Web: uni-miskolc.hu/~elkmkd/e-mail: elkmkd@uni-miskolc.hu FEI , A3 épület, II. emelet, 8. ajtó Matusz- Kalász DávidPhD hallgató, tanársegédSzemélyesen: Elektrotechnika

Elektrotechnika

Matusz-Kalász Dávid PhD hallgató, tanársegéd

Személyesen: FEI, A3 épület, II. emelet, 8. ajtó Web: uni-miskolc.hu/~elkmkd/

e-mail: elkmkd@uni-miskolc.hu

A tárgy lezárásának módja/1

Az aláírás megszerzésének feltétele:

Részvétel az órák legalább 50%-án (minimum 2 alkalom) és a félév során megírandó 2 db zárthelyi dolgozat megírása.

Mindegyik zárthelyi 50 pontos (60 perc), a félév során tehát 100 pont szerezhető. Az elégséges szint 50% (2x25=50 pont).

Egy elégtelen pótzárthelyi (0 – 24 pont) esetén a tanszék az aláírást pótolhatóan tagadja meg.

Évközi teljesítmény értékelése:

0%-49%: elégtelen, 50%-59%: elégséges, 60%-69%: közepes, 70%-79%: jó,

80% fölött: jeles.

Az 1. Zárthelyi anyaga

• Bevezetés / Eredő ellenállás számítása

• Egyenáramú áramkörök / Számpéldák

• Váltakozó áramú áramkörök / Számpéldák

Ajánlott irodalom

• Uray–Szabó: Elektrotechnika, Tankönyvkiadó, Budapest, 1980

• Dr. Tevanné Szabó Júlia: Feladatgyűjtemény I. Egyetemi jegyzet. Tankönyvkiadó, Budapest, 1990

• Dr. Radács László: Villamosságtan I., Példák – Feladatok, Miskolci Egyetem, 2014

• Fodor György: Elméleti elektrotechnika I-II.

• Demeter Károlyné - Dén Gábor –

Szekér Károly – Varga Andrea: Villamosságtan I.

SI mértékrendszer

(Système International d’Unités)

Alapegységek: m, kg, s, A, K, cd, mol

Koherens egység: alapegységek hatványainak szorzataként kifejezhető származtatott egység

Elfogadott, nem koherens egységek: csillagászati

egység, nap, óra, perc, km/óra, szögfok, szögperc és szögmásodperc, elektronvolt, kWh, var, hektár,

neper, bel (dB), liter, tonna, bar

Önálló nevű származtatott egységek/1

Mennyiség neve Jele Egység neve,

jele Kifejezés más egységekkel frekvencia f hertz, Hz f=1/T, [s^-1]

erő F newton, N F=m^.a, [mkgs^-2]

munka, energia,

hőmennyiség W joule, J W=F^.s, [Nm]

teljesítmény P watt, W P=W/t, [J/s]

villamos töltés Q coulomb, C Q=I^.t, [As]

villamos feszültség U volt, V U=P/I, [W/A]

Önálló nevű származtatott egységek/2

Mennyiség neve Jele Egység neve,

jele Kifejezés más egységekkel

Ellenállás R ohm, Ω R=U/I, [V/A]

vezetés G siemens, S G=1/R, [A/V]

Kapacitás C farad, F C=Q/U, [As/V]

mágneses fluxus Φ weber, Wb Φ=∫u^.dt [Vs]

mágneses indukció B tesla, T B=Φ/A, [Vs/m²] induktivitás L henry, H L=NΦ/I, [Vs/A]

Prefixumok

10¹ deka da 10^-1 deci d

10² hekto h 10^-2 centi c

10³ kilo k 10^-3 milli m

10⁶ mega M 10^-6 mikro μ

10⁹ giga G 10^-9 nano n

10¹² tera T 10^-12 piko p

10¹⁵ peta P 10^-15 femto f

10¹⁸ exa E 10^-18 atto a

Villamos alapmennyiségek

Kémiailag tovább nem bontható anyag elem atom

Atom atommag neutron

proton m_p=m_n

elektronfelhő elektron Q_p=-Q_e=1,6^.10^-19 C (valencia e^-)

A töltés kvantált, az elemi töltés az elektron töltése.

Az elektromos töltésű részecskék erőhatást gyakorolnak egymásra:

- azonos nemű töltések taszítják - különneműek vonzzák egymást.

Megállapodás: protonok töltése pozitív, az elektronoké negatív.

Semleges atomnál n_p=n_e, különben ion (e^- hiány vagy többlet).

Töltés

Töltéseloszlások

• Pontszerű - elhanyagolható méretű gömb töltése (modell)

• Elektromos dipólus – két azonos nagyságú, de ellentétes előjelű töltés közel egymáshoz.

dipólusmomentum: p=Q^.ℓ [C^.m]

• Töltéssűrűségek:

• Vonalmenti: λ=dQ/dℓ

• Felületi: σ=dQ/dS

• Térfogati: ρ=dQ/dV

Coulomb törvény

  ^N

r r r

Q Q

4

F 1



= 





*10 86 , 8 36 10

1 ₁₂

o 9 = −

= 



Pontszerű töltések között fellépő erőhatás számítására Q₁ r Q₂ F

A Q₂-re ható erő:

(homogén izotróp közegben)

Permittivitás: ε = ε_o ε_r [F/m]

Vákuumra:

Relatív: ε_r > 1 (táblázatokból) (levegőnél ε ≈1)

Különböző anyagok relatív permittivitása:

Anyag



paraffin 1,9 - 2,2

csillám 4 - 8

üveg 5 - 16

porcelán 6

speciális kerámiák ~ 100

báruimtitanát ~ 1000

víz 81

etilalkohol 24

petróleum 2,1

levegő 1,000 59

Villamos térerősség

A Q₁ töltés maga körül elektromos teret létesít, amelyben egy másik töltésre (Q₂:egységnyi és pozitív) erő hat.

Q E F =

Elektromos erőtörvény:

Negatív töltés esetén az E és F iránya ellentétes.

Q E F

2

Elektromos = térerősség:

Egységnyi pozitív töltésre ható erő.

Iránya megegyezik a pozitív töltésre ható erő irányával.

Villamos eltolás

(Villamos indukció)

 

 

= m

V r

r r E Q

2 1

4 1





A térerősség függ a teret kitöltő közegtől, annak permittivitásától

A közegtől független, a töltés és a villamos tér kapcsolatára jellemző a villamos eltolás:

 

  =

m

C m

F m

V *

Q C

U * =

 C/ m 

r r r E Q

D

 

4

=

=

Az elektrosztatika Gauss-tétele

r r r 4 D Q

 2

=

A D Q = ^.

Q dA

D

A



Pontszerű töltés terében:

„r” sugarú gömbbel körülvéve, a felület minden pontján azonos nagyságú és a felületre merőleges a „D”.

A felület szorozva az eltolással a közbezárt töltést adja:

Általánosítva:

A felület, mint vektor:

Tehát a D eltolási vektor tetszőleges zárt felületre vett integrálja a felület által bezárt töltéssel azonos. Az összefüggés tetszőleges közegre érvényes! Az eltolási vektor egysége: [D]=C/m²,

A villamos tér szemléltetése

erővonalak

1. Az erővonal a

+ töltés felületéről indul és a – töltés felületén végződik

2. Az erővonal a töltés felületéről merőlegesen indul ill. lép be

Két azonos nagyságú ellentétes ill. azonos előjelű töltés erőtere

Homogén erőtér: a tér minden pontjában azonos a térjellemző

Villamos munka





 cos F d QEd d

F

dW=  = =

 J d E Q dW

B

A B

A

WAB⁼ ⁼  ^

A villamos tér munkavégzése a töltésen, amíg A-ból B-be viszi A dℓ szakaszon végzett elemi munka (skaláris szorzat):

A-tól B-ig összegezve:

W_BA = - W_AB

Feszültség, potenciál

 V d

Q E

O

A AO AO

A

U W

U ^{= = =}  ^

 E d  = 0

 

d Q E

U W

B A AB

AB= =  

Feszültség: egységnyi töltés által végzett munka

Potenciál: egységnyi töltésnek a tetszőlegesen felvett vonatkoztatási pontba juttatásához szükséges energia.

Az A pont potenciálja:

Az U_AB feszültség:

U = U - U

Mérése:

voltmérővel

Kapacitás, kondenzátor

Kétpólus, amely két, egymástól elszigetelt vezetőből (elektróda) áll.

Állandó U feszültséget rákapcsolva, az

elektródákon +Q ill. –Q töltés halmozódik fel.

Az elektromos térerősség a lemezekre

merőleges irányú, és a lemezek szélétől távol állandó nagyságú (homogén erőtér).

Q = C U

C – arányossági tényező = kapacitás, mértékegysége: [F] farad

jele: ²⁰

V F

C]= 1 As = 1

[ A felületi töltéssűrűség a

lemezen az eltolási vektor nagyságával egyezik meg.

] m / C S[ D Q

Q

DA ²

= 



=

Síkkondenzátor kapacitása

] F d [

C=  A

d A . U

d A .U

U A E . U

A . D U

C Q  = 

 =

=

=

=

Q -Q

d

A lemezek felülete: A

A C kapacitás kizárólag a kondenzátor elektródáinak és szigetelő anyagának geometriai elrendezésétől, valamint a szigetelőanyag ε_rrelatív permittivitásától függ.

UC U C

C U Q

Q _p

n 1

i i

n 1

i i

n 1

i i

p= = =  =

=

=

=



= n

1 i

p

C

C

(kapacitás növelése)

U U

C₁ C₂ C_n C_p

Q₁ Q₂ Q_n Q_p

Kondenzátorok párhuzamos kapcsolása

C Q 1 C

Q 1 C

U Q U

s n

1

i i

n 1

i i

n 1 i

i=  =  =

=

=

=

=

= 

= n

1 i i

s

C

1 C

1

(kapacitás csökkentése)

C₁ C₂ C_n C_s

U U

+Q +Q +Q +Q

-Q -Q -Q -Q

U₁ U₂ U_n

Kondenzátorok soros kapcsolása

A töltésmentes kondenzátor fegyverzeteire feszültséget

kapcsolunk → töltést juttatunk

→ a kondenzátorral energiát közlünk .

Kondenzátorban tárolt energia

C U Q

U C

W Q_{o o o} ^o

2 2

2 1 2

1 2

1 = =

=

A tárolt energia, amíg a töltés Q_o-ra és a feszültség U_o-ra nő Δt idő alatt végzett munka:

Tehát a kondenzátor elektromos energia tárolására alkalmas kétpólus.





=



=

 ^U

0

/ u C u q u W

0

Áram

Töltések rendezett mozgása villamos tér hatására.

Áramerősség: egy A felületen időegység alatt áthaladó töltésmennyiség.

Ha a felület árama időben állandó egyenáram.

Az áram megállapodás szerinti iránya: a pozitív töltések

valóságos (pl. elektrolitok), vagy látszólagos elmozdulási iránya.

Mérése: ampermérővel

 

dt i= dQ

t I= Q

• Vezetők:

szabad vegyértékelektronok könnyen elmozdulnak a villamos tér hatására. (ρ≈ 10^-8 - 10^-7 Ωm)

• Fémek.

• Ideális vezetőben a töltések mozgatása munkavégzést nem igényel.

• Szigetelők:

Ezekben gyakorlatilag nincs szabad töltéshordozó.

• Ideális szigetelőben a töltések villamos tér hatására nem mozdulnak el. (ρ≈ 10³ - 10¹⁶ Ωm)

Ideális vezető és ideális szigetelő nincs. A valóságos fémekben a töltések mozgatása munkavégzést igényel és a valóságos szigetelőkben a térerősség hatására a töltések elmozdulnak.

• Félvezetők:

alacsony hőmérsékleten szigetelők, termikus gerjesztés hatására nő a vezetőképességük (ρ≈10^-5 - 10² Ωm)

Szilárdtestek áramvezetése

Generátor: valamilyen energia hatására (mechanikai, hő-, vegyi, fény…) a + és a - töltések szétválnak és a generátor egyik sarkán, (kivezetésén, pólusán) +, a másikon - töltésű részecskék vannak többségben.

Vezető: villamos energiából valamilyen energiát (mechanikai, vegyi, hő, stb.) állít elő

Vezetés alapja: a valencia elektronok elektromos térben a térerősség irányával ellentétes irányban elmozdulnak.

A generátor pólusait a vezető két pontjával összekötve:

•a vezetőben áram folyik

• a generátor - töltésű pólusából elektronok lépnek a vezetőbe, a vezetőből pedig a + töltésű póluson keresztül a generátorba

• a vezetőben kialakuló i áram a generátoron át záródik, mert a generátor²⁷

Villamos termelő, Generátor

Vezető, Terhelés, Fogyasztó

+

-

u

i

i i i

Áramkör

Az áram valóságos iránya – megállapodás szerint: a pozitív töltések mozgásirányával egyezik.

A feszültség megállapodás szerinti iránya: a potenciál csökkenés iránya Az u és i iránya:

• a generátoron ellentétes

• a fogyasztón azonos

Villamos Termelő (P<0),

Generátor

Vezető, Terhelés, Fogyasztó

(P>0)

+

-

u

i

i i i

Áramkör

Generátor

Valamilyen nem villamos energia hatására a pozitív és negatív töltések szétválnak, a pólusok között villamos teret létesítenek.

pl. az akkumulátorok, a száraz elemek kémiai; a villamos forgógépek mechanikai; a fényelemek fényenergia villamos energiává alakítására alkalmasak.

Ideális

feszültséggenerátor (R_b=0) áramgenerátor (R_b=∞)

+

-

u

i

feszültsége állandó, független a forráson átfolyó áramtól árama állandó, független a feszültségétől

Generátorok osztályozása

Forrásmennyiség időfüggvénye

szerint

Egyenáramú

(áram egyirányú lehet)

Váltakozó áramú

(Periodikus, lineáris középértéke=0)

Állandó Változó Szinuszos Egyéb

(Pl. négyszög)

Folyamatos Szaggatott

Ohm-törvény

Vezető két végpontja közötti feszültség arányos a rajta átfolyó árammal.

R - a vezető két pontja közötti ellenállás [Ω]

R ≥ 0 az ellenálláson u és i iránya azonos

Jele: R=0 rövidzár

R=∞ szakadás

i R

u

Az ellenállás úgy magyarázható, hogy az elektromos tér hatására felgyorsult elektronok a vezető atomjaiba ütköznek és energiájuk egy részét átadják az atomoknak. R az anyag elektronáramlással szemben fellépő ellenállását fejezi ki.

A vezető ellenállása (rezisztencia) az anyagától és geometriai méreteitől függ

A 1 R A  

= 



=

 A R

G = 1 =

ρ - fajlagos ellenállás [Ωm]

σ - fajlagos vezetés [1/Ωm]

Villamos vezetés (konduktancia):

[G] = S (siemens)

Kis hőmérséklet tartományban érvényes (hatványsor)

)]

T T

( 1

[ _o

o

T = +  −



α - hőmérsékleti együttható ρ és α értéke táblázatból

Anyag Fajlagos ellenállás ρ [10^-8 Ωm]

Hőmérsékleti együttható α [1/^oC]

Ezüst 1,59 0,006 1

Réz 1,68 0,006 8

Alumínium 2,65 0,004 29

Wofram 5,6 0,004 5

Vas 9,71 0,006 51

Platina 10,6 0,003 927

Manganin 48,2 0,000 002

Ólom 22 . . .

Higany 98 0,000 9

Konstantán 49 . . .

Szén (grafit) 3 – 60 0,000 5

Germánium 1 – 500 0,05

Szilícium 0,1 – 60 0,07

Üveg 1 – 10 000 . . .

Kvarc 7,5 . . .

A vezetőben mozgó töltés a vezető atomjaival ütközve energiája egy részét átadja hő keletkezik

(vagyis az áram a vezetőt felmelegíti) az átadott energia: W = U Q

t P = W

t I U W =

A végzett munka: [J]

A teljesítmény: [W]

Ha I=állandó, akkor a t idő alatt átáramló összes töltés:

Q = I t

Villamos teljesítmény egyenáramú körben

Joule-törvény:

G G I

R U R U

UI I P

2 2

2

2

= = =

=

=

Villamos hálózatok (áramkörök)

Kétpólusok összekapcsolásával létrehozott alakzatok.

Részei:

Csomópont:

kettőnél több hálózati elem kapcsolódási pontja Ág:

két csomópont közötti hálózatrész, amelyen ugyanaz az áram folyik (aktív, passzív ágak)

Hurok:

azon ágak összessége, amelyeken végighaladva a

kiindulási pontba jutunk anélkül, hogy bármely ágon többször haladtunk volna

Villamos hálózatok elemei (kétpólusok)

• Aktív elemek (források) - Feszültséggenerátor

- Áramgenerátor

• Passzív elemek

- Energia fogyasztók:

ellenállás

- Energia tárolók:

induktivitás (mágn. tér)

kapacitás (vill. tér)

Passzív kétpólusok alapösszefüggései

Tetszőleges

időfüggvény Egyenáram

Ellenállás u = i^.R U = I^.R

Induktivitás rövidzár

Kapacitás szakadás

dt L di u =

dt

C du

i =

Referencia irányok

(vonatkozási, mérő)

Vonatkozási irány: az áramok és feszültségek előre, önkényesen

felvett iránya. Ha a számítás eredménye pozitív, akkor „eltaláltuk” a megállapodás szerinti irányt, ha negatív akkor nem.

Általában:

• a passzív kétpólusoknál a feszültség és áram irányát egyezőre,

• aktív kétpólusoknál ellentétesre vesszük fel.

• Ha egyes mennyiségeknek adott az iránya, akkor azt vesszük fel vonatkozási iránynak.

Kirchhoff törvények

I. Csomóponti törv. Töltésmegmaradás

Egy csomópontba be- és kifolyó áramok algebrai összege zérus.

(A vonatkozási irány szerint)

Pl:

I₁ - I₂ – I₃ + I₄ - I₅ = 0

i 0

n 1 k^ k

=

=

Kirchhoff törvények

II. Huroktörvény Energiamegmaradás

Zárt áramköri hurokban a részfeszültségek algebrai összege mindig zérus.

(A vonatkozási irány szerint)

Pl:

U_g1 – U_g2 + U_R2 + U_R3 – U_R4 – U_R1 = 0

u 0

n 1

k^ k

=

=

Egyenáramú hálózatok

Valamennyi áram és feszültség időben állandó, ezért a hálózatokban csak időben állandó forrásmennyiségű generátorok és ellenállások találhatók.

A legegyszerűbb hálózat:

R U R

I U U

U = _g = = ^g

R R U

I I U P

2 2 =

=

=

I U I

U

P_g =− _g =− 0 P

P+ _g =

Passzív hálózatrészek

Ellenállások soros kapcsolása (áramuk azonos)

=

=

1

i i

s

R

R

U=U₁+U₂+ . . . +U_n=I(R₁+R₂+ . . . +R_n)=Ir_s I -vel osztva: R₁+R₂+ . . . +R_n=R_s

Passzív hálózatrészek

Ellenállások párhuzamos kapcsolása (feszültségük azonos)

p n

2 1

n 2

1 R

) U R ... 1 R

1 R

( 1 U I

...

I I

I= + + + = + + + =

=

= ⁿ

1

i i

p R

1 R

1

2 1

2 1

2 1

p R *R

R R

R

R R =

= +

2 elem esetén:

replusz

Feszültség- és áramosztó

2 1

2 2

2 1

1

1 R R

U R R U

R U R

U = +

= +

2 1

1 2

2 1

2

1 R R

I R R I

R I R

I = +

= +

Áramosztónál fordított arányosság!

→ Y Háromszögből csillag

Y → Csillagból háromszög

Ideális feszültség generátor

Az ideális generátor kapocsfeszültsége tetszőleges nagyságú terhelő áram esetén is állandó marad, U_G értékű, független a terhelő áramtól. Ez csak úgy lehetséges, ha nincs belső ellenállása: R_b=0 Ez azonban idealizálás, mert bármely valóságos generátornak van belső ellenállása, pl. a forgó tekercs vezeték- ellenállása.

Valóságos feszültség generátor

Különbség: van belső ellenállása!

A generátor áramkörére írjuk fel a huroktörvényt: U_G=U_b+U_k , vagyis

U_k=U_G-U_b ,

Ohm törvényét alkalmazva U_b=R_b∙I_t , tehát U_k=U_G-R_b∙I_t Szélső terhelési esetek:

1.) R_t =∞, I_t =0, U_k = U_G üresjárás (szakadás van a vezetéken)

2.) R_t =0, I_t = I_z = U_G / R_b , rövidzárás

Valóságos feszültség generátor karakterisztikája

A kapocsfeszültség változása:

1.) U_k = U_G = U_ü üresjárás 2.) U_k = 0, I_t = I_z rövidzárás a jelleggörbe meredeksége:

-(U_G I_z) megegyezik az Rb ellenállás értékével

-I_t =I_t1-I_t2 U_k =U_k1-U_k2

U_k/-I_t = -(U_G/I_z) = R_b vagyis két terhelési áram-

feszültségméréssel

meghatározható a belső

ellenállás, rövidrezárás nélkül.

Az R_b belső ellenállás az üresjárási feszültség és a rövidzárási áram hányadosaként számítható,

azonban nagyobb teljesítményű generátorokat nem lehet rövidre zárni. R_b = U_ü/I_z

Valóságos generátorok

t b

g b

g

k R R

I U I

R U

U = − = + P_g =U_gI=I²R_b +I²R_t =P_v +P_h

t b

t t

2 b

2

t 2

g h

R R

R R

I R

I

R I P

P

= +

= +

=

(

)

2 g t

2

h R

R R

R U I

P = = +

Thevenin generátor Karakterisztika

= 0 +

− U R I

U

Norton generátor

b b

g k

b k g

b g

R I R

I U

R I U

I I

I

−

=

−

=

−

=

U_g=I_g∙R_b esetén megegyezik a Thevenin karakterisztikával, tehát minden ottani megállapítás érvényes.

/*R

= 0 +

− I

I

I

Valóságos generátorok

• A hálózat „megoldása” azt jelenti, hogy az ismeretlen áramú ágak számával megegyező számú, lineárisan független

egyenletet kell felírni.

• Áganként 1 ismeretlen:

meghatározásuk az ágegyenletekből (I ugyanaz).

(pl. U=IR)

• Áganként 2 ismeretlen:

- a: ágáramok száma → a db ágegyenlet - c: csomópontok száma (független: c-1) →

(c-1) darab független csomóponti egyenlet,

- h=a-(c-1) db független hurokegyenlet kell felírni.

• Áganként 3 ismeretlen:

nem oldható meg.

Hálózatszámítási feladatok megoldhatósága

Hálózatszámítási módszerek összefoglalása

Hurokáramok módszere

• A Kirchhoff egyenletek ismeretlenjeinek a számához képest az egyenletek, ill. az ismeretlenek száma kb. a felére csökken

(Megegyezik a független hurokegyenletek számával.)

• Tennivalók:

1. Felveszünk fiktív hurokáramokat (független hurkokra) 2. Kifejezzük velük az ágáramokat

3. Megjegyzés: a hurokáramok a csomóponti egyenleteket automatikusan kielégítik

4. Felírjuk a hurokegyenleteket az ágáramokkal

5. A hurokáramokkal kifejezett ágáramokat behelyettesítve rendezzük az egyenletrendszert

6. Megoldjuk a hurokáramokra

7. Visszahelyettesítjük a 2.-be, megkapjuk az ágáramokat

Szuperpozíció elv

Több forrást tartalmazó lineáris, reciprok hálózatokban a források együttes hatása meghatározható egyenkénti hatásaik

összegzésével.

Az egyes források hatásának vizsgálatakor a többit dezaktivizálni kell.

Feszültséggenerátor: U_g=0 rövidzár Áramgenerátor: I_g=0 szakadás

Akkor lehet és célszerű alkalmazni, ha a hálózatban több generátor működik.

Szuperpozíció elv

Reciprocitás

• Kapcsoljunk az egyik póluspárra feszültségforrást, a másikat zárjuk rövidre és mérjük meg az áramot

• Kapcsoljunk a másik póluspárra feszültségforrást, az elsőt zárjuk rövidre és mérjük meg az áramot

• A hálózat a két kapura nézve reciprok, ha _I^'_2=I1^''

Helyettesítő generátorok tétele

Bármely lineáris, invariáns, aktív hálózat helyettesíthető egy valóságos generátorral.

Ha feszültséggenerátor Thevenin tétel Ha áramgenerátor Norton tétel

U és I kapcsolatát kizárólag a lezárás határozza meg.

Akkor célszerű alkalmazni, ha csak 1 ág változik/

változtatható a hálózatban.

I A

U B

L e zá rá s

A U_ABo

B

R_ABo

U_g

A

B R_b

U_g= U_ABo és R_b = R_ABo esetén ekvivalensek

U_ABo: üresjárási feszültség, miközben R_AB az eredő ellenállás

Thevenin tétel

A Thévenin tétel szerint minden, tetszőleges bonyolultságú villamos hálózat bármely két pontja felől helyettesíthető egyetlen ideális

feszültséggenerátorral (U_ABo) és egy vele sorba kapcsolt belső ellenállással (R_AB).

I_g= I_ABz és R_b = R_ABo esetén ekvivalensek

I_ABz: rövidzárási áram, miközben R_AB az eredő ellenállás A és B pontok között

A I_ABz

B

R_ABo I_g

A

B R_b

Norton tétel

A Norton tétel szerint minden, tetszőleges bonyolultságú villamos hálózat bármely két pontja felől helyettesíthető egyetlen ideális áramgenerátorral (I_ABz) és egy vele párhuzamosan kapcsolt belső ellenállással (R_AB).

u

t u =U_m.sint

T

t [s]

0 2m 4m 6m 8m 10m 12m 14m 16m 18m 20m

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

Az ábrán 10 V csúcsértékű, 50 Hz frekvenciájú szinuszos feszültség időfüggvénye látható. (valós időfüggvény)

A pillanatérték t=7 ms-hoz tartozik, tehát:

u=10_.sin (2^.^.50^. 0,007) azaz u=10_. sin 2,199 rad=8,09 V

k e z d ő f á z i s

Szinuszos jelalak jellemzői

Időfüggvény:

ahol

Váltakozó mennyiség: periodikus és a lineáris középértéke 0.

Körfrekvencia:

Umax, Ȗ a feszültség csúcsértéke u(t) a feszültség pillanatértéke

A pillanatérték tetszőleges t időpontban számítható.

T periódusidő, f = 1/T

62

T f π

π

ω 2

2 =

=

Szinuszos jelalak jellemzői

Ábrázolás

A szinuszos jel pillanatértéke tetszőleges t időpontban: u =U₀ ∙ sint, ezt az értéket helyettesíthetjük egy U₀ amplitúdóval megegyező nagyságú vektor jelölt forgásirányú forgatásakor a függőleges tengelyre eső vetületével: U₀ ∙ sin-val. A szinuszos jelet egyszerűen felrajzolhatjuk az időtengelyt t tengelyként tekintve, szögosztásokat elhelyezve rajta, a forgó vektor vetületeinek és a szög-osztások vonalainak metszéspontjaira. A szinuszos jeleket tehát óramutató járásával ellentétesen forgó vektorokkal helyettesíthetjük, amennyiben azonos frekvenciával változnak.

64

Ohmos ellenállás váltakozó áramú körben

Mivel ρ=0 →Nincs fáziseltérés!!!

Induktivitás váltakozó áramú körben

66

ahol, X_L induktív reaktancia

AC-vel szemben mutatott ellenállása az induktivitásnak.

Az áram késik 90°-ot a feszültséghez képest.

:= induktív szuszceptancia

Soros R-L tag váltakozó áramú körben

Vektorábrán ábrázolva a két feszültséget, A parallelogramma szabállyal szerkesztve adódik eredőként U értéke, vagy a derék- szögű háromszögből Pithagoras tétellel:

U²= U_R² + U_L²

A j fázisszög kiszámítása: tg j = (U_L/U_R), cos j = (U_R/U ) j fáziszöggel késik az U feszültség az áramhoz képest, az

induktivitás feszültsége pedig 90°-al siet az áramához képest, az adott frekvencián.

A kapacitív reaktanica értékét számításoknál pozitív előjellel

X

Kapacitás váltakozó áramú körben

68

Az áram siet 90°-ot a feszültséghez képest.

ahol, X_C kapacitív reaktancia

AC-vel szemben mutatott ellenállása az kapacitásnak.

:= kapacitív szuszceptancia

Soros R-C tag váltakozó áramú körben

Vektorábrán ábrázolva a két feszültséget, A parallelogramma szabállyal szerkesztve adódik eredőként U értéke, vagy a derék- szögű háromszögből Pithagoras tétellel:

U²= U_R² + U_C²

A j fázisszög kiszámítása: tg j = (U_C/U_R), cos j = (U_R/U ) j fáziszöggel késik az U feszültség az áramhoz képest, a

kondenzátor feszültsége pedig 90°-al késik az áramához képest, az adott frekvencián.

A kapacitív reaktanica értékét számításoknál mínusz előjellel

X

70

A meddő ellenállások nem fogyasztanak energiát, csak áramkorlátozó szerepük van. Meghatározhatunk egy komplex ellenállást, impedanciát, amely a következőkép írható le: Z = R+jX, ahol X az induktív, vagy kapacitív reaktancia,

(mindezek a feszültség- háromszög elemeinek I-vel való osztásából adódnak), a j pedig a képzetes egység: j² = -1

Komplex impedancia

Im = imaginárius, képzetes rész, Re = reális, valós rész:

Z = R – jX_C

A továbbiakban mint vektorokkal számolhatunk az így megfogalmazott komplex számokkal.

Az egy irányba eső összetevőket algebrai összeadással

kell összegezni, a merőlegeseket pedig

vektorszerűen, Pithagoras tételét alkalmazva. Az impedancia abszolút értéke:

cos⁻¹φ = 𝑅 𝑍 sin⁻¹φ = 𝑋_𝐶

𝑍

Komplex impedancia

] [ I Z

U = 

Szinuszosan váltakozó áramú áramkörök a komplex effektív értékekkel és a komplex impedanciákkal ugyanúgy számíthatók, mint az egyenáramú áramkörök.

] S Z [

Y= 1

Általánosított Ohm-törvény

ahol, valós rész: R ellenállás képzetes rész: reaktancia

Admittancia

:

A váltakozó áramú teljesítmények

72

Szinuszos jelalakú váltakozó feszültséget kapcsolva ohmos ellenállásra, az áram és a feszültség egymással fázisban van. Ennek következményeként az ellenálláson hatásos teljesítmény lép fel, a villamos teljesítmény teljes egészében hőteljesítménnyé alakul:

P_vill= U ∙ I= c ∙ m ∙ T/t , mértékegysége [(kWs/K) ∙ K/s]=[kW]

A villamos teljesítmény számításánál az U feszültség mindig a feszültség effektív értékét jelöli, ugyanígy az I áram is a váltakozó áram effektív értéke. Vektor,- illetve fazorábrán történő ábrázolásnál a szinuszos időbeli változást azonos irányba mutató, óramutató járásával ellentétesen forgó vektor, a fazor mutatja.

A P teljesítményt is vektorként ábrázolhatjuk

A váltakozó áramú teljesítmények

Szinuszos jelalakú váltakozó feszültséget kapcsolva induktív vagy kapacitív reaktanciára, az áram és a feszültség egymással nem lesz fázisban (fáziseltolás). Ennek következményeként minkét reaktancián meddő teljesítmény lép fel.

A váltakozó áramú teljesítmények

74

Effektív érték fogalma

Ohmos ellenállásra szinuszos feszültséget kapcsolva, azonos fázisú áram folyik át rajta, így: P = Ȗ ∙ Î a teljesítmény maximális értéke, és látható, hogy a teljesítmény a feszültség frekvenciájának kétszeresével lüktet. Időfüggvénye Ȗ ∙ Î ∙ sin² t, amelynek szimmetriája folytán a sraffozott területek a jelölt módon beforgathatók, és éppen kitöltik az alsó téglalapot, amelynek területe így Ȗ ∙ Î ∙ T/2, az 1 periódusra eső W_e villamos energia értéke.

P_átlag = W_e /T az időegységre eső energia, vagyis az átlagteljesítmény:

Effektív érték fogalma

76

Pátlag= W^e /T az időegységre eső energia, vagyis az átlagteljesítmény:

az egy periódus alatt hővé váló teljesítmény.

Az Ȗ/√2 és Î/√2 mennyiségek olyan egyenfeszültség és egyenáram

értékeknek felelnek meg, amelyekkel azonos mértékű teljesítményt (hőfejlődést) hoznak létre, emiatt a szinuszos mennyiség effektív értékének nevezzük őket (angolul RMS → Root Mean Square: Négyzet- gyökös átlagérték).

Jelölésük U és I. Mivel √2 = 1,414 ezért U = 0,707 ∙ Ȗ és I = 0,707 ∙ Î

Pl. a hálózati feszültség értéke U=230 V, emiatt a szinuszos váltakozó feszültség csúcsértéke 1,414 ∙ U= 325 V A váltakozó feszültségnek és áramnak mindig az effektív értékét adjuk meg, ha más érték szükséges, azt külön kell jelölni.

Mágneses terek

A gerjesztési törvény : θ =N∙I=H∙l, a szolenoid esetében, mert a tekercsen kívüli térerősség elhanyagolható a tekercsen belüli

térerősséghez képest. Légmagos tekercsben a mágneses indukció értéke B =m₀∙H, a mágneses fluxus értéke Φ=B∙A [Vs], ahol A a tekercs által körülzárt felület m²-ben. N a menetszám

B= m₀∙N∙I/l [T]

Vasmagos tekercsben m_r -szorosára nő az

indukció értéke: B= m_r∙ m₀∙N∙I/l mert az elemi mágnesek beállnak a külső tér irányába az anyag belsejében. m_r a relatív permeabilitás

78

Induktivitás

Ha a tekercs árama megváltozik, akkor meneteiben önindukciós feszültség keletkezik:

Az indukált feszültség arányos az elrendezéstől függő önindukciós tényezővel, az L induktivitással, és az

áramváltozás sebességével. Az L induktivitás értéke:

Az induktivitás csak akkor marad lineáris áramköri elem, ha nem engedjük meg vasmagos tekercsekben a telítődését az átfolyó áram hatására.

Áram és mágneses tér kölcsönhatása

Állandó mágnes erőterében az áram által átjárt vezetőre jobbkézszabály szerinti irányú erő hat: I a mutatóujj,

B a rá merőleges középsőujj , F a kifeszített hüvelykujj iránya.

(máskép: I irányába nézve B-t 90°- al jobbra elforgatva kapjuk F irányát)

Az erőhatás nagyságát a vezető szakasz mágneses térben lévő, erővonalakra merőleges l hossza, a B indukció értéke, és az I áramerősség határozza meg:

F= B∙ I ∙l

80

Mozgási indukció

Pozitív q töltést mozgassunk mágneses térben az erővonalakra merőlegesen v sebességgel, a mozgó töltés és a mágneses tér közötti kölcsönhatás következtében u.n. Lorentz erő lép fel, amely mindkét vektorra a jobbkézszabály szerint merőleges irányú és az alábbi képlettel számítható:

B indukciójú térben l hosszúságú vezetőt v sebességgel mozgatva, a benne lévő szabad töltéshordozókra (elektron) Lorentz erő hat, amely azokat a vezető egyik vége felé elmozgatja, így a vezető végein elektronhiány- és többlet alakul ki, vagyis feszültségkülönbség lép fel.

A töltésmozgás iránya az elektron negatív töltése miatt ellentétes a jobbkézszabály szerinti erőiránnyal!

Mozgási indukció

Vezető keretet w szögsebességgel forgatva

homogén mágneses térben az elektronok az E villamos térerősségvektorral ellentétes

irányban elmozdulva negatív töltéstöbbletet hoznak létre a vezetőkeret (vagy N menetű tekercs) 1. pontján, és a 2. pontján

elektronhiány, tehát pozitív töltéstöbblet keletkezik

Töltésszétválasztás jön létre, tehát a mágneses térben forgatott tekercs feszültség előállítására alkalmas, forgó generátorként. A keletkező feszültség amplitúdója:

U=B∙l∙v∙N, időbeli lefolyása pedig a fluxusváltozás F=B∙A=B∙(l∙2∙r)∙cost időfüggvénye alapján

82

Nyugalmi indukció

Nyugalmi indukcióról beszélünk, ha nem a feszültséget létrehozó elemek mozognak, hanem a fluxust létrehozó áram változik.

𝑈₂ = 𝑁₂ ∙∆Φ

∆𝑡 = 𝑁₂ ∙ ∆𝐵 ∙ 𝐴

∆𝑡 , de ∆𝐵 = 𝜇 ∙ ∆𝐻 é𝑠 ∆𝐻 = 𝑁₁ ∙ ∆𝐼₁

𝑙 , í𝑔𝑦 𝑈₂ = 𝑁₁ ∙ 𝑁₂ ∙ 𝜇 ∙ ∆𝐼₁

𝑙 ∙ ∆𝑡

l a közepes erővonalhossz, A pedig a ferromágneses anyag keresztmetszete

Indukciómentes bifiláris tekercs, a párhuzamos vezetékek áramainak mágneses terei kioltják egymást

Egyfázisú hálózat

Szinuszos váltakozó feszültség létrehozása mágnes pólusok között forgatott kerettel és csúszógyűrűkkel. Ez a módszer csak kis teljesítmény esetén alkalmazható a csúszógyűrűk kopása és szikrázása miatt.

Szinuszos váltakozó feszültség létrehozása lágyvas pólusokra helyezett tekercsek között forgatott állandó mágnessel.

Az álló tekercsek miatt nincs szükség csúszógyűrűkre, nagyobb teljesítményre

84

Egyfázisú hálózat

Egyfázisú hálózatot elvileg egyfázisú generátor révén hozhatunk létre a gyakorlatban azonban a

háromfázisú hálózat valamelyik fázisfeszültségét használjuk fel. Ehhez általában csillagpontos

háromfázisú hálózatot használnak, ugyanis ekkor rendelkezünk mind vonali, mind fázisfeszültséggel.

Biztonsági okokból a generátor, vagy a transzformátor fém burkolata földpotenciálra van kötve - földelve van - a fogyasztói oldalon is ki kell alakítani védőföldelést a fogyasztó esetleges testzárlata miatti áramütés

elkerülése céljából.

Az Európában szabványosított 230 V/50 Hz

frekvenciájú egyfázisú hálózat a 3x400/230 V/50Hz háromfázisú hálózat egyik fázisfeszültsége.

Induktív fogyasztó árama

Induktív fogyasztó árama közel 90°-al késik a feszültséghez képest, emiatt csaknem tiszta meddő teljesítményt vesz fel a hálózatból, azonban az I_m áram átfolyik az energiaszolgáltató vezetékén is, és abban P_v= I_m²∙R_v veszteséget okoz. Az induktív áramot kondenzátor kapacitív áramával lehet kompenzálni, ekkor az L induktivitás és a C kapacitás között köráram fog folyni, jelentősen lecsökken a vezetéken hővé alakuló veszteséget.

86

Induktív fogyasztó kompenzálása: fázisjavítás

Ha az induktív fogyasztóval párhuzamosan kötünk megfelelő értékű kapacitást: X_L= X_C , vagyis ∙L=1/∙C → C=1/²∙L, akkor párhuzamos rezgőkör alakul ki, és a generátort csak az R_P ellenállás árama terheli, a hatásos teljesítmény. Ezt a módszert nevezik teljes kompenzációnak.

(Ipari gyakorlatban a kompenzáló kondenzátor értékét nem F-ban, hanem a kompenzált meddő teljesítménynek megfelelően kVAr-ban adják meg. A kondenzátorral biztonsági okokból egy nagy ohmos ellenállást kötnek párhuzamosan - kikapcsolt állapotban a

kondenzátor kisütése céljából.- A módszert fázisjavításnak is nevezik, mert az áram és feszültség közti fázisszög csökkenése cosj

növekedését jelenti, akár az 1 értékig.

Méréstechnika

88

Villamos mérőműszerek osztályozása

Osztályjel Hibahatárok, % A műszer jellege

0,1 ± 0,05 Laboratóriumi műszer

0,1 ± 0,1 Laboratóriumi műszer

0,2 ± 0,2 Laboratóriumi műszer

0,5 ± 0,5 Laboratóriumi és üzemi műszer

1,0 ± 1 Üzemi műszer

1,5 ± 1,5 Üzemi műszer

2,5 ± 2,5 Üzemi műszer

5,0 ± 5 Üzemi műszer

Az analóg műszerek mérési hibáját a relatív hiba jellemzi:

ahol h a relatív hiba [%], H az abszolút hiba (x^m- x^h), x^ha mérendő mennyiség helyes értéke, x^ma mért érték.

ℎ = ± 𝐻

𝑋_ℎ ∙ 100%