L 1 -konvergencia oszt´ alyok
4.3. Er˝ os approxim´ aci´ o
L2[0,1), ez´ert a jobb oldali els˝o t´enyez˝o n → ∞ eset´en 0-hoz tart. (4.21)-et figyelembe v´eve ebb˝ol
lim sup
n→∞
1 2n
2n
X
k=1
ψ(|SΦkf(x) −f(x)|) =∞
k¨ovetkezik. Ezzel a bizony´ıt´ast befejezt¨uk.
Megjegyezz¨uk, hogy a 4.2. T´etelben megfogalmazott ekvivalenci´at ebben a pontban v´egig csak az egyik ir´anyban haszn´altuk, azaz er˝os szumm´aci´os eredm´enyeket igazoltunk Sidon-t´ıpus´u egyenl˝otlens´egekb˝ol kiindulva. A ford´ıtott ir´anyra Kuznetsova a [Kuz12] cikkben, illetve a Motornij, Bab-enko, Dovgosej ´es Kuznetsova a [MoBaDoKu11] monogr´afi´aban tal´alhat´o p´elda t¨obbdimenzi´os trigonometrikus sorokkal kapcsolatos vizsg´alatokban.
4.3. Er˝ os approxim´ aci´ o
A k¨ovetkez˝okben Fourier-sorok er˝os approxim´aci´os tulajdons´agaival foglalko-zunk. Az el˝oz˝o ponthoz hasonl´oan itt is l´enyeges szerepet j´atszik egy dualit´asi rel´aci´o. Ebben az esetben ez a rendszer er˝os approxim´aci´os tulajdons´againak
´
es az eltolt index˝u Sidon-t´ıpus´u egyenl˝otlens´egeknek az ekvivalenci´aj´at fejezi ki.
A Φ rendszerre ´es az X, Y terekre ugyanazok a felt´etelek vonatkoznak, mint az el˝oz˝o pontban. Vizsg´alataink k¨oz´eppontj´aban a Fourier-r´eszlet¨ ossze-gek er˝os Y-oszcill´aci´oj´anak a konvergencia sebess´ege ´all, mert ebb˝ol sz´amos ismert eredm´eny, k¨ozt¨uk az er˝os de la Vall´ee Poussin-k¨ozepek konvergencia tulajdons´agai m´ar k¨ovetkezik. Az ´altal´anos´ıtott de la Vall´ee Poussin-k¨ozepet adott indexintervallumra vonatkoz´oan a Fourier-r´eszlet¨osszegek ´atlagak´ent defini´aljuk:
Vr,nΦ f= 1 r
Xr k=1
SΦk+nf (r, n∈N, f∈ CΦ).
Ennek a seg´ıts´eg´evel vezethetj¨uk be az f ∈ CΦ f¨uggv´eny Fourier-sor´anak
´
altal´anos´ıtott er˝os Y-oszcill´aci´oj´at:
Γ SΦ1+nf(x) −Vr,nΦ f(x), . . . , SΦr+nf(x) −Vr,nΦ f(x)
Y (r, n∈N, 0≤x < 1). Az Y =Lp (1≤p <∞) esetet p´eldak´ent v´eve az
1 r
Xr k=1
SΦk+nf(x) −Vr,nΦ f(x)
p1/p
¨
osszeget kapjuk.
Az er˝os approxim´aci´os tulajdons´agokat t¨obbnyire a Φ-polinomokkal val´o leg-jobb k¨ozel´ıthet˝os´eget m´er˝o EΦn mennyis´eggel fejezz¨uk ki. Ezt az
EΦnf= inf
p∈PnΦkf−pk∞ (f∈ CΦ, n∈P)
106 Er˝os szumm´aci´o, er˝os approxim´aci´o
inf´ımummal ´ertelmezz¨uk.
Az al´abbi t´etel az eml´ıtett dualit´asi kapcsolatot fejezi ki az er˝os oszcill´aci´o
´es az eltolt index˝u Sidon-t´ıpus´u egyenl˝otlens´egek k¨oz¨ott.
4.6. T´etel ([FriSch98]). Legyen 0 ≤ x < 1 . Az al´abbi k´et tulajdons´ag ekvivalens:
i) van olyan C konstans, hogy tetsz˝oleges j, n ∈ N indexek ´es ck ∈ R (k=1, . . . , 2n) egy¨utthat´ok eset´en
1 2n
Z1
0
2n
X
k=1
ckDΦk+j2n(x, t)
dt ≤CkΓ(c1, . . . , c2n)kX, felt´eve, hogy P2n
k=1ck=0;
ii) van olyan C konstans, hogy tetsz˝oleges j, n ∈ N indexek ´es f ∈ CΦ f¨uggv´eny eset´en
Γ SΦj2n+1f(x) −V2Φn,j2nf(x), . . . , SΦ(j+1)2nf(x) −V2Φn,j2nf(x)
Y ≤CEΦj2nf . (A t´etel ´erv´enyben marad akkor is, ha mind i)-ben, mind pedig ii)-ben j2n-et tetsz˝oleges ` term´eszetes sz´ammal helyettes´ıtj¨uk.)
A 4.6. T´etelt felhaszn´alhatjuk a
Γ SΦj2n+1f(x) −f(x), . . . , SΦ(j+1)2nf(x) −f(x)
Y (n∈N)
er˝os Y-k¨ozepek approxim´aci´os tulajdons´againak vizsg´alat´ara is. Ehhez a t´etelbeli eredm´enyen t´ul el´eg csup´an a V2n,j2nf ´altal´anos´ıtott de la Vall´ee Poussin-k¨ozepek konvergencia sebess´eg´et ismerni. K¨onny˝u megmutatni, hogy a 4.6. T´etelhez hasonl´oan kapcsolat van |f(x) −V2n,j2nf(x)| konver-gencia sebess´ege ´es az ´altal´anos´ıtott de la Vall´ee Poussin magf¨uggv´enyek L1-norm´aj´ara vonatkoz´o becsl´esek k¨oz¨ott. Ez ut´obbi ´eppen a fenti t´etel i) pontj´ab´ol hi´anyz´o esetnek, azaz a ck = 1 (k =1, . . . , 2n) v´alaszt´ashoz tar-toz´o eltolt index˝u Sidon-t´ıpus´u egyenl˝otlens´egnek felel meg. K´et ok miatt tekintj¨uk k¨ul¨on ezt az esetet. Egyr´eszt az´ert, mert ez ¨onmag´aban is fon-tos approxim´aci´os eredm´enyeket gener´al, m´asr´eszt ´ıgy a konjug´alt trigono-metrikus sorokat is kezelni tudjuk. Az esetsz´etv´alaszt´asban term´eszetesen a Hardy-t´er atomos strukt´ur´aja is megjelenik.
A fent megfogalmazottakra adott p´eldak´ent tekints¨uk az 4.6. T´etel al´abbi k¨ovetkezm´eny´et.
4.1. K¨ovetkezm´eny. Legyen 1≤p <∞, ´es tegy¨uk fel, hogy a Φ rend-szerre az x pontban teljes¨ul az
1 n
Z1
0
Xn k=1
ckDΦk(x, t)
dt≤C1 n
Xn k=1
|ck|q1/q
(1 q + 1
p =1, k, n∈P)
4.3 Er˝os approxim´aci´o 107
Sidon-t´ıpus´u egyenl˝otlens´eg. Ekkor az er˝os Y-k¨ozepek konvergencia se-bess´eg´ere ´erv´enyes az
1 n
Xn k=1
SΦk+nf(x) −f(x)
p1/p
≤CEΦnf (n∈P, f∈ CΦ) becsl´es.
Az el˝oz˝o ponthoz hasonl´oan k¨ul¨on megvizsg´aljuk azt az esetet, amikor a Φ rendszerre teljes¨ul az S-tulajdons´ag. Ez vezetett ugyanis a trigonometri-kus ´es a Walsh-sorok exponenci´alis er˝os szumm´alhat´os´ag´ahoz, ami ezekre a rendszerekre a lehet˝o legjobb eredm´enynek bizonyult. Az eredm´eny¨unk azt fejezi ki, hogy az S-tulajdons´ag megfeleltethet˝o Fourier-sorok egy olyan egyszer˝u approxim´aci´os tulajdons´ag´anak, ami sz´amos k¨ovetkezm´ennyel j´ar.
Eml´ekeztetve a Hardy- ´es a BMO-terek k¨oz¨otti dualit´asi kapcsolatra a 4.6.
T´etel felhaszn´al´as´aval az al´abbi ekvivalenci´at fogalmazhatjuk meg.
4.7. T´etel ([FriSch98]). Az al´abbi h´arom tulajdons´ag egym´assal ekviva-lens:
i) a Φ rendszerre teljes¨ul az egyenletes S-tulajdons´ag;
ii) van olyan C konstans, amelyre 1
r Xr
k=1
SΦk+`f(x) −Vr,`Φf(x)
≤CEΦ`f (0≤x < 1, `, r∈N, f ∈ CΦ) ; iii) van olyan C konstans, amelyre
Γ SΦ`+1f(x) −Vr,`Φf(x), . . . , SΦ`+rf(x) −Vr,`Φf(x) BMO
[0,1) ≤C EΦ`f (0≤x < 1, `, r∈N, f∈ CΦ).
(Az egyenletes diadikus S-tulajdons´agnak az ii) ´es iii)-beli ` =j2n (j, n∈ N) indexv´alaszt´as felel meg.)
Az ii)-beli egyenl˝otlens´eg bal oldal´an szerepl˝o kifejez´est ´altal´anos´ıtott Fej´ er-oszcill´aci´onak nevezhetj¨uk. A t´etel ii) ´es iii) r´esz´enek ekvivalenci´aja azt jelenti, hogy az ´altal´anos´ıtott Fej´er-oszcill´aci´o ii)-beli approxim´aci´os tulaj-dons´aga maga ut´an vonja azt a l´atsz´olag er˝osebb eredm´enyt, hogy a BMO oszcill´aci´ok szint´en a legjobb k¨ozel´ıt´es sebess´eg´evel konverg´alnak.
Megjegyezz¨uk, hogy a 4.7. T´etelb˝ol sz´amos, a Fourier-sorok er˝os app-roxim´aci´oj´ara vonatkoz´o olyan eredm´eny ad´odik k¨ovetkezm´enyk´ent, ame-lyek t¨obbs´ege a trigonometrikus rendszer eset´en ismert ´es klasszikusnak sz´am´ıt. Az al´abbiakban n´eh´any ilyen p´eld´at mutatunk. Ezekben fel-haszn´aljuk a BMO-norm´ak ´es az Orlicz-norm´ak kapcsolat´ara vonatkoz´o kor´abbi meg´allap´ıt´asainkat.
108 Er˝os szumm´aci´o, er˝os approxim´aci´o
4.2. K¨ovetkezm´eny. Tegy¨uk fel, hogy a Φ rendszerre ´erv´enyes az egyen-letes S-tulajdons´ag. Ekkor az al´abbi egyenl˝otlens´egek x-ben egyenletesen teljes¨ulnek:
i) tetsz˝oleges 1≤p < ∞ eset´en 1
r Xr
k=1
SΦk+`f(x) −Vr,`Φf(x)
p1/p
≤CEΦ` f (0≤x < 1, r, `∈N, f∈ CΦ);
ii) legyen ϕ : [0,∞) 7→ R olyan monoton n¨oveked˝o f¨uggv´eny, amelyre limu→0+ϕ(u) =0,´es amelyre alkalmas A sz´ammal ϕ(u)≤exp(Au) (u≥0) teljes¨ul. Ekkor
1 r
Xr k=1
ϕ
SΦk+`f(x) −Vr,`Φf(x)
≤CEΦ` f
(0≤x < 1, r, `∈N, f∈ CΦ, kfk∞≤1).
(DiadikusS-tulajdons´ag eset´en a fenti becsl´esek ´erv´enyben maradnak az `= j2n ´es r=2n (j, n∈N) indexek v´alaszt´asa mellett.)
Az 2. fejezetben t¨obb p´eld´at is eml´ıtett¨unk olyan ortonorm´alt rend-szererre, amelyre teljes¨ul az S-tulajdons´ag, ´es ´ıgy a fenti t´etelben, va-lamint a k¨ovetkezm´eny´eben megfogalmazott approxim´aci´os tulajdons´agok is. Egy m´as jelleg˝u, a konjug´alt trigonometrikus Fourier-sorokra vo-natkoz´o p´eld´at is szeretn´enk bemutatni. Ez kapcsol´odik Schipp Ferenc-nek [Sch92] azon eredm´eny´ehez, miszerint a konjug´alt trigonometrikus Dirichlet-magf¨uggv´enyekre is teljes¨ul az S-tulajdons´agot defini´al´o (4.14) egyenl˝otlens´eg. Ebb˝ol ad´od´oan minden olyan approxim´aci´os tulajdons´ag, ami az S-tulajdons´ag k¨ovetkezm´enye, a trigonometrikus Fourier-sorok mellett egyar´ant ´erv´enyes a konjug´alt trigonometrikus Fourier-sorokra is.
Speci´alisan mind a 4.6. T´etel, mind pedig a 4.2. K¨ovetkezm´eny ´all´ıt´asai fenn´alnak a konjug´alt trigonometrikus esetre is. Megjegyezz¨uk, hogy az F-tulajdons´ag nem teljes¨ul a konjug´alt magokra. Vizsg´alatainkban ez okozza a trigonometrikus Fourier-sorok ´es a konjug´alt Fourier-sorok approxim´aci´os viselked´ese k¨oz¨otti k¨ul¨onbs´eget.
4.8. P´elda. K¨ul¨onb¨oztess¨uk meg a konjug´alt trigonometrikus fogalmak jel¨ol´es´et az eredeti fogalmak´et´ol egy fel¨ul´ırt ”∼” jellel. Legyen f ∈ C[0,1), amelyre kfk∞≤1. Ekkor minden A > 0 eset´en van olyan C > 0, hogy
1 n
Xn k=1
exp(A|fSTk+nf(x) −VfTnf(x)|) −1≤C Enf (0≤x < 1, n∈P).
4.3 Er˝os approxim´aci´o 109
Speci´alisan, ha f Lipschitz-tulajdons´ag´u valamilyen 0 < α < 1 kitev˝ovel, akkor minden 1≤p <∞ eset´en l´etezik olyan C > 0, hogy
1 n
Xn
k=1
fSTkf(x) −ef(x)
p1/p
≤Cn−α (0≤x < 1, n∈P, f∈C[0, 1)). Hasonl´oan, minden A > 0 eset´en megadhat´o olyan C > 0, hogy
1 n
Xn k=1
exp(A|fSTkf(x) −f(x)e |) −1≤Cn−α (0≤x < 1, n∈P, kfk∞≤1).
Tekints¨uk most azt az esetet, amikor a Φ rendszerre az egyenletes F-tulajdons´ag is teljes¨ul. Ekkor a Φ-Fourier-sor de la Vall´ee Poussin-k¨ oze-pei konverg´alnak az adott f¨uggv´enyhez. Ezt figyelembe v´eve az er˝os de la Vall´ee Poussin-k¨ozepek konvergencia sebess´eg´ere vonatkoz´o becsl´est kapha-tunk a 4.6. T´etel ´es a 4.2. K¨ovetkezm´eny alkalmaz´as´aval ´ugy, hogy az r
´
es ` indexeket azonosaknak v´alasztjuk. Az al´abiakban egy olyan eredm´enyt mutatunk be, ami az er˝os de la Vall´ee Poussin-k¨ozepekre vonatkoz´o becsl´est speci´alis esetk´ent tartalmazza, ´es ami az F- ´es az S-tulajdons´agokb´ol ve-zethet˝o le. A trigonometrikus esetre az eredm´eny m´ar ismert volt, az itteni t´argyal´ast´ol elt´er˝o m´odonTotik Vilmos [Tot80] igazolta.
4.9. T´etel ([FriSch98]). Tegy¨uk fel, hogy a Φ rendszerre teljes¨ulnek az egyenletes F- ´es diadikus S-tulajdons´agok. Ekkor van olyan C > 0 kons-tans, amelyre
i) minden 1≤p <∞ eset´en 1
r Xr
j=1
SΦkjf(x) −f(x)
p1/p
≤C
log2n r
EΦk1f (0≤x < 1, r, n∈P, f∈ CΦ, 0 < k1<· · ·< kr ≤n);
ii) ha az N Young-f¨uggv´enyre el´eg nagy u eset´en N(u) = expu−1, akkor
Γ SΦk
jf(x) −f(x), . . . , SΦk
jf(x) −f(x) L
N ≤C
log 2n r
EΦk
1f (0≤x < 1, r, n∈P, f∈ CΦ, kfk∞≤1, 0 < k1 <· · ·< kr ≤n).
V´egezet¨ul megeml´ıtj¨uk ennek a t´etelnek egy, az er˝os de la Vall´ee-k¨ozepekre vonatkoz´o k¨ovetkezm´eny´et.
4.3. K¨ovetkezm´eny. Tegy¨uk fel, hogy a Φ rendszerre ´erv´enyes az egyen-letes S-tulajdons´ag. Legyen ϕ : [0,∞) 7→ R olyan monoton n¨oveked˝o f¨uggv´eny, amelyre limu→0+ϕ(u) =0,´es amelyre van olyan A hogy
ϕ(u)≤exp(Au) (u≥0),
110 Er˝os szumm´aci´o, er˝os approxim´aci´o
valamint
ϕ(2u)≤Aϕ(u) (0 < u < 1). Ekkor
1 n
X2n k=n+1
ϕ
SΦkf(x) −f(x)
)≤Cϕ(EΦnf) (0≤x < 1, n∈P, f ∈ CΦ). Ezt az eredm´enyt a fenti t´etel ii) r´esz´eb˝ol kiindulva a trigonometrikus esetre vonatkoz´o, Totik Vilmos [Tot85] ´altal adott bizony´ıt´as adapt´al´as´aval igazol-hatjuk.