Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations 2005, No. 1, 1-9; http://www.math.u-szeged.hu/ejqtde/

Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations 2005, No. 1, 1-9; http://www.math.u-szeged.hu/ejqtde/

!"#$%&'()*)$+,-

*$. /

0!1324#56587:9;<7:=4?>@BAC7EDF9GH;GJI&KLNM@O7QPSR'DF9GO2UT.GO2VG0!;W;G

X'YZ [\F]_^`[

acbdfe_gih)jlk`jEm n6oqprmshtdvulwyxkCb_z#by{O|}zy~ k|.g}b_g€dvgik`|:z#u_blw_knvx‚{„ƒFk`|}u_mj_nfzl|€m…†k`nfg}hvg€bl‡

g}bCˆ(e_…sg}~elmkFdfg€bl‡l‰Šrx‹ulhvg€bl‡kwyxQblk`…sgi~ k|lhtxyhtdvm…sh3k`j_j_nfz#k#~Œeohvz…smmŽygihdfm bl~ mBk`blw

u_blg}‚u_mb_mhfhVnvm6htu_|€dfhknvmrj_nvzFƒ#mwkblwdfe_mmŽygihdfm bl~ mrz‘Ek,~z…sjlk#~’d+kFdvdvnŒk~’dfznVg}hhve_zFpb‰

“<”y•O–N—6˜”y•„™cš6›œžŸO `—’šF•¡J¢£”‚› ›6™¤(š ”y•„™„¥y¦q›F§©¨yªQ«'¬y­N®¨yªQ«'¨yªN®¨yªQ«s¯lªN®.¨yªQ«'°y­N±

²—6³´©¥Qµ’¶‚›`§B·’¸¹8º’»½¼¿¾·ÀQº`®ÁÀQÂqÿÀEÄ`Á‚Ï®¹6ÅE¼¿¾·¹8ÄF¹y®Á‚·’·’º ÁQÄ8·ÀQºÆyÿÀQÇÁ‚ϱ

È ÉNÊËÌV͝Î!Ï!ÐÑË.Ò ÍÊ

ÓtÂ-·’¸q¼¿¾ÔÁ‚ÔV¹8º`®NÕ,¹'¾’¸Á‚ãÃ3Öq¹`Á‚ÃÑÕ¼£·’¸W·’¸¹‹×„ÀQãÿÀÕ¼£ÂqÆ?ÀQÂqÿÀEÄ`Á‚ÃÑÔÁ‚º Á‚ÇVÀQ㼿Ä'ÔqºÀQÇqÿ¹8»

∂u

∂t − 4u = λ f (u) R

Ω f (u) dx 2 ,

^¼£Â

Ω×]0; T [,

^{،٠±ÙÚ}

u = 0

^ÀQÂ

∂Ω×]0; T [,

^{،٠±Û¬ Ú}

u/ _t=0 = u ₀

^¼£Â

Ω,

^{،٠±Û¨ Ú}

Õ¸¹8º¹

T > 0, Ω

¼¿¾?ÁSº¹8ÆyÜqÃÝÁ‚ºÞÀQÔ¹8ÂßÇVÀQÜqÖq¹FÖྒÜqǍ¾¹8·?À‚×

R ^N , N ≥ 1, λ

¼¿¾?ÁSÔVÀy¾’¼£·’¼£á_¹ ÔÁ‚º Á‚»¹8·¹8º(Á‚Ö

f

Á×OÜqÄ8·’¼¿ÀQÂׄºÀQ»

R

^·À

R

¾ Á‚·’¼¿¾Œ×„â:¼£ÂqƋ·’¸¹,¸lâEÔVÀQ·’¸¹F¾ ¹F¾

(H ₁ )−(H ₂ )

ÇV¹8ÿÀÕ'±

ãºÀQÇqÿ¹8»

،Ù

±

ÙÚ

−

^{،٠±Û¨ Ú} º¹8Ôqº¹F¾¹8Â:·¾`®B×cÀQº¹6ōÁ‚»½Ôqÿ¹y®(¾’· Á‚·’¼¿Ää»?Á‚·¹8º’¼¿¹8þ’܍ĸåÁQ¾·’¸¹8º’»½¼¿¾’·ÀQº¾

æ

¨q®°N®

Ù

¯®

Ù

ª#çJÁ‚ÖèÁ‚º’¼¿¾¹F¾Çl⺹FÖN܍Ä8¼£ÂqÆ?·’¸¹¾’âN¾’·¹8»éÀ‚×·tÕ,À?¹Fê:ÜÁ‚·’¼¿ÀQ¾

u t = ∇.(k(u)∇u) + σ(u)|∇ϕ| ² ,

^{،٠±¯ Ú}

∇(σ(u)∇ϕ) = 0,

^{،٠±Ûª Ú}

·À?Á¾’¼£»½Ôqÿ¹sÇqÜq·º¹`Á‚㼿¾’·’¼¿Äë¹FêlÜÁ‚·’¼¿ÀQÂ

Ø

¾ ¹F¹ æÛì

çÚ

±BíÀQº¹sÔqº¹FÄ8¼¿¾ ¹8ãâ_®

u

º¹8Ôqº¹F¾¹8Â:·¾·’¸¹·¹8»½Ô¹8ºŒî Á‚·’Üqº¹äÔqºÀ:ÖN܍ÄF¹FÖUÇlâïÁ‚Âß¹8ÿ¹FÄ8·’º’¼¿ÄÄ8Üqº’º¹8Â:·½ðÀ`Õ¼£ÂqÆS·’¸qºÀQÜqÆy¸ñÁ<ÄFÀQÖN܍Ä8·ÀQº`®

ϕ

·’¸¹ä¹8ÿ¹FÄ8·’º’¼¿Ä ÔVÀQ·¹8Â:·’¼ÝÁ‚Ï®

σ(u)

¼¿¾C·’¸¹?¹8ÿ¹FÄ8·’º’¼¿Ä`Á‚ÃÄFÀQÖN܍Ä8·’¼£áE¼£·tâÁ‚Ö

k(u)

¼¿¾C·’¸¹·’¸¹8º’»?Á‚Ã)ÄFÀQÖN܍Ä8·’¼£á:¼£·vâ_±

òrÁ‚óE¼£ÂqÆ-·’¸¹CÃÝÁ‚·’·¹8º·ÀÞǹ!ÄFÀQ¾· Á‚Âl·`®+ÔqºÀQÇqÿ¹8»

،Ù

±¯ Ú

−

^{،٠±Ûª Ú} Ä`Á‚Âô·’¸¹8ÂSÇV¹Cº¹FÖN܍ÄF¹FÖô·À·’¸¹

¾’¼£ÂqÆyÿ¹ëÀQÂqÿÀEÄ`Á‚ùFêlÜÁ‚·’¼¿ÀQÂ

،Ù

±

ÙÚ

®Õ¸¹8º¹

f (u) = σ(u)

^Á‚Ö

λ = _|Ω| ^{I 2} 2 ≥ 0, I

¼¿¾·’¸¹C¹8ÿ¹FÄ8·’º’¼¿Ä Ä8Üqº’º¹8Âl·Õ¸q¼¿Ä ¸W¼¿¾¾ÜqÔqÔVÀy¾¹FÖä·Àǹ'ÄFÀQ¾’· Á‚Â:·Á‚Ö

|Ω|

¼¿¾·’¸¹»¹`ÁQ¾Üqº¹'À‚×

Ω

^±

õBöE÷‹òø‹õ®.¬y­y­yª½ù‹Àq± ®qÔѱ

ÜqºrÆ_À_Á‚ÃE¸¹8º¹(ÄFÀQÄF¹8º’¾J·’¸¹(¹6ÅE¼¿¾’·¹8ÄF¹)Á‚ÖCÜqÂq¼¿êl܍¹8¹F¾¾JÀ‚׍Õ(¹`Á‚óC¾ÀQãÜq·’¼¿ÀQ¾J·À

،Ù

±

ÙÚ

−

^{،٠±Û¨ Ú ±}

¹'¾’¸Á‚ãÃ3Á‚ÿ¾À¾¸À`Õ ¹6ÅN¼¿¾’·¹8ÄF¹À‚×ÆyÿÀQÇÁ‚ÃJÁ‚·’·’º ÁQÄ8·ÀQº`±

ѹ8·)܍¾º¾’·(º¹FÄ`Á‚ãÃ+·’¸Á‚·)ÔqºÀQÇqÿ¹8»

،Ù

±

ÙÚ

−

^{،٠±Û¨ Ú} ¸ÁQ¾)ÇV¹F¹8·’¸¹s¾’Üqnj¹FÄ8·À‚×3áyÁ‚º’¼¿¹8·tâÀ‚×3¼£Âlá_¹F¾’î

·’¼£ÆlÁ‚·’¼¿ÀQ¼£Â·’¸¹'ÔÁQ¾’·Öq¹FÄ`ÁQÖq¹y±ãÁ‚º’·’¼¿Ä8ÜqÃÝÁ‚º’ãâ_®+¾ÀQ»¹º¹F¾Üqã·¾¸Á`á_¹'ǹF¹8ÂÀQÇq· Á‚¼£Â¹FÖÇlâä»?Á‚Âlâ

Á‚Üq·’¸ÀQº¾¼£Â·’¸¹äÄ`ÁQ¾¹ÞÕ¸¹8º¹

N = 1

^Á‚Ö

f

· Á‚óE¼£ÂqÆÔÁ‚º’·’¼¿Ä8ÜqÃÝÁ‚º×cÀQº’»¾í<ÀQÂl·¹F¾¼£ÂÀy¾Á‚ÂÖ Á‚ãÿ¹8Æ_À

æ

ÙyÙ

çÑÔqºÀá_¹FÖ跒¸¹'¹6ÅN¼¿¾’·¹8ÄF¹À‚×Õ(¹`Á‚ó-¾ÀQãÜq·’¼¿ÀQÂèÜqÖq¹8º

0 < σ ₁ ≤ σ(s) ≤ σ ₂ , ∀s ∈ R .

^{،٠±Û° Ú}

Â:·ÀQÂl·¾¹8áCÁ‚Ö(¸q¼£ÔVÀQ·

æÙ

çEÀQÇq· Á‚¼£Â¹FÖCÁ‚ÿ¾ ÀÁ‚ÂC¹6ÅN¼¿¾’·¹8ÄF¹(Á‚Ö'ÜqÂq¼¿êl܍¹8¹F¾¾rº¹F¾’Üqã·¾ÑׄÀQº

،Ù

±¯ Ú

−

،Ù

±Ûª

Ú

¾’ÜqÔqÔÀy¾’¼£ÂqÆ<·’¸Á‚·

σ ∈ C ⁰ (Ω)

^{Á‚ÂÖ ،٠±Û° Ú} ׄÜqº’·’¸¹8º’»ÀQº¹y®BÁW¾’·’܍ÖNâÀ‚×¾»À:ÀQ·’¸q¹F¾¾À‚×

¾ÀQãÜq·’¼¿ÀQ¾©Õ)ÁQ¾B·’º¹`Á‚·¹FÖ?¼£Â·’¸Á‚·BÔÁ‚Ô¹8ºBÜqÖq¹8º(¾ÀQ»¹ÁQ¾¾’Üq»½Ôq·’¼¿ÀQ¾©ÀQÂ?·’¸¹ÄFÀQÖN܍Ä8·’¼£á:¼£·vâÞÁ‚Ö

¼£Âq¼£·’¼ÝÁ‚Ãr֍Á‚· ÁN±

Ót æÛì

®N®

Ù

¨#çt®_»?Á’ÀQº©¹8»½Ôq¸ÁQ¾’¼¿¾(¼¿¾ÔqÃÝÁQÄF¹FÖ?ÀQÂÞÄ`ÁQ¾¹F¾BÕ¸¹8º¹·’¸¹¾’ÔÁ‚·’¼ÝÁ‚ÃÖN¼£»¹8¾’¼¿ÀQÂ

N

^¼¿¾

1

^ÀQº

2

^Á‚Ö

f

¼¿¾JÀ‚׍·’¸¹B×cÀQº’»

f(u) = exp(u)or exp(−u)

±JÓtÂC·’¸¹F¾¹©Õ,ÀQº’óE¾®_ÁQÖqÖN¼£·’¼¿ÀQÂÁ‚ÃEº¹8ÆyÜqÃÝÁ‚º’¼£·vâ ÁQ¾¾’Üq»½Ôq·’¼¿ÀQ¾sÁ‚º¹'»?ÁQÖq¹ëÀQÂ

u ₀

Á‚Ö<ÁÄFÀQ»ëÇq¼£ÂÁ‚·’¼¿ÀQÂSÀ‚×܍¾’ÜÁ‚ÃÑâlÁ‚ÔVÀQÜqÀá-×OÜqÄ8·’¼¿ÀQÂÁ‚ÃÁ‚ÂÖ ÁÄFÀQ»½ÔÁ‚º’¼¿¾ÀQ»¹8·’¸À:ÖW¼¿¾·’¸¹'»?Á‚¼£Â¼£ÂqÆyº¹FÖN¼¿¹8Âl·`± ÜqºÔqÜqº’ÔVÀy¾ ¹'¼¿¾·À?¹6ÅE·¹8־ÀQ»¹ëÀ‚×·’¸¹

º¹F¾’Üqã·¾·’¸¹8º¹8¼£ÂW·ÀÔqºÀQÇqÿ¹8»

،Ù

±

ÙÚ

−

^{،٠±Û¨ Ú} ®NÕ¸¹8º¹¸¹8º¹y®q·’¸¹ÄFÀQÖN¼£·’¼¿ÀQ ،Ù

±Û°

Ú

¼¿¾)Õ(¹`Á‚ó_¹8¹FÖ

·À

(H ₂ )

ÇV¹8ÿÀÕ'±ÀQãÿÀ`Õ¼£ÂqÆô·’¸¹×„º Á‚»¹ÞÕ(ÀQº’óÀ‚×J¼¿À_ÁQ¾½Á‚ÖUò3¹8»?Á‚»

æÙ

¬#çt®Õ(¹¾’¸Á‚ãÃÁ‚ÿ¾À

Öq¹`Á‚éռ£·’¸·’¸¹?ÁQ¾â:»½Ôq·ÀQ·’¼¿Ä?ÇV¹8¸Á`á:¼¿ÀQÜqº!À‚×,·’¸¹¾ ÀQãÜq·’¼¿ÀQ¾ëÀ‚×ÔqºÀQÇqÿ¹8»

،Ù

±

ÙÚ

−

^{،٠±Û¨ Ú áE¼ÝÁ-Á}

ÖNâ:ÂÁ‚»½¼¿Ä`Á‚ÃѾ’âN¾’·¹8»¾Á‚ÔqÔqºÀ_ÁQĸѱ¹s¾’· Á‚º’·(Ç:â?ÔqºÀá:¼£Âqƽ·’¸¹s¹6ÅN¼¿¾’·¹8ÄF¹sÀ‚×JÁ‚Ǎ¾ÀQº’Çq¼£Âqƾ¹8·¾,¼£Â

L ^∞ (Ω)

^{Á‚ּ£Â}

H ₀ ¹ (Ω)

®rÕ¸q¼¿Ä¸¼£Â ·’Üqº’ÂÔÁ`á_¹F¾ë·’¸¹½Õ)ÁFâô×cÀQº'·’¸¹?¹6ÅN¼¿¾’·¹8ÄF¹À‚×·’¸¹½ÆyÿÀQÇÁ‚à Á‚·’·’º ÁQÄ8·ÀQº`±(¼£»?Á‚·’·’¼

æ

¯yçÀQÇq· Á‚¼£Â¹FÖ徒¼£»½¼£ÃÝÁ‚ºº¹F¾’Üqã·¾×cÀQº½ÔÁ‚º’·’¼¿Ä8ÜqÃÝÁ‚ºÞÄ`ÁQ¾ ¹F¾`®BÕ¸¹8Â

N = 1,

ÇlâÄFÀQ¾·’º’܍Ä8·’¼£ÂqÆWÁÑâlÁ‚ÔVÀQÜqÀáWׄÜqÄ8·’¼¿ÀQÂÁ‚ϱ

¾sÁÄFÀQÄ8ã܍ÖN¼£ÂqÆ-º¹F¾’Üqã·`®Õ,¹¾’¸À`Õ%·’¸Á‚·s·’¸¹

Á‚·’·’º ÁQÄ8·ÀQº¼¿¾ÇÀQÜqÖq¹FÖ辒ÜqǍ¾¹8·À‚×

H ² (Ω)

ÜqÖq¹8ºº¹F¾’·’º’¼¿Ä8·’¼£á_¹CÁQ¾¾Üq»½Ôq·’¼¿ÀQ¾ÀQÂW֍Á‚· ÁN±

'ÒË Ê!Ð!#"Ê!Î Ì$&%Ï'"ÌҌË( Í*)%*' Í,+"'-")ˍËÌ$"Ð3Ë.ÍÌ&.

/1032457698:<;=>:/?;!@AB;!57CDA!:;!:E66>F

¹ëÁQ¾¾’Üq»¹s·’¸¹s×cÀQãÿÀ`Õ¼£ÂqÆ

ØHG!ÙÚ

f : R → R

¼¿¾ÁÿÀEÄ`Á‚ããâI+¼£Ô¾Ä¸q¼£·KJF¼ÝÁ‚ÂׄÜqÄ8·’¼¿ÀQ ± ØHG

¬ Ú

ò)¸¹8º¹'¹6ÅN¼¿¾’·ÔÀy¾’¼£·’¼£á_¹ÄFÀQ¾’· Á‚Â:·¾

c ₁ , c ₂

^Á‚Ö

α

¾ÜÄ¸è·’¸Á‚·`®N×cÀQºÁ‚ãÃ

ξ ∈ R σ ≤ f (ξ) ≤ c 1 |ξ| ^α+1 + c 2 .

ѹ8·Ü¾Öq¹8ÀQ·¹ëÇlâ

k.k _k

·’¸¹'ÀQº’»é¼£Â

L ^k (Ω)

^±

¹ëÁQÖqÀQÔq··’¸¹s×cÀQãÿÀ`Õ¼£ÂqÆÕ,¹`Á‚óׄÀQº’»CÜqÃÝÁ‚·’¼¿ÀQÂW×cÀQº

،Ù

±

ÙÚ

−

^{،٠±Û¨ Ú}

õBöE÷‹òø‹õ®.¬y­y­yª½ù‹Àq± ®qÔѱB¬

u

¼¿¾Á½¾ÀQãÜq·’¼¿ÀQÂÀ‚×

،Ù

±

ÙÚ

−

^{،٠±Û¨ Ú} ¼i×Á‚Ö-ÀQÂqãâä¼i×

u ∈ L ^∞ (τ, +∞, H ₀ ¹ (Ω) ∩ L ^∞ (Ω))

^Õ¼£·’¸

∂u

∂t ∈ L ² (τ, +∞, L ² (Ω))

×cÀQºÁ‚Âlâ

τ > 0,

Á‚Ö-¾ Á‚·’¼¿¾Œ×„â:¼£ÂqÆ

Z T 0

Z

Ω

u ∂

∂t φ − ∇u∇φ dxdt = Z T

0

( λ

R

Ω f (u) dx 2

Z

Ω

f (u)φdx)dt,

×cÀQºÁ‚Âlâ

φ ∈ C ^∞ ((0, ∞), Ω).

ùÀÕ'®qÕ(¹'¾· Á‚·¹'ÀQÜqº»?Á‚¼£Â躹F¾’Üqã·`±

: : F F

—8•–l³N¥_•O–N—›F—6›

(H ₁ ) − (H ₂ )

Ÿ—s›F”y•„™H›H¤,—’¶s› ›žE˜?—•O–E”_•

u ₀ ∈ L ^{k 0 +2} (Ω)

´™O•O–

k ₀

›žqš6–è•O–E”y•

k ₀ ≥ max 0, αN 2 − 2

.

^{Ø ¬N±ÙÚ}

3–N—6¦'•O–N—6µ—<—Q™H›6•O›

d ₀ > 0

›6žNš6–U•O–E”y•s™

ku ₀ k _{k 0 +2} < d ₀ ,

•O–N—.µ’¥lŸ6¢¿—6˜

،Ù

±

ÙÚ

”_¶Q˜™O•O›ä”

›8¥Q¢}žE•„™c¥Q¦

u

^—6µ6™6³Q™H¦F¥Qµë”Q¢O¢

τ > 0

u ∈ L ^∞ (τ, +∞, L ^{k 0 +2} (Ω)), |u| ^γ u ∈ L ^∞ (τ, +∞, H ₀ ¹ (Ω)),

^´™„•O–

γ = k ₀ 2 .

“<¥Qµ—’¥

—6µ)™

u ₀ ∈ L ^∞ (Ω),

^•O–N—8¦

u ∈ L ^∞ (τ, +∞, L ^∞ (Ω))

”Q¦.¶?™H›sžE¦™8ž—

!

:" /$# F

ò)¸¹'áQÁ‚ã܍¹À‚×

d ₀

Õ¼£Ã£ÃÑǹsÆy¼£á_¹8Âè¼£Â跒¸¹ÄFÀQÜqº¾ ¹'À‚×J·’¸¹'ÔqºÀ:À‚×’±

%

&')(F

¹Ü¾ ¹Á ÁQ¹FÖqÀ‚î Á‚ÿ¹8º’ó:¼£Â»¹8·’¸À:ÖÞ¾¹F¹ æÙ

­#çt± ѹ8·

u m ⊆ D(Ω)

ǹ¾’ÜÄ ¸Þ·’¸Á‚·

u _0m → u ₀

^¼£Â

H ₀ ¹ (Ω)

^{Á‚Öÿ¹8·}

(w j ) j ⊆ H ₀ ¹ (Ω)

Ás¾ÔV¹FÄ8¼ÝÁ‚ÍÇÁQ¾¼¿¾`±B¹¾¹F¹8ó

u

·À'ÇV¹)·’¸¹Ã£¼£»½¼£·

À‚×Á½¾ ¹Fêl܍¹8ÄF¹

(u _m ) _m

¾ÜÄ¸è·’¸Á‚·

u m (t) = Σ ^m _j=1 g jm (t)w j ,

Õ¸¹8º¹

g jm

¼¿¾·’¸¹'¾ÀQãÜq·’¼¿ÀQÂWÀ‚×·’¸¹‹×„ÀQãÿÀÕ¼£ÂqÆÞÀQºÖN¼£ÂÁ‚º’â-ÖN¼+*+¹8º¹8Âl·’¼ÝÁ‚Ãr¾âE¾’·¹8»







hu ⁰ _m , w j i + (u m , w j ) =

^,

^λ

Ω f(u m ) dx ² hf (u m ), w j i, 1 ≤ j ≤ m, u _m (0) = u _om .

Ø

¬N±Û¬

Ú

Ót·)¼¿¾)¹`ÁQ¾’â?·À¾¹F¹·’¸Á‚·

Ø

¬N±Û¬

Ú

¸ÁQ¾ÁCÜqÂq¼¿êl܍¹s¾ÀQãÜq·’¼¿ÀQÂ

u _m

ÁQÄFÄFÀQºÖN¼£ÂqÆ·À!¸lâEÔVÀQ·’¸¹F¾¹F¾

(H ₁ ) − (H 2 )

^Á‚ÂÖ )Á‚º’· Á‚Â.-¾¹6ÅN¼¿¾’·¹8ÄF¹‹·’¸¹FÀQº¹8» ÄFÀQÄF¹8º’Âq¼£ÂqÆÀQºÖN¼£ÂÁ‚º’âäÖN¼+*¹8º¹8Â:·’¼ÝÁ‚Ã3¹Fê:ÜÁ‚·’¼¿ÀQ¾

Ø

¾¹F¹

æ

ª‚ç

Ú

±ßò)¸q¼¿¾¾ÀQãÜq·’¼¿ÀQÂñ¼¿¾?¾’¸À`ÕÂñ·ÀS¹6ÅN¼¿¾’·ÀQÂàÁ<»?Á#ÅN¼£»?Á‚ü£Â:·¹8º’áQÁ‚Ã

[0; t m [.

ò)¸¹-ׄÀQãÿÀÕ¼£ÂqÆ

¹F¾’·’¼£»?Á‚·¹F¾ë¹8ÂÁ‚Çqÿ¹½Ü¾'·ÀèÁQ¾¾¹8º’··’¸Á‚·¼£·'Ä`Á‚Âǹ½ÄFÀQÂl·’¼£Â:܍¹FÖ ÀQ·’¸¹Õ¸ÀQÿ¹½¼£Â:·¹8º’áQÁ‚Ã

[0; T ].

¹¾’¸Á‚ãéÖq¹8ÀQ·¹½Ç:â

C i

ÖN¼+*+¹8º¹8Âl·ëÔVÀy¾’¼£·’¼£á_¹?ÄFÀQ¾’· Á‚Âl·¾`®JÖq¹8Ô¹8ÖN¼£ÂqÆÀQ ֍Á‚· ÁN®3ÇqÜq·'ÀQ·ëÀQÂ

m

^±

õBöE÷‹òø‹õ®.¬y­y­yª½ù‹Àq± ®qÔѱB¨

: / F F

¥Qµ!”Q¦³

τ > 0

©•O–N—6µ—½—Q™H›6•O›C”š¥Q¦›6•”Q¦•

c ₃ (τ ), c ₄ (τ )

›6žNš6–W•O–N”y•

ku _m (t)k _{k 0 +2} ≤ c ₃ (τ ), ∀t ≥ τ,

^{جN±Û¨ Ú}

ku m (t)k _∞ ≤ c ₄ (τ ), ∀t ≥ τ.

^{جN±¯ Ú}

%

&')(F

ؼÚ

íÜq㷒¼£Ôqãâ:¼£ÂqÆ䷒¸¹3º¾’·s¹FêlÜÁ‚·’¼¿ÀQÂSÀ‚×

Ø

¬N±Û¬

Ú

Çlâ

|u _m | ^k g _jm ,

¼£Âl·¹8Æyº Á‚·’¼£ÂqÆèÀQÂ

Ω

^®

ÁQÖqÖN¼£ÂqÆׄºÀQ»

j = 1

^·À

m

Á‚Ö-܍¾¼£ÂqÆ

(H 1 ) − (H 2 )

®qâE¼¿¹8ÿÖq¾

1 k + 2

d

dt ku m k ^k+2 _k+2 + 4

(k + 2) ² k∇|u m | ^{k 2} u m k ² ₂ ≤ c 5 ku m k ^k+α+2 _k+α+2 + c 6 .

^{Ø ¬N±Ûª Ú}

(â܍¾’¼£ÂqÆÕ,¹8ãÃiîó:ÀÕÂEÀQÇÀQÿ¹8áèÁ‚ÂÖ Á‚Æyã¼ÝÁ‚ºÖqÀ‚îtù¼£º¹8Âlǹ8º’Æ -¾¼£Â¹Fê:ÜÁ‚ã¼£·’¼¿¹F¾`®qÕ,¹¸ÁFá_¹

ku _m k ^k _k ^{0 +α+2}

0 +α+2 ≤ c ₇ ku _m k ^α _{k 0 +2} k∇|u _m | ^γ u _m k ² ₂ ,

^{Ø ¬N±Û° Ú}

ò)¸l܍¾`®NׄºÀQ»

Ø

¬N±Ûª

Ú

Á‚Ö

Ø

¬N±Û°

Ú

®qÕ(¹'ÀQÇq· Á‚¼£Â

1 k ₀ + 2

d

dt ku m k ^k _k ^{0 +2}

0 +2 ≤ (c ₈ ku m k ^α _{k 0 +2} − 4

(k ₀ + 2) ² )k∇|u m | ^γ u m k ² ₂ + c ₆ .

^{Ø ¬N± Ú}

¹'¾’¸Á‚ãÃ+»?Á‚ó_¹·’¸¹s×cÀQãÿÀ`Õ¼£ÂqÆÄFÀQ»½ÔÁ‚·’¼£Çq¼£Ã£¼£·tâèÄFÀQÖN¼£·’¼¿ÀQÂ<ÀQÂ

u ₀

ku ₀ k _{k 0 +2} < 4 c ₈ (k ₀ + 2) ²

_α ¹

= d ₀ .

^{Ø ¬N±ì Ú}

ò)¸¹8ÂÑ®q·’¸¹8º¹'¹6ÅN¼¿¾’·¾Á¾’»?Á‚ãÃ

τ > 0

¾ÜÄ¸è·’¸Á‚·

ku m (t)k _{k 0 +2} < d ₀

^×cÀQº

t ∈]0, τ [.

^{جN± Ú}

G

¹8ÄF¹

1 k ₀ + 2

d

dt ku _m k ^k _k ^{0 +2}

0 +2 + c ₉ k∇|u _m | ^γ u _m k ² ₂ ≤ c ₆ ∀ 0 < t < τ.

^{جN±Ù ­ Ú}

(âäãJÀQ¼£ÂÄ`Á‚º -¾¼£Â¹Fê:ÜÁ‚ã¼£·tâWÁ‚ÖèÁ#ׄ·¹8º¼£Âl·¹8Æyº Á‚·’¼£Âqƍ®.¼£·)×cÀQãÿÀ`Õ¾·’¸Á‚·

ku m (t)k k 0 +2 ≤ c ₁₀ , ∀ 0 < t < τ,

ò)¸¹8º¹6ׄÀQº¹y®©º¹8ÃÝÁ‚·’¼¿ÀQÂ

Ø

¬N±Û¨

Ú

¼¿¾ÁQÄ ¸q¼¿¹8á_¹FÖïÇlâ¼£·¹8º Á‚·’¼£Âqƾ’܍ÄFÄF¹F¾¾’¼£á_¹8ãⷒ¸¹¾Á‚»¹ÞÔqºÀEÄF¹F¾¾ÀQÂ

¼£Âl·¹8º’áyÁ‚ÿ¾À‚×ÔV¹8º’¼¿ÀEÖq¹

τ

¾’܍ĸ<ÁQ¾

[0, τ ], [τ, t + τ ], ....

^±

Ø

¼£¼

Ú

,âÞ܍¾’¼£ÂqÆ

G

ÿÖq¹8º -¾¼£Â¹Fê:ÜÁ‚ã¼£·tâ_®Õ(¹Æ_¹8·

ku m k ^k+α+2 _k+α+2 ≤ c ₁₁ ku m k ^θ _k+2 ¹ ku m k ^θ _k ²

0 +2 ku m k ^θ _q ³ ,

^{جN±ÙyÙÚ}

Õ¼£·’¸

θ 1 , θ 2

Á‚Ö

θ 3

¾Á‚·’¼¿¾Œ×OâE¼£ÂqÆ

θ ₁

k + 2 + θ ₂

k ₀ + 2 + θ ₃

q = 1

^Á‚Ö

θ ₁ + θ ₂ + θ ₃ = k + α + 2.

õBöE÷‹òø‹õ®.¬y­y­yª½ù‹Àq± ®qÔѱ¯

θ ₁

k + 2 + θ ₃

2(γ + 1) = 1.

¾’¼£ÂqÆ·’¸¹©ÇÀQÜqÖq¹FÖN¹F¾¾À‚×

ku m k _{k 0 +2}

®‚·’¸¹(Ä ¸ÀQ¼¿ÄF¹(À‚×

q

^® EÀQÇVÀQÿ¹8á!Á‚֩ÀQÜqÂqÆ -¾J¼£Â¹FêlÜÁ‚ã¼£·’¼¿¹F¾ Á‚Ö-º¹8ÃÝÁ‚·’¼¿ÀQÂ

Ø

¬N±

ÙyÙÚ

®NÕ,¹'Öq¹8º’¼£á_¹·’¸Á‚·

c ₅ ku _m k ^k+α+2 _k+α+2 ≤ c ₁₂ ku _m k ^θ _k+2 ¹ k∇|u _m | ^γ u _m k

θ 3 γ+1

2

≤ c ₁₃ (k + 2) ^{θ 4} ku _m k ^k+2 _k+2 + 2

(k + 2) ² k∇|u _m | ^γ u _m k ² ₂ ,

Õ¸¹8º¹

θ ₄

¼¿¾¾ÀQ»¹sÔVÀy¾¼£·’¼£á_¹'ÄFÀQ¾’· Á‚Âl·`±

G

¹8ÄF¹

Ø

¬N±Ûª

Ú

ÇV¹FÄFÀQ»¹F¾

1 k + 2

d

dt ku m k ^k+2 _k+2 + c ₁₄

(k + 2) ² k∇|u m | ^γ u m k ² ₂ ≤ c ₁₅ (k + 2) ^{θ 4} ku m k ^k+2 _k+2 + c ₅ .

ò)¸¹8º¹6ׄÀQº¹y®Çlâ-Á‚ÔqÔqãâ:¼£ÂqÆÿ¹8»½»?Á

4 ([

])

Õ(¹'ÄFÀQÄ8ã܍Öq¹ë·À

Ø

¬N±¯ Ú ±

% / 66 / : 8 8

:H5 58 5H;

Ø

¬N±Û¬

Ú / 6

m → ∞

^F íWÜq㷒¼£ÔqãâE¼£ÂqÆ ·’¸¹ Œ·’¸å¹Fê:ÜÁ‚·’¼¿ÀQÂàÀ‚×

¾’âE¾·¹8»

Ø

¬N±Û¬

Ú

Çlâ

g jm (t),

ÁQÖqÖN¼£ÂqÆÞ·’¸¹F¾¹'¹Fê:ÜÁ‚·’¼¿ÀQ¾×cÀQº

j = 1, ..., m

Á‚ÖW¼£Âl·¹8Æyº Á‚·’¼£ÂqÆÕ¼£·’¸

º¹F¾’ÔV¹FÄ8·ë·À䷒¸¹½·’¼£»¹½áyÁ‚º’¼ÝÁ‚Çqÿ¹y®3Õ,¹Öq¹FÖN܍ÄF¹½·’¸¹¹6ÅN¼¿¾’·¹8ÄF¹À‚×Á侒ÜqǍ¾¹Fê:܍¹8ÄF¹À‚×

u m

¾ÜÄ¸

·’¸Á‚·

u _m → u

Õ(¹`Á‚ó-¾’· Á‚º¼£Â

L ^∞ (0, T ; L ² (Ω)), u m → u

Õ,¹`Á‚óä¼£Â

L ² (0, T ; H ₀ ¹ (Ω)), u mt → u t

Õ(¹`Á‚óä¼£Â

L ² (0, T ; H ⁻¹ (Ω)), u m → u

¾·’ºÀQÂqÆyãâÞ¼£Â

L ² (0, T ; L ² (Ω))

^{Á‚ÖÁN±¹¼£Â}

Q T .

:·’º Á‚¼£Æy¸l·Œ×cÀQº’Õ,Á‚ºÖ ¾· Á‚֍Á‚ºÖSÄFÀQ»½ÔÁQÄ8·’¹F¾¾ëÁ‚º’ÆyÜq»¹8Âl·¾!Á‚ãÿÀ`Õ%܍¾s·À-ÁQ¾¾¹8º’·‹·’¸Á‚·

u

^{¼¿¾Á¾À‚î}

ãÜq·’¼¿ÀQÂWÀ‚×JÔqºÀQÇqÿ¹8»

،Ù

±

ÙÚ

;!57CDA!:;!:E66 F

,ÀQ¾’¼¿Öq¹8º

u 1

Á‚Ö

u 2

·tÕ(À<Õ,¹`Á‚ó¾ÀQãÜq·’¼¿ÀQ¾CÀ‚×·’¸¹?ÔqºÀQÇqÿ¹8»

،Ù

±

ÙÚ Á‚Ö

Öq¹ Â¹

w = u ₁ − u ₂

^± :ÜqǍ¾’·’º ÁQÄ8·’¼£ÂqÆ·’¸¹'¹Fê:ÜÁ‚·’¼¿ÀQ¾á_¹8º’¼¹FÖ-Ç:â

u ₁

^Á‚Ö

u ₂

®NÕ,¹'ÀQÇq· Á‚¼£Â

dw

dt − 4w = λ

R

Ω f (u ₁ ) dx 2

f(u ₁ ) − f(u ₂ )

+ λ R

Ω f(u ₂ ) − f(u ₁ ) dx R

Ω f (u ₂ ) + f (u ₁ ) dx R

Ω f (u ₁ ) dx 2 R

Ω f(u ₂ ) dx 2 f (u ₂ ).

^{جN±Ù ¬ Ú}

òrÁ‚óE¼£ÂqÆ?·’¸¹s¼£Âq¹8ºÔqºÀEÖN܍Ä8·À‚×

Ø

¬N±

Ù ¬ Ú

Çlâ

w

Á‚Öä܍¾¼£ÂqÆ

(H ₁ )

^{Á‚ÂÖ جN±¯ Ú} ®NÕ,¹Æ_¹8·

1 2

d

dt kw(t)k ² ₂ ≤ c ₁₆ kw(t)k ² ₂ ,

õBöE÷‹òø‹õ®.¬y­y­yª½ù‹Àq± ®qÔѱBª

Õ¸q¼¿Ä¸W¼£»½Ôq㼿¹F¾·’¸Á‚·

w = 0

^{± G} ¹8ÄF¹·’¸¹'¾ ÀQãÜq·’¼¿ÀQÂ輿¾)ÜqÂq¼¿êl܍¹y±

0

¹ëÖq¹8ÀQ·¹'Ç:â

{T (t), t ≥ 0}

·’¸¹ëÄFÀQÂ:·’¼£Âl܍ÀQ܍¾s¾¹8»½¼iîÆyºÀQÜqÔÆ_¹8¹8º Á‚·¹FÖÇlâ ،Ù

±

ÙÚ Á‚Ö

Öq¹ Â¹FÖèÇlâ

T (t) : L ^∞ (Ω) → L ^∞ (Ω)

u ₀ → T (t)u ₀ = u(t, .).

ÓtÂ-·’¸q¼¿¾ÔÁ‚º’·`®qÕ(¹º¹6×c¹8º·À æÙ

¬#ç+×cÀQºÜ¾¹FÖ-ÄFÀQÄF¹8Ôq·¾`±

: : $F F

‹››žE˜—,•O–N”y•

(H ₁ )−(H ₂ )

”Qµ—(›8”_•„™Ý›O¤,—’¶$ 3–N—6¦

T (t)

q¥‚› ›`—› ›`—›)”‹˜” Q™O˜”Q¢

”y•c•„µŒ”lšF•¥Qµë´–:™„š6–ä™H›ëŸ¥Qž:¦V¶l—’¶ä™O¦

H ₀ ¹ (Ω) T

L ^∞ (Ω),

^š¥Q˜ N”lšF•”Q¦.¶š¥Q¦¦V—šF•t—’¶ä™O¦

L ^∞ (Ω).

%

&')(F

ؼ ÚSØ

¬N±¯ Ú

¼£»½Ôqãⷒ¸Á‚··’¸¹8º¹'¹6ÅN¼¿¾’·¾Á‚ÂWÁ‚Ǎ¾ ÀQº’Çq¼£ÂqÆÞ¾¹8·¼£Â

L ^k (Ω), 1 ≤ k ≤ ∞

^±

Ø

¼£¼

Ú

òrÀÞÀQÇq· Á‚¼£Â¹6ÅN¼¿¾’·¹8ÄF¹!À‚×,Á‚Ǎ¾ÀQº’Çq¼£ÂqÆ-¾¹8·¾¼£Â

H ₀ ¹ (Ω)

Á‚Ö<·’¸¹CÜqÂq¼iׄÀQº’»&ÄFÀQ»½ÔÁQÄ8·’¹F¾¾ À‚×

T (t)

®»ëÜq㷒¼£Ôqãâ

Ø

¬N±Û¬

Ú

Çlâ

g _jm ⁰ (t)

®ÁQÖqÖ-ׄºÀQ»

j = 1

^·À

m

Á‚Öè¼£Â:·¹8Æyº Á‚·¹!ÀQÂ

Ω

^Ç:â

܍¾’¼£ÂqÆ ©ÀQÜqÂqÆ -¾¼£Â¹FêlÜÁ‚ã¼£·vâ_®¼£·×cÀQãÿÀ`Õ¾·’¸¹8º¹6ׄÀQº¹ë·’¸Á‚·`®NׄÀQºÁ‚Â:â

t ≥ τ > 0 Z

Ω

( ∂u m

dt ) ² dx + d

dt k∇u m k ² ₂ ≤ c ₁₇ (τ ),

^{جN±Ù ¨ Ú}

Õ¸q¼¿Ä ¸èÆy¼£á_¹F¾

d

dt k∇u m k ² ₂ ≤ c ₁₇ (τ ), ∀t ≥ τ > 0.

^{جN±Ù ¯ Ú}

Âô·’¸¹½ÀQ·’¸¹8º¸Á‚Ö+®+»CÜq㷒¼£Ôqãâ:¼£ÂqÆ

Ø

¬N±Û¬

Ú

Ç:â

g jm

®ÑÁQÖqÖN¼£ÂqÆÁ‚Ö<¼£Âl·¹8Æyº Á‚·’¼£ÂqÆÀQÂ

Ω × [t, t + τ ]

^{Õ(¹ëÆ_¹8·}

Z _t+τ

t

k∇u m (s)k ² ₂ ds ≤ c ₁₈ (τ ), ∀t ≥ τ > 0.

^{جN±Ù ª Ú}

ò)¸¹8ÂÑ®rÇlâS·’¸¹?ÜqÂq¼iׄÀQº’» ºÀQÂlÕ)Á‚ãÃ-¾Cÿ¹8»½»?Á

Ø

¾¹F¹ æÙ

¬Qçt®3Ôѱ

ì Ú

Á‚ַ’¸¹Ã¿ÀÕ(¹8º¾¹8»½¼iî

ÄFÀQÂ:·’¼£ÂlÜq¼£·tâèÀ‚×·’¸¹ÂÀQº’»è®qÕ,¹¸ÁFá_¹

k∇u(t)k ² ₂ ≤ c ₁₉ (τ ), ∀t ≥ τ.

^{جN±Ù ° Ú}

ò)¸¹8º¹6×cÀQº¹y®q·’¸¹'ÀQÔ¹8Â-ÇÁ‚ãÃ

B(0, c 19 (τ ))

¼¿¾Á‚ÂWÁ‚Ǎ¾ÀQº’Çq¼£ÂqÆÞ¾ ¹8·¼£Â

H ₀ ¹ (Ω).

G

¹8ÄF¹y®BÇ:ⷒ¸¹FÀQº¹8»

(1.1)

^{Ø æÙ} ¬‚çt®©Ôѱ۬y¨

Ú

®©Õ,¹èÄFÀQÄ8ã܍Öq¹-·Àô·’¸¹-º¹F¾Üqã·¾½À‚׋·’¸¹FÀQº¹8»

(2.3)

^±

: : $FDF

—'›ž N¥‚›`—

(H ₁ ) − (H ₂ )

^”y¦.¶

f ∈ C ¹ ( R )

õBöE÷‹òø‹õ®.¬y­y­yª½ù‹Àq± ®qÔѱB°

y(t) ≡ ku _t k ² ≤ c ₂₀ (τ),

^{F¥Qµë”Q¦³}

t ≥ τ > 0.

%

&')(F

ø‹¼+*¹8º¹8Â:·’¼ÝÁ‚·’¼£ÂqƹFêlÜÁ‚·’¼¿ÀQÂ

،Ù

±

ÙÚ

Õ¼£·’¸ º¹F¾’Ô¹FÄ8·C·ÀW·’¼£»¹

Ø

·’¸¹ f܍¾’·’¼Ä`Á‚·’¼¿ÀQÂïÀ‚×·’¸¹

ׄÀQº’»?Á‚Ã3Öq¹8º’¼£áyÁ‚·’¼£á_¹F¾Ä`Á‚ÂWÇV¹ÖqÀQ¹ëÁQ¾¼£Â

æ

ª‚ç

Ú

®NÕ(¹Æ_¹8·

u tt − 4u t = λf ⁰ (u)u t

R

Ω f(u) dx 2 − 2λf(u) R

Ω f ⁰ (u)u t dx R

Ω f(u) dx 3 .

^{جN±Ù Ú}

íWÜq㷒¼£ÔqãâE¼£ÂqÆ

Ø

¬N±

Ù Ú Çlâ

u t

®¼£Âl·¹8Æyº Á‚·’¼£ÂqÆ Àá_¹8º

Ω

Á‚ÖU܍¾’¼£ÂqÆô·’¸¹

L ^∞

¹F¾’·’¼£»?Á‚·¹äÀ‚×

u

^Á‚Ö

G

ÿÖq¹8º -¾¼£Â¹FêlÜÁ‚ã¼£·vâ_®âE¼¿¹8ÿÖq¾

1

2 y ⁰ (t) ≤ c ₂₁ (τ )y(t).

^{جN±Ù ì Ú}

½·’¸¹ÀQ·’¸¹8ºB¸Á‚Ö+®y· Á‚óE¼£ÂqƝ·’¸¹¾Ä`Á‚ÃÝÁ‚ºÔqºÀ:ÖN܍Ä8·(À‚×

،Ù

±

ÙÚ Õ¼£·’¸

u _t

®Q܍¾’¼£ÂqÆ ©ÀQÜqÂqÆ -¾B¼£Â¹Fê:ÜÁ‚Ãiî

¼£·tâ_®¼£Â:·¹8Æyº Á‚·’¼£ÂqÆÞÀQÂ

[t, t + τ ]

Á‚Ö-܍¾’¼£ÂqÆÞ¹F¾’·’¼£»?Á‚·¹

Ø

¬N±

Ù ° Ú

®N·’¸¹8ÂèÆy¼£á_¹F¾

Z t+τ t

y(s)ds ≤ c ₂₃ (τ ),

^{×cÀQºÁ‚Âlâ}

t ≥ τ.

^{جN±Ù Ú}

qºÀQ»

Ø

¬N±

Ù ì Ú

Á‚Ö跒¸¹sÜqÂq¼iׄÀQº’» ºÀQÂlÕ,Á‚ãÃ-¾Ã¿¹8»½»?ÁN®Õ,¹¸ÁFá_¹

y(t) ≤ c ₂₃ (τ ),

^{×cÀQºÁ‚Âlâ}

t ≥ τ.

ò)¸¹8º¹6ׄÀQº¹y®

u _t ∈ L ^∞ (τ, ∞, L ² (Ω)).

(â

،Ù

±

ÙÚ

®Õ(¹·’¸¹8ÂèÆ_¹8·

−4u ∈ L ^∞ (τ, ∞, L ² (Ω)),

·’¸Á‚·¼¿¾`®

u(t)

¼¿¾¼£ÂÁ!ÇÀQÜqÖq¹FÖ辒ÜqǍ¾ ¹8·À‚×

H ² (Ω).

G

¹8ÄF¹·’¸¹ë¹6ÅE¼¿¾’·¹8ÄF¹À‚×BÁ‚ÂÁ‚Ǎ¾ÀQº’Çq¼£ÂqÆÞ¾¹8·¼£Â

H ² (Ω)

¼¿¾¾’¸À`ÕÂѱ

&)9Ì$ÊCÐB&

æÙ ç V±QùC±

Â:·ÀQÂl·¾¹8áÁ‚Ö!íU± (¸q¼£ÔÀQ·`®Qò)¸¹©·’¸¹8º’»½¼¿¾·ÀQºÔqºÀQÇqÿ¹8» ‚¹6ÅN¼¿¾’·¹8ÄF¹y®‚¾’»ÀEÀQ·’¸q¹F¾¾`®

ÜqÂq¼¿êl܍¹8¹F¾ ¾`®qÇqÿÀ`ÕÜqÔѱ EÓ í ö±qí<Á‚·’¸Ñ± ÂÁ‚ϱ

،٠‚¯

Ú ® ÙyÙ

¬ ì î

ÙyÙ ªy°N±

æ

¬#çëö±D ± )¹8ǹ8º’¹F¾`® ± ±D3ÁQÄF¹8â ÿÀQÇÁ‚Ã(¹6ÅN¼¿¾’·¹8ÄF¹ÞÁ‚ÂÖ Âq¼£·¹6’¼£»¹?ÇqÿÀÕ)îÜqÔ ×cÀQºCÁ

Ä8ÃÝÁQ¾¾ëÀ‚×)ÀQÂqÿÀEÄ`Á‚éÔÁ‚º Á‚ÇÀQ㼿ÄÔqºÀQÇqÿ¹8»¾`® ÖNáQÁ‚ÄF¹F¾ë¼£Â ø‹¼+*¹8º¹8Ä8¼ÝÁ‚Ã,õBêlÜÁ‚·’¼¿ÀQ¾®BÀQϱ

®ù‹Àq±Ñ®NÔqÔѱ y¬ î yªy¨½ùÀá_¹8»ëǹ8º

Ù E±

æ

¨#ç ± (¼£»?Á‚·’·’¼1 Â뷒¸¹©¾’· Á‚Çq¼£Ã£¼£·tâ'À‚×q·’¸¹©¾ ÀQãÜq·’¼¿ÀQÂCÀ‚×q·’¸¹·’¸¹8»½¼¿¾’·ÀQºrÔqºÀQÇqÿ¹8»è® ÔqÔq㼿Ä`Á‚Çqÿ¹

ÂÁ‚ãâN¾’¼¿¾`®BÀQϱ

Ø

¨#

Ú

®ÔqÔѱq¯l­ l¬y¨N®

Ù N±

õBöE÷‹òø‹õ®.¬y­y­yª½ù‹Àq± ®qÔѱ

¯Qç ± (¼£»?Á‚·’·’¼ V¾’· Á‚Çq¼£Ã£¼£·vâÁ‚Ö<»ëÜq㷒¼£Ôq㼿Ä8¼£·tâôÀ‚ש¾ÀQãÜq·’¼¿ÀQ¾×cÀQº·’¸¹C·’¸¹8º’»½¼¿¾’·ÀQºsÔqºÀQÇqÿ¹8»è®

ÂqÂÁ‚ã¼rÖN¼3í<Á‚·¹8»?Á‚·’¼¿Ä`Á

Ù ì Ù ® Ù ì Ù îv¬

Ù ¬ Ø

¬y­y­y¬

Ú ±

æ

ª#ç ±VõÃ

G

ÁQÄ ¸q¼£»½¼®$,±.Öq¹Cò)¸ 8㼣 :ÜqÔV¹8º¾ÀQãÜq·’¼¿ÀQ¾Á‚Ö<¾’· Á‚Çq¼£Ã£¼¿¾ Á‚·’¼¿ÀQÂSÀ‚×B·’¸¹!¾ÀQãÜq·’¼¿ÀQ¾

À‚×3·’¸¹‹¹FêlÜÁ‚·’¼¿ÀQÂ

u _t − 4 _p u = f(x, u)

®:ãÁ‚º’·ÓÓ6±:ãBÜqÇq㼿Ä`ÁQÄ8¼¿ÀQ¾í<Á‚·¹8»?Á‚·’¼¿ê:܍¹F¾`®:á_ÀQÃ

،Ù

ÙÚ

®NÔqÔW¨‚¯ îv¨y°y¬N±

æ

°#ç ±EõÃ

G

ÁQÄ ¸q¼£»½¼®qí±C± :¼¿ÖN¼ »½»½¼®NõÅN¼¿¾’·¹8ÄF¹sÀ‚×ÑÕ(¹`Á‚ó¾ÀQãÜq·’¼¿ÀQ¾(ׄÀQº,·’¸¹·’¸¹8º’»½¼¿¾’·ÀQº

ÔqºÀQÇqÿ¹8» Õ¼£·’¸WÖq¹8Æ_¹8¹8º ÁQÄ8â_®.õBö_øsõ®á_ÀQÃ

Ø

¬y­y­y¨

Ú

®ÔqÔѱ

Ù ¬ î Ù ¨ E±

æ

çëö±?J¼£Ã¿À

L ^∞

îtõ©¾’·’¼£»?Á‚·¹s×cÀQºÂÀQÂq㼣¹`Á‚ºÖN¼+*܍¾’¼¿ÀQÂè¹FêlÜÁ‚·’¼¿ÀQÂÑ® ÔqÔq㼿Ä`Á‚Çqÿ¹ ÂÁ‚ãâN¾’¼¿¾`®BÀQÃ

®qÔqÔѱN¯E#îv°

Ù ® ،Ù

y­

Ú ±

æÛì

ç ± ± 3ÁQÄF¹8â_®ò)¸¹8º’»?Á‚Ã3º’ÜqÂlÕ,Á`â-¼£ÂWÁ!ÀQÂNîÃ¿À:Ä`Á‚Ã3ÔqºÀQÇqÿ¹8»é»À:Öq¹8ãã¼£ÂqÆÞÀQ¸q»½¼¿Ä¸¹`Á‚·’¼£Âqƍ®

ãJÁ‚º’·!Ó í<À:Öq¹8ÃBÖq¹8º’¼£áyÁ‚·’¼¿ÀQÂÁ‚ÖS¾ÀQ»¹½¾ÔV¹FÄ8¼ÝÁ‚ÃBÄ`ÁQ¾¹F¾®VõBÜqºÀq±ÑöyÂqéÀ‚×

ÔqÔq㼿¹FÖíôÁ‚·’¸¹6î

»?Á‚·’¼¿ÄF¾`®qá_ÀQϱ 3®NÔqÔѱ

Ù ¬ î

Ù

¯y¯®

Ù yªN±

æ

#ç

± ± 3ÁQÄF¹8â_®ò)¸¹8º’»?Á‚Ã3º’ÜqÂlÕ,Á`â-¼£ÂWÁ!ÀQÂNîÃ¿À:Ä`Á‚Ã3ÔqºÀQÇqÿ¹8»é»À:Öq¹8ãã¼£ÂqÆÞÀQ¸q»½¼¿Ä¸¹`Á‚·’¼£Âqƍ®

ãJÁ‚º’·ÓÓ ¹8¹8º Á‚Ã:ÔqºÀEÀ‚×.À‚׍ÇqÿÀ`Õ)îÜqÔÁ‚ֽÁQ¾’âE»½Ôq·ÀQ·’¼¿ÄF¾Jº’ÜqÂlÕ,Á`âE¾®‚õBÜqºÀq±‚ö_ÂqÃEÀ‚× ÔqÔq㼿¹FÖ

í<Á‚·’¸¹8»?Á‚·’¼¿ÄF¾®á_ÀQϱ 3®NÔqÔѱ۬y­

Ù

îv¬y¬‚¯®

Ù yªN±

æÙ

­#çCö±B± +¼¿ÀQ¾ (÷܍¹8ÿê:܍¹F¾» 8·’¸ÀEÖq¹F¾?Öq¹äº F¾ ÀQãÜq·’¼¿ÀQÂàÖq¹F¾ÔqºÀQÇqÃ8»¹F¾Á‚ÜNÅßã¼£»½¼£·¹F¾ÂÀQÂ

㼣 `Á‚¼£º¹F¾`±ø‹ÜqÀEÖ+®qãJÁ‚º’¼¿¾®

Ù

y° N±

æ

ÙyÙ

çCí±.ò± ÀQ J‚ÿ¹J!í<ÀQÂl·¹F¾’¼£ÂÀy¾Á‚ÂÖ ,± º’·¹8Æ Q Á‚ãÿ¹8Æ_À .ò)¸¹C¹8á_ÀQãÜq·’¼¿ÀQÂô·’¸¹8º’»½¼¿¾’·ÀQº

ÔqºÀQÇqÿ¹8» Õ¼£·’¸UÖq¹8Æ_¹8¹8º Á‚·¹ä·’¸¹8º’»?Á‚Ã)ÄFÀQÖN܍Ä8·’¼£á:¼£·vâ_®,ÀQ»½»ëÜqÂq¼¿Ä`Á‚·’¼¿ÀQ¾ÀQÂïãÜqº¹-Á‚Ö

ÔqÔq㼿¹FÖ ÂÁ‚ãâN¾’¼¿¾`®BÀQãÜq»¹

®ùÜq»ëǹ8º

®NÔqÔѱۨ

Ù

¨#îv¨y¬yªN® E¹8Ôq·¹8»ëǹ8º‹¬y­y­y¬N±

æÙ

¬#çë±.ò3¹8»?Á‚» ÓvÂq¼£·¹CÖN¼£»¹8¾¼¿ÀQÂÁ‚ÃÖNâEÂÁ‚»½¼¿Ä`Á‚þ’âE¾·¹8»¾¼£Â»¹FĸÁ‚Âq¼¿ÄF¾'Á‚ÖÔq¸lâN¾’¼¿ÄF¾`±

ÔqÔq㼿¹FÖWí<Á‚·’¸¹8»?Á‚·’¼¿Ä`Á‚à EÄ8¼¿¹8ÄF¹F¾`®¾’Ôqº’¼£ÂqÆ_¹8ºŒîá_¹8º’ÃÝÁ‚Æ

،Ù

ìyì

Ú ±

æÙ

¨#çCø±õ±qòDJÁ‚¹8·’¼¿¾® ,ÿÀ`Õ)îÜqÔ<À‚×rº ÁQÖN¼ÝÁ‚ããâ-¾’âE»½»¹8·’º’¼¿Ä'¾ÀQãÜq·’¼¿ÀQ¾À‚×BÁ!ÀQÂNîÃ¿ÀEÄ`Á‚ÃÑÔqºÀQÇqÿ¹8»

»À:Öq¹8ãã¼£ÂqÆÀQ¸q»½¼¿Ä¸¹`Á‚·’¼£Âqƍ® BÀQϱ

Ø

¬y­y­y¬

Ú

ù‹Àq±

ÙyÙ

®qÔqÔѱ

Ù

îv¬y°N±

æÙ

¯Qç!±‹ÜD ÑÀEÄ`Á‚Ã3Á‚ÖäÆyÿÀQÇÁ‚Ã3¹6ÅN¼¿¾’·¹8ÄF¹À‚×ÄFÀQÂ:·’¼£Âl܍ÀQ܍¾·¹8»½ÔV¹8º Á‚·’Üqº¹'¼£Âè¹8ÿ¹FÄ8·’º’¼¿Ä`Á‚Ã3¸¹`Á‚·Œî

¼£ÂqÆ-À‚×,ÄFÀQÖN܍Ä8·ÀQº¾`®

G

ÀQ܍¾’·ÀQÂSö_ÀQÜqº’ÂÁ‚ÃBÀ‚×(íôÁ‚·’¸¹8»?Á‚·’¼¿ÄF¾`®á_ÀQÃ

®.ù‹Àq±Û¬N®ÔqÔѱ¯l¨yª#lªyªN®

،٠y°

Ú ±

æÙ

ª#ç!± ÜD:õÅE¼¿¾·¹8ÄF¹Á‚ÖÜqÂq¼¿ê:܍¹8¹F¾¾BׄÀQºB·’¸¹ÂÀQ¾’· Á‚·’¼¿ÀQÂÁ‚º’âÔqºÀQÇqÿ¹8» À‚×·’¸¹¹8ÿ¹FÄ8·’º’¼¿Ä`Á‚Ã

¸¹`Á‚·’¼£ÂqÆCÀ‚×+ÁÄFÀQÖN܍Ä8·ÀQº©ÖN܍¹·Às·’¸¹ ’ÀQÜqÿ¹6îtò)¸ÀQ»¾ÀQÂ?¹ *+¹FÄ8·`®_ÓvÂl·`±yö±lí<Á‚·’¸Ñ±yíôÁ‚·’¸Ñ± EÄ8¼±

Ù

°N®qÔqÔѱ

Ù

¬yª#î

Ù ¨ ì ،Ù

y¨

Ú ±

õBöE÷‹òø‹õ®.¬y­y­yª½ù‹Àq± ®qÔѱ

ì

íôÁ‚·’¸ 8»?Á‚·’¼¿ê:܍¹F¾ ÔqÔq㼿êlÜ F¹F¾¹8·ÓtÖN܍¾’·’º’¼¿¹8ãÿ¹F¾

ÁQÄ8Üqã· ëÖq¹F¾EÄ8¼¿¹8ÄF¹F¾

Âq¼£á_¹8º¾’¼£· (¸ÀQÜÁ‚¼£ÇøsÀQÜqó:óyÁ‚ã¼

‹±ã ¬y­N®õÃÑölÁQÖN¼¿ÖÁ½î©í<Á‚ºÀEÄ

¹6?Á‚¼£ÃJÁQÖNº¹F¾¾¹8ã¸ÁQÄ ¸q¼£»½¼ÜÄFÖ+±ÛÁQÄy±»?Á

ÁQ¹8ã¸ÁQĸq¼âlÁ‚¸ÀEÀq±×Oº

!" #%$'&()+*),-.

íôÁ‚·’¸ 8»?Á‚·’¼¿ê:܍¹F¾

ÔqÔq㼿êlÜ F¹F¾¹8·ÓtÖN܍¾’·’º’¼¿¹8ãÿ¹F¾

ÁQÄ8Üqã· ëÖq¹F¾EÄ8¼¿¹8ÄF¹F¾

Âq¼£á_¹8º¾’¼£· (¸ÀQÜÁ‚¼£ÇøsÀQÜqó:óyÁ‚ã¼

‹±ã ¬y­N®õÃÑölÁQÖN¼¿ÖÁ½î©í<Á‚ºÀEÄ

¹6?Á‚¼£ÃJÁQÖNº¹F¾¾¾¼¿ÖN¼ÝÁ‚»½»½¼¸ÀQ·’»?Á‚¼£Ã±ÄFÀQ»

º ÁQÄ ¸q¼¿Öq¾’¼¿ÖN¼ÝÁ‚»½»½¼âlÁ‚¸ÀEÀq±×Oº

Ø

¹FÄF¹8¼£á_¹FÖ Ä8·ÀQÇV¹8º‹¬ E®¬y­y­y¨

¹8áE¼¿¾¹FÖá_¹8º¾’¼¿ÀQÂ躹FÄF¹8¼£á_¹FÖölÁ‚ÂlÜÁ‚º’â

Ù

°N®¬y­y­yª

Ú

õBöE÷‹òø‹õ®.¬y­y­yª½ù‹Àq± ®qÔѱ