Sejtautomaták Fibonacci-növényeken át

Sejtautomaták

Fibonacci-növényeken át

BÉRCZI SZANISZLÓ

K orábbi írásunkban a sejtautom atákat úgy m utattuk be, m int m ozaikalkotó „e g y é ­ n iség eket”, egyveretű b e lső tulajdonságokkal. A k k o ra D escartes koo rd in á ta re n d ­ szertől indítottuk ism ertetésüket: azt mondtuk, hogy a sejta utom a tá k m ozaikja eleven, m egm ozduló háttérként viselkedik a D escartes koordináták „m e re vsé g é ­ vel" szem ben. A hagyom ányos fizikai kép m egnevezéseivel azt is m ondhatjuk, hogy a sejtautom atákból alkotott m ozaikfelülettel a deform álódó felü le t s ejtjeihez rögzített koordinátarendszerhez jutottunk. A sejte k m ozaikjához rög zíte tt ko o rd i­

ná taren dsze rre l nem csak lehetővé, de szükségszerűvé válik az, hogy a felü le t állap otválto zása it részben belefogalm azzuk (beleolvasszuk) a vonatkoztatási rendszerbe. E zzel azonban nyílttá is válik a kérdés: m i képez m ég vonatkoztatá si rendszert és m i kép ezi m á ra leírásra váró állapotváltozás m ozg áse gyen le té t?

V onatkoztatási rendszer és leírandó jelenség szétválasztása

Kétségtelen, hogy a klasszikus m echanika is ism eri az „együtt m ozgó koordinátarend­

szer” fogalm át (s például az égim echanikában kiterjedten alkalm azza). Ott azonban ez a transzform áció két m erev koordinátarendszer egym áshoz viszonyított m ozgását iktatja be az eredeti merev háttér és a jelenségleírás közé. Ezzel a m ozgásleírás még nem válik kétrétegűvé, hiszen a merev két koordinátarendszer közötti átalakítás (áttérés) be ép ít­

hető a hagyom ányos képű m ozgásegyenletbe. A sejtautom ata m ozgásleírási form a az­

zal, hogy eleven szem csékre bontja az EGÉSZt, új m ozgásleírási szintet is terem t. A sejt­

autom aták környező sejtállapotoktól, előző állapottól és belső program tól függő állapot­

változásai m egőrzik ugyan a kezdeti feltétel+perem feltétel+m ozgásegyenlet válto zásle­

írási szerkezetet, de az általuk nyitott új hierarchiaszint lényegében m egkettőzi a m oz­

gásleírás lehetőségét. E m egkettőzéssel a változásleírás kétrétegűvé válik: a SEJTek ré­

tegén történővé és az EG ÉSZ hierarchiaszintjén történővé. E kétrétegűséggel azonban össze is keveredhetnek a korábbi egyrétegű leírásban tiszta szerepek: m ostm ár a sejt­

m ozaik háttér, tehát a vonatkoztatási rendszer is mozog, nem csak az alakzatrendszer EGÉSZ. A sejtháttér rendezett m ozgásait így beépítve a vonatkoztatási rendszer szere­

pét öröklő sejtm ozaik-rendszerbe új szem pontok figyelem be vételére nyílik lehetőség az állapotváltozás sejtautom ata rendszerű leírásában: például a vissza csatolásokn ak az EGÉSZt átható rendszerére.

A sejtautom ata m odell mint leírási form a

Am ikor egy jelenséget sejtautom ata modellel írunk le, egy újszerű leírási form át hasz­

nálunk föl a jelenség bizonyos jellem ző vonásainak kiem elésére. A sejtautom ata m odell, mint leírási forma, jobban kidolgozza azt a hátteret, amelyen az átalakulási esem ények zajlanak, és két rétegre bontja m agának az állapotváltozásnak a leírását is. Valójában az esem ény-hátteret is kétszintűnek tekinti. Az egyik háttér-szint lokális: az állapotváltozási esem ényekben főszereplő sejteket - alak, környezet, kezdeti é rté k e k - adja meg. A m ásik háttér-szint globális: a sejtek m ozaikot (hálózatot) alkotó együttesét (vagy teret kitöltő te ­ rét) adja meg, vagyis magát az egészében vizsgált felületet.

A sejtfelület állapotváltozásainak leírása is két rétegben történik. Az egyes sejtek szint­

jén: helyi (lokális) átm eneti függvénnyel, am ely időben egyenletesen következő lépésen­

ként, diszkrét függvényként adja meg a sejt állapotát korábbi állapota, a szom széd sejtek állapota és a belső program függvényében. A második esem ényleírási szint a sejtm ozaik rendszer állapotváltozásaié, am ely az egyes sejtek lépéseiből összegződik, s időlépé­

senként létrejövő sejtm ozaik-képernyő állapotváltozások sorozataként kerül m egadásra (vagy kiszám ításra).

A sejtautom ata modellben tehát az esem ényháttérnek és az állapotváltozások átm e­

neteinek a m egadása is két-két részben történik. M indkettőben szerepel egy lokális és egy globális rész. Betűpárokkal fölcim kézve e m egadási form át, a háttér statikus m eg­

adását az A a és az A b pontokkal, az átalakulást átm eneti függvényekkel leíró dinam ikus, m ozgásegyenleteknek megfelelő m egadását a Ba és Bb pontokkal végezzük. (1. ábra)

A sejtautom ata modell m egadása tehát form ailag a következőket jelenti:

Aa a sejtek alakja, lokális kapcsolatai a mozaikhálózatban, kezdeti állapotai

f A • h \ ^ a sei,0kből fölépülő sejtmozaik-rendszemek egész felületet megadó (sejtekből megepitve) együtt0se: a g|obá|is felületrács, kezdeti paramétereivel

Ba az egyes sejtek lokális átmeneti függvényei, időlópósenkónt: e z a belső programtól (a sejtek automaták) és a szomszédságtól függ B. Az átmenetek

(átmeneti függvények) Bb az egész felület (sejtmozaik hálózat) globális átmeneti függvénye, amely az egyes sejtek lokális átmeneti függvényeiből összegződik idő- lépósenkénti állapotsorozat formájában

Bár az egyes a és b pontok nem teljesen függetlenek egym ástól, a sejtautom ata modell keretei között történő állapotváltozás leírásnak az ereje a lokális és a globális szerkezet és dinam ika együttes figyelem be vételéből, kapcsoltságából fakad. M ondhatjuk azt is, hogy a sejtautom ata leírásban éppen az esem ényeknek ezen a kétrétegűségén van a hangsúly.

Az indirekt Neumann problém a

A sejtautom ata modellt Neum ann János (1966) konstruálta azzal a céllal, hogy a se j­

tekből, mint belső cselekvési program m al ellátott autom atákból összeálló „képernyőn”, a sejtm ozaikrácson, önreprodukáló gépeket állíthasson össze. Az önreprodukáló gép m egalkotása során végzett problém am egoldási út a következő. Előre elkészített és pro g­

ram ozható sejteket alkotunk, majd belőlük olyan szom szédsági kapcsolatú, és belső programsorsú sejtm ozaik együttest, amely globális átm eneti függvényének m ozaiklépé­

seiben, „képernyő-film jében" produkálja az önreprodukáló gépet. A konstruálási irány te ­ hát a lokális átm eneti függvényektől elindulva vezet a globális átm eneti függvényben megfogalm azódó célig. Előzőleg m egadott szim bólum ainkkal tehát az eredeti Neum ann probléma, a direkt Neumann problém a Ba -> Bb irányú.

Abban a képben, melyet mi form álunk dolgozatunkban, a cél az, hogy a sejtm ozaik- hálózaton, mint képernyőn megfigyelhető, és lépésenként változó állapotváltozásokból:

olvassunk. A képernyőn végbem enő változásokat tekinthetjük egy sejtm ozaik-autom ata globális átm eneti függvényének, mert időben diszkrét lépésekre bontva je lennek már meg előttünk. A Neum ann-féle sejtautom ata modell szerkezetének ism eretében, vizsg á­

latainkban azt a célt tűztük ki, hogy fölbontsuk e fölism ert globális átm eneti függvényt egyes sejtekre vonatkozó lokális átm eneti függvényekre. E törekvésünket a sejtautom ata modell m egadására használt szim bólum ainkkal tehát így fogalm azhatjuk meg: Bb —» Ba irányú problém am egoldásunk. Mivel ez az irány a Neum ann-féle konstruálási iránnyal

BÉRC ZI S ZA N IS ZLÓ

A sejtautomata modell mint ál­

lapotváltozást leíró keret Lokális Globális

Háttér

Aa

a sejtek alakja, elemi környe­

zete (kapcsolatai), kezdeti álla­

pota

Ab

a sejtsokaság (a sejtmozaik- rendszer) együttes: a felület (v.

tértartomány); a felület kezdeti paraméterei

Átmenet

Ba

a sejtek állapotátmenetei, idő­

lépésenként: lokális átmeneti függvény; függhet a környező sejtek állapotától a sejt koráb­

bi állapotától és a sejtbe írt proqramtól

Bb

a sejtegyüttes sejtmozaik-háló- zatot alkotó felületének (v. tér­

tartományának) globális átm e­

neti függvénye: ez a z egyes sejtátmenetekből összegződik, időié dó senként

Első (mélyebb) hierarchiaszint

Második (m agasabb) hierarchiaszint működéskonstaiálás direkt Neumann probléma

visszaolvasás-állapotváltozás

leírása indirekt Neumann probléma iránya

1. ábra

R e láció tábláza t a sejta utom ata m o d e ll m e g a d á sá ró l

ellentétes nevezhetjük választott program unkat az indirekt Neum ann problém a egy spe­

ciális esetben történő megoldásának.

K éthierarchiaszintes m ozgásegyenlet

A sejtautom ata modell kétrétegű term észetét más irányból is m egvilágíthatjuk. Képez­

zük le a m egfogalm azott négy m odell-pontot (Aa, Ab, Ba, Bb) a klasszikus változás-leírás hasonló módon tagolt modellpontjaira.

Az esem ényleírás form ájaként a klasszikus deform ációs m ozgás (deform ációval együttjáró állapotváltozás) esetén a következő m odell-pontokat használjuk leíráskeret­

ként. N evezzük őket rendre Ca, Cb, Cc, Cd, Ce pontoknak, ahol Ca a koordinátarendszert adja meg, Cb a kezdeti feltételeket, Cc pedig a perem feltételeket; C d-re egy olyan pontot jelölünk ki, am ely valam ely belső vagy külső visszacsatolásos term észetű beavatkozás az esem ényláncolatban (ez a pont egyszerű m ozgásleírásokban gyakran hiányzik), Ce pedig maga a klasszikus m ozgásegyenlet. Célunk ezzel a leképezéssel csak a se jta u ­ tom ata m odell gondolkodásm ódjának a rávetítése volt a hagyom ányosan kialakultra. Az ábra relációtáblázatából jól látható, hogy erős a kapcsoltság az A (háttér) és a B (átm e­

netek) oszlopai között a sejtautom ata modellben. A klasszikus leírásba bevett viss za cs a ­ tolási pont az, am ely m egvilágítja a „kétrétegű” háttérnek és a kétrétegű ese m én yleírás­

nak a kapcsolatát is. A visszacsatolás ugyanis részben szerkezeti, részben m űködési (m ozgásegyenletbe fogalm azott) a sejtautom ata modellben.

A sejtautom ata modell kétrétegűséget kiemelő relációtábláján a m átrixelrendezés ki­

emeli azt, hogy mind a lokális, mind a globális kép háttér + m ozgásegyenlet kapcsolatú, s ebben az értelem ben klasszikus alapú. Újdonság azonban a kettő párhuzam osan futó volta, az ezáltali kapcsoltsága. (2. ábra)

A sejtautomata modell, mint formai keret a sejtrendszer állapotváltozásainak a leírására

Seitháttér Átmeneti függvények

Aa-lokális Ab-qlobális Ba-lokális Bb-qlobális

KoorrJina- tamedszei

a sejtek alakja, hálózata, m oza­

ikja

a sejtrendszer felület invariáns tulajdonságai

gysejtrendszertranszformációinak klasszikusleírásmódja Kezdeti feltételek

sejtállapotok kezdeti értékei­

nek m eghatáro­

zása

a m oíaikrács kezdeti param é­

tereinek m egha­

tározása

Perem­ feltételek a felület típusá­

nak, topológiá­

jának m eghatá­

r o z n a

Vissza­ csatolá­ sok a szerkezet­ bebeépít­ ve

a felületen a visszatérő sá­

vok határozzák meq

sejtszomszéd­

sági hatások határozzák meg LU

t/> 3 f i

belső program és szom szédsá­

gi függés hatá­

rozza meq

sejtátmenetek- b ő lösszeg ződ­

nek lépésen­

ként

2. ábra

A klasszikus de form ációs m o zgás-le írás szerkezeién ek és a sejta utom ata m o d e ll k é tré te g ű m o z ­ g á se g ye n le tű s zerkezetének össze hason lítása relációtáblázatban. A se jta u to m a ta m o d e ll ké t ré ­

tege: a lokális és a g lo b á lis (vagyis a z A a+B a és a z A b+ B b) p á ro kb ó ) á ll össze.

Fibonacci-növényeken át

Múltkori írásunkban (Platoni és Archim edészi testeken át) szabályos é sfé lig szabá lyo s geom etriai testek alkották azt a készletet, am elyből sejtautom ata rendszereinket v á lo ­ gattuk. A testek egy alkalm asan kiválasztott sorozatát egyetlen jellem ző m űvelet fűzte össze egy transzform ációs sorozattá. így, a VÁLTOZÁST FÁZISAIVAL ELVet alkalm azva, sejtm űveletekre lefordítva is meg tudtuk fogalm azni azt, hogyan történik a lokális átm enet egyes sejtállapotok között. Mindezen tevékenységünk során alkalm aztunk egy olyan el­

vet is - hallgatólagosan - am elyet nem fogalm aztunk meg. Tapasztalati elv ez, olyan so­

kaságok vizsgálatában gyűjtött tapasztalat, am elyeknek tagjai változhatnak. (Például kő­

zetek, vagy csillagok, vagy növényfajták egy közösségben, mint pl. az erdők stb.) Az ilyen egyed-sokaságok egyes egyedei, az egészek között találhatunk olyan néhányat, a m e­

lyek fázisonként, de diszkrét állapotsort alkotva kirajzolják az egyes egyedek fejlődési útját. N evezhetjük ezt az elvet a SO KASÁG BÓ L (PO PULÁCIÓ BÓ L) FEJLŐ D ÉSSO R T ELVnek. Például az erdő fái közül ki tudunk választani 20-30 olyat, am elyek a cse m e te ­ kortól a korhadt kidőlt fáig durva lépésenként fölrajzolják egy fa életútját. Hasonló fejlő­

déssort, megfelelő időléptékkel, kőzetekre, más tárgykörben pl. egy csillaghalm az cs il­

lagaira is föl tudunk vázolni. Ilyen hipotetikus fejlődési sort fogunk fölvázolni következő példánkban is, előre bocsátva azt, hogy kétféle időléptékkel is m egvalósulhatnak, leg­

alább is bizonyos szakaszai, a fejlődési sorban vázolt átalakulásoknak.

Mostani vizsgálatunk tárgyai a Fibonacci-növények. Közülük m ár eleve típusokat vá­

logatunk, szerkezetük szerint, és nem struktúrapárokat hasonlítunk össze, hanem a te l­

jes sorozatot elem ezzük abból a célból, hogy az átalakulási m űveletet és törvényszerű­

séget m egtaláljuk közöttük. A m egtalált globális átm eneti függvényt olvassuk aztán át

lokális átm eneti függvénybe. A döntő különbség tehát az a Fibonacci-növények körében található sejtautom ata-m odell építésénél a Platom -Archim edésziekkel szem ben, hogy most, a Fibonacci-szerkezetből adódóan, a teljes (hozzáférhető, kis Fibonacci-szám ú) alakzatrendszer-készletet (a Fibonacci-szerkezetű hengerm ozaik-típusokat) egyszerre elem ezzük.

Fibonacci-növényeknek olyan növényeket nevezünk, melyek:

1.) globális forgásszim m etriával bíró alrendszerekkel (szervekkel) rendelkeznek, 2.) ezen alrendszerek olyanok, hogy felszínükön ismétlődő, egybevágó vagy hasonló elem ek sávokat form álva felületi rácsrendszert (rácsm ozaikot) alkotnak, olyform án, hogy

3.) a balra és a jobbra futó, elem ekből összeálló sávok (elem nyi szélességű rész sza­

lagok) szám a két szom szédos Fibonacci-szám . (3. ábra)

BÉRC ZI S Z A N I S Z L Ó _____________________ ___________________ ____________________________

Az esetek összehasonlíthatóvá alakítása = norm álás

A Fibonacci-szerkezet kétféle m egjelenési form ája a fillotaxis (levélállás) és a töm ött növényi rácsok ekvigranuláris m ozaikja. A növényrendszertani könyvek töm ören így szól­

nak a fillotaxísról: gyakori az 1/2-es, 1/3-os, 2/5-ös és 3/8-ados levélállás (4. ábra). Éles 3. ábra

A Fibonacci-növé nyek de finíciójáb an sze re p lő há ro m a lap /ellem ző:

1. a nö vényi s ze rv glo b á lis forgásszim m etriája, 2. h a sonló ele m e kb ő l rá csre n d a fo rg á ste st felszínén, és 3. F ib o n a cci szám ú szalagba re ndeze ttség e e rácsrendnek.

szem m el még 5 /1 3-os is felfe­

dezhető (ökörfarkkóró). De jo b ­ ban m egfigyelve az ilyen levé­

lállású növényeket észre veh et­

jük, hogy a m ondott levélállá­

sok is finom an eltekerednek a szárm enti függőlegeshez (m e­

ridiánhoz) képest. A term ések magvainak, pikkelyeinek; a v i­

rágzatok kis elem i virágjainak két, egym ással szem ben futó spirál család szerinti elhelyez­

kedése sokkal szem betűnőbb a levélállásnál. A legszebben a fenyőtoboz (5+8), ananász (8+13), karfiol (5+8), búza és más kalászosok (1 + 1) és a napraforgó (21+34, vagy 34+55, vagy 55+89, vagy 89+144) m utatja ezeket az el­

rendezéseket, de m ás fészkes virágzatokon, sőt az ernyős m urokon (5+8) is, a kőrózsafé­

léken és kaktuszokon, pálm ák törzsén és még sokhelyütt gyö­

nyörűen m egvalósul.

A te rm é s e k é s afillo ta xis sp i­

ráljai első gondolatra és ráné­

zésre is csak a Fibonacci-szá- mok kitüntetett szerepében ha­

sonlítanak. Sok növényt alapo­

san m egfigyelve kiderült, hogy a kétféle m egjelenés lényegé- A né g y lege gyszerűbb (a legkisebb e g é sz szá m o k aránya- ben azonos elrendezési s z a ­ val je lle m e zh e tő ) fillotaxisű nö vényi rá cstípus (job bra c s a - bálynak engedelm eskedik A varodó változatok). A tört szá m m a l je lz e tt levélá llá s a z t je - növ énvek szárán a naav lenti, ho g y a lu lró l fölfelé m ozogva a s z á r m e ntén (kívü lről tr a n s z |áció e lto rz itia ső t e ir e jtl befelé lépdelve a z á b rá zo lt ö rveken) a teljes k ö rív je lz e tt Iransziacio eltorzítja, sót elrejti törtrészé t k e ll e lfo rduln i jo b b c s a v a r szerin t h aladva ahhoz, e zt- torzulást az okozza, hogy hogy e g y tetszőlege sen választott h a jtá sp o n ttó l a m a gas- a m égoly hosszú száron is a ság szerin t kö ve tkező h a jtáspon tho z é rjü nk nagy transzláció miatt csak né-

a legrövidebb úton. hány periódus fér el. így a pe ri­

ódus elcsavarodását, am i csak nagyon kis mértékű, a nagyon hosszú szárú, szép levélállású fajoktól eltekintve nem, vagy csak nagyon gondos m egfigyeléssel lehet észrevenni. A kétféle m egjelenési form át a m odellépítés előtt közös alapvonásokkal rendelkező szerkezetűvé kell alakítani.

Döntő különbség mostani vizsgálatunk és a korábbi között az is, hogy m ost a teljes készlet egészeit, vagyis az összehasonlításra kerülő Fibonacci-szerkezeteket, transzfor­

mációkkal kell előállítanunk a term észetben előforduló form ákból. A közös vonás minden Fibonacci-növényi form ában a hengeres szim m etria, ezért hengerfelszíni, de egysége­

sen négyzet alakú m ozaik ELEM-eket (=SEJTeket) tartalm azó m ozaikrácsokat alakítunk ki a különféle nyúltságú és kerekségű növényi szervekből (ernyők, torzsák, tobozok és tányéros-összetett virágzatok). Mivel ezek a rácsterm észetet nem változtatják, tehát a

„sejtek” szom szédsági viszonyai változatlanok maradnak, ezeket a transzform ációkat to ­ pológiai transzform ációknak nevezzük. Magát az egységes sejtalakra hozás m űveletét pedig norm álásnak hívhatjuk. Ilyen típusú transzform ációkat néhány ábrán m utatunk be.

E transzform ációk közül a legfontosabb a Dirichlet-Voronoy-cella képzés. Ezzel a fillota- 4. ábra

BÉRCZI S ZA N IS ZLÓ

5. ábra

A he n g e re s p o n trá c s o t m o zaikrácsb a transzform áló, m a jd n é g yze t-m o za ik há ló zatba no rm á ló m űveletsor.

A -> B: D irichlet transzform áció: a száron elh e lye zke ­ d ő h a jtá sp o n to k rá csát D irich le t cellák m o za ik-h á ló za ­

táb a alakítja. B —> C: Tengelyirányban végzett zsu g o n - tá ssa l e D irich le t-ce llá k (a p o n trá cs zsu g o ro d á sa ré ­ vén) n é g yze t-m o za ik há ló zatba alakíthatók. A n é g yze t­

m o za ik há ló za tra n o rm á lt F ib o n a cci növényi m o zaikok m á r ö ssze hason lítha tók szerkezetükben.

xis rácspontjait transzform álhatjuk cellarácsba A művelet egyszerű: a cellákat a rácspontok közé húzott szakaszfelező m erőlegesekkel hozzuk létre. Az így létrejött hatszö­

ges vagy négyszöges cellákat egy m ásodik lépéssel alakítjuk át négy­

zetekké. (5. és 6. ábra)

Végeredm ényül pedig kapjuk a négyzetrácsos hengerfelszínek alakjára norm ált Fibonacci szerke­

zetek sorozatát. Ezeket a Fibonacci szám ok növekedésével sorbaren- dezve (csak a jobbra tekeredő típ u­

sokkal dolgozunk most) előállt m o­

dellünk nyersanyaga „letisztított"

form ában. M ondhatjuk azt is, a sejt­

autom ata modell készítésének igé­

nyét m egfogalm azva, hogy előt­

tünk áll a globális átm eneti fü g g ­ vény. Ez a sorozat ugyanis éppen azt a fejlődési sort tartalm azza, amelyet sejtautom ata m odellünk kelt majd életre azáltal, hogy fö lm u ­ tat egy m űveletet, am elynek ered­

ményeként éppen e sorozat fejlődik ki. M iből? A kezdeti felté te lne k te ­ kintett, tovább m ár nem eg yszerű­

síthető (irreducibilis) le ge gyszerű b­

ből. M ondhatjuk tehát, hogy m ár a norm álás is jelentős m unkát v é g ­ zett el, mert m egfogalm azott és részben meg is oldott egy ebben az alakban fölvetett problém át. A s o ro ­ zat élére ugyanis csak a bú zaka­

lász szerkezetéből kapott 1 + 1 -es szalagpár kerülhet. Ez éppen az az egyetlen alakzat a sorozatban, am ely tükörszim m etriával rendel­

kezik.

M odellépítés, m űveletkiolvasás - a globális átm eneti függvény

G yűjtsük össze az összes olyan norm ált Fibonacci-rácsot, amely 8, vagy ennél kisebb Fibonacci szám m al jellem ezhető. Ezeket fogjuk fölhasználni a m odellépítésben, a m ű­

velet-kiolvasásban. A norm álás során rácsrendben elhelyezkedő ism étlődő elem eiket négyzet-cellákba transzform áltuk, m egszám oztuk a száron elfoglalt m agasságuk szerint őket. Fölhasítottuk a norm ált hengerfelületi m ozaikrácsokat egy-egy jobbra illetve balra föltekeredő sávszél m entén és kiterítettük a síkra az így kapott szalagokat. V álasszuk most szét a jobbra illetve a balra futó (így tehát ugyanazt a rácsot kétféle m ódon jellem ző) szalagokat és a növények em elkedő Fibonacci szám a szerint rendezzük el egym ás alá őket (a 7. ábrán a jobbra 1/2, 1/3, 2/5, 3/8... stb. fillotaxisú növényekről transzform áit rá­

csok szalagjai vannak föltüntetve). így az oszlopok az egységnyi szélességű - az 1+1 -es rácstípusú növényekről lehám ozott - szalagokkal kezdődnek és váltakozva szélesednek hol a jobb, hol pedig a bal irányú szalagon.

Hasonlítsuk össze bárm ely két, egym ás fölé eső azonos szélességű s z a la g o t (8. ábra) Azt találjuk, hogy rész-szalagjaik a rajtuk lévő m ozaikelem ek szom szédságában külön­

böznek egym ástól. E szom szédság eltérés rész-szalagonként egyöntetű, így a törvény­

szerűség globálisan, a rész-szalagokra fogalm azható meg: a rész-szalagok a 8. ábrán lejjebb elhelyezkedő esetben egy cellaegységnyit el vannak csúszva az egyik irányban (minden rész-szalag azonos irányban), a fölső azonos szélességű eset rész-szalagjainak helyzetéhez viszonyítva. (Az összehasonlítandó kettősöket a 8. ábrán zárójellel ö ssze­

kapcsoltuk.) A bem utatott elrendeződés-különbségekből rekonstruálhatunk egy olyan m űveletet, am ely egyesíti és leszárm aztatja az összes Fibonacci-növényi szerkezetet.

E művelet a rész-szalag eltolási (elcsúsztatási) m űvelet, am elyet váltakozva kell alkal­

mazni a kétféle rácsirányban. A m űveletnek a legegyszerűbb esetnél kell elkezdődnie,

A no rm á lá s során elvégzett transzform ációs m ű veletek m ásféle so rrend ben is e lvé ­ gezhető k lennének, s m é g is a

c é lu l kitű zö tt e g y s z e rű n é g y­

zeth álós m o zaikú sza la g p á r­

h o z vezetnének. Á b rá n k olyan m ű veletsort m u tat be. a m e ­ lyen a n é g yzeth álós sza la g o k­

ká tra nszform álás a z u tclsó m űvelet, de m á r nincse n föl­

tüntetve ez. (a. hajtáscsonkok, b. p o n trá cs a hajtáscsonko k zsugorításával, c. m o zaikrács D irichlet-transzform ációval, d.

és e. a szalag ren dszer jo b b ra illetve balra csava rodó sza la g ­ seregre bo ntása és ezek lehá- m ozása.) A jo b b ra illetve balra csavarodó szalag ren dszer

szétválasztása és lehám ozása.

BÉRC ZI S ZA N IS ZLÓ

vagyis az 1+1 sáv-elrendeződés­

nél, am ely a búzakalász jólism ert rácsszerkezete. Az irány szerint váltakozva elvégzett egym ás utáni lépésekben azután a rész-szalag elcsúsztatási m űvelet leszárm az­

tatja (fölépíti) a m agasabb Fibo- nacci-számú eseteket).

A tükörszim m etrikus legegysze­

rűbb 1+1 -es rácstipus egyedülisé- gével sugallja önm agát, mint kez­

deti feltételt a generátor m űvelettel történő szerkezetleíráshoz. Az ilyen típusú leírással a klasszikus m echanika m ódszerét alkalm az­

tuk: a kezdeti feltétel és a m ozgás­

egyenlet (am ely m ost diszkrét lé ­ pésekkel haladó m űvelet) ír le m in­

den, a m odellbe épített változást.

A F ibonacci-növények a Fibo- nacci-rácsok így leírt deform ációs fejlődésének fajuk esetében a le­

záró, utolsó állom ását képviselik.

F ibonacci-szám okkal je lle m e zh e ­ tő szerkezetük azonban m ásféle­

képpen is közvetlen kapcsolatban van a tükörszim m etrikus kezdeti feltétellel. (9. ábra) Az első rész­

szalag eltolási m űveletnél a kiindu­

lási rács tükörszim m etriája m eg­

sérül. Jobbra vagy balra indítva a rész-szalag eltolási m űveletet a Fi­

bonacci-növények két, enantio- m orf rácsú változata jön létre. (10.

ábra). M aród I. (1980.) m egm érte egy Szeged környéki napraforgó táblán a Helianthus M axim us balos és jobbos enantiom orí változatainak a szám át és azt találta, hogy e szám a kétféle változatra m egegyezik. Egy populációban a kétféle enantiom orf változat kifej­

lődése akkor lehetséges egyenlő szám ban, ha az egyedek tükörszim m etrikus kezdeti feltételekkel indulnak fejlődésükben és véletlenszerűen dől el az, hogy m elyik form álódik jobbos és m elyik balos enantiom orf változattá.

7. á b ra

A n o rm á tá sh o z ve ze tő tra n szform ációso roza t vég e re d ­ m é n ye m in d e n F ib o n a cci szám ú sá v-páro ssal je lle m e z ­ h e tő nö vényi rácsm ozaikra: a lefe jtett n é gyzet-m ozaik s z a la g -re n d sze r a jo b b ra és a ba lra fö lte kere dő sza la g ­

sávokkal.

A sejtautomata modell - lokális átm eneti függvény

M odellünkben minden egyes sejt a Fibonacci-rácsok eddig vizsgált egy m ozaikelem é­

nek felel meg. E sejtek állapotát egy szám fogja jellem ezni, am ely m egfelel a globális m odellben m egadott pozíciószám nak. Az állapotváltozást szám m al jelzett sejt szám m al jelzett környezetének a m egváltozása fogja jelenteni. Ez esetünkben szám cserékben fog m egm utatkozni. A sejtekhez hozzárendelt szám ok - form álisan - el fognak m ozdulni, úgy, ahogyan a globális modellben levezetett szom szédságváltozás m egköveteli. Ehhez mégis, ebben a lokális m odellünkben, az egyes sejteknek minden lépésben ugyanazt a helyi „állapotváltozást” kell végrehajtaniuk.

A Fibonacci-növények szerkezetét generáló sejtautom ata m odellünk tehát a követke­

ző. K apjanak szám ozást m eghatározott sejtek a kezdeti feltételek szerint. Esetünkben ez az 1+1-nek m egfelelő tükörszim m etrikus szalagelrendezés. A sejttér állapota - alak­

zatrendje - lépésenként változik. A sejtkörnyezetek változását leíró szabályok eg ység e­

sek minden sejtre és kétfélék lehetnek. Az első, tükörszim m etria-sértő lépés vé le tle n sze ­

rűen választ e kettő közül, de aztán a m ásik télé lépés következik és a továbbiakban a kétféle lépés váltakozva alakítja a sejtteret.

A sejtekre kirótt állapotváltoztatási utasításoknál kétféle sejtteret kell figyelem be v e n ­ nünk, mert más a m űködés a hengerre fölvitt és más a síkbeli „képernyőn" kiterített sejt­

téren. A hengeres sejtautom atán a globális modell rész-szalag eltolási m űveletéből a kö­

vetkező kétféle lépés következik végrehajtandó feladatul minden egyes sejtre azonos utasításként:

1. Kapcsolódj össze az ÉK-i és a DNY-i szom szédoddal! Tekintsd az ÉNY-i szom szé­

dodat rögzítettnek, és mozdulj el hozzáképest az ÉK-i szom szédod irányában egy rá- csállandónyi távolságot! Az elm ozdulás után kapcsolódj szót!

2. Kapcsolódj össze az ÉNY-i és a DK-i szom szédoddal! Tekintsd az ÉK-i szom szédo­

dat rögzítettnek és mozdulj el hozzá képest az ÉNY-i szom szédod irányában egy rácsál- landónyi távolságot! Az elm ozdulás után kapcsolódj szét!

A 2. sz. utasítások m egfelelnek az 1. szám únak az ÉK -> ÉNY, DNY -> DK és ÉNY ->

ÉK helyettesítéssel. Ha az első, tükörszim m etriát sértő „csúsztatási” lépés az 1. szám ú, akkor az elm ozdulás jobbra kezdődik. (11. ábra)

Ö sszegezve a tetszőlegesen kiválasztott sejt körüli relatív m ozgásokat a következőket figyelhetjük meg. Az 1. sz. utasításnál bárm ely sejt ÉK-i irányban mozdul el ÉNY-i szom ­ szédjához képest. De egyúttal bárm ely sejt ÉNY-i szom szédja a tőle DK-re eső sejtnek, ezért az ÉNY-i sejtekhez képest DK-i sejtek 1. sz. definíció szerinti ÉK-i irányú elm ozd u­

lása m egegyezik a DK-i sejtekhez képest ÉNY-i helyzetű sejtek DNY-i irányú elm ozdu­

lásával a DK-i sejtekhez viszonyítva. Az ílymódon a sejt két ellentétes oldalán létrejövő párhuzamos, de ellentétes irányú elmozdulás eredője - a henger körbezáródó felületén - a sejt elfordulása.

\ ? e >.!!■, A B * r. Í -

£ ■ is * ' ■ *;V\nV A « « ' s ■xj- Mi >:t. í V s > . ( v

I

m

¡ii

fii

f r .r 'r 'r-’3E>' '•u 17 ^z> 253- U 1 > J Z--6 7 16 5 e 111

U-1

114J

l í l

H

- * s t - e s t 3 c s

8. ábra

A k ü lö n b ö ző lege gyszerűbb F ib onacci-növé nyekrő l le ­ fejtett, transzform áit és kettéválaszto tt szalagpárok. A rácsfejlődés m ű veletén ek kiolvasásában fölh asználh a­

tó e g ye n lő szé le ssé g ű sza la g o ka t z á ró je lle l ö ssze kap­

csoltuk. A rész-szalag e lto lá si m ű ve le te t a szám környe­

z e te k össze hason lításá val olvash atjuk ki belőlük.

M odellépítéseink tanulságai

Ö sszegzésül pörgessük le még- egyszer azt a változatos tevé keny­

ségsort, amellyel a Fibonacci- szerkezetek sejtautom ata m odell­

jéhez eljutottunk. A norm álásnak nevezett előkészítő m űvelettel egységes sejtalakúra (lokális hát­

tér) és egész-alakúra vagyis p e ­ rem feltételűre (globális háttér) hoztuk a hengerszim m etrikus Fi- bonacci-növényszerveket. A hen­

gerről „lehám ozott” és szalagszer­

kezetében „m egkettőzött” (jobbra és balra futó szalagok párjai) e s e ­ tek VÁLTOZÁST FAZISAIVAI sor­

ba rendezésével, és a S O K A S Á G ­ BÓL FEJLŐ DÉSSO RT ELV szel­

lem ében építkezve m űveletsort ta ­ láltunk. E m űveletsor a kezdeti fe l­

tételnek talált szerkezetből, a tü ­ körszim m etrikus 1 + 1-es szalag­

párból, meg tudta építeni a teljes Fibonacci-szerkezetű sorozatot. A művelet a sorozat tagjait pá ron­

ként összekapcsoló, s így diszkrét, rész-szalag elcsúsztatási m űvelet

BÉR CZI S ZA N IS ZLÓ

volt, melyet azután átfejtettünk sejtműveletté. Az állapotváltozási sor egyes egészeit, mint globális átm eneti függvényt alkotó képernyőket így ki tudtuk egészíteni egy lokális átm e­

neti függvénnyel, mely minden „sejt”-re ugyanazt a transzform ációs lépést jelentette.

M inthogy a konstrukció iránya a globális átm eneti függvénytől vitt a lokális átm eneti fü g g ­ vényig, így indirekt Neumann probléma m egoldást valósítottunk m eg a m odellépítés s o ­ rán. A modell ebben a form ájában egy kétrétegű m ozgásegyenlet is, hiszen egyszerre írja le a Fibonacci-szerkezet változását globálisan és lokálisan. Ez a fajta leírás erő te l­

jesen kidom borította a jelenségnek azt a vonását, hogy lokálisan és globálisan ö ssze ­ rendezett (koherens) állapotváltozásról van szó. Ez a koherencia a perem feltételi szim ­ m etria (hengeres), a kezdeti feltételi rácsszim m etria (tükörszim m etrikus) és a lokális-glo­

bális rácsm űvelet (rácsállandónyi elcsúsztatás) hengerfelszínen Fibonacci-szám okat generáló összjátékában ötlik a A túkörszim m etnkus 1+1 sávnendszertől (m int kezdeti fel­

tételtől) indított rács-átépítés sorozat alternálva - előbb jo b b ra , m a jd balra, s.i.t. - vé g re h a jto tt rész-szalag el- csú s z ta tá s i m ű ve le tte l építi föl a jo b b ra 1/2, 1/3, 2/5, 3/8, ... fillo ta xisű növényi rá csokhoz re ndelh ető h e n g e r­

felszín i n é g yze t-m o za ik rácsokat. E „job bra in d íto tt’ és a g e n e rá to r m ű ve le tte l ö ssze kapcsolt m o zaik-rá cs c s a ­ lá d n a k a z o n b a n lé te zik e g y e n e n tio m o rf (tükörképi) p á r­

ja is. A z e n a n tio m o rf csa lá d p á rt a be m u ta to ttb ó l a b e je ­ lö lt tükörsíkra való tükrözéssel, vagy a z e ls ő ré sz-sza­

la g csúszta tó lé p é s b a lra indításával nyerhetjük.

szem ünkbe. így a jelenségben je ­ len levő eme invariánsok összetar­

tozását is bizonyítja ez a sejtauto­

mata m odellben történt je le n sé g ­ m egfogalm azás és állapotválto­

zás-leírás. Eszerint a Fibonacci- szám ok a bem utatott m ozgáse­

gyenlet tükörszim m etrikus kezdeti feltétellel vett sajátértékei négyzet­

rácsos hengeren.

GLOBÁLIS ÁTMENETI FÜGGVÉNY LOKÁLIS ÁTMENETI FÜGGVÉNY F Ü G G E L E K

A Fibonacci-sorozat néhány tulajdonsága

Általános értelemben vett Fi- bonacci-típusú sorozatnak ne­

vezzük azt a számsorozatot, melynek az elem eit az

fn — fn- 1 + fn -2 (n =2,3,4 ,...) formulával nyerjük (tn a sorozat n-edik eleme). A definícióból lát­

ható, hogy egy konkrét Fibonac- ci-típusú sorozatot első két e le ­ m ének m egadásával kapunk.

Speciálisan a valódi Fibonac- ci-sorozat esetében a z első két elem ugyanaz a szám: 1,1. Mi most a továbbiakban a z így elő­

álló 1 ,1 ,2 , 3, 5, 8, 13, 21, 3 4 ,5 5 , 89, 144, 233, 37 7,... Fibonacci- sorozat néhány érdekes tulajdon - ságát mutatjuk meg, de ezek kö­

zül sok átvihető az általános Fi- bonacci-típusú sorozatra is.

A Fibonacci-sorozat elem eire igaz a következő négy állítás:

1. A Fibonacci-sorozat első n elem ének összege, S n eggyel ke­

vesebb a sorozat n+2-ik ele m é ­ nél: S n = f n » 2 - 1 (E zazállításkö ny- nyen belátható az elem eket defi­

niáló egyenlőségek összegzésé­

vel.)

2. A Fibonacci-sorozat két szomszédos elem ének szorzata így írható fel:

fn fm -1 = f ? + f^ + . . . + fn

(Teljes indukcióval bizo­

nyítható.)

elemet közrefogó elem ek szorzata 11. ábra

A g lo b á lis (b a l olda li o szlop ) é s a lo ká lis (job b olda li oszlop) á tm e n e ti füg gvén y a F ib onacci-szerke zetet ge nerá ló tra n sz­

fo rm á ció so ro za t se jta u to m a ta szerkezetű kifejtésében, a z in ­ d ire k t N eu m a n n pro b lé m a e g y spe ciá lis e se tben tö rté n t m e g ­ oldásaként. (A g lo b á lis átm .függv. - Bérezi, 1976., a lokális

átm .függv. - Bérezi, 1985.)

3 A Fibonacci-sorozat valamely elem ének négyzete és ezt az között a különbség + /-1

Ifn — frv-lfrull — 1

4. A Fibonacci-sorozat egym ás után következő elemeiből képzett hányadosok sorozata a z arany­

metszés arányszám ához tart:

fn V5-1 2 2 - V 5 + 1

E negyedik állítást könnyen beláthatjuk, ha a Fibonaci-sorozat n-edik elemét xn hatványalakban keressük. A Fibonacci-sorozat definíciója alapján ekkor

fn = (Xn = xn' 1 + x"'2) = fn-1 + fn-2 Az x hatványaival felírt egyenletet rendezve ugyanahhoz az

x2 = x + 1

egyenlethez jutunk, amelyet az egységnyi hosszúságú szakasz aranymetszésben való felosztá­

sának x osztáspontkoordinátjára nyerünk. E másodfokú egyenlet gyökei:

1 + V5 _ 1 - ^ 5 x i = — — es X2 ^{= ~}

Mindkét gyökkel (a gyökök hatványaival) egy általános értelemben vett Fibonacci-sorozatot nyer­

tünk, mert az fi=f2=1 feltétel nem teljesül. De a két gyök és hatványaik (tehát a két általános Fibo- nacci-típusü sorozat) összevonásával a speciális fi=f2=1 feltételt is elérhetjük. Ha ugyanis az xi és X2 hatványaik külön-külön sorozatot alkotva megfelelnek az fn = fn-1 ^{+ fn}-2 feltételnek, akkor a z

BÉR CZI S ZA N IS ZLÓ

12. ábra

A felületi szem csék, aza z a „se jt"-ek szerkezeté t válto zásába n leíró m o d e llü n k eg yik kö ve tke z­

tetése: e n ö vényfe lszínek kettősrétegek. E ke ttősréteg fö lső rétegén lá th a tju k a zo ka t a szalag- e lcsú szá si (knstálytam szakkife je zéssel d iszlokációs) m ozgásokat, a m e lye k e g yik rá c s s z e rk e ­

z e te t a m á sikb a a la kítjá k á t a nö vekedé si d e form ációk során.

F„ = Xl - X2 különbség sorozatnak is ki kell elégíteni az

Fn = X? - X2 = (X ? -1 + X? 2) - ( X 2 1 + x r 2) = ( X ? - 1 - X 2 1) + (X ? 2 - x 3 “ 2 ) = F „ - 1 + F n -2 összefüggést Az F n sorozat első néhány elem ét kiszámítva (m elyek rendre:

V5, V5, 2V 5, 3V^, 5^15, ) látjuk, hogy ha V 5—tel osztjuk az Fn sorozatot, akkor a valódi Fibonacci- sorozathoz jutunk:

, í r n + v s í r 1 - v s t

in — n = 1, 2, 3, 4 ...

Befejezésül a Fibonacci-sorozat egy érdekes előállítását mutatjuk be: a binomiális együtthatókból felépülő Pascal-háromszögben a megrajzolt egyenesek mentén összegezve a Fibonacci-sort kap­

juk. ,

1 1 1 1 2 J

i j

1 ' 4 6 4 1 . J ' ' 5 ÍO 10 5 1 I 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1

a VÁ L TO ZÁ ST F Á Z IS A IV A L ELV

a változó param éter szerint elvégzett

□

a SO KASÁGB ÓL F EJLÖ D ÉSSO RT ELV

az EG ÉSZ szintje

az ELEM ck szintje

a láncba kapcsolt két hierarchiaszinics EGÉSZek bői Összetevődő változást fázisaival állapotsor:

Ol

tzzu r~—i rrm rrm n~n~i

a / EG ÉSZek idölépésenként m egadott állapoiso- rát a két hierarchiaszint szerint két lébonrv a jutunk a SEJTA U TO M A TA ELV szerinti leíráshoz: az E G É S Z szintjen a változást a GLOBÁLIS Á T ­ M E N E T I FÜG G V ÉN Y írja le az ELEM ck szint­

jé n a \ áltozási a LOK ÁLIS Á TM EN ETI FÜ G G ­ VÉN Vek írják le. ily m ódon két hicrarchiaszintes m ozgi^lcírást m egvalósítva

Ö sszefoglalás a sejta utom ata re n d e z ő elve krő l a SZIM M ETR IA ELVE.

m ely biztosítja a struktúra két hicrarchiaszintes szerkezetet

BÉRC ZI S ZA N IS ZLÓ

A Fibonacci növények szerkezetváltozásait a rácsmozaik rendszer egységes, rendezeti lokálisan és globálisan összehangolt diszkrét mozgásaival leíró sejtautomata modell

eAu b j i ^ 9 u ^ s e p o | le ( l e z e ^ j a z s b = bAu e j i >|b u b s e z b w|e>||e a|8 |BA|BS|ZB) )s?z o i|b av

r~|vo|Lf)|-j|ro]fslj'

t-|^c|to|vr|^| t\j|

Tevékenységek térképe a Fibonacci transzformációk sejtautomatákkal című cikkben.

Elvek Jelenség Modellépítés A modell

eredményei Értelmezés

Rácsfelszíni deformációk:

kettősrétegen

Föllazuló növényhez kötődés

SEJTAUTOMATAK FIBONACCI-NÖVÉNYEKENÁT

BÉR C ZI S ZA N IS ZLÓ

IRO D A LO M

B érezi Sz.: Növényi szimmetriák. Fizikai Szemle. 26/2. sz. (1976) 59-62. pp.

Bérezi Sz.: A szabályos és féligszabályos (platoni és archimedesi) testek és m ozaikok perió­

dusos rendszere. Középiskolai Mat. Lapok. 5 9 .5 .sz. (1979) 193-199. pp.

Bérezi Sz.: The Periodic System of Platonic and Archimedean Solids and Tessellations. Acta Geologica Acad. Sci. Hung.23, 1-4. (1980) pp. 184-200.

Bérezi Sz.: Anyagtechnológia I. Egyetemi jegyzet. J3-1333. Tankönyvkiadó, Budapest, 1985.

Bérezi Sz.: Symmetnes in the Plant Surface Lattice Systems: Development of Fibonacci N um ­ bered Structure in a Cellular Automaton Model. Lect. on Intuitive Geometry Conf. Balaton- szeplak. 1985. máj.

B érezi Sz.: Symmetry Constraints in Development and Evolution of Fibonacci Plants. (In: Pro­

ceedings in Non Linear Science (IV). Organizational Constraints on the Dynamics of Evolu­

tion. J. M aynard-S m ith, G. V id aeds.) Manchester University Press, 1990.

Bérezi S z.: Szimmetria és struktúraépítés. Egyetemi jegyzet. J 3 -1 4 4 1 . Tankönyvkiadó, Buda­

pest, 1990.

B érezi Sz.: Local and Global Model of Fibonacci Plant Symmetries. (In: Sym metries in Scien­

ce IV. Biological and Biophysical Symmetries. B.Gruber, J.H Yopp eds.) Plenum Press, New York, 1990.

B érezi Sz.: Szimmetria és Topológia: Rácsátrendeződósek a Möbius-szalag - Tónjsz transz­

formáció során = Term. Vil. 1990/10. 464-466. pp.

B érezi Sz.: Symmetry Changes by Cellular Automata in Transformations of Closed Double­

Threads and C ellularTubes with Mobius-Band, Torus, Tube-K notand Klein-Bottle Topolo­

gies. (In: Symmetry and Topology in Evolution, B. Lukács, Sz. Bérezi, I. M olnár, Gy. Paál, Eds.) pp. 29-41. MTA-KFKI-19 9 1-32/C. Budapest, 1991.

B érezi Sz. - Lu ká cs B. - M olnári.-. On Symmetry and Topology of the Organisms in M acroevo­

lution. (In: Symmetry and Topology in Evolution, B. Lukács, Sz. Bérezi, I. M olnár, Gy. Paál, Eds.) pp. 73-79. MTA-KFKI-1991 -32/C. Buda pest, 1991.

Bérezi Sz.: Symmetry and Topology in a „Cell-Mosaic-Automata" Model of the Fibonacci-Plant Structures. (In: Symmetry and Topology in Evolution, B. Lukács, Sz. Bérezi, I. M olnár, Gy.

Paál, Eds.) p.80-90. MTA-KFKI-19 9 1 -32/C. Budapest, 1991.

B érezi Sz.: Platomc-Archlmedean Spherical Cellular Automata in the Solution of the Indirect Von-Neum ann Problem on Sphere for Transformations of Regular Tessellations. (In:

Symmetry and Topology in Evolution, B. Lukács, Sz. Bérezi, I. M olnár, Gy. Paál, Eds.) pp.

111-116. MTA-KFKI-19 9 1 -32/C. Budapest, 1991.

Bérezi Sz.: Kristályoktól Bolygótestekig. 210 old. Akadémiai Kiadó, Budapest, 1991.

B érezi Sz.\ Symmetry by Cellular Automata. Lect. on Intuitive Geom etry Conference. Szeged, 1991 szeptember.

B érezi Sz.: T he Indirect Von-Neumann Problem: Deciphering of the Local Transformations from the Global Ones of the Systems Structurally Determined by the Both Hierarchy Le­

vels of Their Symmetry. (In: Mutual Dynamics of Organizational Levels in Evolution, B. L u ­ kács, Sz. Bérezi, E. Lábos, I. M olnár, Eds.) pp. 40-49. MTA-KFKI 1992, 32/C. Budapest, 1992.

B érezi Sz.: Symmetry And Topology In Cellular Automatic Transformations: The Solution Of The Indirect Von-Neumann Problem For The Transfigurations O f Cylindrical Cell-mosaic Systems O f Fibonacci Plants. Abstracta Botanica (in press)

B oltyánszkij, V. G. - Jefrem ovics, V. A : Szem léletes topológia. 4. kiadás, Tankönyvkiadó, Buda­

pest, 1965.

Codd, E. F: Cellula1 Automata. Academic Press, New York, 1968.

G évay G.: Icosahedral morphology. (In: Fivefold Symmetry, I. H argittai, ed.) World Scientific, Singapore.

M a ro ti I.: The Symmetry of Living Beings I.: The Decrease in Simmetries and Evolution.

Acta Biologica, Szeged 26. (1980). 95. p.

P eák I.: Bevezetés a z autom aták elm életébe I. Egyetemi jegyzet, J 3 -1 1 15. Tankönyvkiadó, Budapest, 1980

S hannon, C. £ .: Szám ológépek és automaták. (In: A kibernetika klasszikusai, Studium (30.).

Budapest, Gondolat, 1965.

Takács V. D.: Sejtautomaták. Gondolat, Budapest, 1978.

Vichniac, G. Y: Vegyük komolyan a számítógépet a természettudomány tanításában. (B ev eze­

tés a sejtautomatákba.) = Fizikai Szem le, 1986/3. pp. 81-94.

Vollmar, f t . Sejtautomata algoritmusok. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1982.

W igner E.: Symmetry and Conservation Laws. Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 41. 956. p.