráig, tehát az ezredfordulóig tekint előre. Ennek szem előtt tartásával törekszünk:
1. olyan tanterv kialakítására, amely
a) áz iskoláskor kezdetétől a korszerű mátematika rendszerébe vezeti be a tanulókat, . .
•b) a különböző életkorú tanulók érdeklődési körének és tevékenységi for- máinak megfelelően építi fel és mélyíti el a tananyagot,
c) elég rugalmas ahhoz, hogy az adott életkorú tanulók közt levő nagy el- téréseket az oktatásban kellő mértékig figyelembe lehessen venni,
d) széles bázist biztosít a matematika jelenlegi és várható sok irányú alkalmazásai számára, és teret ad áz alkalmazói gondolkodásmód kialakítására éppúgy, mint a matematika belső szépségeinek felismerésére;
2. olyan tanítási módszerek kialakítására, amelyek
a) a tanulók tevékenységére, aktivitására, önállóságára, kezdeményező- készségére építenek, és azt fejlesztik tovább,
b) biztosítják a tanulók számára a saját tévedéseiken, hibáikon keresztül való tanulást, az intuitív gondolataik, sejtéseik, elképzeléseik szabad megfor- málását, a saját és a mások tapasztalataival és elgondolásaival való szembesíté- sét, ezen át matematikai gondolkodásuk organikus fejlődését, beágyazva egész világképük fejlődésébe,
c) nagyobb mértékben építenek a ,,lehet"-re, mint a ,,kell"-re, a belső, mint a külső motivációra; a matematika megszerettetésére, és az érdeklődés fel-
280;
keltésére, mint-az osztályzatokra; az önfegyelemre, mint a fegyelmezésre; haj- landóvá és képessé is teszik a tanulókat arra, hogy az iskolában szerzett tudásu- kat az iskolán kívül és tanulmányaik befejezése után is gyarapítani kívánják és tudják,
d) az átlagosnál gyengébb, az átlagos és az átlagon felüli tanulókra egya- ránt tekintettel vannak, és mindannyiuknak lehetővé teszik képességeik maxi- mális kifejtését.
' E célok elérése érdekében jelenleg országszerte 14' iskola 26 osztályában folyik az általános iskola első osztályától kezdődő kísérleti oktatás. Ezt az OPI
matematika tanszékének munkatársai részben közvetlenül, részben vidéki \ tanítóképző intézetek és tanárképző főiskolák oktatóinak hatékony és 'lelkes
közreműködésével irányítják.
Áz irányítás eszközei: személyes látogatások, megbeszélések, tanfolyamok;
írásos tájékoztató anyagok. Az utóbbiák közt ki kell emelni a Kapcsolat címmel kéthavonta megjelenő — a kísérletek vezetőinek, irányítóinak és más érdeklődőknek szétküldött — sokszorosított kiadványt.
A kísérleti osztályok száma egyre nő, nagyjából minden évben megduplá- zódik. A pedagógusok a kísérletbe önkéntesen kapcsolódnak be. Az önkéntes alapon történő fokozatos elterjesztés a jövőre vonatkozóan is alapelvünk marad.
Olyan módszerekről van ugyanis szó, amelyeknek előíráson alapuló, kötelező átvétele Sokkal kevésbé volna eredményes (vágy éppen negatív eredményre vezetne), mint az önként vállalók részéről való'fokozatos asszimilálása és tovább- fejlesztése. Ilyen módon kísérletünk az aktivitás, önállóság és kezdeményező- készség fejlesztésének elvét nem csupán a tanulókra, hanem a pedagógusokra is alkalmazza, Véleményünk szerint ezzel szolidabb és a jövő perspektívát illetően jobb eredmények érhetők el, mint amit a sürgetéstől és kötelezéstől várni le- hetne, még akkor is, ha az utóbbiakkal'esetleg rövid idő alatt tetszetősebb ered- ményeket lehet felmutatni.
Mindamellett-nem akarjuk kísérletünk gyakorlati hasznosítását a távoli jövőbe kitolni. Eredményeink közül azokat, amelyek a jelenlegi tanterv keretei között is hasznosíthatók, igyekszünk minél előbb közkinccsé tenni. Később kisebb átmeneti tantervmódosítások is elősegíthetik ezt a folyamatot, addig is, amíg egy gyökeres reform feltételei ki nem alakulnak.
A célok felsorolása után talán felmerülhet a kétely: nem tetlük-e túl magasra a mércét? nem tűztünk-e ki utópisztikus célokat, amelyeket reálisan úgysem lehet teljesíteni? A célokat csakugyan magasra tettük, de ennek — mindeddig úgy látszik — nem valljuk kárát. Sikerült sok pedagógus fantáziáját és akarat- erejét megmozgatnunk, és erre szükség is van. Amit eddig meg tudtunk valÓT sítani céljainkból, azzal elismerést és érdeklődést tudtunk kivívni a szülők, a nagyközönség, a pedagógia felelős irányítói részéről. Időről időre felmérések út- ján objektív adatokat is gyűjtünk arról, hogy mire jutottunk; nem túl gyakran, mert a gyakori felméréseknek torzító hatása lehet, látszateredmények elérésére csábíthatja némelyik pedagógust. Ezek a felmérések is igen jó képet adnak, még a számolási és egyéb készségek szempontjából is, annak ellenére, hogy közvet- lenül erre a célra nagyon kevés időt fordítanak a kísérletben részt vevő pedagógu- saink.
Mindamellett nem csinálunk titkot abból, hogy az útnak csak az elején tartünk. Ez nem csupán a kísérlet elterjesztésére értendő. Legjobb kísérleti osz- tályainkban is sok körülmény akadályozza-még elképzeléseink jelentékeny részé- nek megvalósulását. A gyerekek képesebbek volnának gyorsabban és értelmeseb- 281
ben tanulni, de a pedagógus kifullad, nem győzi szaktudással. Vagy túlságosan kötik a meggyökeresedett pedagógiai módszerek. Nem tudja megállni, hogy ne segítsen olyasmiben, amire pedig a gyerekek maguk is rájönnének. Mindenáron le akarja zárni, kerek egésszé akarja tenni az órát, mert a tanítóképzőben annak idején így tanulta, pedig már az eszével tudja is, hogy a lezáratlanság (az úgy- nevezett Zeigarnik-effektus hatása) milyen hatalmas ösztönző erő. Megijed a hibáktól, ahelyett, hogy a tanulságokat felhasználná, s a hibákon keresztül vezetné el a gyerekeket egy-egy új gondolat megértéséhez. Szidja a gyerekeket, s ezzel kedvüket szegi. Vagy feleslegesen dicséri őket olyankor is, amikor erre semmi szükség sincs, többet érne, ha egyszerűen velük együtt örülne a sikernek.
Nem tud eléggé megbirkózni más tantárgyaknak vagy az iskolában uralkodó el- lenkező tendenciáknak a visszahúzó erejével.
Ez mind nagyon gyakori eset, s ez magától értetődő. Ha valahol, hát a pedagógiában aztán igazán nincsenek nagy ugrások, csak lassú fejlőd'és. A fő kérdés az, merre. Türelmes tanácsadással, sok segítségnyújtással többre megyünk, mint szigorú előírásokkal. Ilyen körülmények között viszont azt tapasztaljuk, hogy a kísérletben résztvevő — mind nagyobb számú — pedagógus fokozatosan hozzánő feladataihoz. Van, aki gyorsabban, van, aki lassabban. Volt olyan tanító- nő, aki jelentkezett, hogy szeretne bekapcsolódni kísérletünkbe, de addigi peda- gógiai munkájáról szóló értesüléseink egyáltalán nem voltak biztatóak. Hosszas gondolkozás után mégis rábíztunk egy osztályt. Egy év múlva már 30—40 peda- gógust vittünk el az óráira, és azok lelkesen mentek vissza a falujukba: nem hit- ték volna, hogy így is lehet alsó osztályokban matematikát tanítani.
Be tudunk tehát számolni lelkesedésről is, elégedetlenségről is. De hogy hol is tartunk valójában, azt egy óra bemutatásával érzékeltetjük. Az órán láto- gatók is voltak, akik szerettek volna sok mindenről képet kapni egyetlen órán, ettől az óra valamivel sűrítettebb és többrétűbb lett, mint egy.átlagos óra.
Az óra a budapesti Szinyei Merse utcai általános iskola 1. osztályában folyt le 1968 tava- szán. Időtartama: kb. 50 perc. A tanítónő, Schuller Ferencné, abban a tanévben kapcsolódott be a kísérletbe. A 31 tanuló (fiúk és lányok vegyesen) csaknem kivétel nélkül az iskola körzetéből, a közelben lakó gyerekek közül került ki, válogatás nélkül. A matematika heti óraszáma ebben az osztályban is annyi, mint az ország többi iskolájában, 5 óra.
Az óra két gyerek jelentésével kezdődik. Az egyik elmondja, hogy 31 tanuló közül 1 hiányzik, a másik beszámol az időjárásjelentésről: a rádióban azt hallotta, hogy plusz hét és plusz tizenegy fok közötti hőmérséklet várható.
— Mutasd meg a hőmérőn, hol van rajta a plusz hét és a plusz tizenegy
f o k ! (1. ábra)
A gyerek a táblára rajzolt nagy hőmérőn megmutatja. — írd is föl a táb- lára ! Azt is írd fel, hogy még hány fok lehet, ha a hőmérséklet plusz hét és plusz tizenegy, fok közt van !
A gyerek ezt írja a táblára: +7, -|-8, + 9 , +10, +11.
— Egy hónapja, mikor azok a nagy hidegek voltak, miket is mutatott a
hőmérő? „.'«..+
Mutatja és mondja is a gyerek: —5, —10.
Most a táblán levő hálózatra mutat a tanítónő. A vonalak metszéspontjai jelentik a gyerekek helyét. Megjelöli a (2, 4) pontot, oda is írja ezt a pont mellé.
Már szalad is ki a Táblához az a gyerek, aki a 2. oszlopban a 4. padban ül, Most
282;
ő jelöl meg a táblán egy másik pontot, és annak a gazdája szalad ki. És így to- vább még néhányszor. (2. ábra)
Egy számegyenes is van a táblán. Rajta negatív számok is, a 0-tól balra.
Most elindulunk a 0-tól — mondja a tanítónő — és lépegetünk. Két lépést megyünk jobbra, hol leszünk? Három lépést jobbra. Hányat léptünk eddig? Hol leszünk? Hat lépést balra. Hova jutottunk? (3. ábra)
(2A)\
1 2 3 4 5 6 2. ábra.
—I 1 1 1 1 1 i 1 1 1 1 (—
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 3. ábra.
A gyerekek mutatják és mondják. A lépéseket megnyilazott ívekkel raj- zolják fel. (4. ábra)
- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 4. ábra
A táblán most az (5. ábra) látható.
A tanítónő intésére gyerekek jönnek ki egymásután, hogy kiegészítsék a rajzot, összhangban az eddigi számokkal és jelekkel. Előbb az eddig üres karikák- ba írnak számokat, mégpedig mindig műveletekkel kifejezve. (6. ábra)
(A 2 • 2 egy kis biztatás után került a táblára: ,,Ki írná ezt fel máskép- pen?") Utoljára kerül sor a még hiányzó „kisebb", illetve „nagyobb" jelek be-
6 5 - 4 - 3 2 1
1. ábra
283
írására. Az utasítás csak ennyi: „Kérem a j e l e k e t ! " „Tovább !" „Tovább-'.
Közben kérdezgeti a többit is, jó-e, amit valaki éppen felírt. Ha hibáznak, meg- várja, hogy észrevegyék és kijavítsák. Néha el is beszélgetnek arról, melyik felírás jó és miért.
A most következő játékban összefüggést kell keresni a vonal két oldalán levő számok közt és ennek megfelelően tölteni ki az üres helyeket: (7. ábra/
A
3 5
8 10
5 11
2
7. ábra
Kihív néhány gyereket, azok beírják az 5 mellé a 7-et, a 11 mellé a 13-at.
Az utolsó a legnehezebb, időt hagy nekik, h o g y jól meggondolhassák, azalatt öt-hat gyereknek is int, hogy súgja meg neki, mit írna oda. Tisztázzák, h o g y n e m 4 kell oda, hanem 0, és be is írják.
— Ki írja fel a szabályt?
Az egvik vállalkozó ezt írja fel: • > Cx 2
Ez úgy értendő, hogy a bal oldali szám mindig nagyobb, mint a jobb oldali, mégpe- dig mindig 2-vel. A gyerekek tiltakoznak, a tanítónő nem foglal állást, megvárja, míg a hibázó meggondolja a dolgot, addig inkább arra biztatja a többit, írják fel a szabálvt másképpen is. Eel is írják még kétféle módon:
• + 2 = q
és ö — 2 = • 284
Kettős egyenlőtlenség megoldása következik:
8 < < 1 5
A gyerekek azokat a számokat, amiket az üres helyre be lehetne írni, külön gyűj- tik össze. A tanítónő kapcsos zárójeleket ír fel, ezek közé írják a gyerekek a meg- oldásokat:
(9, 10, H , 14, 12, .13}
(Ez a szabvány-jelölés a matematikában egy halmaz — például egy egyenlőtlen- ség megoldásainak halmaza — elemeinek felsorolására. Ilyenkor a sorrend nem számít. Lehet persze nem-szabványos jelölést is. alkalmazni, például egy nagy karikába vagy téglalapba írni be a keresett számokat. Az, hogy az ezekbe beírt számok nem sorban egymás mellett helyezkednek el, jobban is érzékelteti, hogy a sorrend nem számít. A karikába írás most csak azért nem lett volna na- gyon jó, mert éppen az előbb más értelemben szerepeltek a karikák: mindegyikbe csak egy és ugyanazt a számot lehetett írni, esetleg más és más jelekkel, mint például 2 + 2 és 2 • 2.)
A tanítónő még megpróbálja becsapni őket, és ő maga beírja a számok közé a 8-at. Egy gyerek már ugrik is ki és letörli.
„Miért törölted le?" „Mert az már a 8-nál nem nagyobb." „Nincs t ö b b ? "
— faggatja őket. „De van", mondja az egyik és már írja is:^14 -j-V2. (Egyszer valamelyik gyerek szóba hozta a felet, és a tanítónő aztán azt is megmutatta, hogy kell leírni. Természetesnek tartották, hogy 14 és fél leírásában + jelet hasz- náljanak. A rövidebb írásmódra egyelőre nem került sor.)
— A 15 is jó lett volna?
— Nem, mert az már egyenlő lett volna 15-tel.
— Ki mond egy szöveget erre a feladatra?
— Egy spárga 15 méternél rövidebb, de 8 méternél hosszabb. Hány méter lehet a spárga?
Most kinyitják a rudacskás dobozaikat, és amiről , a következőkben szó van, azt rudakkal is kirakják.
— Kaptam 5 forintot. K i mondaná ezt röviden ?
— Plusz 5. (Rövidség kedvéért a gyerekek most a „forint" szót nem mond- ják ki, csak odagondolják.) 1
— Három forint adósságot csináltam.
— Mínusz 3.
— Van 5 forintom, kapok még 3 forintot, veszek valamit 4 forintért.
Mennyi pénzem lesz?
— Plusz 4.
— Hogy mondanád ezt az egészet röviden?
A gyerekek mondják, aztán le is írják: + 5 + 3 — 4 — +4.
Rudacskákkal ezt így lehet kirakni (8. ábra) :
l'l'l
11
|l, II II
III
8. ábra
A kivonást itt a mellétevés érzékelteti. Ez a kirakási mód már egy bizo- nyos absztrakciós és szimbolizáló folyamat eredménye. Ebben a folyamatban
285;
az első lépés a valóságos elvevés. például 5-ből (a citromsárga rúdból) elvesszünk kettőt (rózsaszín rúd). Ehhez persze fel kell előbb váltani a citromsárgát alkal- mas módon (egy világoskékre és egy rószaszínűre), különben nekiállhatnánk el- fűrészelni a citromsárgát, s akkor a színnel még mindig baj volna. A második lépés az, hogy letakarjuk az ötös rudacska egy részét a rózsaszínnel, és meg- nézzük, hogy ami nincs letakarva belőle, oda mi férne. Innen már csak egy pici lépés az, hogy nem fölé, hanem mellé tesszük a kisebbítendőnek a kivonandót.
A kisebbítendő maga lehet összeg is, erre mutat példát a 8. ábra.
Közben a gyerekek képzeletben „vonatozni" kezdtek. A tanítónő felraj- zolt egy kis vonatot a táblára. 8-an utaztak a vonaton. Egy állomáson ketten fel- szálltak, egy másikon heten leszálltak. A gyerekek kiszámítják, hányan lettek a vonaton először, másodszor. Még azt is kiszámítják, hogy az utasok száma végül is hogy változott. Ez a rajz alakul ki a táblán:
+ 2 ~7
'J. ábra
Nincs itt szó pozitív és negatív számokról. Csak összeadásban és kivo- násban gondolkoznak, mégis olyan törvényszerűségeket figyelnek meg, amelyek az előjeles számok összeadásának („összevonásának") fogalmát kezdik kialakí- tani bennük.
Az óra most következő részében a rudacskákat eredményközlésre hasz- nálják:
— Gondoltam egy számot, 3-maI több, mint 7. Megkeresed. Tapsra fel- mutatod.
Tapsol, s a gyerekek egyszerre felmutatják az eredményt, a narancssárga tízes rudat. (Egy tanuló hibázik.)
— Amit gondoltam, az 10-zel kevesebb, mint 20.
Megint taps, mutatják megint a narancssárgát.
— Amit mutatok, az kétszer tízzel kevesebb, mint 20.
Tapsra mutatják — majdnem mind — az üres kezüket.
További hasonló feladatok:
— Mutasd 3-nak a kétszeresét!
— Hányszor tudtuk a 10 alá kirakni a kettes rudacskát? (Mutatják a cit- romsárgát, vagyis az ötöset.)
Most a 13-at (narancssárga és világoskék) csupa egyforma színből kell nekik kirakni. Próbálhatják mindenféleképpen, de csak fehérrel sikerül. „Hun- cut szám" — mondják. ( í g y nevezték el a törzsszámokat.)
A gyerekek dolgoznak, többféle megoldást is találnak.
— Olvasd le, Márti!
Márti olvassa a kirakásról:
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1
— Ki tudná rövidebben mondani?
286
Jelentkeznek, az egyik elmondja: 6-szor 2 meg 1.
Fel is íratja vele, aztán másikkal olvastatja el, amit kirakott:
5 + 5 + 3
Ezt is elmondják másképpen, le is írják.
— Most mind rakjátok ki azt, amit én írok a táblára ! Felírja:
4 - 3 + 1.
Visszarakatja a dobozba a rudacskákat, közben felrajzol a tábla egyik fe- lére 23 x-et (csillagot), a másik felére 19 halacskát. A csillagok mellett bekari- kázva 4, a halak mellett 3. Ezek a számok azt írják elő, hogy hányasával kell bekarikázni a rajzocskákat. Amikor készen vannak a karikák, folytatják a csoportosítást, és most a karikákat karikázzák be négyesével, illetve hármasával.
Jobb áttekintés kedvéért ehhez más színt használnak. Ilyenféle rajzhoz jutnak:
Ez még csak az előkészület. Egy kislány izgatottan odasúgja: „Leltározás is lesz!" Ez pedig abból áll, hogy ki kell tölteni egy-egy táblázatot, amelynek a rovatait az ábra mutatja. Mint látható, csak azok a kis karikák számítanak a leltárban, amik a nagy karikákon kívül vannak, és csak azok a csillagok (vagy halak), amik a karikákon kívül vannak.
o O
x.o o
/ 1 3 2 0 1
12. ábra 13. ábra
— Ki szeretne stafétázni?
5 Magyar Pedagógia
Mindnyájan szeretnének. Ez az óra utolsó mozzanata. A tanítónő a hat oszlopnak megfelelően felír a táblára hat számot. Minden oszlopból egy-egy gye- rek kap krétát, írhat vele az oszlopának a száma alá egy olyan műveletet, amely- nek az eredménye az a szám. (Vagyis felírja ugyanannak a számnak egy másik nevét.) Ha készen van, átadja a krétát az oszlopból valaki másnak, hogy az is írhasson. És így tovább. Mindenki egyszer írhat. Az igényesebb gyerekek nem elégednek meg azzal, hogy helyes legyen, amit írnak, hanem törik a fejüket azon is, hogy valami érdekeset írjanak. Most a szorzás még újdonság számba megy, főképpen azzal bravúroznak. Ilyenek vannak a .táblán:
20 15 n 9
. 18
132 • 10 20 • 1—5 5 + 5 + 1 . 7+2 100-2 • 41 10+3
20—10 10+5 10+1 2+7 10+1 • 7 3+10
10+10 15 • 1 5+6 15—6 18- 1 9 + 4
10+5+5 3 • 5 6+5 1+8 9 - 2 20—7
5+5+5 11+0+0 7 + 1 + 1 18+0 13+0
A hibákat liamar megbeszélik: „Ezt ki írta?" „Jó lesz így"? „Hogy javí- tanád?" Aki a 10 -f- 1 • 7-et írta, az így javít: 10 + 1 • 7 -f- 2 — 1. Csöngetnek, a gyerekek kimennek játszani. Valami mást játszani.
Kommentár helyett csak arra szeretném felhívni a figyelmet, hogy miféle matematikai ismeretek, fogalmak fordultak elő ezen az órán ilyen vagy olyan formában. Többek között ezek: halmazok, relációk, függvények, koordináták módszere, vektor, egyenlet, egyenlőtlenség és mindezekkel kapcsolatban termé- szetesen számok is. Nem ezek az elnevezések szerepeltek, hanem a fogalmak és ismeretek, még ha csak kezdetleges formában is. Mindenesetre úgy, hogy ne akadályozzák, hanem segítsék elő a magasabb osztályokban folytatódó munkát, amikor majd sor kerül ezeknek és egyéb fogalmaknak, a rájuk vonatkozó isme- reteknek, a velük kapcsolatos jártasságoknak és készségeknek a továbbfejlesz- tésére és elmélyítésére. Amint annyira megérlelődnek, hogy nemcsak játékos tevékenység keretében fordulnak elő, hanem felmerül az az igény is, hogy be- széljenek róluk, akkor van ideje az elnevezések bevezetésének. Lényegesnek tart- juk, hogy a gyerekek érdeklődése legyen a cselekvésüknek és kommunikációs igényük legyen ezzel kapcsolatos megnyilatkozásaiknak legfőbb rugója. Ellen- kező esetben a tanulás nem jelentheti személyiségük továbbépülését, s alig ér- tőbbet, mintha egy terméketlen almafára dróttal erősítenénk almákat.
Lássuk, milyen összefüggésben fordultak elő ezen az órán a fent felsorolt fogalmak:
Halmazokat, alkottak a csillagok és a halacskák, amelyeket a gyerekek csoportosítottak. Halmazt alkottak az egyenlőtlenség megoldásai is. Más órákon találkoztak már egyelemű halmazokkal is (olyan egyenletekkel, egyenlőtlensé- gekkel, amelyeknek az általuk ismert számok körében egy megoldásuk van), sőt az üres halmazzal is (megoldhatatlan egyenletek, egyenlőtlenségek vagy egyéb teljesíthetetlen feltételek kapcsán).
A relációk közül, amelyek az órán" előfordultak, a legnevezetesebbek azok, amelyek a „kisebb", „nagyobb", „egyenlő" szavakkal kapcsolatosak.
Közülük a legutóbbi egyben függvényt is megad. Ugyanígy azok a relá- 288;
/
ciók is. amelyeket a „2-vel nagyobb", „2-vel kisebb" szavak fejeznek ki. Ezzel a két függvénnyel foglalkoztak akkor, amikor egy függőleges vonal két oldalán álló számoknak keresték a párját: a bal oldalihoz a jobb oldalit és megfordítva
Ezt a két függvényt egyenlettel is felírták. Ezekben az egyenletekben betűk helyett keretek szerepeltek. Annak, hogy a keretekbe be lehet írni a számok (vagy más objektumok) jeleit, számos előnye van; ezekre itt nem térek ki. Állítólagos hátrányuk az, hogy nem egyeznek meg az „igazi" matematikai jelölésmóddal.
Ez kétségtelenül súlyos hátrány akkor, ha a matematika tanítása túlnyomórészt asszociatív kapcsolatokra és kondicionálásra épül.
Ha belátásra, megértésre, absztrakt fogalmak kialakítására, belső igény- ből fakadó tanulásra építjük a matematika tanítását, akkor többek között a
jelölésmódok variálásában is sokkal tágabbak a lehetőségeink. Nem kell félnünk, hogy megzavarjuk a gyerekeket, hiszen tudatosan igyekszünk folyton „meg- zavarni" őket, valójában: minél biztosabbá, mélyebbé, sokoldalúbbá, alkalma- zásra képesebbé tenni a tudásukat.
Egyenletek megoldása ezen az órán nem szerepelt, de természetesen ilyes- mivel is foglalkoznak ezek a gyerekek. Egyelőre nem a megoldási módszerek keresése vált problémájukká, találgatással oldják meg például az olyan egyen- leteket, mint 2 + O + 3 = 10.
Ehhez hasonló szinten foglalkoztak ezen az órán egyenlőtlenségek megoldá- sával. Az egyiket, amely hőmérsékletekre vonatkózott, nem írták le, csak szóban oldották meg. A másikat absztrakt-szimbolikus formában kapták, úgy is oldot- ták meg.
A koordináták módszere hamarosan a függvények és relációk új kifejezés- módját adja a kezükbe. Itt ennek csak az előkészítése szerepelt: csupán külön- álló, összefüggéstelen pontokat adtak meg koordinátákkal és ábrázoltak, tudni- illik saját helyüket az osztályteremben.
A szónak egy nagyon szűk értelmében vektorokkal (csupán egydimenziós vektorokkal) foglalkoztak akkor, amikor a számegyenesen lépkedtek jobbra és- balra. Az irányított szakaszokkal való szemléltetés nehézkes lett volna, s az.
ívek jobban ki is fejezik azt a gondolatot, hogy csak a kezdőpont és a végpont számít, az nem, hogy közben mi történik.
Más fogalmazásban azt mondhatjuk, hogy a negatív számok tanulását készítette elő a számegyenesen való sétálás. Más módon ezt készítette elő a hő- mérővel való foglalkozás is az óra elején. Tört szám csak futólag fordult elő.
Erős hangsúlyt kapott viszont az a gondolat, hogy a természetes számokat nem- csak egyféle módon, tízes számrendszerben írhatjuk le, hanem úgy is, hogy pél- dául hármasával, négyesével csoportosítjuk az egységeket, majd a kapott cso- portokat (pontosabban halmazokat) stb. A „leltározás" nem volt egyéb, mint a csillagok és a halak számának felírása négyes, illetve hármas számrendszerben.
Számos vizsgálatra szükség lesz még annak megállapítása érdekében) hogy elgondolásainknak (és annak a módnak, ahogy elgondolásainkat megvalósítjuk) melyek a leglényegesebb, legpozitívabb összetevői, és melyek azok, amelyek ke- vésbé lényegesek, irrelevánsak, esetleg éppen negatívak. Erőinket most mégsem ezek megválaszolására összpontosítjuk, hanem inkább arra, hogy az eddigi tudá- sunk és sejtéseink alapján legjobbnak ítélt módon készítsük elő a matematika tanításának kicsi kortól kezdődő gyökeres átalakítását.
289;
Tajuaut Bapza
O r i b l T M O H E P H M 3 A U M H n P E n O R A B A H H f l M A T E M A T H K H
A B T O P C T a T b H , n p o B O f l H B u i H H aKcnepHMeHT, R a e r noflpo6Hbiíí a H a j i H 3 y p o K a M a T e M a T H K H , n p o B C f l e H H o r o B p a M K a x SKCnepiiMeHTa, B n e p B O M K J i a c c e 0 6 i u e c > 6 p a 3 0 B a T e j i b H 0 H u i K O J i b i . Ű T C i o f l a H B C T B y e T H uejib o r i b r r a : 1. B b i p a ö o T K a Tanoro y i e 6 H o r o n j i a H a , K O T O P W H C T p o H T yneö-
H b i i í M a T e p H a n B C O O T B C T C T B H H C K p y r o M H H T e p e c o B H ( J j o p M a . M H A e H T e n b H O C T H y q a m H x c n p a 3 - B H M H b i x c n 0 C 0 6 H 0 C T e f t H n 0 f l r 0 T 0 B a n B a C T T C M caMbiM ÖJraronpHBTHyio 6 a 3 y A J I H HaMeaaiomerocji
B H a u i H flHH u u H p o K o r o H M H o r o r p a H H o r o n p H M e H e H H H M a T e M a T H K H j 2 . p a 3 p a 6 o T K a T a K H x M e - T O A O B n p e n o f l a B a n H H , K O T O P W E o n a p a i o T c a H a a K T H B H O C T b , c a M o c T o q T e j i b H o c T b H H H M T U A T H B Y Y H A I H H X C N ; H M C I O T B B n « y H C J i a ö u x , H c p e / i H H x , H B b w a i o u t H x c H y a e H H K O B , o ö e c n e M H B a a B C E M H M B 0 3 M O > K H O C T b M 3 K C H M a j l b H 0 r 0 n p O B B J i e H H H C n O C O Ö H O C T e í í . H C K O M b i e M e T O A H A O J 1 > K H b I
ocHOBWBaTbcn B öojibLiiei} Mepe Ha «MO>KHOI>, qeM Ha «Haflo», O H H A O J I T K H H onHpaTbCH öoabiue Ha BHyTpeHHioK) MOTHBapHK), neM Ha BHeuiHioK) — Ha HHTepec K MaTeMaTHKe n HBJieieHHe eio, HeM Ha inKOJibHbie oqeHKH.
TAMÁS V A R G A
A N E X P E R I M E N T F O R B R I N G I N G T H E I N S T R U C T I O N I N MATHEMATICS TO D A T E
The author gives a full analysis of a first-form lesson in mathematics in an elementary school, held in the course of the experiment. The analysis clearly demonstrates the purpose of the experiment: 1) To form a currictdum which builds u p the subject-matter of instrüction. in con- formity with the sphere of interest and forms of activity of the pupils of various ability. 2) To form methods of education which rely on the activity, independence and initiative of the pupils, and equally consider pupils below the average and those able to do better. I n this w a y pupils are suppossed to be motivated internally.
290;
