• Nem Talált Eredményt

Perjésiné Hámori Ildikó Numerikus módszerek

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Ossza meg "Perjésiné Hámori Ildikó Numerikus módszerek"

Copied!
278
0
0

Teljes szövegt

(1)

Műszaki és gazdasági szakok alapozó matematikai ismereteinek e-learning alapú tanagyag- és módszertani fejlesztése TÁMOP-4.1.2.A/1-11/1-2011-0098

Perjésiné Hámori Ildikó

Numerikus módszerek

(2)

• •

Bevezető

A mérnöki problémák matematikai modellezése az alkalmazott matematika talán legfontosabb feladata.

A matematikai modellezés egy több lépésből álló (kör) folyamat.

A fizikai jelenség matematikai leírása, egy lehetséges matematikai modell felírása.

Általában a modell pontos megoldása nem állítható elő úgynevezett analitikus eszközökkel véges sok lépésben. Ilyenkor numerikus módszerekre van szükség.

Számítógépes feldolgozás, a program tesztelése.

Konkrét számítások elvégzése.

A számítások, eredmények analízise.

Az eredmények megjelenítése (esetleg vizualizálása rajzok, képek, animációk formájában).

Gyakran, az eredmények analízise során kiderül, hogy a kapott eredmény nem felel meg a valóságnak (a kísérleti eredményeknek, vagy annak, ami várható lett volna). Ilyenkor a modellezést újra elölről kell kezdeni.

Ebben a folyamatban a numerikus analízis feladata a matematikai modell megoldására alkalmas numerikus módszerek kidolgozása.

Számos magyar és angol nyelvű jegyzet, tankönyv tárgyalja a numerikus módszerek témaköreit, ezek közül néhányat az irodalomjegyzék tartalmaz.

Jelen jegyzet annyiban tér el az eddigiektől, hogy a hangsúlyt (esetleg az egzakt matematikai bizonyítások helyett is) a mintapéldák számítógépes megoldására teszi. A megoldások során

igyekeztünk kihasználni a Maple számítógép algebrai rendszer nyújtotta lehetőségeket. Figyelembe vettük, hogy a számítógépes algebra rohamos fejlődésével bizonyos módszerek már talán nem annyira hangsúlyosak (például lineáris egyenletrendszerek különböző megoldási módszerei);

ugyanakkor más, eddig nehezen kezelhető feladatok (például többváltozós interpoláció és regressszió, vagy parciális differenciálegyenletek numerikus megoldása) már korlátozottabb matematikai előképzettség esetén is érthetővé válnak. Példáink közül sokat a gyakorlati életből vettük.

Az egyes fejezetekben külön közöljük a felhasznált Maple parancsokat.

Jegyzetünket elsősorban mérnök és informata szakos MSc-s hallgatóknak ajánljuk, előismeretként az alapozó matematikai kurzusok anyagát, illetve a Maple szoftver alapfokú ismeretét tételezzük fel.

(3)

>

>

Hiba, hibakorlát

restart

Használt Maple parancsok: evalf ,identify , limit , plot

Ebben a fejezetben rövid összefoglalást adunk a numerikus módszerek, illetve a számítógép algebrai rendszer használatából eredő hibák lehetséges forrásairól.

A numerikus módszereknél alapvető fontosságú annak becslése, hogy közelítő számításunk eredménye mekkora hibával tér el (a többnyire ismeretlen) pontos értéktől.

A megoldás során fellépő hibák lehetséges okai:

A probléma matematikai megfogalmazása nem pontos. (Modellhiba) A kezdeti adatok pontatlanok. (Mérési vagy öröklött hiba)

A megoldási módszer pontatlan, végtelen sok lépéssel kapnánk pontos értéket. (Képlethiba) A gépi számolásnál kerekítési hibák lépnek fel. (Műveleti, vagy kerekítési hiba.)

A numerikus eljárás programozása során elkövetett hiba. (Programhiba) Az algoritmus készítésének szempontjai:

Legyen meghatározott, vagyis a lépések mindegyike egyértelmű legyen.

Legyen általános, működjön tetszőleges bemenő adatokkal.

Definíció

Ha x a pontos érték, a pedig a közelítő érték, akkor az xKa =∆a%δa kifejezésben a ∆a az abszolút hiba, δa az abszolút hibakorlát.

Használják az x=aGδa megfogalmazást is, ami az jelenti, hogy x2 aKδa, aCδa .

Definíció

Az x szám valamely a közelítő értékének relatív hibája δa x Ha x-et nem ismerjük, helytte a δa

a kifejezést használjuk.

Fontos annak ismerete, hogy a mérési adatok hibája hogyan befolyásolja a számításokban fellépő hibát, függvényértékek hibája hogyan függ a független változók hibájától. Ha az

x/f x függvénykapcsolatot vizsgáljuk, a függvényértékek relatív hibájának és a független változók relatív hibájának aránya

differenciálható f(x) függvény esetén:

f aC∆a Kf a

f a : ∆a

a z f# a $∆a

f a $ a

∆a = f# a $a

f a .

(4)

Definíció

Az f# a $a

f a mennyiséget az f(x) függvény a pontbeli kondíciószámának nevezzük.

Egy függvényt rosszul kondícionált, ha nagy a kondíciószáma.

1. Példa Az alábbi két kifejezés határértéke a ∞-ben π. A függvények ábrázolásával viszont kiderül, hogy az egyik rosszul, a másik jól kondícionált.

restart;f

dx 2K 4K 2 π x

2

:

>

xlim/Nf= limx

/Nf

>

xlim/Nx 2K2 1K π2

x2 =π (1.1)

plot f,x= 10000 ..105

>

x

10000 50000 100000 3.1415926

3.1415927 3.1415928 3.1415929

>

g:= 2 π

2C 4K 2 π x

2

> :

xlim/N g= limx

/N g

>

xlim/N

2 π

2C2 1K π2 x2

=π (1.2)

plot g,x= 1000 ..105

>

x

10000 40000 100000 3.141593

3.141594 3.141595 3.141596

(5)

>

>

>

>

(1.4) (1.4)

>

>

(1.3) (1.3)

>

>

Definíció

Csonkítási hibáról beszélünk, ha az egzakt matematikai kifejezés helyett annak közelítését alkalmazzuk a numerikus számítások során.

Ez akkor lép fel, ha egy függvénynek ismerjük az értékét x0 helyen, és valamilyen numerikus

eljárással következtetünk az x0+h helyen vett függényértékre. A csonkítási hiba az elhagyott tagoktól (a maradéktól) függ. Kifejezési formája O hn ) (ordo: rend), ami azt fejezi ki, hogy a hiba arányos h n-edik hatványával. Ez azt jelenti, hogy ha a hiba O(h) akkor a h felezése a hiba felezését

eredményezi. A hiba becslése általában bonyolult matematikai apparátust kíván, ezért jelen jegyzetben általában nem tárgyaljuk.

Az ismertetett közelítő eljárásokat addig ismételjük, míg az egymás után következő két közelítés eltérése egy előre megadott ε hibakorlátnál ksebb.

Jegyzetünk a Maple számítógép algebrai rendszerre épül, ezért említsük meg azon előnyöket, amelyek a számítógép algebrai rendszerek használatánál jelentkeznek, szemben

bármilyen számológéppel vagy numerikusan számoló szoftverrel.

A számítógép algebrai rendszerek használatával a numerikus módszerek alkalmazása könnyebbé válik, illetve a műveletek sokkal kisebb hibával terheltek. A Maple rendszer ahol csak lehet, egzakt módon számol, illetve az evalf segítségével a lebegőpontos számra való kerekítés tetszőleges (a gép memóriájától függő) pontosságra beállítható. Az identify parancs segítségével többnyire megtalálja azt a számot, aminek a kerekített értékét adtuk meg.

2. Példa Hasonlítsuk össze, mit ad eredményül a Maple és az Excel a következő kifejezésekre: 1 2 C 3

7 , sin Pi

3 , 2 ,

>

i= 1 N 1

i2, 4.5558062159628882873

Maple Excel

1 2 C 3

7

13 14 evalf %, 100

0.92857142857142857142857142\

857142857142857142857142\

857142857142857142857142\

857142857142857142857142\

86

A kerekítés maximum 30 jegyre lehetséges.

(6)

>

>

>

>

(1.7) (1.7)

(1.9) (1.9)

>

>

(1.8) (1.8)

(1.11) (1.11)

>

>

>

>

(1.6) (1.6)

>

>

(1.5) (1.5)

(1.10) (1.10)

>

>

>

>

π;evalf π, 200 π

3.14159265358979323846264338\

327950288419716939937510\

582097494459230781640628\

620899862803482534211706\

798214808651328230664709\

384460955058223172535940\

812848111745028410270193\

852110555964462294895493\

03820

sin π 3

1 2 3 evalf %, 9

0.866025405

2

2 evalf %, 9

1.41421356

>

i= 1 N 1

i2

1 6 π2 evalf %, 9

1.64493407

(7)

>

>

>

>

(1.11) (1.11)

>

>

>

>

>

>

(1.10) (1.10)

>

>

(1.12) (1.12)

Csak véges számú elem összeadása lehetséges

4.5558062159628882873 :

identify %

2 Cπ

A numerikus kalkulátor nem képes az azonosításra.

Az egyes számítási eljárások elméleti ismertetése után minden fejezet tartalmazza a számítási algoritmusok Maple implementációját. A számítások lépéseit általában blokkdiagrammal szemléltetik, jegyzetünkben sok esetben közvetlenül a Maple implementáció jelenik meg.

(8)

>

>

Egyváltozós nemlineáris egyenletek megoldása

restart

Ebben a fejezetben az egyenletek gyökeinek közelítő meghatározására alkalmas módszerek közül megismerkedünk a legáltalánosabban használt Newton módszer (Newton-Rapson módszer) elméleti hátterével, alkalmazásának feltételeivel. A közelítő gyököket először lépésenként adjuk meg, majd egyre bonyolultabb eljárásokkal automatizáljuk a gyökkeresést, végül megismerkedünk a Maple beépített Newton eljárásával.

Olyan esetekben keressük az egyenlet gyökeit, illetve a függvény zérushelyeit, amikor megoldóképlet alkalmazása nem lehetséges.

A gyök (megoldás) meghatározása itt azt jelenti, hogy véges sok - és általában nem túl nagy számú - lépés után az elméletileg pontos értéktől adott hibakorlátnál kisebb mértékben tér el a gyököt közelítő érték.

Célunk olyan egyismeretlenes egyenlet gyökeinek meghatározása, amikor a megoldóképlet alkalmazása fel sem merülhet, illetve az egyenlet megoldása nem állítható elő zárt alakban.

Egyismeretlenes egyenletek megoldhatósága

Használt Maple parancsok: solve, fsolve, RealDomain Vizsgáljuk meg a következő egyenleteket:

A megoldandó egyenlet Az egyenle t típusa

Egzakt megoldás A megoldás Maple-lel

1 sin 2 x Kcos x = 0 Nem

algebrai 2 sin x cos x Kcos x = 0 cos x 2 sin x K1 = 0 cos(x)=0 x=π

2 Ckπ, k2Z sin(x)=1

2 x= π

6 C2 kπ, x=

5 π

6 C2 kπ, k2Z

egyenlet1:= sin 2 x Kcos x = 0;

sin 2 x Kcos x = 0 solve egyenlet1,x 1

2 π,K1 2 π, 1

6 π, 5 6 π

2) (x2C4 x2K1 = 0 Algebra

i x2C4s0 , így

x2K1 = 0, x=G1

egyenlet2:= x2C4 x2 K1 = 0;

x2C4 x2K1 = 0 solve egyenlet2,x ;

1,K1, 2 I,K2 I with RealDomain :

(9)

solve egyenlet2,x ; K1, 1

3 x3K9 x2C2 xC6

= 0

Algebra

i Van megoldóképlet egyenlet3:=x3K9 x2C2 x C6 = 0;

x3K9 x2C2 xC6 = 0 solve egyenlet3,x ; 4K 22 , 4C 22 , 1

4 x5K9 x2= 6 Algebra

i Nincs megoldóképlet, nincs

egzakt megoldás egyenlet4:=x5K9 x2C6

= 0;

x5K9 x2C6 = 0 solve egyenlet4,x RootOf _Z5K9 _Z2C6,

K0.7946447004 , RootOf _Z5K9 _Z2

C6, 1.950736723 , RootOf _Z5K9 _Z2 C6, 0.8453619345 fsolve egyenlet4,x ; K0.7946447002,

0.8453619348, 1.950736723

fsolve egyenlet4,x= 0 ..1 ; 0.8453619348

5) ex= xC1 : Nem

algebrai Nincs megoldóképlet, nincs

egzakt megoldás egyenlet5:= ex= xC1 ex= xC1 solve egyenlet5,x 0,K1

2 LambertW K2 eK2 K1 fsolve egyenlet5,x

0.

evalf solve egyenlet5,x , 4 0.,K0.7968

(10)

Megjegyzések:

- Az 1) és 2) egyenlet középiskolai feladat, analitikusan megoldható. A Maple a trigonometrikus egyenlet egy periódusba eső megoldásait adja meg. Alapesetben az alaphalmaz a komplex számok halmaza, a RealDomain csomag elindításával szűkíthetjük a megoldásokat a valós számok körére.

- A 3) egyenlet harmadfokú, megoldására van megoldóképlet, de ismerete túlmutat a középiskolai anyagon, a Maple megadja az egzakt megoldást.

- A 4) egyenlet ötödfokú, megoldására nincs megoldóképlet, így a solve parancs nem ad

megoldást. (Galois francia matematikus, 1811-1832 megmutatta, hogy ötödfokú, vagy magasabb fokú polinomok zérushelyeinek meghatározására nincs megoldóképlet, tehát olyan eljárás amely a négy alapművelet és a gyökvonás segítségével szimbolikusan megadható, pontos értékeket ad. Az fsolve parancs numerikusan megadja az összes, illetve egy előre megadott intervallumba eső megoldásokat.

- Az 5) egyenlet algebrai és nem-algebrai kifejezéseket is tartalmaz. Megoldásként egy pontos értéket, illetve egy üzenetet kapunk a második gyök létezéséről. Az evalf paraccsal ennek adott jegyre való közelítését kapjuk.

A Newton-módszer (Newton-iteráció) alkalmazásának feltételei, az algoritmus lépései

2.2.1. Definíció

Iteráció (sorozatos megközelítés): kiindulva valamely, a megoldáshoz "viszonylag közeli"

elemből, lépésenként kiszámítjuk egy, a megoldáshoz konvergáló végtelen sorozat egymás utáni tagjait.

Az egy pontra támaszkodó iteráció általános alakja xiC1=F xi , ahol F az iterációs függvény, i=0,1, ...

Ha az iterációs eljárás konvergens, akkor a keresett ξ gyökre igaz, hogy ξ=F(ξ).

A Newton-módszer lényege az, hogy az egyenlet megoldása helyett egy függvény zérushelyét keressük, úgy hogy a függvény zérushelyét érintőinek zérushelyével közelítjük.

Lépés 1. A h(x) = g(x) egyenlet 2 oldalát egy-egy függvénynek h(x), g(x) tekintve, ábrázoljuk a függvényeket. A függvénygörbék metszéspontjainak abszcisszái megegyeznek az egyenlet (valós) gyökeivel.

(11)

Lépés 2. Írjuk át az egyenletet f x =h x Kg x = 0 alakra, így az előzőekben meghatározott metszéspontok abszcisszái az f(x) függvény zérushelyeinek felel meg.

(12)

Lépés 3. Határozzuk meg a következő feltételeknek megfelelő [a,b] intervallumot:

az intervallumban csak egy gyök van és f(a)$f(b)<0 ,

f x az [a,b] intervallumban kétszer deriválható (tehát folytonos is), f# x s0 ha x2[a,b] ( a függvény monoton),

f## x s0 ha x2[a,b] (a függvénynek nincs inflexiós pontja).

Lépés 4. Húzzunk érintőt az f x függvényhez az intervallum azon végpontjából, ahol a

függvényérték előjele megegyezik a második derivált előjelével (Mivel ez a 0. közelítés, jelöljük x0-lal.) A gyököt az érintő x tengellyel való metszéspontjával közelítjük.

Lépés 5. Írjuk fel az (x0, f(x0 )) pontban húzott érintőegyenes egyenletét:

yK f x0 =f# x0 xKx0

Lépés 6. Határozzuk meg az érintőegyenes x tengellyel való metszéspontját, ez lesz az első közelítő gyök

(13)

x1=x0K f x0 f# x0

Lépés 7. Az eljárást az x1,f x1 pontból kiindulva folytatjuk, mindaddig, amíg az egymást követő két gyök közelítés eltérése a megadott pontosságnál nem kisebb.

Belátható, hogy ha x0=b, akkor a b,x1,x2, . . . ,xn, . . .sorozat monoton csökkenő módon az f x függvény egyetlen a,b -beli ξ zérushelyéhez tart. Ha az x0=a végpontból indulunk ki, akkor az a,x1,x2, . . . ,xn, . . .sorozatot kapjuk, amely monoton növekvőleg tart ξ-hez.

Az eljárást többféleképpen is leállíthatjuk, vagyis az eljárásból való kilépés feltétele, hogy az alábbi kilépési feltételek valamelyike nem teljesül:

1. Az egymást követő érték különbségére xnC1Kxn !ε ahol 0!ε a hibakorlát.

2. f xn !ε.

Összefoglalva: A Newton-módszer algoritmusa:

Megvalósítás Maple-ben

megadott lépésszámig Megvalósítás Maple

Kben megadott hibahatárig Input :

x0, ε εO0 . n=1,

xn=xnK1K f xnK1

f# xnK1

n = nC1

amíg kilépési feltétel = hamis Output : xn

x0 , k

for i to k do

x i d x iK1 Kf x iK1 / D f x iK1 ; end do ;

x1, x2,....xk

x0, ε, k, hiba

for i to k while hiba O epsilon do x i d x iK1 Kf x iK1

/ D f x iK1 ; hibad x i Kx iK1 ; end do;

x1, x2,....xn

(14)

>

>

>

>

A Newton iteráció megvalósítása Maple-ben

Használt Maple parancsok: plots csomag,display, for ....to...while..., D, proc, Float, print, Digits

2.3.1. Iteráció lépésenként

1. Példa: Oldjuk meg az x3 = 4$ x2K 6 egyenletet!

Lépés 1.

h:=x/x3;g:=x/4 x2K6;plot h x ,g x ,x=K1.4 ..2,y=K6 ..6 h:=x/x3

g:=x/4 x2K6

x

K1 0 1 2

y

K6 K4 K2 2 4 6

Az ábrából látszik, hogy a feladatnak 2 megoldása van a [-2,2] intervallumban. Írjuk át az egyenletet f(x)=0 formába, majd ezt a függvényt ábrázoljuk.

f:=x/x3K4 x2C6 :plot f x ,x=K1.4 ..2

(15)

>

>

>

>

x

K1 0 1 2

K4 K2 2 4 6

Lépés 3. Az ábráról megállapítható, hogy az egyenletnek egyik gyöke ξ

1 a [-1.4,-1], egy másik gyöke ξ2 az [1.5,2] intervallumba esik. Keressük ξ

1 értékét!

Vizsgáljuk a feltételek teljesülését! (Mivel a derivált adott helyen vett értékére vagyunk kíváncsiak, célszerű D(f)(x) utasítással meghatározni a derivált értékét.)

elso_derivalt:= D f x ;masodik_derivalt:= D2 f x elso_derivalt:= 3 x2K8 x masodik_derivalt:= 6 xK8

plot f x ,elso_derivalt,masodik_derivalt ,x=K1.4 ..K1,color= red,blue,green , legend= `f(x)`,első derivált,második derivált

f(x)

első derivált második derivált

x

K1.4 K1.3 K1.2 K1.1

K15 K10 K5 0 5 10 15

(16)

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

Az ábra jól mutatja, hogy az első derivált mindenütt pozitív, a második derivált mindenütt negatív az adott intervallumon.

Lépés 4. 5. 6. Mivel a másodk derivált negatív, ezért a negatív függvényértékű pontból kell kiindulni.

x0dK1.5;x1dx0Kf x0 / D f x0 ;

x0:=K1.5 x1:=K1.160000000

Lépés 7. Véges számú lépés végrehajtásához elég egyszerő for ciklust írnunk. Meg kell adni a lépésszámot, és a kezdőértéket.

kd8 :x0:=K1.5 :x0dx0:

for i tok do xi:=evalf xiK1K f xiK1

D f xiK1 end do: kozelitogyokdx k

kozelitogyok:=K1.086130198

Ha az előre megadott ε hibahatárig akarjuk elvégezni a számításokat a while ciklust használjuk.

kd8 :x0:=K1.5 :x 0 :=x0:εd0.001 :hiba:= 100 : for i tok while ε!hiba do

x i :=evalf x iK1 K f x iK1

D f x iK1 :hibadevalf x i Kx iK1 end do:

hiba:=hiba;kozelitogyok:=x k

hiba:= 0.000005451 kozelitogyok:=K1.086130198

2.3.2. Eljárások a Newton iterációra

Az iteral eljárás az iteráció egy lépését elvégző függvényt készít.

restart:with plots :

iteral:=proc expr::algebraic,x::name local iteration;

iteration:=x K expr/diff expr,x ; unapply iteration,x

end proc:

2. Példa: Határozzuk meg az ex= 2Kx2 egyenlet pozitív gyökét!

f:=x/exCx2K2 : Newton:=iteral f x ,x

Newton:=x/xK exCx2K2 exC2 x

(17)

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

plot f x , D f x , D2 f x ,x=K2 ..1,color= blue,red,green ,thickness

= 2

x

K2 K1 0 1

K3 K2 K1 1 2 3 4

Az ábrából látható. hogy a pozitív gyök a [0,1] intervallumba esik, ahol az első és a második derivált is pozitív. Kezdőértéknek tehát a zérushelynél nagyobb értéket kell választanunk, mert ekkor egyezik meg a második derivált előjele a függvényérték előjelével. Legyen a kezdőérték 1.0.

Adjuk meg a kezdőértéket (legyen ez x0) és a lépések számát (k) ! x0d1.0; x 0 dx0 :kd6 :

x0:= 1.0 for i tok do x i dNewton x iK1 end do

x1:= 0.6358246729 x2:= 0.5431566927 x3:= 0.5372973587 x4:= 0.5372744493 x5:= 0.5372744493 x6:= 0.5372744493 Készítsünk animációs ábrát is az eljárás "lefutásáról!

x0:= 1.0 :rajz:=plot f x ,x=x0K0.7 ..x0C0.1 :kep 0 ddisplay rajz : for i tok do

(18)

>

>

>

>

>

>

>

>

x1:=Newton x0 ;

P:=plot x0, 0 , x0,f x0 , x1, 0 ,color=blue ; kep i dplots display kep iK1 ,P ;

x0:=x1 end do:

display kep k

x

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1

K0.5 0 0.5 1 1.5 2

A következő Newtoniteral eljárás addig fut, amíg vagy kisebb lesz két egymást követő érték különbsége az előírt mértéknél, vagy túl nem lépjük a megengedett lépésszámot. Az eljárás második része az animációhoz szükséges képsorozatot állítja elő.

restart:with plots :

Newtoniteral:=proc f,x0,n, delta

local x,graf1,graf2,p,p1,kep,z,y,mini,maxi,a,b;

global i;

x:=x0;

i:= 1;

mini:= 10^10;

maxi:=K10^10;

z:=x;

y:=x K f x / D f x ;

while i%n and evalf delta %evalf abs y K z do y:=evalf x K f x / D f x ;

z:=x;

mini:= min evalf x ,evalf mini ; maxi:= max evalf x ,evalf maxi ; x:=y;

i:=iC1 end do;

a:= min mini,evalf x0 K Float 2, K1 ;

(19)

>

>

b:= max evalf x0 ,maxi CFloat 2, K1 ; graf1:=plot f t ,t=a..b,color=blue ; kep 0ddisplay graf1 ;

i:= 1;

x:=x0;

y:=x K f x / D f x ; z:=x;

while i%n and evalf delta %evalf abs y K z do y:=x K f x / D f x ;

z:=x;

p:=plot x, 0 , x,f x , y, 0 ,thickness= 1 ; kep iddisplay kep i K 1 ,p ;

x:=y;

i:=iC1;

print 'x' i K 1 =evalf x end do

end proc:

3. Példa: Határozuk meg az f x =x3K0.3 x2C1 függvény zérushelyeit!

f:=x/x3K0.3 x2C1;

plot f x , D f x , D2 f x ,x=K1.1 ..1,y=K0.8 ..1.7,color= blue,red, green

f:=x/x3C K1 $0.3 x2C1

x

K1 K0.5 0 0.5 1 y

K0.5 0.5 1 1.5

Az ábrából látszik, hogy a függvénynek (kék) egy zérushelye van, hiszen a derivált (piros) másodfokú, és egy "kis" szakasztól eltekintve pozitív, tehát a függvénynek a grafikonon nem

(20)

>

>

>

>

látható része szigorúan monoton növekvő. Az is látszik, hogy a gyök a K1,K0.5

intervallumban van. A kezdőérték lehet például a -1, vagy ennél kisebb szám, mert ekkor a második derivált (zöld) megegyezik a függvény előjelével, és mind az első, mind a második derivált előjele állandó a zérushelyet tartalmazó intervallumban.

Legyen a kezdőérték -2, a megengedett maximális lépésszám 10, a kívánt pontosság 10K8. Digits:= 12 :Newtoniteral f,K2, 10, 10K8

x1=K1.37878787879 x2=K1.04321025530 x3=K0.924519905634 x4=K0.909565212175 x5=K0.909339283947 x6=K0.909339232865 x7=K0.909339232865 display kep|| 1 ..iK1 ,insequence=false

t

K2.2 K2 K1.8 K1.6 K1.4 K1.2 K1 K0.8

K10 K8 K6 K4 K2 0

(21)

>

>

>

>

>

>

Példák a feltételvizsgálat fontosságára

4. Példa: Határozzuk meg az f x =xK2 x

1

2 Csin x függvény legnagyobb zérushelyét!

f:=x/xK2 x Csin x ;plot f x ,x= 0 ..15

f:=x/xK2 x Csin x

x

5 10 15

0 1 2 3 4 5 6 7

Az ábra alapján arra következtethetünk, hogy a legnagyobb zérushely az 5, 6 intervallumban van.

plot f x , D f x , D2 f x ,x= 5 ..6,color= blue,red,green

x

5.2 5.4 5.6 5.8 6

K0.4 K0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Digits:= 12 :Newtoniteral f, 6, 10, 10K6

x1= 5.47058871628

(22)

>

>

>

>

>

>

x2= 5.41769027340 x3= 5.41679785537 x4= 5.41679759339 display kep|| 1 ..iK1 ,insequence=false

t

5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 6.0 6.1 6.2 K0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

A kezdőpont helytelen megválasztásának beláthatatlan következményei lehetnek! Legyen a kezdőérték 9.55.

Newtoniteral f, 9.55, 10, 10K8

x1= 19.8251008611 x2= 11.0324933699 x3= 6.42535279392 x4= 5.48679240027 x5= 5.41828005653 x6= 5.41679831539 x7= 5.41679759340 x8= 5.41679759339 display kep|| 1 ..iK1 ,insequence=false

(23)

>

>

t

6 8 10 12 14 16 18 20

0 2 4 6 8 10

A "közelítő" értékek kaotikusan viselkednek, bár egy idő után beáll a szigorú monoton csökkenés.

Ha a kezdő érték 9.6

Newtoniteral f, 9.6, 10, 10K8

Error, (in Newtoniteral) complex argument to max/min

A számolás során olyan értékek adódnak, ahol a függvény nincs is értelmezve. Ha csak a kapott érintőket szemléltetjük, a következő ábrát kapjuk:

x

K120 K100 K80 K60 K40 K20 0 20 2

4 6 8 10 12

(24)

Gyakorlati alkalmazások

Használt Maple parancsok: subs, animate,unapply

5. Példa Kepler-probléma: A Nap körül keringő bolygók mozgását leíró egyenlet megadása. A megoldásnak az elméleti alkalmazások (asztrofizika, atomfizika) mellett az időszámításban, a navigációban is fontos szerepe van.

A Kepler-törvények kimondják, hogy a bolygók – így a Föld is – Nap fókuszpontú ellipszis pályán mozognak, a mozgás során a bolygótól a Naphoz húzott vezérsugár egyenlő idők alatt egyenlő területeket súrol, tehát a bolygó nem egyenletes mozgást végez.

A feladat ezen mozgás hely-idő összefüggésének megadása.

Kepler a problémára a következő megoldást találta. Tekintsünk egy olyan körpályát, melynek középpontja a földpálya középpontja, sugara pedig a földpálya fél nagytengelye. Ezen a pályan mozogjon egy test egyenletes sebességgel.

A valódi Föld r=NF vezérsugarának meghosszabbításával érzékelhetővé válik a két objektum mozgásának eltérése. A Föld a napközeltől indulva siet, majd lassulva ismét „találkozik” az egyenletes mozgású égitesttel. A legnagyobb naptávolságot elhagyva a viszonyok megfordulnak:

a Föld kezdetben lemarad, majd felgyorsulva utoléri az „etalont”. http://hu.wikipedia.

org/wiki/Kepler-probl%C3%A9ma

Az ábrán a P pont a pályának az a pontja, ahol a bolygó a központi égitesthez legközelebb van:

perihélium, vagyis a=OP az ellipszis fél nagytengelye. A bolygó pillanatnyi helyzetét

egyértelműen megadja az az ω szög, melyet az r vezérsugár az NP tengellyel bezár, ezt valódi anomáliának nevezzük.

(25)

>

>

>

>

>

>

>

>

A cél az ω = ω(t) összefüggés meghatározása.

A feladat megoldásához vezető, úgynevezett Kepler-egyenlet:

µ=ηKe$sin η : ahol e =ON

OP - az úgynevezett numerikus excentricitás, ami a Föld esetén e=0.01674, µ - az ábrából leolvashatóan - az idővel egyenesen arányos mennyiség, un. közepes anomália, η az excentrikus anomália. Képezzük azt a függvényt, aminek a zérushelyét keressük. Ábrázoljuk a kapott fügvényt különböző rögzített μ estén.

fdη/ηKe sin η Kµ: ed0.01674 : with plots : g:=subs µ= π

4 ,f η :

(26)

>

>

plot g,η= 0 ..2$Pi, tickmarks = piticks, piticks ,title='µ

= Pi 4 '

η π 4

π 2 π Kπ

4 µ= 1

4 π

plot g,η= 7$ Pi

32 ..9$ Pi 32 , tickmarks = piticks, piticks ,title='µ= Pi

4 '

η 15 π

64 33 π

128 9 π Kπ 32

32 0 3 π 128

µ= 1 4 π

animate plot, f η ,η= 0 ..2

$Pi , µ= 0 ..2$Pi, trace= 5, frames= 10 , tickmarks

= piticks, piticks , insequence=false ;

η π 4

3 π 4

3 π 2

2 π

K2 π Kπ 0 π 2 π

µ= 0.

A baloldali ábra a μ=π

4 értékhez, a jobb oldali ábra különböző μ értékekhez tartozó f(η) függvényeket mutatja. A függvénygörbék látszólag 1 meredekségű egyenesek (hiszen e értéke kicsi). A középső, kinagyított ábra cáfolja ezt az állítást. A függvények szigorúan monoton növekvőek, teljesülnek a Newton módszer feltételei.

A Kepler-egyenlet megoldásakor a feladat az, hogy adott μ-höz keressük η-t. A Kepler-egyenlet azonban transzcendens, így η-t az µ függvényeként véges formában? megadni nem lehet. Ennek következménye az, hogy a feladatnak az idő függvényeként zárt alakú megoldása nincs. Ez sok nehézséget okoz, különösen a perturbációszámításban.

Kis e esetén az iteráció kezdőértékének η0=μ értéknek vehető. Így különböző μ értékekhez kiszámíthatjuk η értékeit, megadott pontossággal.

for j to 5 do µdevalf Pi

8 C jK1 $ π

8 ; Newtoniteral f,µ, 10, 10K6 end do µ:= 0.392699081699

x1= 0.399205834120 x2= 0.399205695664 µ:= 0.785398163398 x1= 0.797376923104 x2= 0.797376060387 µ:= 1.17809724510 x1= 1.19366270267 x2= 1.19366081349 x3= 1.19366081349

(27)

>

>

>

>

>

>

>

>

µ:= 1.57079632680 x1= 1.58753632680 x2= 1.58753398201 x3= 1.58753398201 µ:= 1.96349540849 x1= 1.97886270709 x2= 1.97886089689 x3= 1.97886089688

Megjegyzés: Az eljárásban az ismeretlent x-szel jelöltük, így η=x. Az µ , η pontokra illeszthető görbékről a 6. fejezetben lesz szó.

A Kepler-egyenletet megoldva ω is kiszámítható az ω és η közti összefüggés alapján. Egyszerű geometria megfontolások alapján (például http://astro.elte.

hu/icsip/egi_mechanika/kettest_problema/4fejezet.html ) ed'e': tan ω

2 = 1Ce

1Ke $tan η

2 :

A Föld esetén

ed0.01674; tan ω

2 = 1Ce

1Ke $tan η 2

e:= 0.01674 tan 1

2 ω = 1.01688248925 tan 1 2 η Tehát a két érték közelítőleg megegyezik.

6. Példa Kompresszibilitási együttható R. DeSantis (1976) írta le a valódi gázok kompresszibilitási együtthatóját (z) a következő formában:

z= 1CxCx2Kx3 1K x 2 : ahol x= b

4$v , b a van derWaals együttható, v a moláris térfogat. Adjuk meg x értékét, ha z=0.892.

fdx/zK 1CxCx2Kx3

1K x 2 :zd0.892 :

(28)

>

>

>

>

Ábrázoljuk a függvényt! Keressük meg a függvény legnagyobb zérushelyét!

plot f x ,x=K4 ..6, K4 ..8, discont=true

x K4 K2K2 2 4 6

2 8

plot f x ,x= 1.4 ..2,K4 ..2

x

1.5 1.7 2.0

K4 K3 K2 K1 0 1 2

Képezzük a függvény deriváltjait, majd válasszunk kezdőpontot!

d

dx f x = D f x ; d2

dx2 f x = D2 f x ;

plot D f x , D2 f x ,x= 1.6 ..1.9,color= red,green ,thickness= 2 d

dx 0.892K 1CxCx2Kx3

1Kx 2 =K1C2 xK3 x2 1Kx 2

K 2 1CxCx2Kx3 1Kx 3 d2

dx2 0.892K 1CxCx2Kx3

1Kx 2 =K2K6 x 1Kx 2

K 4 1C2 xK3 x2 1Kx 3

K 6 1CxCx2Kx3 1Kx 4

x

1.7 1.8 1.9

K80 K60 K40 K20 0

A második derivált (zöld) negatív, ezért az intervallum bal végpontjából indítsuk az eljárást.

Newtoniteral f, 1.6, 10, 10K8

x1= 1.70572296015

(29)

>

>

>

>

>

>

>

>

x2= 1.73948435008 x3= 1.74186339420 x4= 1.74187386747 x5= 1.74187386767

7. Példa Reynolds szám Lee és Duffy (1976) a következő empírikus képletet találta fibrózusos részecskék szuszpenziója áramlásának súrlódási tényezőjére:

1 x

= 1

k $ln RE$ x C14K 5.6 k :

ahol x a súrlódási tényző, RE a Reynolds szám, k pedig az oldat koncentrációjától függő állandó.

Ha az oldat koncentrációja 0.08 %, k=0.28. Mennyi az x értéke, ha RE=3750? Képezzük azt a függvényt, amelynek zérushelyét keressük.

fdsubs k= 0.28,RE= 3750 , 1 x

K1

k $ln RE$ x K14C 5.6

k :fdunapply f, x

f:=x/ 1 x

K3.57142857143 ln 3750 x C6.0000000000

plot f x ,x= 0.001 ..0.01, color=blue, title='f x '

x

0.003 0.006 0.010 0

10 20

f x

plot D f x ,x= 0.001 ..5, color=red,title= 'Első derivált'

x

1 2 3 4 5

K20 K10 0

Első derivált

plot D2 f x ,x= 0.001 ..1,y= 0 ..4000, color

=green, title= 'Második derivált'

x

0.10.30.5 0.7 1.0 y

0 2000 4000

Második derivált

A függvénygörbe szigorúan monoton csökkenő, konvex görbe, így a feladat megoldásához legyen x0d0.004 :

Newtoniteral f, 0.004, 10, 10K8

x1= 0.00494105157810 x2= 0.00511739449449 x3= 0.00512189073926 x4= 0.00512189350260 Így 10K8 pontossággal megkaptuk a keresett súrlódási tényezőt.

(30)

Beépített Maple lehetőségek

A Maple több lehetőséget is kínál a Newton módszer automatikus végrehajtására.

2.6.1. Oktató (Tutorial)

Az Eszközök menüsorban, Oktatók menüpont, Kalkulus-Egy Változó, Newton Eljárás kiválasztásával egyszerűen megkapjuk egyismeretlenes egyenletek közelítő gyökeit.

Megadhatjuk a függvényt, beállíthatjuk a kezdőpontot, az iterációk számát. Statikus ábrán vagy animáción grafikusan, illetve az Approximate ablakban numerikusan is megjelennek a közelítő értékek.

(31)

>

>

>

>

>

>

>

>

2.6.2. A Student[Calculus1] csomag NewtonsMethod parancsa

A Student csomag több alcsomagot tartalmaz, amely kimondottan egyetemi alapozó matematika témakörök tanulásához és tanításához ad segítséget. A Calculus1 alcsomag NewtonMethods parancsa többféle opciót kínál a közelítő gyök megadására.

with Student Calculus1 :

Kötelezően megadandó a függvény (egész pontosan itt kifejezést kell megadni), aminek a zérushelyét keressük, és a kiindulási érték. (Figyelem! A feltételvizsgálatot nem ússzuk meg itt sem.)

Opciók: output = value, sequence, plot, vagy animation (érték, sorozat, ábra, animáció) NewtonsMethod exK2Cx2,x= 1,output=value

0.537274449175

NewtonsMethod exK2Cx2,x= 1,output=sequence

1, 0.635824672851, 0.543156692699, 0.537297358633, 0.537274449523, 0.537274449175

NewtonsMethod exK2Cx2,x= 1,output=plot

(32)

>

>

f x Tangent lines x

0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

Newton's Method

From the initial point x= 1, at most 5 iteration(s) of Newton's method for f x = exK2Cx2

NewtonsMethod exK2Cx2,x= 1,output=animation

(33)

f x x

0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

Newton's Method Animated

From the initial point x= 1, at most 5 iteration(s) of Newton's method for f x = exK2Cx2

Feladatok

1. Feladat Adjuk meg az alábbi egyenletek adott intervallumba eső gyökeit 10K4-es hibával!

1. a. x3K2 x2K5 = 0 [1, 4]

1. b. xKcos x = 0 0, π 2 1.c. x3C3 x2K1 = 0 [-4, 0]

2. Feladat Adjuk meg az alábbi egyenletek gyökeit 10K5-es hibával!

2. a. x= 2KexCx2 3

2. b. exC2KxC2 cos x K6 = 0 2. c. x2C10 cos x = 0

(34)

3. Feladat Határozzuk meg Newton módszere segítségével a következő kifejezések értékeit 4 tizedesjegy pontossággal. (Segítség: írjon fel olyan egyenletet, amelynk megoldása az adott érték.

3. a. 5 3. b. ln 2 3. c. 103

4. Feladat Annak valószínűsége, hogy egy teniszjátszmában A játékos 21:0 arányban nyerjen B játékossal szemben P= 1Cp

2

p 1KpCp2

21

, ahol p annak a valószínűsége, hogy A megnyer egy játszmát. Adjuk meg 10K3 hibával azon p valószínűséget, ami biztosítja azt, hogy A a B-vel játszott játszmák felét 21:0 arányban nyerje.

Ellenőrző kérdések

1. Milyen feltételek teljesülése esetén alkalmazhatjuk a Newton-féle érintőmódszert?

2.Mit biztosít az a feltétel, amely szerint d

dx f x s0 az [a,b] intervallumon?

3. Miért van szükség a d2

dx2 f x s0 x 2 a,b feltételre?

4. Hogyan kell a kezdőértéket megválasztani?

(35)

>

>

Lineáris egyenletrendszerek direkt megoldása

restart

Mérnöki feladatok megoldása során gyakran kell nagyméretű lineáris egyenletrendszereket

megoldani. Differenciálegyenletek numerikus megoldása is sokszor lineáris egyenletrendszerre vezet.

Ebben a fejezetben bemutatjuk az egzakt megoldásokhoz vezető módszereket, alkalmazásuk korlátait.

A lineáris egyenletrendszer felírási módjai, megoldhatósága

Az n ismeretlent tartalmazó, m egyenletből álló lineáris egyenletrendszer általános alakja:

a11 x1 + a12 x2 + . . .+ a1 k xk + . . . + a1 n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + . . .+ a2 k xk + . . . + a2 n xn = b2

. . .

ai1 x1 + ai2 x2 + . . .+ ai k xk + . . . + ai n xn = bi .

. .

am1 x1 + am2 x2 + . . .+ am k xk + . . . + am n xn = bm,

ahol az xk (k = 1,2,...,n ) a k-adik ismeretlen, az aik (i = 1,2, . . . ,m; k = 1,2, . . .,n) és a bi (i = 1,2, . . . ,m) valós számok. Az aik a k-adik ismeretlen együtthatója az i-edik egyenletben , a bi pedig az i- edik egyenletben levő konstsns tag.

Az egyenletek a következő tömörebb alakban írhatók : k

>

= 1

n

aik xk = bi, i = 1, 2, . . . , m.

Jelöljük az xk (k = 1, 2 , . . . , n) együtthatóiból alkotott vektort ak-val, a bi konstans tagokból alkotott vektort pedig b-vel, azaz

ak= (a1 k , a2 k , . . . , ai k , . . . , am k ) , b = ( b1 , b2 , . . . , bi , . . . , bm ) . Így a lineáris egyenletrendszer vektoregyenlet alakban :

a1x1 + a2x2 + . . . + akxk + . . . +anxn = b ahol a1 , a2 , . . . , ak , . . . , an , b az m dimenziós tér vektorai.

A mátrixmüveletek alkalmazásával a lineáris egyenletrendszer még tömörebb alakba írható. Az ismeretlenek együtthatóit egy m#n-es mátrix (A) együtthatómátrix elemeiként, a konstansokat egy b-t m#1-es oszlopvektorként, az ismeretlenekből alkotott n#1-es x oszlopvektort felírva az egyenletrendszer mátrixos alakja:

Ax = b

Homogén az egyenletrendszer, ha b = 0 , inhomogén, ha bs0.

(36)

Az n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszer megoldásának nevezünk minden olyan { x1, x2, . . . , xn} rendezett szám n-est, melynek elemeit rendre a megfelelő ismeretlenek helyébe helyettesítve az egyenletrendszer minden egyenlete teljesül. Ha van ilyen rendezett szám n-es, akkor az egyenletrendszert megoldhatónak nevezzük.

Az alábbi kérdésekre keressük a választ:

a ) Mi a feltétele annak, hogy az egyenletrendszer megoldható legyen?

b ) Ha a rendszer megoldható, akkor hány megoldás van?

c ) Hogyan lehet az összes megoldást megadni?

A lineáris egyenletrendszer megoldhatóságát az egyenletrendszer általános, vektoregyenletes és mátrixos alakja alapján különbözőképpen fogalmazzuk meg.

A lineáris egyenletrendszer megoldható

- az általános alak alapján: ha az egyenletei között nincs ellentmondás

- a vektoregyenlet alapján : ha a konstans tagokból alkotott b vektor felírható az együtthatóvektorok lineáris kombinációjaként, vagyis b benne van az

a1 , a2 , . . . , ak , . . . , an vektorok által generált térben.

- a mátrixegyenlet alapján : ha a b oszlopvektor benne van az A oszlopvektorai által generált térben.

A további kérdésekre a különböző megoldási módok során adunk választ.

Szabályos lineáris egyenletrendszer megoldása inverz mátrix segítségével és Cramer szabállyal

Használt Maple parancsok: LinearAlgebra csomag,Matrix, Determinant, Adjoint,MatrixInverse, simplify, GenerateMatrix

Először röviden foglaljuk össze a lineáris algebra alapfogalmait.

3. 2. 1. Definíció

Az Ax = b alakú egyenletrendszer szabályos, ha az A négyzetes (kvadratikus) mátrix, valamint determinánsa nem 0.

3. 2. 2. Definíció

Az A=

a1, 1 a1, 2

a2, 1 a2, 2 2×2 -es kvadratikus mátrix másodrendű determinánsának nevezzük az a1, 1 a2, 2Ka1, 2 a2, 2 kifejezés értékét.

3. 2. 3. Definíció

Az n#n -es kvadratikus mátrix n-edrendű determinánsának nevezzük a következő rekurzív kifejtés eredményeképpen kapott értéket:

(37)

det A=

a1, 1 . . . a1, n . . . . . . . . . .

. . . . .

an, 1 . . . an, n

=a1, 1A1, 1Ca1, 2A1, 2C...Ca1, nA1, n =k

>

== 1

n

a1, kA1, k

ahol A1 k az a1 k elemhez tartozó (n-1)-ed rendű aldetermináns. Ezt az eredeti determinánsból úgy kapjuk, hogy az eredeti determináns első sorát és k-adik oszlopát elhagyjuk, és az így kapott determinánst K1 kC1 -gyel szorozzuk. Ez a determináns első sora szerinti kifejtés.

3. 2. 4. Definíció

Ha a det A s0, a mátrix reguláris, ha det A =0, a mátrix szinguláris.

3. 2. 5. Definíció

Az A=

a1, 1 a1, 2 . . a1, n a2, 1 . . . .

. . . . .

. . . . .

an, 1 . . . an, n

mátrix adjungáltja adj A=

A1, 1 A2, 1 . . An, 1 A1, 2 . . . .

. . . . .

. . . . .

A1, n . . . An, n

ahol Aij

az A mátrix determinánsának aij eleméhez tartozó (előjeles) aldeterminánsa.

3. 2. 6. Tétel

(adj A).A=(det A)$E, ahol A egy tetszőleges n#n-es kvadratikus mátrix, E pedig az n#n -es egységmátrix.

3. 2. 7. Tétel

(adj A).A=A.(adj A)

3. 2. 8. Definíció

A reguláris négyzetes A mátrix inverz (nem kell ez: vagy reciprok) mátrixa az a mátrix, melyre A.AK1=E illetve AK1.A=E

Következmény: AK1=adjA detA

Maple-ben a lineáris algebra eljárásait a LinearAlgebra csomag tartalmazza.

1. Példa Definiáljunk tetszőleges, 3×3-as mátrixot, határozzuk meg determinánsát, adjungáltját és inverzét!

(38)

>

>

>

>

>

>

(1.2.4) (1.2.4)

>

>

(1.2.3) (1.2.3) (1.2.2) (1.2.2) (1.2.1) (1.2.1)

>

>

Megoldás

with LinearAlgebra :

A:=Matrix 3, 3, a1, 1,a1, 2,a1, 3 , a2, 1,a2, 2,a2, 3 , a3, 1,a3, 2,a3, 3

A:=

a1, 1 a1, 2 a1, 3 a2, 1 a2, 2 a2, 3 a3, 1 a3, 2 a3, 3 Determinant A

a1, 1 a2, 2 a3, 3Ka1, 1 a2, 3 a3, 2Ca2, 1 a3, 2 a1, 3Ka2, 1 a1, 2 a3, 3Ca3, 1 a1, 2 a2, 3 Ka3, 1 a2, 2 a1, 3

Adjoint A

a2, 2 a3, 3Ka2, 3 a3, 2 a3, 2 a1, 3Ka1, 2 a3, 3 a1, 2 a2, 3Ka2, 2 a1, 3 Ka2, 1 a3, 3Ca2, 3 a3, 1 a1, 1 a3, 3Ka1, 3 a3, 1 Ka1, 1 a2, 3Ca1, 3 a2, 1

a2, 1 a3, 2Ka2, 2 a3, 1 Ka1, 1 a3, 2Ca1, 2 a3, 1 a1, 1 a2, 2Ka1, 2 a2, 1 MatrixInverse A :

simplify A.MatrixInverse A

1 0 0 0 1 0 0 0 1

Az ellenőrzéssel valóban azt kaptuk, hogy a mátrix és inverzének szorzata egységmátrixot ad eredményül.

3.2.8. Tétel

Ha a lineáris egyenletrendszer szabályos, a megoldásvektora x=AK1b

alakú.

A tételt a mérnöki gyakorlatban sokszor használják. az inverz mátrix meghatározása viszont hosszú számolással jár. Bebizonyítható, hogy ennek meghatározását helyettesíthetjük n+1 darab determináns meghatározásával.

3.2.9. Tétel

Ha egy lineáris egyenletrendszer szabályos, akkor:

- megoldható

(39)

(1.2.6) (1.2.6)

(1.2.7) (1.2.7)

(1.2.8) (1.2.8) (1.2.5) (1.2.5)

>

>

>

>

>

>

>

>

- pontosan egy (n elemből álló) megoldása van - a megoldás xi =det Ai

det A alakú, i=1..n

ahol det A az egyenletrendszer együtthatóiból származtatott determináns, det Ai pedig az i-edik módosított determináns, amely det A-ból úgy jön létre, hogy az A mátrix i-edik oszlopát az egyenletrendszer jobb oldalán álló konstansok oszlopával helyettesítjük.

A tétel harmadik állítását Cramer-szabálynak nevezzük.

Bizonyítás

A bizonyítást a szabályos 3×3-as egyenletrendszer esetén végezzük el.

A:=Matrix 3, 3, a1, 1,a1, 2,a1, 3 , a2, 1,a2, 2,a2, 3 , a3, 1,a3, 2,a3, 3 ;BdMatrix 3, 1, b1, 1,b2, 1,b3, 1

A:=

a1, 1 a1, 2 a1, 3 a2, 1 a2, 2 a2, 3 a3, 1 a3, 2 a3, 3

B:=

b1, 1 b2, 1 b3, 1

A1dMatrix 3, 3, b1, 1,a1, 2,a1, 3 , b2, 1,a2, 2,a2, 3 , b3, 1,a3, 2,a3, 3 ;

A1:=

b1, 1 a1, 2 a1, 3 b2, 1 a2, 2 a2, 3 b3, 1 a3, 2 a3, 3

A2dMatrix 3, 3, a1, 1,b1, 1,a1, 3 , a2, 1,b2, 1,a2, 3 , a3, 1,b3, 1,a3, 3

A2:=

a1, 1 b1, 1 a1, 3 a2, 1 b2, 1 a2, 3 a3, 1 b3, 1 a3, 3

A3dMatrix 3, 3, a1, 1,a1, 2,b1, 1 , a2, 1,a2, 2,b2, 1 , a3, 1,a3, 2,b3, 1

A3:=

a1, 1 a1, 2 b1, 1 a2, 1 a2, 2 b2, 1 a3, 1 a3, 2 b3, 1

(40)

>

>

>

>

(1.2.10) (1.2.10)

>

>

>

>

(1.2.9) (1.2.9)

>

>

(1.2.11) (1.2.11) x1d Determinant A1

Determinant A :x2d Determinant A2

Determinant A :x3d Determinant A3 Determinant A : megoldasdMatrix 3, 1, x1,x2,x3

megoldas:= b1, 1 a2, 2 a3, 3Kb1, 1 a2, 3 a3, 2Cb2, 1 a3, 2 a1, 3Kb2, 1 a1, 2 a3, 3

Cb3, 1 a1, 2 a2, 3Kb3, 1 a2, 2 a1, 3 a1, 1 a2, 2 a3, 3Ka1, 1 a2, 3 a3, 2Ca2, 1 a3, 2 a1, 3 Ka2, 1 a1, 2 a3, 3Ca3, 1 a1, 2 a2, 3Ka3, 1 a2, 2 a1, 3 ,

a1, 1 b2, 1 a3, 3Ka1, 1 a2, 3 b3, 1Ca2, 1 b3, 1 a1, 3Ka2, 1 b1, 1 a3, 3Ca3, 1 b1, 1 a2, 3 Ka3, 1 b2, 1 a1, 3 a1, 1 a2, 2 a3, 3Ka1, 1 a2, 3 a3, 2Ca2, 1 a3, 2 a1, 3Ka2, 1 a1, 2 a3, 3 Ca3, 1 a1, 2 a2, 3Ka3, 1 a2, 2 a1, 3 ,

a1, 1 a2, 2 b3, 1Ka1, 1 b2, 1 a3, 2Ca2, 1 a3, 2 b1, 1Ka2, 1 a1, 2 b3, 1Ca3, 1 a1, 2 b2, 1 Ka3, 1 a2, 2 b1, 1 a1, 1 a2, 2 a3, 3Ka1, 1 a2, 3 a3, 2Ca2, 1 a3, 2 a1, 3Ka2, 1 a1, 2 a3, 3 Ca3, 1 a1, 2 a2, 3Ka3, 1 a2, 2 a1, 3

ellenorzesdsimplify A.megoldas =B

ellenorzes:=

b1, 1 b2, 1 b3, 1

= b1, 1 b2, 1 b3, 1

2. Példa Oldjuk meg a következő egyenletrendszert a 3.2.8. és a 3.2.9. tétel alkalmazásával is.

x1K2 x2Kx3 = 1 Kx1K x2 = 1 2 x1 Cx3= 1 Megoldás

rendszerdx1K2 x2Kx3= 1,Kx1Kx2= 1, 2 x1Cx3= 1 :

Az egyenletrendszerből generáljuk az együttható- és a jobboldali konstansokból álló mátrixot!

A,BdGenerateMatrix rendszer , x1,x2,x3

A,B:=

1 K2 K1 K1 K1 0

2 0 1

, 1 1 1

Eredményül két mátrixot kapunk, az első az együtthatómátrix, a második a konstans vektor.

Vizsgáljuk meg, az egyenletrendszer szabályos-e, vagyis az együtthatómátrix determinánsa egyenlő-e 0-val.

(41)

(1.2.12) (1.2.12)

>

>

(1.2.13) (1.2.13)

(1.2.14) (1.2.14)

>

>

>

>

(1.2.16) (1.2.16)

>

>

>

>

(1.2.15) (1.2.15) detA:=Determinant A

detA:=K5

Az egyenletrendszer szabályos, létezik az együthatómátrix inverze. A megoldás az inverz mátrix segítségével:

megoldasdMatrixInverse A .B

megoldas:=

0 K1 1 Ellenőrzés:

ellenorzes:=simplify A.megoldas =B

ellenorzes:=

1 1 1

= 1 1 1

Most képezzük az A1, A2, A3 mátrixokat, és a determinánsaikat.

A1d

1 K2 K1 1 K1 0

1 0 1

:detA1dDeterminant A1 ;A2d

1 1 K1 K1 1 0

2 1 1

:detA2

dDeterminant A2 ;A3d

1 K2 1 K1 K1 1

2 0 1

:detA3dDeterminant A3

detA1:= 0 detA2:= 5 detA3:=K5 Tehát az egyenletrendszer megoldása

x 1 d detA1

detA ;x 2 d detA2

detA ;x 3 d detA3 detA ; x1:= 0 x2:=K1

x3:= 1 Ami megegyezik az előzőekben kapott megoldással.

Lineáris egyenletrendszer megoldása Gauss-Jordan módszerrel

Használt Maple parancsok: RowOperation, BackwardSubstitute, GaussianElimination , ReducedRowEchelonForm

Hivatkozások

KAPCSOLÓDÓ DOKUMENTUMOK

Az egyértelm¶sége pedig indirekt módon úgy igazolható, hogy ha lenne két különböz® legfeljebb n -edfokú interpolációs polinom, akkor a különbségpoli- nomnak legalább n +

Lineáris egyenletrendszer paraméterei az és a , ezért három modellt állíthatunk fel, annak megfelelően, hogy csak az egyik, csak a másik, vagy mind a két paraméter

KULCSSZAVAK: hővezetési egyenlet, hullámegyenlet, Laplace-egyenlet, má- sodrendű lineáris parciális differenciálegyenlet, disztribúció, alapmegoldás,

A diszkrét Fourier-transzformáció kiszámolható tehát az előbbieken alapuló rekurzív algoritmussal.. Innen teljes indukcióval következik, hogy minden n=2 l -re igaz...

A disszertációban közölt numerikus eredmények (pl. ábra, vagy [4]) azt jelzik, hogy a Meijer G függvény numerikus kiértékelése futási időben még 500 antenna esetén sem

A dolgozat főbb eredmé- nyei azzal a kérdéssel kapcsolatosak, hogy mennyire pontos különböző lineáris és szemilineáris sztochasztikus parciális differenciálegyenletek

Antiepileptikumok adásakor komorbid depresszió és szorongás esetén a betegek gyakrabban számolnak be kognitív (Liik és mtsai 2009, Marino és mtsai 2009), vagy

Megoldás: Nincs, hiszen egy 7 pontú gráfban a 6-fokú pontokból mindegyik pontba vezet él, és mivel 3 6-fokú pontunk van, ezért a többi pont fokszáma legalább 3 kell, hogy