Trigonometrikus ´es Walsh-sorokkal kapcsolatos vizsg´alatok MTA doktori ´ertekez´es Fridli S´andor 2014.

Trigonometrikus ´es Walsh-sorokkal kapcsolatos vizsg´ alatok

MTA doktori ´ertekez´es

Fridli S´ andor

2014.

ii

Tartalomjegyz´ ek

El˝osz´o v

1. Bevezet´es 1

1.1. Diadikus csoport, Walsh-rendszerek . . . 1 1.2. Hardy-terek . . . 7 2. Sidon-t´ıpus´u egyenl˝otlens´egek 13 2.1. A trigonometrikus eset . . . 14 2.2. A Walsh-eset . . . 32 2.3. Tov´abbi rendszerek, ´altal´anos´ıt´asok . . . 34 3. Integr´alhat´os´agi ´es L¹-konvergencia oszt´alyok 37 3.1. Sidon-t´ıpus´u integr´alhat´os´agi ´es L¹-konvergencia oszt´alyok . . 38 3.2. L¹-konvergencia oszt´alyok . . . 47 3.3. ´Att´er´es H[0,1)-r˝ol H_[0,1)-re . . . 60 3.4. A Telyakovski˘ı-felt´etel ´altal gener´alt Hardy- ´es BMO t´er . . . 67 3.5. A Telyakovski˘ı-f´ele integr´alhat´os´agi felt´etel ´altal´anos´ıt´asa . . . 77 4. Er˝os szumm´aci´o, er˝os approxim´aci´o 93 4.1. Dualit´asi rel´aci´o . . . 94 4.2. Er˝os szumm´aci´o . . . 98 4.3. Er˝os approxim´aci´o . . . 105

5. H¨ormander-Mihlin-multiplierek 111

5.1. Trigonometrikus multiplierek a H2π t´eren . . . 112 5.2. Multiplierek a diadikusH^p_[0,1)´es a periodikus H^p_2π tereken . . . 123 5.3. H¨ormander-multiplierek a Walsh-transzform´altakra . . . 131 5.4. K´etdimenzi´os diadikus H¨ormander-multiplierek . . . 132

6. Jel¨ol´esek 147

Irodalomjegyz´ek 97

iv TARTALOMJEGYZ´EK

El˝ osz´ o

A dolgozat meg´ır´asakor ugyan a szerz˝o ´altal el´ert tudom´anyos eredm´enyek bemutat´asa volt az els˝odleges c´el, emellett azonban fontos szempont volt egy olyan koherens anyag ¨ossze´all´ıt´asa, amelyben az eredm´enyeket egys´eges keretben, a k¨oz¨ott¨uk l´ev˝o logikai kapcsolatot el˝ot´erbe helyezve lehet fel- dolgozni. Az egyes fejezetekben t´argyal´asra ker¨ul˝o t´emak¨or¨oket a Sidon- t´ıpus´u egyenl˝otlens´egek, a Hardy-terek alkalmaz´asa, valamint a trigonomet- rikus ´es a Walsh-rendszer k¨otik ¨ossze. Ez ut´obbi azt jelenti, hogy az egyes k´erd´eseket eleve ebben a k´et modellben vizsg´aljuk, illetve hogy az ´altal´anos eredm´enyeket is ezeken az eseteken illusztr´aljuk. Ily m´odon lehet˝os´eg ny´ılik a k´et rendszerre vonatkoz´o eredm´enyek, m´odszerek ¨osszehasonl´ıt´as´ara is. En- nek a megk¨ozel´ıt´esnek a k¨ovetkezm´enye, hogy a dolgozat elej´en szerepelnek olyan eredm´enyek is, amelyek m´ar a szerz˝o kandid´atusi ´ertekez´es´eben is meg- tal´alhat´ok, viszont kimaradtak a kandid´atusi ´ertekez´es ´ota sz¨uletett, de tar- talmilag t´avolabb ´all´o eredm´enyek. Ilyenek p´eld´aul a racion´alis rendszerekre,

´

es azoknak a jelfeldolgoz´asban val´o alkalmaz´asaikra vonatkoz´o, az elm´ult

´

evekben sz¨uletett cikkek. M´asr´eszt terjedelmi okokb´ol eltekintett¨unk a dolgo- zat t´em´aj´aba ill˝o [DalFri04a] ´es [FriManSid08] cikkekben foglalt eredm´enyek bemutat´as´at´ol. Az els˝o, egy James Daly-vel ´ırt k¨oz¨os cikk, ami Vilenkin- rendszerek mutiplier oper´atorainak Hardy-t´erbeli korl´atoss´ag´ara vonatkozik.

Ebben az el´egs´eges felt´etelt a magf¨uggv´eny blokkjaira fogalmazzuk meg.

A m´asikban, Pammy Manchanda ´es Abulhasan Siddiqi szerz˝ot´arsakkal a N¨orlund-k¨ozepek approxim´aci´os tulajdons´agaira vonatkoz´o eredm´enyeinket publik´altuk. A dolgozatban szerepelnek tov´abb´a olyan eredm´enyek is, ame- lyek k´et publik´al´asra leadott, de m´eg meg nem jelent cikkben tal´alhat´ok. Az

´

ertekez´esben ily m´odon ¨osszesen 22 saj´at, illetve t´arsszerz˝ovel ´ırt publik´aci´o ker¨ult feldolgoz´asra.

Az ´ertekez´es d¨ont˝o r´eszben a trigonometrikus ´es a Walsh-rendszerre igazolt

´

all´ıt´asokat tartalmaz. A1. fejezetbenazokat a Walsh-rendszerrel ´es a Hardy- terekkel kapcsolatos f˝obb fogalmakat, eredm´enyeket gy˝ujt¨ott¨uk ¨ossze, ame- lyek a t¨obbi, tartalmi fejezet meg´ert´es´ehez felt´etlen¨ul sz¨uks´egesek. A trigono- metrikus rendszer eset´en, annak k¨ozismerts´ege miatt nem tartottuk fontos- nak az ilyen jelleg˝u bevezet´est. Az ´uj fogalmakat ´altal´aban a t´argyal´as k¨ozben defini´aljuk ott, ahol legel˝osz¨or sz¨uks´eg van r´ajuk. Ez vonatkozik p´eld´aul a Bevezet´esben szerepl˝o Hardy-terekt˝ol elt´er˝o olyan Hardy-t´ıpus´u terekre is, amelyek a t´argyal´as sor´an mer¨ulnek fel. A2. fejezetbenaz ´ugynevezett Sidon-

vi El˝osz´o

t´ıpus´u egyenl˝otlens´egekkel foglalkozunk. Ezek a k´es˝obbiekben is rendre el˝oker¨ulnek az itt szerepl˝o eredeti vagy m´odos´ıtott form´ajukban. A3. fejezet a trigonometrikus ´es Walsh-sorokra vonatkoz´o integr´alhat´os´agi felt´etelekre, valamint az integr´alnorm´aban val´o konvergenci´ara vonatkoz´o eredm´enyeket tartalmazza, a 4. fejezet t´em´aja pedig Fourier-sorok er˝os k¨ozepeinek kon- vergencia ´es approxim´aci´os tulajdons´agai. V´egezet¨ul az utols´o,5. fejezetben multiplier oper´atorok Hardy-tereken val´o korl´atoss´ag´at vizsg´aljuk.

Az egyes fejezetek tartalm´aval kapcsolatosan term´eszetesen nem lehetett c´elunk az adott probl´emak¨or teljes k¨or¨u, kimer´ıt˝o feldolgoz´asa. A r´eszter¨ule- teken bel¨ul is csak arra szor´ıtkoztunk, hogy a vonatkoz´o saj´at eredm´enyeknek a h´atter´et, el˝ozm´enyeit, a t¨obbi eredm´enyekhez val´o viszony´at, azaz a t´emak¨orbe val´o be´agyaz´as´at bemutassuk. A dolgozatban a sz´amozott t´etelek mindig saj´at, illetve szerz˝ot´arsakkal k¨oz¨os eredm´enyeket tartalmaznak. A nem saj´at eredm´enyek megfogalmaz´asa nem t´etel k¨ornyezetben t¨ort´enik. Ez semmik´eppen sem ´ert´ekbeli megk¨ul¨onb¨oztet´est takar. Az oka egyszer˝uen a szerz˝o eredm´enyeinek k¨onny˝u elk¨ul¨on´ıthet˝os´ege volt. A matematika ter¨ulet´en szok´asos m´odon a t¨obbszerz˝os cikkek eset´en a szerz˝ok felsorol´asa az abc szerinti sorrendnek megfelel˝oen t¨ort´ent. Terjedelmi korl´atok miatt nem k¨oz¨olhetj¨uk az ¨osszes t´etel bizony´ıt´as´at. A bizony´ıt´asok kiv´alogat´asakor t¨obb szempontot vett¨unk figyelembe. Egyr´eszt igyekezt¨unk a meghat´aroz´o t´eteleket kiv´alasztani, m´asr´eszt ¨ugyelni arra, hogy a v´alogat´as min´el sz´elesebb sk´al´at lefedjen. Ez azt jelenti, hogy legyen k¨ozt¨uk a trigonometrikus, a Walsh-Paley, a Walsh-Kaczmarz, valamint az ´altal´anos ortogon´alis rendsze- rekre vonatkoz´o p´elda is, valamint legyen t¨obbdimenzi´os v´altozat. Az utols´o fejezetben mind a Walsh, mind pedig a trigonometrikus esetre k¨oz¨olj¨uk a bizony´ıt´ast, ezzel bemutatva a k´et rendszer k¨oz¨otti kapcsolatot, elt´er´est. A fennmarad´o t´etelek bizony´ıt´asai a jelzett publik´aci´okban tal´alhat´ok meg.

Igyekezt¨unk elker¨ulni a neh´ezkes jel¨ol´eseket, egyben eleget tenni az egy´ertelm˝us´eg k¨ovetelm´eny´enek. Sorozat jel¨ol´es´ere p´eld´aul egyszer˝uen z´ar´o- jelet ´es indexet haszn´alnuk. Ez azzal a kompromisszummal j´ar, hogy az ennek megfelel˝o (a_k) alakb´ol csak az adott sz¨ovegk¨ornyezetben der¨ul ki, hogy a k index term´eszetes sz´am, vagy p´eld´aul eg´esz sz´am, a_k maga pedig milyen t´ıpus´u sz´am, illetve f¨uggv´eny stb. A k¨onnyebb olvashat´os´ag kedv´e´ert a dol- gozat v´eg´en r¨ovid jel¨ol´esjegyz´ek tal´alhat´o.

Az ´ertekez´esben ismertett eredm´enyeket tartalmaz´o cikkek el´erhet˝ok a

”http://numanal.inf.elte.hu/∼fridli/DoktoriAnyagok/” c´ımen. Felhaszn´al´o n´ev: doktori , jelsz´o: FS2013.

K¨osz¨onettel tartozom szerz˝ot´arsaimnak, akikkel k¨oz¨osen el´ert eredm´enyeink a dolgozatban szerepelnek:

James Daly, University of Colorado, Colorado Springs, USA;

Pammy Manchanda, Guru Nanak Dev University, Amritsar (Punjab), India;

Schipp Ferenc, ELTE, IK, Numerikus Anal´ızis Tansz´ek;

Abulhasan Siddiqi, f˝otitk´ar, ISIAM (Indiai Ipari ´es Alkalmazott Matematikai T´arsulat).

1. fejezet Bevezet´ es

Az al´abbi k´et pontban a Walsh-rendszerre ´es a Hardy-terekre vonatkoz´o, a dolgozatbeli eredm´enyek ismertet´es´ehez sz¨uks´eges alapfogalmakat vezetj¨uk be. A trigonometrikus rendszerrel kapcsolatban sok kiv´al´o magyar nyelv˝u k¨onyv, jegyzet ´es k¨ulf¨oldi szerz˝o ´altal ´ırt monogr´afia ´erhet˝o el. A fogalmak, a klasszikus eredm´enyek k¨ozismertek, a jel¨ol´esrendszer is t¨obbnyire egys´eges, ez´ert nem tartottuk sz¨uks´egesnek ezeket belevenni a bevezet´esbe.

A t´argyal´ast a Walsh-rendszerek ´es a kapcsol´od´o fogalmak bevezet´es´evel kezdj¨uk. Ez mag´aban foglalja a k´etdimenzi´os rendszerr˝ol, ´es a [0,∞) intervallumon ´ertelmezett Walsh-f¨uggv´enyekr˝ol sz´ol´o r¨ovid ismertet´est is.

A Walsh-rendszer vonatkoz´as´aban nemcsak itt a bevezet´esben, hanem a dolgozatban v´egig, s˝ot ´altal´aban a diadikus anal´ızissel kapcsolatban a Schipp-Wade-Simon[SchWadSim90] monogr´afi´at tekinthetj¨uk alapm˝unek ´es aj´anljuk a f˝o referenciak´ent. Emiatt a Walsh-rendszerr˝ol sz´ol´o ismertet´est sz´and´ekosan r¨ovidre fogtuk.

A fejezet utols´o r´esz´eben n´egy Hardy-t´ıpus´u teret defini´alunk: egy- ´es k´etdimenzi´os diadikus Hardy-teret; val´os, 2πszerint periodikus Hardy-teret;

val´os, nemperiodikus Hardy-teret a [0, 1) intervallumon. K¨ozben bevezet¨unk olyan fogalmakat, mint maxim´alf¨uggv´eny, atomos felbont´as stb. A k´es˝obbi fejezetekben ezekre a p´eld´akra hivatkozunk, amikor ´ujabb Hardy-t´ıpus´u te- reket ´ertelmez¨unk. A Hardy-terek elm´elet´evel is t¨obb klasszikus ´es mo- dern monogr´afia foglalkozik. Ezek k¨oz¨ulKaˇsin ´es Saakjan [KasSaa84], vala- mintWeisz Ferenc[Wei94] k¨onyv´et emelj¨uk ki, mivel a dolgozatban t´argyalt t´emak¨or¨okh¨oz k¨ozvetlen¨ul kapcsol´odnak.

1.1. Diadikus csoport, Walsh-rendszerek

Walsh-rendszeren a szakirodalomban ´altal´aban ugyanannak az ortonor- m´alt rendszernek h´arom k¨ul¨onb¨oz˝o ´atrendez´es´et szok´as ´erteni. Ezek az

´

ugynevezett eredeti Walsh-rendszer, a Walsh–Paley-rendszer ´es a Walsh–

Kaczmarz rendszer. Az eredeti Walsh-rendszert Walsh [Wal23] vezette be gyakorlati szempontok ´altal vez´erelve, ´es ehhez a trigonometrikus rendszert

2 Bevezet´es

tekintette modellk´ent. A Paley-f´ele [Pal32] ´atrendez´es azon az ´eszrev´etelen alapul, hogy a Walsh-rendszer a Rademacher-rendszer ´ugynevezett szor- zatrendszere. M´asr´eszt a Rademacher-rendszer teljes rendszerr´e val´o kieg´esz´ıt´ese. Ez szempont, azaz a Rademacher-rendszer teljess´e t´etele mo- tiv´alta Kaczmarz-t [Kac29] ( ´es [KacSte35]), Paley-t megel˝ozve, a r´ola elne- vezett rendszer konstrukci´oj´ara. ˝O is Rademacher-f¨ugg´enyek szorzataik´ent defini´alta a rendszer tagjait, de Paley-t˝ol elt´er˝o m´odon. Megjegyezz¨uk, hogy a Kaczmarz-f´ele rendez´esnek egy m´asik term´eszetes megk¨ozel´ıt´ese abb´ol ad´odik, hogy seg´ıts´eg´evel az Hadamard-m´atrixok term´eszetes m´odon el˝o´all´ıthat´ok. A Walsh-f´ele rendszerek egyik sorbarendez´es´et a m´asikba

´

atviv˝o transzform´aci´ok tulajdons´agaitSchipp Ferenc[Sch75] jellemezte. Sok tekintetben a h´arom rendszer hasonl´oan viselkedik, de sz´amos esetben a Walsh-Kaczmarz rendszer elt´er˝o tulajdons´agokat mutat a Walsh–Paley rend- szerrel ¨osszehasonl´ıtva. Ez k¨ul¨on¨osen igaz a megfelel˝o Dirichlet-magokra.

Megjegyezz¨uk, hogy a lokaliz´aci´os elv p´eld´aul nem teljes¨ul a Kaczmarz-f´ele

´

atrendez´es eset´en [Skv81]. Ez a k¨ul¨onb¨oz˝os´eg az indoka a Walsh–Kaczmarz- rendszerre vonatkoz´o kutat´asoknak. Az ´ertekez´esben els˝osorban a Walsh–

Paley rendszerrel foglalkozunk, ez´ert a ”Walsh-rendszer”, ”Walsh-f¨uggv´eny”

stb. kifejez´esek, hacsak k¨ul¨on nem jelezz¨uk m´ask´epp, erre az esetre vonat- koznak.

Walsh–Paley-rendszer: Jel¨olj¨uk a szok´asos m´odon N-nel a term´eszetes sz´amok, ´es P-vel a pozit´ıv eg´esz sz´amok halmaz´at. Mivel a Walsh-rendszer a Rademacher-rendszerb˝ol sz´armaztathat´o, nevezetesen annak a szorzat- rendszere, ez´ert el˝osz¨or az r_k (k ∈ N) Rademacher-f¨uggv´enyeket de- fini´aljuk. Az r₀ alapf¨uggv´eny egy 1-szerint periodikus f¨uggv´eny, amely az egys´egintervallum els˝o fel´en 1-et, a m´asodik fel´en pedig (−1)-et vesz fel:

r₀(x) =

+1, 0≤x < 1/2;

−1, 1/2≤x < 1.

A Rademacher-f¨ugggv´enyek az alapf¨uggv´enyb˝ol dilat´aci´oval k´epezhet˝ok:

r_k(x) =r₀(2^kx) (k∈N, x∈[0, 1)).

Ezek ut´an a Walsh-f¨uggv´enyek ´ertelmez´es´ehez tekints¨uk az n ∈ N index bin´aris alakj´at:

n= X∞

k=0

n_k2^k (n_k=0vagy1, n∈N).

Ezt felhaszn´alva az n-edik Walsh-f¨uggv´eny Rademacher-f¨uggv´enyek szorza- tak´ent ´all el˝o az al´abbi m´odon

w_n= Y∞

k=0

rⁿ_k^k (n∈N).

1.1 Diadikus csoport, Walsh-rendszerek 3

´Igy a Walsh-rendszernek, az elm´eleti kutat´asokban leggyakrabban haszn´alt, az ´ugynevezett Paley-f´ele sorbarendez´es´et kapjuk.

Megjegyezz¨uk, hogy a Walsh-rendszer az absztrakt harmonikus anal´ızis egyik fontos modellje, mivel az ´ugynevezett diadikus csoportnak, mint speci´alis lok´alisan kompakt topologikus csoportnak a karakterrendszere. A G diadi- kus csoportot azok a sorozatok alkotj´ak, amelyeknek minden tagja 0 vagy 1.

G-n a ⊕-szal jel¨olt ¨osszead´ast koordin´at´ank´ent modulo 2 vett ¨osszead´assal

´

ertelmezz¨uk:

(x⊕y)_k =|x_k−y_k| (x, y ∈G). G-n a topol´ogi´at megadhatjuk a nullelem k¨ornyezetb´azis´aval:

G_n={x∈G : x_k=0, k < n} (n∈P).

Mivel G kompakt topologikus csoport, ez´ert ´ertelmezhet˝o rajta a norm´alt Haar-m´ert´ek.

A [0, 1) intervallum ´es a diadikus csoport k¨oz¨ott egy term´eszetes megfelel- tet´es l´etes´ıthet˝o:

[0, 1)3x →(xk)∈G , x= X∞

k=0

xk2^−(k+1).

A jobb oldali sort az x ∈ [0, 1) sz´am diadikus kifejt´es´enek nevezz¨uk. A lek´epez´es m´ert´ektart´o, ha a diadikus csoporton a norm´alt Haar-m´ert´eket, a [0, 1) intervallumon pedig a Lebesgue-m´ert´eket tekintj¨uk, ´es k¨olcs¨on¨osen egy´ertelm˝u a diadikusan racion´alis sz´amok halmaz´at´ol eltekintve. Diadi- kusan racion´alis sz´amok eset´en az x-nek megfeleltethet˝o k´et sorozat k¨oz¨ul azt szok´as venni, amelyik 0-kra v´egz˝odik. A sz´oban forg´o megfeleltet´es seg´ıts´eg´evel a diadikus csoporton bevezetett ⊕ ¨osszead´ast ´atvihetj¨uk a [0, 1) intervallumra, ´es ´ıgy a ˙+ diadikus ¨osszead´ast kapjuk:

(1.1) xuy=

X∞ k=0

|x_k−y_k|2^−(k+1) (0≤x, y < 1).

A diadikus ¨osszead´as term´eszetes m´odon kiterjeszthet˝o a nemnegat´ıv sz´amok halmaz´ara is. Az m, n term´eszetes sz´amok m = P_∞

k=0m_k2^k, n = P_∞

k=0n_k2^k (n_k, m_k=0, 1) bin´aris alakja eset´en p´eld´aul num=P_∞

k=0|n_k− mk|2^k. A Walsh–Paley-f¨uggv´enyek defin´ıci´oj´ab´ol k¨ovetkezik, hogy ekkor (1.2) w_num =wnwm (m, n∈N).

Nemcsak az ¨osszead´as ´es a m´ert´ek, hanem a G-n ´ertelmezett topol´ogia is

´

atvihet˝o a [0, 1) intervallumra. A fentiek alapj´an juthatunk p´eld´aul a dia- dikus folytonoss´ag ´es a konvol´uci´o fogalm´ahoz az egys´egintervallumon. En- nek k¨ovetkezt´eben a diadikus csoportra ´es az azon ´ertelmezett f¨uggv´enyekre felvetett probl´em´ak j´o r´esze a [0, 1) intervallumon ´ertelmezett f¨uggv´enyek

4 Bevezet´es

k¨or´eben is megfogalmazhat´o. A dolgozatban mi ez ut´obbi modellt fogjuk haszn´alni.

Az egys´egintervallumon ´ertelmezett Lebesgue-terekre ´es (kv´azi)norm´akra a szok´asos L^p_[0,1), k kp (0 < p ≤ ∞) jel¨ol´eseket alkalmazzuk. In- tegr´alhat´o f¨uggv´enyek Walsh–Fourier-egy¨utthat´oit, Walsh–Fourier-sor´at ´es annak r´eszlet¨osszegeit a szok´asos m´odon defini´aljuk:

fc^W(k) = Z1

0

f w_k, S^Wf= X∞

k=0

fc^W(k)w_k, S^W_n f=

Xn−1 k=0

fc^W(j)w_j (f∈L¹_[0,1), k∈N, n∈P).

A Walsh-f¨uggv´enyek karaktertulajdons´aga miatt a D^W_k Walsh–Dirichlet- magf¨ugg´enyek a trigonometrikus esethez hasonl´oan egyv´altoz´os f¨uggv´enyek- nek tekinthet˝ok:

D^W_n = Xn−1

k=0

w_k (n∈P).

A Walsh–Fourier-r´eszlet¨osszegek is konvol´uci´ok´ent kaphat´ok meg, azaz S^W_n f(x) =

Z1 0

f(t)D^W_n (x+t)˙ dt= (f∗D^W_n)(x)

(f ∈ L¹_[0,1), 0 ≤ x < 1, n ∈ P), ahol ∗ a diadikus konvol´uci´ot jel¨oli. A Walsh–Fourier-anal´ızisbeli probl´em´ak kapcs´an gyakran kit¨untetett szerepet j´atszanak a kett˝o hatv´any index˝u r´eszlet¨osszegek. Ennek oka a megfelel˝o magf¨uggv´enyek egyszer˝u szerkezete:

(1.3) D^W₂n(x) =

2ⁿ, 0≤x < 2⁻ⁿ;

0, egy´ebk´ent (n∈N),

amib˝ol a 2ⁿ index˝u r´eszlet¨osszegek sz´amos j´o tulajdons´aga k¨ovetkezik.

R¨ogt¨on ad´odik p´eld´aul, hogy a

(1.4) S^W₂nf(x) = 1

2ⁿ

Z(k+1)2⁻ⁿ k2⁻ⁿ

f

(n ∈ N, k = 0, . . . 2ⁿ−1, x ∈ [k2⁻ⁿ,(k+1)2⁻ⁿ), f ∈ L¹_[0,1)) r´eszlet¨osszegek integr´alk¨ozepek. A kett˝o hatv´any index˝u Walsh–Dirichlet magok speci´alis alakja miatt a bizony´ıt´asokban gyakran hasznos a t¨obbbi magf¨uggv´enynek az ezek seg´ıs´eg´evel t¨ort´en˝o felbont´asa:

(1.5) D_n =w_n

X∞ k=0

n_kr_kD₂k (n∈N).

1.1 Diadikus csoport, Walsh-rendszerek 5

(1.4) alapj´an az S^W₂nf r´eszlet¨osszegek teh´at diadikus l´epcs˝osf¨uggv´enyek. Ve- zess¨uk be a diadikus intervallumok halmaz´at:

I ={[k2⁻ⁿ,(k+1)2⁻ⁿ) : k, n∈N, k < 2ⁿ},

´

es jel¨olj¨uk An-nel a 2⁻ⁿ hossz´us´ag´u diadikus intervallumok ´altal gener´alt σ- algebr´at,L(A_n)-nel az A_n-m´erhet˝o f¨uggv´enyek halmaz´at, ´es E_n-nel az A_n-re vonatkoz´o felt´eteles v´arhat´o ´ert´eket. Ekkor

E_nf=S^W₂nf∈ L(A_n), E_n(E_mf) =S^W₂n(S^W₂mf) =S₂ⁿf=E_nf

(f ∈ L¹_[0,1), n, m ∈ N, n ≤ m). Tekints¨uk azt az (Ω,A, P) val´osz´ın˝us´egi m´ert´ekteret, ahol Ω= [0, 1), A a Lebesgue-m´erhet˝o halmazok σ-algebr´aja, P pedig a Lebesgue-m´ert´ek, valamint vegy¨uk a r´esz-σ-algebr´ak n¨oveked˝o (A_n) sorozat´at. Ezek ut´an azt mondjuk, hogy az integr´alhat´o f¨uggv´enyek (f_n) sorozata (diadikus) marting´al, ha

fn∈ L(An), En(fm) =fn (n , m∈N, n≤m).

A fentiek alapj´an teh´at b´armely f integr´alhat´o f¨uggv´enyb˝ol k´epezett (S^W₂nf) r´eszlet¨osszeg sorozat diadikus marting´al.

Az f= (f_n) marting´alt L^p-korl´atosnak (0 < p≤∞) nevezz¨uk, ha kfk_p:= supkf_nk_p <∞.

Ismeretes (ld. [Nev71]), hogy 1 < p <∞ eset´en az (f_n) marting´al pontosan akkor L^p-korl´atos, ha van olyan f ∈ L^p_[0,1) f¨uggv´eny, amelyre f_n = E_nf = S₂ⁿf. A p=1 esetben a sz¨uks´eges ´es el´egs´eges felt´etel ilyen integr´alhat´o f f¨uggv´eny l´etez´es´ere az (f_n) marting´al egyenletes integr´alhat´os´aga :

ylim→∞sup

n∈N

Z

{|fn|>y}|f_n|=0 .

D^W₂n explicit alakj´ab´ol nyilv´anval´o, hogy a 2ⁿ index˝u Walsh–Lebesgue- konstansok, azaz kD₂ⁿk₁ ´ert´eke 1. Az ´altal´anos esethez tekints¨uk az n bin´aris jegyeinek a vari´aci´oj´at:

(1.6) V(n) =

X∞ k=1

|n_k−n_k−1|+n₀ (n∈N).

Ennek seg´ıts´eg´evel a Lebesgue-konstansokra az al´abbi becsl´es adhat´o V(n)

8 ≤ kDnk1 ≤V(n) (n∈P).

K´etdimenzi´os Walsh–Paley-rendszer: A k´etdimenzi´os W² = (w_n,m) Walsh–Paley-rendszert az egydimenzi´os Walsh–Paley-rendszer ¨onmag´aval vett Kronecker-szorzatak´ent defini´aljuk:

w_n,m(x, y) =w_n(x)w_m(y) (n, m∈N, x, y∈[0, 1)).

6 Bevezet´es

A fenti fogalmakat ´ıgy term´eszetes m´odon ´atvihetj¨uk a k´etdimenzi´os esetre ´es az egydimenzi´os Walsh–Paley-rendszer sz´amos tulajdons´aga ´erv´enyben ma- rad a k´etdimenzi´os esetben is.

Walsh-f¨uggv´enyek a [0,∞) f´elegyenesen: Terjessz¨uk ki a diadikus kifejt´es ´es

¨

osszead´as fogalm´at az egys´egintervallumr´ol a [0,∞) f´elegyenesre:

x= X∞ j=−∞

x_j2^−j−1 (x_j =0vagy1), x+y˙ =

X∞ j=−∞

|x_j−y_j|2^−j−1 (0≤x, y <∞).

A diadikus kifejt´es ´ertelmez´es´eb˝ol k¨ovetkezik, hogy el´eg nagy j-kre x_j = 0.

Ekkor a

(1.7) w_y(x) = (−1)^{P∞j=−∞xjy−j−1} (0≤x, y <∞)

f¨uggv´enyeket a [0,∞) intervallumon ´ertelmezett Walsh-f¨uggv´enyeknek ne- vezz¨uk. A defin´ıci´o alapj´an vil´agos, hogy

(1.8) w_t(x)w_t(y) =w_t(x+y)˙ (0≤x, y <∞)

minden olyan esetben, amikor x+y˙ diadikusan irracion´alis. A Walsh- transzform´altat, a Dirichlet-magf¨uggv´enyt, a Walsh–Dirichlet-integr´alokat a szok´asos m´odon defini´aljuk:

fc^W(y) = Z_∞

0

f(t)w_y(t)dt , S^W_t f(y) =

Z_t

0

fc^W(x)w_x(y)dx= Z_∞

0

f(u)D^W_t (y+u)˙ du= (f∗D^W_t )(y), D^W_t (y) =

Z_t

0

wu(y)du (f∈L¹_[0,∞), 0≤x, t, y <∞).

Megjegyezz¨uk, hogy amint a Walsh-rendszer eset´en a diadikus csoport te- kinthet˝o a term´eszetes strukt´ur´anak, ´ugy a f´elegyenesen ´ertelmezett Walsh- rendszer eset´eben ez a diadikus test. A r´eszletek megtal´alhat´ok p´eld´aul a [SchWadSim90] monogr´afi´aban. Az ´altal´anos elm´elettel kapcsolatban Taib- leson[Tai75] munk´aj´ara h´ıvjuk fel a figyelmet.

Walsh–Kaczmarz-rendszer: Amint azt a pont bevezet˝o r´esz´eben eml´ıtett¨uk a Walsh–Kaczmarz-f¨uggv´enyek kifejezhet˝ok a Rademacher-f¨uggv´enyek szor- zataik´ent. Az n ∈ N sz´am bin´aris jegyeit haszn´alva az n-edik Walsh–

Kaczmarz-f¨uggv´eny κ_n az al´abbi m´odon ´all´ıthat´o el˝o:

κ_n=r_m

m−1Y

k=0

rⁿ_k^m−k−1 (n, m∈N, 2^m ≤n < 2ⁿ).

1.2 Hardy-terek 7

A Dirichlet-magf¨uggv´enyek (D^K_n), Fourier-egy¨utthat´ok (cf^K(n)), Fourier- r´eszlet¨osszegek (S^K_nf), Fourier-sor (S^Kf) Walsh–Kaczmarz v´altozat´at a Walsh–Paley esethez anal´og m´odon defini´alhatjuk. A defin´ıci´ob´ol k¨ozvet- len¨ul l´athat´o, hogy w₂ⁿ =κ₂ⁿ = r_n, valamint hogy a {2ⁿ, . . . , 2ⁿ⁺¹−1} in- dextartom´anyba es˝o Walsh–Paley- ´es Walsh–Kaczmarz-f¨uggv´enyek halmaza megegyezik:

{w_k : 2ⁿ ≤k < 2ⁿ⁺¹}={κ_k : 2ⁿ ≤k < 2ⁿ⁺¹} (n∈N).

Ebb˝ol az is k¨ovetkezik, hogy a kett˝o hatv´any index˝u Walsh–Kaczmarz–

Dirichlet-magok ´es Fourier-r´eszlet¨osszegek megegyeznek a Walsh–Paley- rendszerbeli megfelel˝oj¨ukkkel, azaz r´ajuk is ´erv´enyesek a Walsh–Paley- rendszer kapcs´an r´eszletezett j´o tulajdons´agok, mint (1.3), (1.4).

A Paley ´es a Kaczmarz rendez´es k¨oz¨otti ´att´er´est nemcsak indextransz- form´aci´oval, hanem diadikus blokkokon bel¨ul argumentum transzform´aci´oval is meg lehet adni. Ehhez tekints¨uk az x ∈ [0, 1) sz´am x = P_∞

k=0x_k2^−k−1 (x_k = 0 vagy 1, k∈ N) diadikus alakj´at. Szok´as szerint diadikus racion´alis sz´amok eset´en a 0-kra v´egz˝od˝o alakot vessz¨uk. A diadikus jegyek seg´ıts´eg´evel a τ_n transzform´aci´ot a k¨ovetkez˝ok´eppen defini´aljuk:

τ_n(x) = (x_n−1, x_n−2, . . . , x₁, x₀, x_n, x_n+1, . . .) (n∈P, x∈[0, 1)). Ennek a transzform´aci´onak a seg´ıts´eg´evel a 2ⁿ ≤ m < 2ⁿ⁺¹ (n, m ∈ N) index tartom´anyban a Walsh–Kaczmarz-f¨uggv´enyek az al´abbi m´odon vezet- het˝ok vissza Walsh–Paley-f¨uggv´enyekre:

(1.9) κ_m(x) =r_n(x)w_m−2ⁿ(τ_n(x)) (x ∈[0, 1)).

Ez a kapcsolat sz´amos esetben lehet˝ov´e teszi, hogy a Walsh–Paley rend- szerre m´ar igazolt ´all´ıt´asok Walsh–Kaczmarz megfelel˝oj´enek bizony´ıt´asakor az el˝obbi eredm´enyeket, legal´abbis diadikus blokkon bel¨ul, kihaszn´aljuk.

1.2. Hardy-terek

A diadikus Hardy-t´ er: H

.

Az f = (f_n) marting´alb´ol sz´armaztatott d₋₁f := 0, d_n = f_n−f_n−1 (n ∈ N) f¨uggv´enyeket marting´al differenci´aknak nevezz¨uk. A Qf kvadratikus vari´aci´ot a marting´al differenci´ak seg´ıts´eg´evel ´ertelmezz¨uk:

Qf=X^∞

k=0

|d_k|²1/2

.

A H^p[0,1) (0 < p≤∞) diadikus Hardy-teret azok az f marting´alok alkotj´ak, amelyekre Qf∈L^p_[0,1),´es kfk_H^p

[0,1) :=kQfkp.

8 Bevezet´es

A Hardy-norm´at t¨obb m´as ekvivalens m´odon is bevezethetj¨uk. Ezek k¨oz¨ul az egyik lehet˝os´eg a diadikus maxim´alf¨uggv´enyen alapul. Adott f = (f_n) marting´al eset´en az

f^∗ :=sup{ |f_n| : n∈N}

f¨uggv´enyt az f marting´al maxim´alf¨uggv´eny´enek nevezz¨uk.

A kvadratikus vari´aci´o ´es a maxim´alf¨uggv´eny norm´ai k¨oz¨ott ´erv´enyes az al´abbi ekvivalencia

kf^∗k_p ≈ kQfk_p (0 < p≤∞).

A Hardy-terekre vonatkoz´o ´all´ıt´asok bizony´ıt´asa sor´an az egyik leggyakrab- ban alkalmazott m´odszer az ´ugynevezett atomos technika. Ez azon alapul, hogy a Hardy-t´er elemei felbonthat´ok egyszer˝u f¨uggv´enyek, ´ugynevezett ato- mok ¨osszeg´ere, ´es az ´all´ıt´asokat sok esetben el´eg csak az atomokra igazolni.

Egy a : [0, 1) 7→ R f¨uggv´enyt p-atomnak nevez¨unk, ha a a konstans 1 f¨uggv´eny, vagy van olyan I diadikus intervallum, hogy

i) suppa ⊂I, ii) kak_∞ ≤|I|^−1/p, iii) Z1

0

a=0.

|A| az A m´erhet˝o halmaz m´ert´ek´et, ennek megfelel˝oen eset¨unkben |I| az I hossz´at jelenti, suppf pedig az f f¨uggv´eny azon ´ertelmez´esi tartom´anybeli pontjai halmaz´anak lez´artj´at jel¨oli, ahol az f nem t˝unik el:

suppf={x∈[0, 1) : f(x)6=0}.

A H^p[0,1) (0 < p ≤ ∞) diadikus Hardy-t´er atomos szerkezet˝u. Ezen azt

´ertj¨uk, hogy az f marting´al akkor ´es csak akkor eleme a H^p_[0,1) t´ernek, ha vannak olyan α_k, P_∞

k=0|α_k|^p <∞ val´os sz´amok ´es a_k p-atomok, hogy

(1.10) f=

X∞ k=0

α_ka_k.

A fenti egyenl˝os´eget ´ugy ´ertj¨uk, hogy minden n∈N eset´en S^W₂nf=

X∞ k=0

α_kS^W₂na_k,

ahol a jobb oldali sor konvergenci´aj´at L^p-norm´aban tekintj¨uk. A norm´ara vonatkoz´oan ´erv´enyes az

kf||_H^p_[0,1) ≈infX^∞

k=0

|α_k|^p1/p

1.2 Hardy-terek 9

ekvivalencia, ha a jobb oldalon az inf´ımumot az ¨osszes (1.10) alak´u atomos felbont´asra vessz¨uk.

A k´es˝obbiekben sz¨uks´eg lesz a H[0,1) diadikus Hardy-t´er du´alis´ara. Ez az ´ugynevezett diadikus BMO[0,1) t´er, ami azokb´ol az integr´alhat´o f f¨uggv´enyekb˝ol ´all, amelyekre

kfk_BMO[0,1) :=

Z1 0

f +sup

I∈I

1

|I| Z

I

f− 1

|I| Z

I

f <∞.

A dualit´as ebben az esetben azt jelenti, hogy minden, a H[0,1)-n ´ertelmezett F korl´atos line´aris funkcion´alhoz egy´ertelm˝uen l´etezik olyan g ∈ BMO[0,1), amelyre F(f) =< f, g > (f ∈ H[0,1)). Az < f, g > skal´aris szorzat ma- gyar´azatra szorul, ugyanis ez nem a szok´asos szorzat integr´al, mivel nem min- den diadikus Hardy- ´es BMO t´erbeli f¨uggv´eny szorzata integr´alhat´o. Ugyan- akkor megmutathat´o (ld. pl. [SchWadSim90]), hogy tetsz˝oleges f∈H[0,1) ´es g ∈BMO[0,1) f¨uggv´enyek eset´en l´etezik a v´eges < f, g >=lim_n→∞R₁

0E_nfE_ng hat´ar´ert´ek.

A k´ etdimenzi´ os diadikus Hardy-t´ er: H

.

A k´etdimenzi´os esethez a fenti egydimenzi´os konstrukci´ot tekinthetj¨uk mint´anak. (Ω,A, P) ebben az esetben azt a val´osz´ın˝us´egi m´ert´ekteret jel¨oli, ahol Ω = [0, 1)², A a Lebesgue-m´erhet˝o halmazok σ-algebr´aja, P pedig a Lebesgue-m´ert´ek. Vegy¨uk az N² halmazt ´es rajta azt a parci´alis ren- dez´est, amely szerint (n₁, n₂) ≤ (m₁, m₂) pontosan akkor, ha n₁ ≤ m₁ ´es m₁ ≤m₂ ( (n₁, n₂), (m₁, m₂)∈N²).A k´etdimenzi´os diadikus intervallumok

´

altal gener´alt σ-algebra sorozatot az egydimenzi´os σ-algebr´ak Descartes- szorzatak´ent defini´aljuk: A_n1,n2 := A_n1× A_n2.Az A_n σ-algebr´ara (n∈N²) vonatkoz´o felt´eteles v´arhat´o ´ert´ek oper´atort E_n-nel jel¨olve azt mondjuk, hogy az integr´alhat´o f¨uggv´enyek (f_n) sorozata (diadikus) marting´al, ha

f_n ∈ L(A_n), E_n(f_m) =f_n (n , m∈N², n≤m).

Az egydimenzi´os esethez hasonl´oan minden f integr´alhat´o f¨uggv´enyre az (S^W_(2n1² _,2n2)f) r´eszlet¨osszeg sorozat k´etdimenzi´os diadikus marting´al, ugyanis

´

erv´enyes az

E_(n1,n2)f=S^W_(2n1² _,2n2)f (f∈L¹_[0,1)2, (n₁, n₂)∈N²)

egyenl˝os´eg. A maxim´alf¨uggv´enynek, a marting´al differenci´anak ´es a kvadra- tikus vari´aci´onak a k´etdimenzi´os v´altozat´at az al´abbi m´odon defini´aljuk:

f^∗ =sup{ |f_n| : n∈N²},

d_nf=E_(n1,n2)f−E_(n1−1,n2)f−E_(n1,n2−1)f+E_{(n1−1,n2−1)}f (n₁, n₂ ≥1), d_nf=0 (n₁·n₂ =0),

Qf=X

n∈N²

|d_nf|²1/2

.

10 Bevezet´es

A H^p_[0,1)² (0 < p ≤ ∞) Hardy-teret azok az f marting´alok alkotj´ak, ame- lyekre f^∗ ∈L^p_[0,1)2,´es kfk_H^p

[0,1)2 :=kf^∗k_p (0 < p <∞).Az egydimenzi´os eset- hez hasonl´oan kf^∗k_p ≈ kQfk_p (0 < p <∞), ez´ert a kvadratikus vari´aci´oval ebben az esetben is lehet jellemezni a H^p_[0,1)² Hardy-teret.

K´et dimenzi´oban a Hardy-terek atomos szerkezete bonyolultabb, mint egy dimenzi´oban. Egy atom tart´oja p´eld´aul nem felt´etlen¨ul diadikus t´eglalap, hanem ´altal´aban egy ny´ılt halmaz. Ebb˝ol k¨ovetkez˝oen a bizony´ıt´asok sor´an az atomos technika alkalmaz´asa bonyolultabb´a v´alik. M´asr´eszt azonban bizo- nyos oper´atorok eset´en a korl´atoss´ag igazol´as´ahoz el´eg csak t´eglalap atomokat venni.

A t´eglalap atomok defin´ıci´oj´ahoz legyen 0 < p ≤ 1. Ekkor az a ∈ L²_[0,1)2

f¨uggv´enyt t´eglalap H^p_[0,1)²-atomnak nevezz¨uk, ha a az azonosan 1 f¨uggv´eny, vagy pedig van olyan I diadikus t´eglalap, hogy

suppa⊂I , kak₂ ≤|I|^1/2−1/p, Z1

0

a(x, t)dt= Z1

0

a(u, y)du=0 (x, y∈[0, 1)).

A val´ os, 2π szerint periodikus Hardy-t´ er: H

.

A H2π val´os periodikus Hardy-teret a trigonometrikus konjug´alt fogalm´anak felhaszn´al´as´aval vezetj¨uk be. Egy f∈L¹_2π 2π szerint periodikus integr´alhat´o f¨uggv´eny ˜f trigonometrikus konjug´altj´at a periodikus Hilbert-transzform´alt seg´ıts´eg´evel defini´aljuk:

f(x) =e 1 π

Z

t:|x−t|≤π

f(t) tg^x−t₂ dt , ahol az integr´alt Cauchy-f´ele f˝o´ert´ekben, azaz

f(x) =e lim

→0

1 π

Z

t:≤|x−t|≤π

f(t) tg^x−t₂ dt

´ertelemben tekintj¨uk. Ismeretes, hogy ha f integr´alhat´o, akkor ˜f(x) majd- nem minden x-re l´etezik ´es v´eges. Akkor mondjuk, hogy egy 2π szerint periodikus integr´alhat´o f¨uggv´eny eleme a val´os periodikus Hardy-t´ernek, ha trigonometrikus konjug´altja is integr´alhat´o:

H2π :=

f∈L¹_2π : ef∈L¹_2π , kfkH_2π :=kfk1+kefk1.

Megjegyezz¨uk, hogy a konkr´et (X, A, µ) m´ert´ekt´ert˝ol f¨uggetlen¨ul ´altal´aban az egyszer˝us´ıtett kfk_p jel¨ol´est fogjuk haszn´alni a m´ert´ekt´ernek megfelel˝o Lebesgue-t´erbeli f¨uggv´enyek norm´aj´ara. A sz¨ovegk¨ornyezetb˝ol kider¨ul a sz´oban forg´o Lebesgue-t´er, ´es ´ıgy ´ertelmezhet˝o lesz a jel¨ol´es.

Tekints¨uk a komplex trigonometrikus rendszert. Ekkor az eredeti f¨uggv´eny

1.2 Hardy-terek 11

´

es konjug´altj´anak trigonometrikus Fourier-egy¨utthat´oi k¨oz¨ott az al´abbi kap- csolat ´all fenn

eb

f^T(k) =i(signk)fb^T(k) (f,fe∈L¹_2π, k∈Z).

Az atomos felbont´as ´ertelmez´es´ehez m´odos´ıtsuk a [0, 2π) intervallum fo- galm´at a k¨ovetkez˝ok´eppen. A [0, 2π) 3 t → e^it lek´epez´essel azonos´ıtsuk a [0, 2π) intervallumot az egys´egk¨orrel. Ezek ut´an intervallumnak azokat a halmazokat fogjuk nevezni [0, 2π)-ben, amiknek a megfelel˝oje k¨or´ıv az egys´egk¨or¨on. Jel¨olj¨uk az ´ıgy kapott intervallumok halmaz´at I_2π-vel. Egy a : [0, 2π) 7→ R f¨uggv´enyt H2π-atomnak nevez¨unk, ha a a konstans 1/2π f¨uggv´eny, vagy ha l´etezik olyan I∈ I_2π amelyre

i) suppa ⊂I , ii) kak_∞ ≤|I|⁻¹, iii) Z2π

0

a=0 .

Ekkor a H2π t´ernek a k¨ovetkez˝o atomos jellemz´ese adhat´o meg. Egy in- tegr´alhat´o f¨uggv´eny pontosan akkor eleme H_2π-nek, ha l´eteznek olyan α_k, P_∞

k=0|α_k|<∞ val´os sz´amok ´es a_k (k∈N) H_2π-atomok, hogy

(1.11) f=

X∞ k=0

α_ka_k,

ahol a jobb oldalon a sor konvergenci´aj´at L¹-norm´aban tekintj¨uk. A norm´ara

´

erv´enyes az

kf||H2π ≈inf X∞

k=0

|α_k|

ekvivalencia, ha az inf´ımumot az ¨osszes (1.11) t´ıpus´u felbont´asra vessz¨uk.

Megjegyezz¨uk, hogy a 2π szerint periodikus val´os f¨uggv´enyek k¨or´eben be- vezetett H2π Hardy-t´er ekvivalens azzal a t´oruszon ´ertelmezett Hardy-t´errel, amit azok a komplex ´ert´ek˝u integr´alhat´o f¨uggv´enyek alkotnak, amiknek a negat´ıv index˝u Fourier-egy¨utthat´oi mind 0-k. Ez ut´obbi Hardy-t´er viszont a klasszikus, az egys´egk¨orlemez belsej´eben analitikus f¨uggv´enyek k¨or´eben be- vezetett Hardy-t´erb˝ol sz´armaztathat´o.

H_2π du´alisa a BMO_2π t´er. Ez azokb´ol az integr´alhat´o f f¨uggv´enyekb˝ol ´all, amelyekre

kfk_BMO2π =

Z₁

0

f

+ sup

I∈I_2π

1

|I| Z

I

f− 1

|I| Z

I

f <∞. A dualit´as ´ugy ´ertend˝o, hogy adott g∈BMO2π eset´en

L_g(f) = X∞

k=0

α_k Zπ

−π

ga_k (f∈H_2π)

egy, a H_2π-n ´ertelmezett korl´atos line´aris funkcion´al, ahol f=P_∞

k=1α_ka_k az f∈H2π egy atomos felbont´asa, ´es az integr´al ´ert´eke az f k¨ul¨onb¨oz˝o atomos

12 Bevezet´es

felbont´asaira ugyanaz. M´asr´eszt minden, a H2π-n ´ertelmezett korl´atos line´aris funkcion´al el˝o´all ilyen alakban.

A val´ os, nemperiodikus Hardy-t´ er a [0, 1) intervallumon: H

.

A H_[0,1) val´os nemperiodikus Hardy-t´er t¨obb lehets´eges defin´ıci´oja k¨oz¨ul az atomos felbont´ast vesz¨uk alapul. Egy a ∈ L^∞_[0,1) f¨uggv´enyt H_[0,1)-atomnak nevez¨unk, ha a≡1 vagy van olyan I⊂[0, 1) intervallum, amelyre

i) suppa⊂I , ii) Z₁

0

a =0 , iii) kak_∞ ≤|I|⁻¹.

A H_[0,1) Hardy-teret azok az f integr´alhat´o f¨uggv´enyek alkotj´ak, amelyekhez vannak olyan α_k,P_∞

k=0|α_k|<∞ val´os sz´amok ´es a_k (k∈N) H_[0,1)-atomok, hogy f=P_∞

k=0α_ka_k,ahol a sor konvergenci´aj´at integr´alnorm´aban tekintj¨uk.

A norm´at a lehets´eges felbont´asokra vonatkoz´o kfkH_[0,1) =inf

X∞ k=0

|α_k| inf´ımumk´ent defini´aljuk.

Megjegyezz¨uk, hogy a H_[0,1) val´os nemperiodikus Hardy-t´er π-vel val´o di- lat´aci´o ut´an ekvivalens a H_2π val´os periodikus Hardy-t´er p´aros elemei ´altal alkotott alt´errel.

H_[0,1) du´alisa a periodikus esetben adott jellemz´eshez hasonl´o ´ertelemben a BMO_[0,1) t´er. Ennek a defin´ıci´oja csak az intervallumok tekintet´eben k¨ul¨onb¨ozik a periodikus esett˝ol. Jel¨olje I[0,1) a [0, 1)-beli intervallumok hal- maz´at. BMO_[0,1) azokb´ol az integr´alhat´o f f¨uggv´enyekb˝ol ´all, amelyekre

kfkBMO_[0,1) =

Z₁

0

f

+ sup

I∈I_[0,1)

1

|I| Z

I

f− 1

|I| Z

I

f <∞.

2. fejezet

Sidon-t´ıpus´ u egyenl˝ otlens´ egek

A dolgozat ´erdemi r´esz´et az ´ugynevezett Sidon-t´ıpus´u egyenl˝otlens´egek t´argyal´as´aval kezdj¨uk. Ezt els˝osorban az indokolja, hogy a tov´abbi fejeze- tek mindegyik´eben fontos szerepet j´atszanak az itt bemutatott eredm´enyek.

Kiindul´ask´eppen tekints¨uk a trigonometrikus rendszer szerinti D^T_n Dirichlet- f´ele magf¨uggv´enyeket, majd vegy¨uk ezeknek egy line´aris kombin´aci´oj´at tesz˝oleges c_k ∈ R, (k = 0 . . . , n, n ∈ N) egy¨utthat´okkal. Sidon-t´ıpus´u egyenl˝otlens´egnek az ´atlagolt line´aris kombin´aci´o integr´al norm´aj´ara, azaz az

(2.1) 1

n+1

Xn k=0

ckD^T_k

1 (n∈N, ck ∈R)

mennyis´egre adott fels˝o becsl´eseket nevezz¨uk. Az anal´og feladat term´eszetesen tetsz˝oleges Φ ortonorm´alt rendszer eset´en is megfogalmaz- hat´o. A dolgozatban t¨obbnyire a trigonometrikus ´es a Walsh-esetre fogunk szor´ıtkozni. A Walsh-rendszerre a (2.1) alak helyett annak az

(2.2) 1

n

Xn k=1

c_kD^W_k 1

(n∈N, n≥1, c_k ∈R)

m´odos´ıtott v´altozat´at fogjuk tekinteni, a Walsh–Dirichlet magok szok´asos indexel´ese miatt. A m´odos´ıt´as a probl´ema szempontj´ab´ol ´erdemi v´altoz´ast term´eszetesen nem okoz. Lehet, hogy ez a kett˝oss´eg egy kicsit zavar´o, m´egis az er˝oltetett egys´eges´ıt´es helyett ink´abb az adott ter¨ulet, ez esetben a diadi- kus anal´ızis hagyom´anyos jel¨ol´eseihez igazodunk.

A Sidon-t´ıpus´u egyenl˝otlens´egek vizsg´alat´at sz´amos Fourier-anal´ızisbeli probl´ema kezel´es´eben j´atszott szerep¨uk indokolja. Ennek ´erz´ekeltet´es´ehez el´eg azt megeml´ıteni, hogy a szumm´aci´os elj´ar´asok magf¨uggv´enyei Dirichlet- magok line´aris kombin´aci´ojak´ent ´allnak el˝o. K´ezenfekv˝o p´elda a Fej´er-f´ele k¨ozepel´es, aminek a magf¨uggv´enye (2.1)-ben a c_k ≡ 1 v´alaszt´asnak felel meg. Ezekben az esetekben (2.1) nem m´as, mint adott n-re a szumm´aci´os oper´ator norm´aja az L¹_[0,1), illetve a C_[0,1) t´eren. Itt jegyezz¨uk meg, hogy ilyen ir´any´u alkalmaz´assal mi is foglalkoztunk a [FriManSid08] cikkben, ahol

14 Sidon-t´ıpus´u egyenl˝otlens´egek

a N¨orlund-k¨ozepeknek homog´en Banach-t´erbeli, valamint Hardy-terekbeli konvergencia sebess´eg´et vizsg´alva becsl´est fels˝o adtunk a folytonoss´agi mo- dulus seg´ıts´eg´evel. A r´eszletekre terjedelmi korl´atok miatt nem t´er¨unk ki az ´ertekez´esben. Abel-´atalak´ıt´as ut´an hasonl´oan ad´odik a multiplier oper´atorokkal, valamint a sorok integr´alnorm´aban vett konvergenci´aj´aval val´o kapcsolat is. Ilyen ir´any´u alkalmaz´asra sz´amos p´eld´at fogunk mutatni a k´es˝obbiekben.

A fejezet h´arom pontja k¨oz¨ul a 2.1 ´es a 2.2 tartalmazza a saj´at eredem´enyeket.

Az els˝oben, a 2.1 pontban a trigonometrikus esettel foglalkozunk. R¨ovid t¨ort´eneti bevezet˝o ut´an ismertetj¨uk ´es bizony´ıtjuk f˝o eredm´eny¨unket. Ebben jellemezz¨uk a legjobb ´atrendez´esre invari´ans Sidon-t´ıpus´u egyenl˝otlens´eget.

A 2.2 pontban a Walsh–Paley- ´es a Walsh–Kaczmarz-rendszerre vonat- koz´o anal´og eredm´enyeinket mutatjuk be, mindk´et esetben a bizony´ıt´asok mell˝oz´es´evel. Megjegyezz¨uk, hogy a Walsh–Kaczmarz-rendszer eset´en az ere- dem´enyre bizony´ıt´assal egy¨utt a 3. fejezet 5. pontj´aban visszat´er¨unk. Az utols´o, 2.3. pontban tov´abbi p´eld´akat, ´altal´anos´ıt´asokat ismertet¨unk.

Ebben a fejezetben a szerz˝ot˝ol a [Fri93], [Fri95a], [Fri13a] cikkekben tal´alhat´o eredm´enyek szerepelnek.

2.1. A trigonometrikus eset

A k¨ovetkez˝okben ¨osszefoglaljuk a trigonometrikus esetre vonatkoz´o ed- digi eredm´enyeket. Kezdj¨uk azzal az ´eszrev´etellel, hogy a trigonometri- kus Lebesgue-konstansokra vonatkoz´o ismert kD^T_nk₁ ≤ Clogn (n ≥ 2) becsl´esb˝ol r¨ogt¨on ad´odik az al´abbi Sidon-t´ıpus´u egyenl˝otlens´eg

(2.3) 1

n+1

Xn k=0

c_kD^T_k 1

≤Clogn+1 n+1

Xn k=0

|c_k|

(n∈P, c_k∈R, k=0, . . . , n).

Folytassuk a probl´emak¨or kiindul´opontj´anak tekinthet˝o, Telyakovski˘ı-t´ol [Tel73] sz´armaz´o eredm´ennyel, amely szerint

(2.4) 1

n+1

Xn k=0

c_kD^T_k 1

≤ max

0≤k≤n|c_k|.

1973-ban ´ırt cikk´eben Telyakovski˘ı egy Sidon Simont´ol ([Sid39]) sz´armaz´o integr´alhat´os´agi felt´etel ´atfogalmaz´as´aval foglalkozott. Ennek sor´an iga- zolta a fenti egyenl˝otlens´eget. Megjegyezz¨uk, hogy ez a becsl´es a Fej´er- k¨ozepek L¹_[0,1)-norm´aj´anak korl´atoss´ag´at speci´alis esetk´ent tartalmazza, de a (2.3) egyenl˝otlens´eg nem k¨ovetkezik bel˝ole. Ut´obbihoz el´eg a c_n = 1, c_k =0, k=0, . . . , n−1 egy¨utthat´okat v´alasztani.

A (2.4)-beli becsl´est az´ota t¨obb l´ep´esben is siker¨ult ´eles´ıteni. Ezek k¨oz¨ul az

2.1 A trigonometrikus eset 15

els˝o Bojanic´es Stanojevi´c [BojSta82] nev´ehez f˝uz˝odik:

(2.5) 1

n+1

Xn k=0

c_kD^T_k 1

≤C_p 1 n+1

Xn k=0

|c_k|^p1/p

(p > 1).

K¨onnyen megmutathat´o, hogy a (2.5) becsl´es p=1-re nem terjeszthet˝o ki, ugyanis c_n=1 ´es c_k =0 (k < n) eset´en (2.5) bal oldala logn/n,m´ıg jobb oldala 1/n nagys´agrend˝u. Tanovi´c-Miller [Tan90] igazolta azonban, hogy lehets´eges (2.5) ´altal´anos´ıt´asa oly m´odon, hogy a p > 1 ´es a p=1 esetek megfelel˝o s´ulyozott kombin´aci´oj´at vessz¨uk:

(2.6) 1 n+1

Xn k=0

ckD^T_k

1 ≤Cp

logα n+1

Xn k=0

|ck|+α^−1/q 1

n+1 Xn

k=0

|ck|^p1/p

(α ≥ 1, 1 < p ≤ 2, 1/p +1/q = 1). Felh´ıvjuk a figyelmet arra, hogy a kiindul´asi (2.3) egyenl˝otlens´eg m´eg ebb˝ol a becsl´esb˝ol sem k¨ovetkezik.

Miel˝ott folytatn´ank a t´argyal´ast, fogalmazzuk ´at az eddig ismertetett eredm´enyeket egy k¨onnyen ´ertelmezhet˝o egys´eges alakba. Jel¨olje ehhez χ_A az A⊂R halmaz karakterisztikus f¨uggv´eny´et ´es vezess¨uk be a (c₀, . . . , c_n) egy¨utthat´o vektor ´altal gener´alt

(2.7) Γ(c₀, . . . , c_n) = Xn

k=0

c_kχ[k/(n+1),(k+1)/(n+1)) (n∈N)

l´epcs˝osf¨uggv´enyt. Ekkor a fenti eredm´enyek mindegyike kifejezhet˝o a Γ(c₀, . . . , c_n) l´epcs˝osf¨uggv´eny L^p-norm´aj´anak a seg´ıts´eg´evel. Nevezetesen,

(2.8) 1

n+1

Xn k=0

ckD^T_k

1≤CXkΓ(c0, . . . , cn)kX, ahol a (2.3)–(2.6) becsl´esekben a jobb oldal rendre

log(n+1)kΓ(c₀, . . . , c_n)k₁, kΓ(c₀, . . . , c_n)k_∞,

kΓ(c₀, . . . , c_n)k_p (p > 1), logαkΓ(c₀, . . . , c_n)k₁+α^−1/qkΓ(c₀, . . . , c_n)k_p. Az egyenl˝otlens´egek jobb oldala teh´at norma, m´egpedig ”L^p jelleg˝u”

norma az n +1-dimenzi´os t´eren. Ha ugyan´ıgy tekint¨unk a Sidon-t´ıpus´u egyenl˝otlens´egek bal oldal´ara, azaz (2.1)-re, akkor k¨onnyen ´eszrevehetj¨uk, hogy r¨ogz´ıtett n eset´en az is az egy¨utthat´o vektoroknak egy norm´aj´at de- fini´alja. Nevezz¨uk ezt ezent´ul Sidon-norm´anak. Ebben a kontextusban teh´at a feladat ´ugy fogalmazhat´o meg, hogy ismert norm´akkal pr´ob´aljunk min´el jobb, n-ben egyenletes fels˝o becsl´est adni a Sidon-norm´ara. Term´eszetesen a legjobb az lenne, ha a Sidon-norm´at mag´at siker¨ulne ily m´odon karakte- riz´alni, de ilyen eredm´eny nem ismert.

16 Sidon-t´ıpus´u egyenl˝otlens´egek

Schipp Ferenc[Sch90], [Sch92] nev´ehez f˝uz˝odik a fentiekt˝ol elt´er˝o, nemL^p,ha- nem Hardy-norma t´ıpus´u becsl´es. Az eddigi eredm´enyeket megjav´ıtva meg- mutatta, hogy

(2.9) 1

n+1

Xn k=0

ckD^T_k 1

≤ kΓ(c0, . . . , cn)k_H[0,1).

Eml´ekeztet˝o¨ul, H_[0,1) aBevezet´es2. pontj´aban defini´alt ´ugynevezett nempe- riodikus Hardy-t´er a [0, 1) intervallumon. Megjegyezz¨uk, hogy a Schipp-f´ele (2.9) becsl´esb˝ol a t¨obbsz¨or eml´ıtett (2.3) egyenl˝otlens´eg is k¨ovetkezik. (2.9) bizony´ıt´asa azon az ´eszrev´etelen alapul, hogy a H_[0,1) t´er atomjai term´eszetes m´odon kapcsolatba hozhat´ok a Fej´er-magokkal, illetve a Telyakovski˘ı-f´ele (2.4) becsl´es eltolt index˝u v´altozat´aval, felt´eve, hogy ebben az esetben az egy¨utthat´ok ¨osszege z´erus. Err˝ol a kapcsolatr´ol ennek a pontnak a v´eg´en az eredm´enyek ´altal´anos´ıt´asakor r´eszletesebben is sz´o lesz.

A Sidon-t´ıpus´u egyenl˝otlens´egek vizsg´alat´aba bekapcsol´odva k´et k´erd´est fo- galmaztunk meg a Schipp-f´ele eredm´enyb˝ol kiindulva. Az els˝o k´erd´es az- zal kapcsolatos, hogy az el˝oz˝o, az L^p-norm´an alapul´o (2.4), (2.5), (2.6) becsl´esekt˝ol elt´er˝oen a (2.9) jobb oldal´an l´ev˝o Hardy-norma nem, vagy csak nagyon k¨or¨ulm´enyesen fejezhet˝o ki k¨ozvetlen¨ul a c_k egy¨utthat´okkal. A fel- adat teh´at az, hogy a (2.9)-beli, a Hardy-norm´an alapul´o, de lehet˝oleg min´el egyszer˝ubb egy¨utthat´o becsl´est adjunk. Az eredm´enyek fejl˝od´es´et l´atva a m´asodik k´erd´es arra vonatkozik, hogy vajon milyen messze vagyunk a ”le- het˝o legjobb” eredm´enyt˝ol, pozit´ıv form´aban megfogalmazva, hogy milyen k¨ozel ker¨ult¨unk hozz´a.

A feltett k´erd´esekre adott v´alaszokhoz a Hardy-norm´ara vonatkoz´o j´ol ismert (ld. pl. [SchWadSim90])

(2.10) kfkH_[0,1) ≤C Z1

0

|f|log⁺|f|+1

(f∈ H_[0,1))

egyenl˝otlens´egb˝ol indultunk ki. A log⁺ f¨ugggv´enyt a nemnegat´ıv val´os sz´amok halmaz´an ´ertelmezz¨uk:

log⁺a=

0, 0≤a≤1;

loga, a > 1.

A (2.10) egyenl˝otlens´eg azt jelenti p´eld´aul, hogy minden Llog⁺L-beli f¨uggv´eny benne van a H_[0,1) t´erben is. S˝ot, nemnegat´ıv f¨uggv´enyek eset´en ennek a ford´ıtottja is igaz. A (2.10) egyenl˝otlens´eg seg´ıts´eg´evel igazoltuk a (2.9) eredm´enyen alapul´o al´abbi egy¨utthat´o becsl´est.

2.1. T´etel ([Fri93]). Tetsz˝oleges n ∈N ´es c_k ∈R, k =0, . . . , n egy¨utt- hat´ok eset´en

(2.11)

Xn k=0

c_kD^T_k 1 ≤C

Xn k=0

|c_k|

1+log⁺ |ck| (n+1)⁻¹Pn

j=0|c_j|

, ahol C > 0 abszol´ut konstans.

2.1 A trigonometrikus eset 17

A log⁺ argumentum´aban esetlegesen el˝ofordul´o 0/0 h´anyados kezel´es´ehez a 0/0=1 meg´allapod´assal ´el¨unk.

Els˝o r´an´ez´esre nem nyilv´anval´o, de a k¨ovetkez˝o eredm´enyb˝ol r¨ogt¨on ad´odik, hogy az adott egy¨utthat´o formula norm´at defini´al. Megmutathat´o, hogy a 2.11 becsl´esb˝ol k¨ovetkeznek mind a (2.4)-(2.6), mind pedig a t¨obbsz¨or emlegetett (2.3) becsl´es is. Vegy¨uk ´eszre, hogy ezek mindegyike f¨uggetlen a ck egy¨utthat´ok sorrendj´et˝ol. M´ask´epp mondva, az egys´eges´ıtett (2.8) megfogalmaz´asban szerepl˝o X t´er norm´aja ´atrendez´es invari´ans. A H_[0,1) t´er nem ´atrendez´es invari´ans. Van p´eld´aul olyan f ∈ H_[0,1) f¨uggv´eny ´es ν : [0, 1) → [0, 1) m´ert´ektart´o bijekci´o, amelyre f◦ν 6∈ H_[0,1). Kiindulva azonban H_[0,1)-nek egy alter´eb˝ol ´ertelmezhet¨unk egy, a H_[0,1)-norma ´altal gener´alt ´atrendez´es invari´ans norm´at. Jel¨olje L₀ a [0, 1) intervallumnak az

¨

onmag´ara val´o m´ert´ektart´o lek´epez´eseit. Ekkor H^?_[0,1) =

f∈ H_[0,1) : f◦ν∈ H_[0,1), ν∈L₀

a H_[0,1) legnagyobb olyan altere, ami az ´atrendez´esre invari´ans. Ezen az alt´eren egy ´atrendez´esre invari´ans norm´at defini´alhatunk a k¨ovetkez˝ok´eppen:

kfkH^?

[0,1) =sup

kf◦νkH_[0,1) : ν∈L₀ (f∈ H^?_[0,1)).

[Fri93]-ban megmutattuk, hogy (2.11) jobb oldala ekvivalens ezzel az

´

atrendez´esre invari´ans Hardy-t´ıpus´u norm´aval.

2.2. T´etel ([Fri93]). Egy m´erhet˝o f¨uggv´eny akkor ´es csak akkor eleme a H^?_[0,1) t´ernek, ha R1

0|f|log⁺|f| < ∞. Tov´abb´a vannak olyan C₁, C₂ pozit´ıv konstansok, amelyekre

C₁kfkH^?

[0,1) ≤ Z₁

0

|f|

1+log⁺ |f| kfk₁

≤C₂kfkH^?

[0,1) (f∈ H_[0,1)^? ). Ez a t´etel a Sidon-t´ıpus´u egyenl˝otlens´egek szempontj´ab´ol azt jelenti, hogy a (2.9) eredm´enyb˝ol megfogalmazhat´o legjobb, a permut´aci´ora invari´ans egy¨utthat´o formula pontosan az el˝oz˝o t´etelbeli (2.11) jobb oldala. Ez egy Hardy-t´ıpus´u norma, ´es ´ıgy (2.11) megadhat´o az egys´eges (2.8)-beli alakban az X=H^?_[0,1) v´alaszt´assal. Siker¨ult teh´at (2.9)-nek megfelel˝o, k¨ozvetlen¨ul az egy¨utthat´okkal kifejezett formul´at tal´alni.

Az al´abbiakban a [Fri93] cikk f˝o eredm´eny´et fogalmazzuk meg, amit inverz Sidon-t´ıpus´u egyenl˝otlens´egnek nevezt¨unk. Jel¨olje P_n a {0, . . . , n} halmaz permut´aci´oinak halmaz´at. Az egy¨utthat´ok szerinti permut´aci´okat v´eve igaz a k¨ovetkez˝o t´etel.

2.3. T´etel ([Fri93]). Van olyan C > 0 abszol´ut konstans, hogy tetsz˝oleges n∈N ´es c_k (k=0, . . . , n) val´os sz´amok eset´en

(2.12) max

p∈Pn

Xn k=0

c_pkD^T_k 1

≥C Xn

k=0

|c_k|

1+log⁺ |c_k| (n+1)⁻¹Pn

j=0|c_j|

.

18 Sidon-t´ıpus´u egyenl˝otlens´egek

A t´etelb˝ol az k¨ovetkezik, hogy (2.11) jobb oldala nem egyszer˝uen a (2.9)- ben l´ev˝o Hardy-norm´at j´ol k¨ozel´ıt˝o egy¨utthat´o formula, hanem (2.11) egy- ben a lehets´eges legjobb az egy¨utthat´ok sorrendj´ere n´ezve invari´ans Sidon- t´ıpus´u egyenl˝otlens´eg. Eml´ekeztetve arra, hogy (2.1)-et az Rⁿ t´eren Sidon- norm´anak nevezt¨uk, (2.12) bal oldala, egy 1/(n+1)-es faktorral megszorozva az ez´altal gener´alt ´atrendez´esre invari´ans norm´anak tekinthet˝o. Ebben a ter- minol´ogi´aban a 2.1., 2.3. T´etelek norm´ak ekvivalenci´ajak´ent

C₁kΓ(c₀, . . . , c_n)k_H^?

[0,1) ≤ 1

n+1max

p∈Pn

Xn k=0

c_pkD^T_k 1

≤ kC₂Γ(c₀, . . . , c_n)k_H^?

[0,1)

(C₁, C₂ > 0, n∈N, c_k∈R, k=0, . . . , n) alakban fogalmazhat´ok meg.

A 2.1. ´es a 2.3. T´etelekbeli Sidon-t´ıpus´u egyenl˝otlens´egek ´ertelmez´es´et

´es a kor´abbi eredm´enyekkel val´o ¨osszehasonl´ıt´as´at k¨onny´ıti meg, hogy az al´abbiakban megadjuk a R₁

0|f|

1+log⁺_kfk^|f|

1

kifejez´esnek egy m´asik, a 2.2.

T´etelbeli Hardy-t´ıpus´u norm´at´ol elt´er˝o jellemz´es´et is. Ennek ismertet´es´ehez az L^p terekn´el gazdagabb strukt´ur´aj´u Orlicz-terekre lesz sz¨uks´eg¨unk.

Az Orlicz-terek elm´elet´enek ´atfog´o t´argyal´asa megtal´alhat´o p´eld´aul Kras- nosel’ski˘ı ´es Ruticki˘ı [KraRut61], valamint Rao ´es Ren [RaoRen91] mo- nogr´afi´aiban. Az eml´ıtett jellemz´eshez defni´aljuk az M ugynevezett Young-´ f¨uggv´enyt, mint a

p(t) =

t, 0≤t < 1;

1+logt, t≥1 f¨uggv´eny integr´alf¨uggv´eny´et, azaz legyen

(2.13) M(x) = Z_|x|

0

p(t)dt=

1/2|x|², 0≤|x|< 1;

1/2 +|x|log⁺|x|, |x|≥1 Ekkor az M t´arsa az az N Young-f¨uggv´eny, ami a p inverz´enek, a

q(t) =

t, 0≤t < 1;

e^t−1, t≥1 f¨uggv´enynek az integr´alf¨uggv´enye, azaz

(2.14) N(x) =

1/2|x|², 0≤|x|< 1;

e^|x|−1−1/2, |x|≥1.

Az LM Orlicz-teret azok az f ∈ L¹_[0,1)-beli f¨ugg´enyek alkotj´ak, amelyekre R₁

0M f(x)

dx < ∞. A norma defini´al´as´ara t¨obb egym´assal ekvivalens m´od k¨uz¨ul v´alaszthatunk. Ezek k¨oz¨ul az egyik (ld. pl. [KraRut61]) az

kfk_LM = Z₁

0

p k|f(x)|

|f(x)|dx (f∈L_M)