Er˝ os szumm´ aci´ o

Ezt a pontot egy ´altal´anos, a Fourier-sorok er˝os szumm´aci´oj´ara ´es a Sidon-t´ıpus´u egyenl˝otlens´egek ekvivalenci´aj´ara vonatkoz´o eredm´ennyel kezdj¨uk.

Ehhez feleleven´ıtj¨uk az er˝os szumm´aci´o fogalm´at. Y tov´abbra is az el˝oz˝o pontban r¨ogz´ıtett tulajdons´ag´u X Banach-t´er du´alis´at jel¨oli. Eml´ekeztet¨unk arra, hogy Y tartalmazza a diadikus l´epcs˝osf¨uggv´enyeket. Ekkor

Γ S^Φ₁f(x) −f(x), . . . , S^Φ₂nf(x) −f(x)

Y (f∈ C^Φ, x∈[0, 1), n∈N) az f f¨uggv´eny Φ-Fourier-sor´anak x pontbeli 2ⁿ-edik er˝os Y-k¨ozepe.

Ha p´eld´aul Y =L¹_[0,1),akkor az S^Φf sor2ⁿ-edik er˝os Fej´er-k¨ozep´et, ha pedig Y =L^p_[0,1) (1≤p <∞), akkor a megfelel˝o er˝os p-k¨ozep´et kapjuk:

Γ S^Φ₁f(x) −f(x), . . . , S^Φ₂nf(x) −f(x) p=

1 2ⁿ

2ⁿ

X

k=1

|S^Φ_kf(x) −f(x)|^p1/p

. Azt mondjuk, hogy a Φ rendszer er˝os Y-szumm´abilis az x-ben, ha minden f∈ C^Φ eset´en

n→∞lim

Γ S^Φ₁f(x) −f(x), . . . , S^Φ₂nf(x) −f(x) Y =0 .

A Banach–Steinhaus-t´etel szerint az er˝os Y-szummabilit´as ekvivalens azzal, hogy a T_n:C^Φ7→Y, T_nf=Γ S^Φ₁f(x), . . . , S^Φ₂nf(x)

line´aris oper´atorok egyen-letesen korl´atosak ´es a konvergencia teljes¨ul a C^Φ valamely minden¨utt s˝ur˝u r´eszhalmaz´an. Ebb˝ol az egyenletes korl´atoss´agra vonatkozik a 4.1. T´etelbeli (4.4) felt´etel. A minden¨utt s˝ur˝u C^Φ-beli halmazra term´eszetes v´alaszt´as a P^Φ halmaz, azaz a Φ-polinomok halmaza. Az er˝os Y-szummabilit´asnak am´ugy is nyilv´anval´oan sz¨uks´eges felt´etele, hogy a benne megfogalmazott konvergencia tetsz˝oleges ϕ∈ P^Φ-re is teljes¨ulj¨on:

(4.8) lim

n→∞

Γ S^Φ₁ϕ(x) −ϕ(x), . . . , S^Φ₂nϕ(x) −ϕ(x) Y =0 . A k¨ovetkez˝o egyszer˝u el´egs´eges felt´etelt adtuk erre [FriSch95]-ben:

ha az Y norma olyan tulajdons´ag´u, hogy

(4.9) lim

n→∞ max

1≤k≤2ⁿkχ_[(k−1)2⁻ⁿ_,k2⁻ⁿ₎k_Y =0 (n∈N),

akkor a Φ-polinomokra fenn´all a (4.8)-beli er˝osY-szumm´alhat´os´ag.

Megjegyezz¨uk, hogy p´eld´aul az Orlicz-norm´akra ez a felt´etel teljes¨ul.

Ezek ut´an a 4.1. T´etelt felhaszn´alva igazolhat´o az al´abbi ekvivalencia.

4.2. T´etel ([FriSch98]). Legyen x∈[0, 1).Ekkor a Φ rendszerre vonat-koz´o al´abbi k´et tulajdons´ag ekvivalens.

i) Φ er˝os Y-szumm´abilis x-ben.

4.2 Er˝os szumm´aci´o 99

A (4.10)-beli egyenl˝otlens´eget a Φ rendszerre vonatkoz´o x pontbeli Sidon-t´ıpus´u egyenl˝otlens´egnek fogjuk nevezni. Ez term´eszetes ´altal´anos´ıt´asa a 2.

fejezetben a trigonometrikus ´es a Walsh-rendszerre bevezetett fogalomnak, de k¨ul¨onb¨ozik a 3.5. pontban tal´alhat´o ´altal´anos´ıt´ast´ol. Az ottani Sidon-t´ıpus´u egyenl˝otlens´egekben a D^Φ_n = P_n−1

k=0ϕ_k f¨uggv´eny szerepelt, m´ıg itt a D^Φ_n(x, t) = P_n−1

k=0ϕ_k(x)ϕ_k(t) Dirichlet-magok. Ennek az az oka, hogy a k¨ozvetlen alkalmaz´ask´ent ad´od´o integr´alhat´os´agi felt´etelek konstrukci´oja kapcs´an az el˝obbi ¨osszegek l´epnek fel. A dolgozatban f˝o szerepet j´atsz´o trigo-nometrikus ´es Walsh-esetben a rendszer tagjainak ´ugynevezettt karaktertu-lajdons´aga miatt a Sidon-t´ıpus´u egyenl˝otlens´egek k´et v´altozata k¨oz¨ott nincs k¨ul¨onbs´eg.

A t´etelbeli eredm´eny elemz´ese el˝ott k´et megjegyz´est szeretn´enk tenni.

4.1. Megjegyz´es.

i) (4.10)-ben a C konstans nem f¨ugg n-t˝ol.

ii) Ha m´eg az is igaz, hogy a (4.10) egyenl˝otlens´eg ugyanazzal a C kons-tanssal minden x∈[0, 1)-re teljes¨ul, akkor a Φ rendszer egyenletesen er˝osY-szumm´abilis, azaz

nlim→∞ sup

0≤x<1

Γ S^Φ₁f(x) −f(x), . . . , S^Φ₂nf(x) −f(x)

Y =0 (f∈ C^Φ). Az eddigiekben ezeket a Sidon-t´ıpus´u egyenl˝otlens´egeket integr´alhat´os´agi ´es L¹-konvergencia felt´etelek konstrul´as´ara haszn´altuk fel. A 4.2. T´etel sze-rint egy Φ rendszer er˝os szumm´aci´os tulajdons´agai ´es a r´a ´erv´enyes Sidon-t´ıpus´u egyenl˝otlens´egek k¨oz¨ott ekvivalencia ´allap´ıthat´o meg. Tekints¨uk p´eldak´eppen az X=L^p_[0,1) (1≤p < ∞) esetet.

4.3. P´elda. Legyen 1 ≤ p < ∞ ´es 1/p + 1/q = 1. Ekkor a 4.2.

T´etel alapj´an a Φ rendszer akkor ´es csak akkor egyenletesen er˝os L^p_[0,1) -szumm´abilis, azaz

100 Er˝os szumm´aci´o, er˝os approxim´aci´o

A trigonometrikus rendszer eset´en a (4.11) er˝os szumm´aci´os eredm´eny Hardy ´es Littlewood [HarLit13] nev´ehez f˝uz˝odik, m´ıg a 4.12 Sidon-t´ıpus´u egyenl˝otlens´eget Fomin [Fom78] ´es a Bojanic, Stanojevi´c p´aros [BojSta82]

egym´ast´ol f¨uggetlen¨ul igazolt´ak. A 4.2. T´etel azt mutatja, hogy ezek az eredm´enyek egym´as du´alisai.

A fenti p´elda ut´an tekints¨uk most azt a k¨ul¨on ´erdekl˝od´esre sz´amot tart´o esetet, amikor az X Banach-t´er a H[0,1) diadikus ´es a H_[0,1) nemperiodikus Hardy-terek valamelyike. A 3.5. pontban m´ar eml´ıtett¨uk Schipp Ferencnek [Sch92] azon eredm´eny´et, hogy a (2.43) Sidon-t´ıpus´u egyenl˝otlens´eg egy adott Φ rendszer eset´en pontosan akkor ´all fenn a H_[0,1)-norm´ara, ha a rendszerre teljes¨ulnek a (2.41)-ben ´es (2.42)-ben megfogalmazott F- ´es S-tulajdons´agok, illetve ut´obbinak a diadikus v´altozata. A2. fejezetbeneml´ıtett¨uk, hogy t¨obb ismert rendszerre teljes¨ulnek ezek a tulajdons´agok. A Φ rendszer szerinti D_n Dirichlet-f´ele magf¨uggv´enyekre aktualiz´alva az ottani eredm´enyeket azt mondjuk, hogy a Φ rendszer teljes´ıti az F tulajdons´agot az x pontban, ha

(4.13) 1

2ⁿ Z1

0

2ⁿ

X

k=1

D^Φ_k(x, t)

dt ≤C (n∈N).

Tov´abb´a azt mondjuk, hogy a Φ rendszerre teljes¨ul az S-tulajdons´ag az x pontban, ha

(4.14) 1

2ⁿ Z1

0

2ⁿ

X

k=1

c_kD^Φ_k+`(x, t)

dt ≤C max

0≤k<2ⁿ|c_k| (n, `∈N) minden `∈N eset´en, felt´eve, hogy P2ⁿ

k=1c_k=0.Diadikus S-tulajdons´agr´ol besz´el¨unk, ha a (4.14) egyenl˝otlens´eg teljes¨ul´es´et csak `=j2ⁿ (j∈N) t´ıpus´u indexekre k¨ovetelj¨uk meg.

A Hardy-terekkel kapcsolatban vett¨uk az ´altaluk gener´alt ´atrendez´esre in-vari´ans teret, ami a 2.1. K¨ovetkezm´enyben megfogalmazottak szerint a (2.13)-ban defini´alt

M(x) =

1/2|x|², 0≤|x|< 1;

1/2 +|x|log⁺|x|, |x|≥1

Young-f¨uggv´enynek megfelel˝o Orlicz-t´er. Ha teh´at a Φ rendszerre teljes¨ul az F- ´es az S-tulajdons´ag az x pontban, akkor ´erv´enyes r´a a (4.10) Sidon-t´ıpus´u egyenl˝otlens´eg az X=LM v´alaszt´assal. Az LM-norma kisz´am´ıt´as´ara vonatkoz´o formul´at a 2.4. T´etelben adtuk meg. Az er˝os szumm´aci´oval kap-csolatosan nyilv´anval´oan az L_M t´er du´alis´ara van sz¨uks´eg. Ehhez az M f¨uggv´eny Young-´ertelemben vett du´alis´at kell tekinteni

(4.15) N(x) =expx−1 (x ≥0).

Ismeretes, hogy (ld. pl. [KraRut61] vagy [RaoRen91]) L_M du´alisa az N Young-f¨uggv´eny ´altal gener´alt Orlicz-t´er. Amint azt a defin´ıci´ot k¨ovet˝oen

4.2 Er˝os szumm´aci´o 101

megjegyezt¨uk, az Orlicz-norm´akra teljes¨ul a (4.9) tulajdons´ag, ´es emiatt a (4.8) felt´etel is. A fentiekb˝ol a 4.2. T´etel alkalmaz´as´aval azt kapjuk, hogy ha egy Φ rendszerre teljes¨ul az F- ´es a diadikus S-tulajdons´ag, akkor

nlim→∞

Γ S^Φ₁f(x) −f(x), . . . , S^Φ₂nf(x) −f(x)

LN =0 (f∈ C^Φ). A Young-f¨uggv´enyek k¨or´eben bevezethetj¨uk a ≺ parci´alis rendez´est a k¨ ovet-kez˝ok´eppen. K´et Young-f¨uggv´eny, M₁, M₂ eset´en M₁ ≺M₂, ha van olyan k > 0 konstans ´es x₀ > 0 k¨usz¨obsz´am, hogy M₁(x) ≤ M₂(kx) minden x > x₀ helyen. Az M₁, M₂ Young-f¨uggv´enyeket ¨osszehasonl´ıthat´oknak ne-vezz¨uk, ha M₁ ≺ M₂ vagy M₂ ≺ M₁. Ezek ut´an azt mondjuk, hogy M₁

´

es M₂ ekvivalens Young-f¨uggv´enyek, ha M₁ ≺ M₂ ´es M₂ ≺M₁. K¨onnyen bel´athatjuk, hogy ´ıgy egy ekvivalencia rel´aci´ot kapunk a Young-f¨uggv´enyek k¨or´eben. Az Orlicz-terek elm´elet´eb˝ol (ld. pl. [KraRut61], [RaoRen91]) is-meretes, hogy ekvivalens Young-f¨uggv´enyek azonos Orlicz-teret ´es ekvivalens norm´akat gener´alnak. Speci´alisan, az N(x) = expx −1 Young-f¨uggv´enyt v´eve, a vele ekvivalens Young-f¨uggv´enyek N_A(x) = expAx−1 (A > 0) alakban ´allnak el˝o.

A fentiek alapj´an a k¨ovetkez˝o eredm´eny a4.1. T´etelb˝ol az X=L_M, Y =L_N Orlicz-t´er v´alaszt´assal vezethet˝o le.

4.4. T´etel ([FriSch98]). Legyen x ∈ [0, 1) ´es tegy¨uk fel, hogy a Φ rendszerre teljes¨ul az F- ´es a diadikus S-tulajdons´ag az x pontban. Ekkor tetsz˝oleges A > 0 ´es f∈ C^Φ eset´en

nlim→∞

1 n

Xn k=1

exp(A|S^Φ_kf(x) −f(x)|) −1=0 .

Ez az eredm´eny a trigonometrikus rendszerre m´ar kor´abban is ismert volt, Totik Vilmos[Tot80] igazolta 1980-ban. A fenti t´etelben visszavezett¨uk az ex-ponenci´alis er˝os szumm´alhat´os´agot k´et egyszer˝u tulajdons´agra, ´es ez´altal egy olyan egys´eges bizony´ıt´asi m´odot siker¨ult adnunk, amelyik sz´amos rendszer eset´en alkalmazhat´o. Szeretn´enk felh´ıvni arra a figyelmet, hogy k¨ul¨onb¨oz˝o A > 0 konstansok eset´en az expAx f¨uggv´enyek nem azonos nagys´agrend˝uek.

K¨ovetkez´esk´eppen nem mag´at´ol ´ertet˝od˝o, hogy ha a konvergencia teljes¨ul p´eld´aul A=1 v´alaszt´assal, akkor ebb˝ol k¨ovetkezik 1-n´el nagyobb A-kra is.

Az ´altalunk adott megk¨ozel´ıt´esb˝ol ez term´eszetes m´odon ad´odi abb´ol, hogy az expAx−1 f¨uggv´enyek p´aronk´ent ekvivalens Young-f¨uggv´enyek, ´es ez´ert ekvivalens norm´akat gener´alnak.

A 4.4. T´etel bizony´ıt´asa. Tegy¨uk fel, hogy a Φ rendszerre teljes¨ul azF- ´es a diadikus S-tulajdons´ag valamely x ∈[0, 1) pontban. Ekkor Φ-re fenn´all az eredeti (2.44) egyenl˝otlens´eg megfelel˝oje

(4.16) 1

2ⁿ Z₁

0

2ⁿ

X

k=1

c_kD^Φ_k(x, t)

dt≤ kΓ(c₁, . . . , c₂ⁿ)k_H[0,1)

102 Er˝os szumm´aci´o, er˝os approxim´aci´o

(ck ∈R, k, n∈N).

Legyen M olyan Young-f¨uggv´eny amelyre el´en nagy x eset´en M(x) = xlogx (ld. (2.13)), ´es tekints¨uk az ´altala gener´alt L_M Orlicz-teret. Ismeretes (ld. pl. [SchWadSim90]), hogy

kΓ(c₁, . . . , c₂ⁿ)k_H[0,1) ≤CkΓ(c₁, . . . , c₂ⁿ)k_LM (c_k∈R, k, n∈N), ez´ert (4.16)-ban H[0,1)-norma helyett ´ırhatjuk az L_M-norm´at. Vegy¨uk az L_M du´alis ter´et LN-et, ahol N(x) = expx−1 (x ≥ 0) (ld. (4.15)). Mivel az Orlicz-norm´akra teljes¨ul a (4.9) felt´etel, ´ıgy ezekre a norm´akra teljes¨ul a (4.8) tulajdons´ag is. Ekkor a 4.2. T´etelb˝ol k¨ovetkezik, hogy a Φ rendszer x-ben er˝os LN-szumm´abilis, azaz

(4.17) lim

n→∞

Γ S^Φ₁f(x) −f(x), . . . , S^Φ₂nf(x) −f(x)

LN =0 (f∈ C^Φ). A t´etel kimond´asa el˝ott ismertetett ekvivalens Young-f¨uggv´enyek fogalm´at alkalmazva azt kapjuk, hogy (4.17) fenn´all minden N(x) = exp(Ax) − 1 (A > 0) alak´u Young-f¨uggv´enyre is. Mivel az Orlicz-norm´aban val´o konver-genci´ab´ol k¨ovetkezik az ”´atlagban val´o konvergencia” ([KraRut61]), azaz

nlim→∞kf_n−fk_LN =0 =⇒ lim

n→∞

Z₁

0

N(|f_n(t) −f(t)|)dt =0 , ez´ert

nlim→∞

1 2ⁿ

2ⁿ

X

k=1

exp(A|S^Φ_kf(x) −f(x)|) −1=0

minden A > 0 ´es f∈ C^Φ eset´en.

A tov´abbiakban a 4.1., 4.2. T´etelek ford´ıtott ir´any´u alkalmaz´as´ara muta-tunk p´eld´at, ´es egyben azt is igazoljuk, hogy a 4.4. T´etelben megfogalma-zott eredm´eny a trigonometrikus ´es a Walsh-rendszer eset´en ´eles. Ebben a 2.3., 2.10., 2.12. T´etelekben igazolt ford´ıtott Sidon-t´ıpus´u egyenl˝otlens´egek lesznek seg´ıts´eg¨unkre. Nevezetesen, ezeknek ´es a kor´abbi Sidon-t´ıpus´u egyenl˝otlens´egeknek a kombin´aci´oj´ab´ol ad´odott a 2.1. K¨ovetkezm´enyben megfogalmazott (2.16)-beli ekvivalencia a trigonometrikus rendszerre. Meg-mutattuk, hogy hasonl´o eredm´eny, azaz az ´atrendez´esre invari´ans Sidon-norma ´es az L_M-norma ekvivalenci´aja a Walsh–Paley- ´es a Walsh–Kaczmarz-rendszer eset´en is igaz. Ennek ´es a dualit´asi kapcsolatnak a felhaszn´al´as´aval azt v´arhatjuk, hogy k¨ovetkeztetni tudunk az er˝os szumm´aci´o tekintet´eben is a lehet˝o legjobb eredm´enyre.

4.5. T´etel ([FriSch98], [Fri13a]). Jel¨olje Φ a trigonometrikus, a Walsh–Paley-, a Walsh–Kaczmarz-rendszerek valamelyik´et. Legyen ψ olyan, a [0,∞) intervallumon ´ertelmezett monoton n¨oveked˝o f¨uggv´eny, amelyre lim_u→0⁺ψ(u) =0. A ψ ´altal gener´alt

(4.18) lim

n→∞

1 n

Xn k=1

ψ

S^Φ_kf(x) −f(x)

=0 (f∈ C^Φ, 0≤x < 1)

4.2 Er˝os szumm´aci´o 103

er˝os szumm´aci´os tulajdons´ag akkor ´es csak akkor ´all fenn, ha van olyan A >

0 sz´am, amelyre ψ(t)≤exp(At) (0≤t <∞).

Ebben az esetben a konvergencia egyenletes x-ben.

A trigonometrikus rendszerre ezt az eredm´enyt Totik Vilmos [Tot80] bi-zony´ıtotta azzal a kieg´esz´ıt˝o felt´etellel, hogy a ψ f¨uggv´eny folytonos. A 4.4., 4.5. T´etelek k´etdimenzi´os megfelel˝oj´et Gogogladze [Gog09], valamint Goginava ´es Gogoladze [GogGog12] igazolt´ak a trigonometrikus, illetve a Walsh-rendszerre.

A 4.5. T´etel bizony´ıt´asa. Legyen ψ olyan monoton n¨oveked˝o f¨uggv´eny, amelyre teljes¨ul a (4.18) felt´etel, ´es amelyre limu→0⁺ψ(u) = 0. Azt kell megmutatnunk, hogy ekkor alkalmas A > 0 konstanssal ψ(u) < exp(Au) (u≥0). A m´asik ir´any´u ´all´ıt´as a 4.4. T´etel egyenes k¨ovetkezm´enye.

El˝osz¨or tegy¨uk m´eg azt is fel, hogy ψ folytonos ´es konvex, m´as sz´oval hogy ψ Young-f¨uggv´eny. Ekkor az Orlicz-terek elm´elet´eben szok´asos sz´ohaszn´alattal a (4.18) felt´etel azt jelenti, hogy Γ S^Φ₁f(x)−f(x), . . . , S^Φ₂nf(x)−f(x)

´

atlagban 0-hoz tart, ha n→ ∞. Ismeretes, hogy az ´atlagban val´o konvergenci´ab´ol az adott norm´aban val´o konvergencia ´altal´aban nem k¨ovetkezik, a korl´atoss´ag azonban igen, azaz

sup

n∈N

Γ S^Φ₁f(x), . . . , S^Φ₂nf(x)

Lψ <∞ (f∈ C^Φ). A Banach–Steinhaus-t´etel szerint teh´at a

C^Φ 3f−→Γ S^Φ₁f(x), . . . , S^Φ₂nf(x)

∈L_ψ (n∈N) oper´atorok sorozata egyenletesen korl´atos. K¨ovetkez´esk´epppen

Γ S^Φ₁f(x), . . . , S^Φ₂nf(x)

Lψ ≤Ckfk_∞ (f∈ C^Φ, n∈N).

Ha $ jel¨oli a ψ konjug´alt Young-f¨uggv´eny´et, akkor a 4.2. T´etel alapj´an fenn´all az al´abbi Sidon-t´ıpus´u egyenl˝otlens´eg

1 2ⁿ

Z₁

0

2ⁿ

X

k=1

c_kD^Φ_k(x, t)

dt≤CkΓ(c₁, . . . , c₂ⁿ)k_L$ (c_k∈R, n∈N). Megjegyezz¨uk, hogy eset¨unkbenD^T_k(x, t) =D^T(x+t), D^W_k (x, t) =D^W(xut)

´

es D^K_k(x, t) = D^K(x ut) (x, t ∈ [0, 1)). Tekints¨uk a (2.12), (2.15) k¨ ovet-kezm´enyek´ent ad´od´o (2.16) egyenl˝otlens´eget

maxp∈Pn

1 2ⁿ

Z₁

0

2ⁿ

X

k=1

c_pkD^Φ_k(x, t)

dt≥CkΓ(c₁, . . . , c₂ⁿ)k_LM (c_k ∈R, n∈N), ahol nagy u eset´en M(u) l´enyeg´eben ulogu (ld. (2.13)), P_n pedig az {1, . . . , 2ⁿ} (n ∈ N) halmaz permut´aci´oinak a halmaza. Mivel az Orlicz-norma ´atrendez´esre invari´ans, ez´ert innen

(4.19) khk_LM ≤Ckhk_L$

104 Er˝os szumm´aci´o, er˝os approxim´aci´o

ad´odik minden h diadikus l´epcs˝osf¨uggv´enyre. Az M f¨uggv´eny eleget tesz az ´ugynevezett ∆∆∆₂ felt´etelnek, azaz van olyan C > 0, hogy el´eg nagy x-re M(2x) ≤ CM(x). Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy a diadikus l´epcs˝osf¨uggv´enyek halmaza s˝ur˝u LM-ben. ´Igy teh´at (4.19) minden f∈LM f¨uggv´enyre fenn´all, amib˝ol a du´alis norm´akra az

kfk_Lψ ≤Ckfk_LN (f∈L_ψ)

ford´ıtott egyenl˝otlens´eg ad´odik, ahol el´eg nagy u eset´en N(u) l´enyeg´eben expu−1 (ld. (4.15)). Ismeretes, hogy ez csak ´ugy lehets´eges, ha ψN (ld.

pl. [KraRut61]). Eset¨unkben ez azt jelenti, hogy van olyan A > 0 sz´am, hogy

ψ(u)<exp(Au) (u≥0).

Ezzel a t´etelt bebizony´ıtottuk arra az esetre, amikor ψ Young-f¨uggv´eny.

A bizony´ıt´as h´atral´ev˝o r´esz´eben tegy¨uk fel, hogy ψ olyan monoton n¨oveked˝o f¨uggv´eny, amelyre lim_u→0⁺ψ(u) = 0, de amire b´armely A > 0 eset´en van olyan s > 0, hogy ψ(s)>exp(As). A √

ψ f¨uggv´eny ϑ(u) =

Zu 0

pψ(t)dt (u≥0)

integr´alf¨uggv´enye Young-f¨uggv´eny lesz, amire a defin´ıci´ob´ol ad´od´oan tel-jes¨ulnek az al´abbi egyenl˝otlens´egek

(4.20) ϑ(u)≤up

ψ(u), ϑ(u)≥ u 2

r ψu

2

(u≥0).

Haszn´aljuk ki, hogy tetsz˝oleges A > 0 eset´en van olyan s > 0,hogy ψ(s)>

exp(As).Feltehetj¨uk, hogy s > 2.Ekkor a (4.20)-beli m´asodik egyenl˝otlens´eg miatt ϑ(2s) > exp((A/2)s). A ϑ f¨uggv´enyre teh´at nem ´all fenn a (4.18) teljes¨ul´es´ehez a Young-f¨uggv´enyek eset´ere m´ar igazolt sz¨uks´eges felt´etel. ´Igy van olyan f∈ C^Φ, amelyre

(4.21) lim sup

n→∞

1 2ⁿ

2ⁿ

X

k=1

ϑ(|S^Φ_kf(x) −f(x)|)> 0 .

A Cauchy-egyenl˝otlens´egb˝ol ´es a (4.20)-beli els˝o egyenl˝otlens´egb˝ol k¨ ovetke-zik, hogy

1 2ⁿ

2ⁿ

X

k=1

ϑ(|S^Φ_kf(x) −f(x)|)≤ 1 2ⁿ

2ⁿ

X

k=1

|S^Φ_kf(x) −f(x)|²1/2

×1 2ⁿ

2ⁿ

X

k=1

ψ(|S^Φ_kf(x) −f(x)|)1/2

.

Mivel mind a trigonometrikus, mind pedig a Walsh–Paley-, illetve Walsh–

Kaczmarz-rendszerre teljes¨ul az egyenletes er˝os Y-szummabilit´as, ha Y =

In document Trigonometrikus ´es Walsh-sorokkal kapcsolatos vizsg´alatok MTA doktori ´ertekez´es Fridli S´andor 2014. (Pldal 104-111)