MAGYAR TUDOMÁNYOS AKADÉMIA SZÁMÍTÁSTECHNIKAI ÉS AUTOMATIZÁLÁSI KUTATÓ INTÉZETE

SZÁMÍTÁSTECHNIKAI ÉS AUTOMATIZÁLÁSI KUTATÓ INTÉZETE

m á t r i x o k á l t a l á n o s í t o t t i n v e r z e

Irta:

DR VARGA GYULA

Tanulmányok 58/1976.

ISBN

DR VÁMOS TIBOR

963 311 032 7

768290 MTA KÉSZ Sokszorosító. F. v.: Szabó Gyula

TARTALQMJEGY ZÉK

Oldal BEVEZETÉS ... 5

1. A MOORE-PENROSE-FÉLE ÁLTALÁNOSÍTOTT INVERZ FOGALMA,

ELŐÁLLÍTÁSA 5

2. A MOORE-PENROSE-FÉLE ÁLTALÁNOSÍTOTT INVERZ NÉHÁNY

ALAPVETŐ TULAJDONSÁGA ... 9

3. NUMERIKUS ELJÁRÁSOK A MOORE-PENROSE-FÉLE ÁLTALÁNOSÍTOTT INVERZ KISZÁMÍTÁSÁRA ... H IRODALOMJEGYZÉK ... 20 M E L L É K L E T ... 22

BEVEZETÉS

Az alábbiakban valós elemű mátrixok Moore-Penrose-féle általáno­

sított inverzével foglalkozunk. Összefoglalást adunk ezek fonto­

sabb alapvető tualjdonságairól, majd néhány számítástechnikai eljárást ismertetünk ezek numerikus előállítására. A közölt ál­

lítások egy részének a bizonyítását is megadjuk.

1. A MOORE-PENROSE-FÉLE ÁLTALÁNOSÍTOTT INVERZ FOGALMA, ELŐÁLLÍTÁSA

Nemszinguláris négyzetes mátrixu Ax = b lineáris egyetlen­

rendszer egyértelmű megoldását adja az x = A-1 .b vektor, ahol A"1 az A mátrix inverze.

Téglalapmátrixu lineáris egyenletrendszereknek általában nincs egyértelmű megoldásuk, hanem alulhatározott esetben (kevesebb független és egymásnak nem ellentmondó egyenlet, mint ahány ismeretlen) általában végtelen sok megoldásuk van, tulhatá- rozott esetben (több - egymásnak ellentmondó - egyenlet, mint ahány ismeretlen) pedig egy sincs. Az ilyen egyenletrendsze­

rek mátrixának közönséges értelemben vett inverzéről nem be- széhetünk. Definiálhatjuk azonban az A téglalapmátrix álta­

lánosított inverzét A +-et úgy, hogy az az Ax = b téglalap­

mátrixu lineáris egyetlenrendszer un. normál megoldását adja meg x = A+ .b alakban. Normál megoldásnak nevezzük azt az x vektort, amely a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

1. / Alulhatározott egyenletrendszer esetén minimalizálj a x .x -et az Ax = b feltétel teljesülése mellett.T 2. / Tulhatározott egyenletrendszer esetén minimalizálja

(Ax-b)T . (Ax-b)-t.

Az igy definiált Moore-Penrose-féle általánosított inverz ti1 □ , C 2II eleget tesz az

AA+A = A (AA+ )T = AA+

A+AA+= A+ (A+A)T = A +A összefüggéseknek (Penrose-lemma).

Egy mxn-es A mátrixot maximális rangúnak nevezünk, ha a rángj a r (A )=min(m ,n ).

Először az ilyen mátrixokra számítjuk ki az általánosított inverzét explicit alakban az előbbiekben leirt minimalizálá si feltételek alapján.

1./ Legyen A mxn -es mátrix, m<n és r(A) = m.

A fenti feltételes szélső értéket az T T

f(x) = x .x+z (Ax-b) függvény szélső értéke adja meg ahol z a Lagrange-féle multiplikátor.

A = 0 (i=l, . ..,n) és IJ- = 0 ( j=l,. . . ,m)

i j

feltételekből kapjuk a

2x+ A Tz = 0 Ax-b = 0

egyenletrendszert. Az első egyenletet balról A-val, i a második 2-vel beszorozva és a két egyenletet egy­

másból kivonva kapjuk az AA^z + 2b = 0

egyenletet. Mivel A maximális rangú, ezért AA T mxm-es nemszinguláris mátrix, tehát z kifejezhető ez utóbbi egyenletből:

z = -2(AAT )"!b

Visszahelyettesítve ezt az első egyenletbe kapjuk x -et:

x = A T (AAT )"1.b

A kapott x a normál megoldás, az A mátrix álta-

j ip ip

lánositott inverze tehát A = A (AA )_1 .

Az x -et az f függvénybe behelyettesitve kapjuk

T , ,

x .x minimumát az Ax=b feltetel teljesülése mel­

lett :

f ( x ) = bT (AAT )_1 b.

2./ Legyen A mxn -es mátrix m>n és r(A) = n.

Minimalizálni akarjuk Ax b -tol való eltérése nor- májának négyzetét, az f(x) = (Ax-b) .(Ax-b) függ­

vényt.

A -r-- = 0 d f (i=l,..., n) feltételből adódik az 3x .1

T T

A Ax-A b = 0 egyenlet, amelyből, kihasználva, hogy A maximális rangú, tehát A A nemszingulárLs, T x kifejezhető:

x = (ATA)"1ATb.

Ez az eredeti egyenletrendszer normál megoldása, az A mátrix Moore-Penrose-féle általánosított inverze tehát

= (A" A)'1. A

Behelyettesitve kapjuk f minimumát:

f (x ) = bT (E -AA+ )b = bT CE -A(ATA)'1 AT :b.

— — m — m -

Tetszésszerinti téglalapmátrix azonban nem maximális rangú, de bizonyítás nélkül közöljük, hogy két maxi­

mális rangú mátrix szorzatára bontható valamilyen rangszámmeghatározó eljárással.

Megmutatjuk, hogy ha az A mxn-es téglalapmátrix rang­

ja k<min(m,n), és A=B.C, ahol B és C maximális rangú mxk -s ill. kxn -es mátrixok, akkor A+=C+ .B+

vagyis A +=CT ( CCT )_1 . (BTB )-1 BT . B i z o n y í t á s :

A Penrose-lemma alapján

4* + +

A = A BCA

_l_ T T

Megmutatható, hogy A B = C (CC )’’ és CA+ = (b t b P bt .

Bizonyítsuk be pl. az utóbbi egyenlőséget.

Fennáll:

BCA+ = AA+ = (AT+A T )T = AT+AT = AT+CTBT (L. a következő fejezetben a 3.sz. pontot).

C B -vei balról beszorozvaT T

T T + T T T+ T T T T C B BCA = C B A C B = C B T T-!-

(B B )"} C -tel balról beszorozva

( b t b r1 .c t+c t b t b c a+ = (b t b)'1c t+c t b t

Ez azonban éppen az állitás bizonyítását adja,

T+ T , , +

ugyanis C C = , továbbá B B = E^, hiszen ezek maximális fangu mátrixok, és az általánosított inverzük explicit felírásából a két utóbbi egyenlő­

ség következik.

Szinguláris nxn -es négyzetes mátrixok általánosí­

tott inverzét szintén az előbb látott módon állít­

hatjuk elő. Legyen A ilyen mátrix, rangja k<n.

Ekkor A felbontható A = B.C alakban, ahol B nxk-s, C kxn -es maximális rangú mátrix. A fenti­

ek alapján A = C+B+ .

2. A MOORE-PENROSE-FÉLE ÁLTALÁNOSÍTOTT INVERZ NÉHÁNY ALAPVETŐ TULAJDONSÁGA

A továbbiakban, mielőtt rátérnénk az általánositott inverz kiszámítására szolgáló numerikus eljárások ismertetésére, néhány alapvető, egyszerű összefüggést ismertetünk bizonyí­

tás nélkül, amelyek mátrixok általánositott inverzére vonat koznak.

1./ Az általánositott inverz rangja megegyezik az ere­

deti mátrix rangjával: r(A+ ) = r(A).

2./ Négyzetes, reguláris mátrix általánositott inverze megegyezik közönséges értelemben vett inverzével:

3./ A traszponálás és az általánositott inverz képzé- sének sorrendje felcserélhető: (A ) = (A ) .

(Ezt a fentiekben már kihasználtuk).

4./ Az általánositott inverz általánositott inverze az eredeti mátrix: (A+ )+ = A.

5./ Skalár (lxl -es mátrix) általánositott inverze a következő:

ha a=0

egyébként.

6./ Oszlopvektor (nxl -es mátrix) általánositott inver zét a következőképpen kapjuk meg:

^ 0 ha ||r|| = 0

r = .+

*r T egyébként.

A képletben szereplő || || euklidesi normát je­

lent.

Legyen B =

A '

0 , akkor B+ = CA+ , Legyen

C =

A 0 .0 B- akkor C+ =

A+0 0 B

0 a zérusmátrixot jelenti)

O a zérusmátrix, C blokkokra van bontva),

9./ Ha a mátrix elemeit úgy változtatjuk, hogy közben a mátrix rangja megváltozik, az általánosított in­

verz elemei nemfolytonosan változnak C33.

(Legyen pl.

A

A+

1 X

2 0 _1 QJ

0 0

1 _0 X

4 4

ha x =t=0,

0.2 0.2 ,

x

akkor

ha x->-0, akkor A+ -nek nincs véges határértéke, x= 0 -nál pedig

rl/6 1/3 1 / 6

A

0 0 0

10./ Minden (valós vagy komplex elemű) mátrixnak létezik Moore-Penrose-féle általánosított inverze, és az egyértelmű.

3. NUMERIKUS ELJÁRÁSOK A MOORE-PENROSE-FÉLE ÁLTALÁNOSÍTOTT INVERZ KISZÁMÍTÁSÁRA

A továbbiakban a Moore-Penrose-féle inverz kiszámitására néhány numerikus eljárást ismertetünk. Csak direkt eljárások­

kal foglalkozunk. Ezek az eljárások kihasználják a Moore- Penrose-féle inverznek az előzőkben leirt tulajdonságait, illetve azokon alapulnak.

Tekintsük először a maximális rangú téglalapmátrixokat.

1. / Az előző pontban ismertetett 3. számú tulajdonság miatt elegendő pl. a tulhatározott esetre szorítkozni.

j rp iji

Az erre az esetre vonatkozó A = (A A)-1 .A képlet egyszerűen kezelhető, A A szimmetrikus pozitiv de­T finit mátrix, inverze egyszerűen megkapható bármelyik

_ _ _ T

matrix mvertalo eljárással, és A -vei jobbról szo­

rozva máris megkaphatjuk A+ -et.

2. / Egy másik lehetőség a Householder-féle ortogonalizá- lási eljárással [1+3 történő mátrix felbontás.

Ez esetben az A mátrixot A=V.A alakban bontjuk fel, ahol V ortogonális mátrix, A-nak pedig a "főátló­

ja" alatt csupa 0 eleme van, tehát a nemzérus része trianguláris. A felbontást egy ábrával bemutatva

\ x ° \ X°

A = V ^• 0 \ J^• o \

\

0 0

_ ^ + —+ T

A felbontás alapjan A = A .V , ámde az előző pont­

ban emlitett 2. és 7. tulajdonság alapján

Ä + = :Ä° ‘*',0 3, Ä° ■*■ kiszámítása pedig nem okoz prob­

lémát, mert Ä° trianguláris.

Az előbb emlitett Householder-féle ortogonalizálási eljárás az adott mxn -es A mátrixnak balról soro­

zatosan olyan mxm -es Q, 1 T

= E — ± . u u

h --- (k=l,...,n) ' beszorzását

U1 = Uk

Uk = ak,k-t ‘Cf Uk+ 1 ak+l,k

= 0

1/2

um = a im,k

a = ak ,k+ ‘ ’+am, h = t . a1/2 (t . a1/2- t = -sign(ak ^k ) Kiindulva az A =A

o mátrixból, az k -adik oszlopának k-adik eleme

‘k , k )=-Uk-ta‘/2

A k=Qk -Ak_i mátrix a, , = t . a1/2 , az

k,k

alatta lévő elemek mind zérussal egyenlők. Az egymás utáni lépések az előző lépések által kapott "főátló alatti" zérusokat nem rontják el. Az n-edik lépés után kapott A =Q .A .=Q .Q ,

^ n n n- 1 n n- 1

Q = Qn*Qn-l Qi -et veve, az

, Q,A -ból 1 o

A = Q .A„ -ból

n o

A„ = Q-A o n a kivánt felbontást adja.

Maximális rangú mátrixok általánosított inverzének kiszámításánál a rangszámmeghatározás nem okoz prob­

lémát, a fenti ortogonalizálási eljárás stabilitásá­

nak növelése érdekében mégis célszerű oszlopkiválasz­

tást alkalmazni a k-adik k+l-edik, stb. n-edik oszlopok közül olyan szempont szerint, hogy a maxi­

mális legyen. így az A=VAP felbontást kapjuk, ahol P permutációs mátrix /amelyet természetesen csak egy

, + — h T

vektor segitságevel tárolunk/. Ebből A =PA V .

Nem maximális rangú mátrixok esetén első lépés a rang szám meghatározása, amely egyben egy maximális rangú mátrixok szorzatára való felbontást is ad. /Minden esetre olyan rangszámmeghatározó algoritmus alkalma­

zása célszerű, amely egyben a kivánt faktorizációt is szolgáltatja/.

Ezzel az általánosított inverz kiszámításának a prob­

lémáját elvileg megoldottuk, hiszen a felbontásban kapott tényezők általánosított inverzének fordított sorrendben vett szorzata éppen a keresett általánosí­

tott inverz mátrixot adja.

Tekintsük át a feladat gyakorlati megoldásának néhány lehetőségét.

1./ Bontsuk tényezőkre az A mátrixot a Gauss-féle elimi náció segítségével, foelemkiválasztással. A ténylege­

sen végrehajtott eliminációs lépések száma éppen a k rangszámot adja meg, ahol k<min(m,n), igy tehát az A=PBC felbontás tényezői egy permutációs mátrix, továbbá egy mxk -s és egy kxn -es trapézmátrix.

A felbontást egy ábrán bemutatva:

n m k n

k

B = E

S . Q és c = u.:e,w: ahol S = R • Q'1 ill. w = u'1. V

Könnyen belátható, hogy B és C általánosított in­

verzét az alábbi alakban kaphatjuk meg:

B+ = Q"1 . (E+sTs )'í [E,ST : c+ =

w . (e+w.wt )_1. u'1

ill.

- .. T T

Mármost Q es U trianguláris, E+S S és E+WW pedig szimmetrikus pozitiv definit mátrixok, igy kö­

zönséges értelemben vett inverzüket egyszerűen meg­

kaphatjuk. A felbontás alapján A+=C+B+P.

2./ Egy másik lehetőség az első lépésnek, a rangszámmeg- határozásának a végrehajtása a fentiekben már ismer­

tetett Householder-féle eljárással. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy m<n.Most is oszlopkiválasztással dolgozunk, a Householder-féle eljárás ismertetése során megadott szempont figyelem- bevételével. A sikeresen végrehajtott lépések száma, k, éppen a mátrix rangját adja meg, és igy egy A=QCP alakú felbontást kapunk eredményül, ahol Q mxm-es ortogonális mátrix. C = ^ ' C' , ahol

pézmátrix, 0 (m-k)xn -es zérusmátrix, nxn -es permutációs mátrix.

C kxn -es tra- P pedig

A 2. pontban ismertetett 7. tulajdonság alapján C+ = CC+ ,0:, C+ pedig, az előző módszer ismerteté­

sénél használt jelöléseket alkalmazva

(C =

cu,v:

W

. ( E+WWT J*1 . U'1 A felbontás + + T

alapjan A = PC Q .

3./ Arra az esetre, mikor az mxn -es (m<n) A mátrix eleve particionálva van A = CR,SD alakban, ahol R a független oszlopvektorokat foglalja magában, S pedig R oszlopvektorainak lineáris kombinációit,

C5H ad egy eljárást a Moore-Penrose inverz kiszámí­

tására. A felirásból következik, hogy létezik egy egy­

értelmű S = R.U faktorizáció. Az A mátrix tehát A = R.CE,UD alakban irható, s az ebből adódó

A + = E U1

( E+UUT r1 . R+ képletet

A+ = ^{c e}-(u p)(u p)t:.z q t

m m

P(UP) ZQ

alakban átirva, a benne szereplő Q,Z,U mátrixokat az A =IIR,SIl-en végrehajtott (módosított) Gram-

Schmidt féle ortogonalizálási eljárással kapjuk meg, a P-t pedig az U -n végrehajtott hasonló eljárással.

A módosítás az ortogonalizáló eljárás lényegét nem érinti. Az invertáló eljárás rangszámmeghatározást nem igényel, hiszen a rangszám a kezdeti particionált felírással eleve adva van. Ez egyben rámutat a mód­

szer alkalmazhatóságának feltételeire is.

4./ A Gauss-féle eliminációhoz hasonló un."báziscserélo"

algoritmussal végzi az mxn -es (m>n) A mátrix rangszámmeghatározását Chen CőD, de nem közvetlenül A -ra, hanem a szimmetrikus pozitiv szemidefinit

A A -ra alkalmazva az algoritmus egy speciális, szim metrikus mátrixokra kidolgozott változatát, amely

jelentős idomegtakaritást eredményez. Ha az algorit­

mus során kénytelen teljes foelemkiválasztást és en­

nek megfelelően oszlopcserét végezni, akkor az álta­

lános báziscserélo algoritmust alkalmazza, de egy újabb alkalmas foelemkiválasztással 2 lépésben visz- szaállitja a szimmetriát. A sikeresen végrehajtott lépések száma megadja a mátrix rangját és egyben az A mátrix független oszlopvektorait is. Az általáno­

sított inverz kiszámítására a Gauss-féle eljárással kapott képlethez hasonlót használ, és a szükséges közönséges invertálásokat is a báziscserélo algorit­

mussal végzi el.

5./ Greville C7□ olyan algoritmust adott, amely az

mxn-es A mátrix általánosított inverzét rekurziv utón, kiindulva az A mátrix valamely A k_^ mx(k-l) -es ismert inverzü részéből, egy-egy újabb oszlopvek tor hozzávételével számitja ki.

Legyen Ak = CA^^, ak D, az ak oszlopvektort orto­

gonális projekció segítségével felbontjuk

a^ = a^/1 ^ + a^/2 ^ alakban úgy, hogy A^_^ . ak2 ^ = 0 teljesüljön. Legyen d^ = A ^ ^ . a ^ = A * ^ . a^( 1),

T

akkor

-k -k

(1)

Legyen továbbá

kT h . =

(2) +

ha O

(l+akdk r d k Ak - 1

egyébként, akkor

4 - 4 - i - ^ k k=2,...,n -re.

Ez az egyenlőség az általánosított inverz definíciója alapján egyszerűen belátható. Az utolsó lépésben

A = A = CA , , a J, igy A+ = A+ .

n n- 1 —n n

6./ A Greville féle eljárást az alábbi módon alakíthatjuk át ill. fejleszthetjük tovább: Kiindulva egy mxn-es A mátrix első oszlopából kivett m-n+2 elemű oszlop­

vektorból, ill. ezt tekintve A-^-nek és hozzávéve a mátrix második oszlopából ugyanannyi elemet a~-nek, alkalmazhatjuk a Greville-féle algoritmust A2 ki­

számítására. Majd hozzávéve A^-höz A (m-n+3)- adik

^ ^ T

sorának első két elemét, ill. ezt tekintve f^ -nek, felépíthetjük a Greville-féle algoritmus "transzpo­

nált j át" a következőképpen:

fT = f (l)T

—k —k

+ f (2)T

—k

, T -T +

^ k = A Ak - i

-k ^ • A k-i (2)T T -(1)T -k -k -k

^k =

(2 )T+

A k — 1'— k* <1+— k á k >_1

ha f < 2 , T + o e g y é b k é n t .

Legyen k- 1

T k

= :a. k-l

, akkor

- í>k .d£, bk :.

Ezután a Greville-algoritmust és az algoritmus trans ponáltját felváltva alkalmazzuk addig, amig a teljes A mátrix Moore-Penrose-féle inverzét meg nem kapjuk Az algoritmus alkalmazásához kiindulásul választott oszlopvektor Moore-Penrose-inverzét a 2. fejezet 6. pontja alapján számíthatjuk ki.

Az invertálás végrehajtását az alábbi ábra szemlél­

teti:

Ha az invertálandó mátrix particionált alakú felirás ban valamelyik blokk általánosított inverzét ismer­

jük, a szükséges Greville-algoritmus lépéseit magunk tervezhetjük meg, célszerűen, a mátrix particionált alakjának megfelelően.

Ebből láthatjuk, mikor célszerű ezt a módszert alkal mazni.

Az általánosított inverz kiszámítására szolgáló eljá­

rások ismertetése során a legcsekélyebb mértékben sem törekedtünk a teljességre, csupán számítástechnikai­

lag könnyen kezelhető eljárásokat igyekeztünk bemu­

tatni. Egyéb eljárások megismeréséhez a felhasznált cikkekre és az azok végén található irodalomjegyzékre utalunk. Az ismertetett módszerek közül többnek a

FORTRAN programja az MTA CDC 3300 programkönyvtárában megtalálható. Az egyes módszerek számítási időigényét helyfoglalását nem ismertettük, ezekre az idézett mü­

vekben utalások találhatók, annyit azonban megjegy- zünk, hogy egy mxn -es mátrix Moore-Penrose-féle inverzének kiszámításához legkevesebb k 2 számú mun­

karekesz szükséges, ahol k = min(m,n).

Az egyes eljárások az általánosított inverz transz­

ponált j át az eredeti mátrix helyén tárolják.

Hasonlóképpen nem ismertettük az egyes módszerek tár­

gyalása során szóba kerülő alapvető eljárások többsé­

gét, ezek ismeretét feltételeztük, ill. az idézett irodalomban ezek megtalálhatók C8H.

Az általánosított inverz kiszámítására szolgáló ite­

rációs eljárásokkal sem foglalkoztunk, ezek lokális jellegük és lassú konvergenciájuk miatt inkább csak a véges eljárásokkal kapott inverzek pontosítására használhatók CIOH , C í m .

Az alábbiakban mellékeljük az ismertetett eljárások közül azoknak a programjait használati utasítással együtt, amelyek az MTA CDC 3300 gépének programkönyv tárában megtalálhatók.

IRODALOMJEGYZÉK

c m E. H. Moore: General Analysis Part I, Mem.Amer.Phil Soc. vol.l, 197-209 (1935)

[23 R. Penrose: A Generalized Inverse for Matrices Proc. Camb. Phil. Soc. 51, 406-413

(1955)

[33 G. W. Steward: On the Continuity of the Generalized Inverse, SIAM Journal on Applied Mathematics vol. 17. 33-45 (1 9 6 7) [h 3 A. S. Householder: Unitary Triangularization of a Non

Symmetric Matrix (J. Assoc. Comp.

Mach. 5. 339-342 (1958) ).

[53 B. Rust, W.R. Burrus, C. Schneeberger: A Simple Algorithm for Computing the Generali­

zed Inverse of a Matrix, CACM vol.9.

Nr. 5. 381-387 (1 9 6 6).

[63 Richard M. - M. Chen: New Matrix Inversion Algorithms Based on Exchange Method

IEEE Transactions on Computers, 1973. okt. 885-890.

[ 7 3 T. N. E. Greville: Some Applications of the Pseudo

Inverse of a Matrix

SIAM Rev.2, 15-22 (i9 6 0).

[83 Nobuo Shinozaki, Masaaki Sibuya, Kunio Tanabe:

Numerical Algorithms for the Moore- Penrose Inverse of a Matrix: Direct Methods (Annals Inst. Statist. Math.24 193-203 (1972) ).

[ 9 3 C. R. Rao, S. K. Mitra: Generalized Inverse of

Matrices and its Applications New York, Wiley 1971.

mo:

mi:

V. N. Joshi: Remarks On Iterative Methods for Computing the Generalised Inverse

(Studia Sei. Math. Hung. 8 457-461 (1973) ).

Galántai Aurél - dr Varga Gyula: Relaxációs módszer általánosított mátrixinverz kiszámításá­

ra (Az Alkalmazott Matematikai Lapok részére leadva)

A TANULMÁNYOK sorozatban eddig megjelentek:

1/1973 Pásztor Katalin: Módszerek Boole-függvények minimális vagy nem redundáns, ( A , V , ”!) vagy {NOR} vagy {NAND}

bázisbeli, zárójeles, vagy zárójel nélküli formuláinak előállítására

2/1973 BauuceBH MuiTBan: P a c u j i e n e H H e M iio ro c B H3HHx npoiviHiiJienHtix npOUOCCOB C nOMOIHLK) BblüMCjlMTQJIBHHX MaiUIIH

3/1973 Ádám György: A számitógépipar helyzete 1972 második felében

4/1973 Bányász Csilla: Identification in the Presence of Drift 5/1973* Gyürki J.-Läufer J.-Girnt M.-Somló J. : Optimalizáló

adaptiv szerszámgépirányitási rendszerek

6/1973 Szelke E.-Tóth K .: Felhasználói Kézikönyv /USER MANU­

AL/ a Folytonos Rendszerek Szimulációjára készült ANDISIM programnyelvhez

7/1973 Legendi Tamás: A CHANGE nyelv/multiprocesszor 8/1973

% Klafszky Emil: Geometriai programozás és néhány alkal­

mazása

9/1973 R. Narasimhan: Picture Processing Using Pax

10/1973 Dibuz Á.-Gáspár J.-Várszegi S.: MANU-WRAP hátlaphuza- lozó, MSI- TESTER integrált áramköröket mérő,

TESTOMAT-C logikai hálózatokat vizsgáló berendezések ismertetése

11/1973 Matolcsi Tamás: Az optimum-számitás egy uj módszeréről 12/1973 Makroprocesszorok, programozási nyelvek. Cikkgyűjte­

mény az NJSzT és SzTAKI közös kiadásában.

Szerkesztette: Legendi Tamás

13/1973 Jedlovszky Pál: Uj módszer bonyolult rektifikáló osz­

lopok vegyészmérnöki számítására

14/1973 Bakó András: MTA kutatóintézeteinek bérszámfejtése számitógéppel

15/1973 Ádám György: Kelet-nyugati kapcsolatok a számítógép­

iparban

16/1973 Fidrich I.-Uzsoky M . : LIDI-72 listakezelő rendszer a Digitális Osztályon, 1972. évi változat

17/1974 Gyürki József: Adaptiv termelésprogramozó rendszer /APS/ termelomühelyek irányítására

18/1974 Pikier Gyula: MINI-számitógépes interaktiv alkatrész- programiró rendszer NC szerszámgépek automatikus prog ramozásához

19/1974 Gertler J.-Sedlak J . : Software for process control 20/1974 Vámos T.-Vassy Z.: Industrial Pattern Recognition

Experiment - A Syntax Aided Approach

21/1974 A KGST I. - 15-1.: "Diszkrét rendszerek automatikus vezérlése" c. témában 1973. februárban rendezett szeminárium előadásai

22/1974 Arató M.-Benczúr A.-Krámli A.-Pergel J.: Stochastic Processes, Part I.

23/1974 Benkó S.-Renner G . : Erősen telitett mágneskörök szá­

mitógépes tervezési módszere

24/1974 Kovács György-Franta Lászlóné: Programcsomag elekt­

ronikus berendezések hátlaphuzalozásának tervezésére 25/1974 Járdán R. Kálmán: Háromfázisú tirisztoros inverterek

állandósult tranziens jelenségei és belső impedanci- áj a

26/1974 Gergely József: Numerikus módszrek sparse mátrixokra 27/1974 Somló János: Analitikus optimalizálás

28/1974 Vámos Tibor: Tárgyfelismerési kisérlet nyelvi módsze' rekkel

29/1974 Móricz Péter: Vegyészmérnöki számitási módszerek fá­

zisegyensúlyok és kémiai egyensúlyok vizsgálatára 30/1974 Vassy Z. - Vámos T . : The Budapest Robot - Pragmatic

Intelligence

31/1975 Nagy István: Frekvenciaosztásos középfrekvenciás in- verterek elmélete

32/1975 Singer D. , Borossay Gy., Holtai T. : Gázhálózatok op- timális irányítása különös tekintettel a Fővárosi Gázmüvek hálózataira

33/1975 Vámos T.-Vassy Z.: Limited and Pragmatic Robot Intelligence

Mérő L.-Vassy Z.: A Simplified and Fastened Version of the Hueckel Operator for Finding Optimal Edges in Pictures

Tajuio

nporpaMMa

pacno3HaBaHHH reoMeipn- qeciciix

ocHOBantiaH Ha JMHrBMCTHHecKOM

jvieioae

omicaHHH

aHaJiH3a reoMeipji^ecKHX cTpyK-

TVp

34/1975 László Nemes: Pattern Identification Method for Industrial Robots by Extracting the Main Features of Objects

35/1975 Garádi-Krámli-Ratkó-Ruda: Statisztikai és számítás­

technikai módszerek alkalmazása kórházi morbiditás vizsgálatokban

36/1975 Renner Gábor: Elektromágneses tér számítása nagyho- mérsékletü anyagban

37/1975 Edgardo Felipe: Specification problems of a process control display

38/1975 Hajnal Andrásné: Nemlineáris egyenletrendszerek meg­

oldási módszerei

39/1975 A.Abd El-Sattar: Control of Induction motor by three phase thyristor connections in the secondary circuit 40/1975 Gerhardt Géza: QDP Grafikus interaktiv szubrutinok a

CDC 3300-GD'71 grafikus konfigurációra 41/1975 Arató M.-Benczúr A.-Krámli A.-Pergel J.:

Stochastic Processes, Part II.

42/1975 Arató Mátyás: Fejezetek a matematikai statisztiká­

ból számitógépes alkalmazásokkal

43/1975 Matavovszky Tibor - dr Pásztorné Varga Katalin:

Programrendszer Boole-függvényrendszer együttes egy­

szerűsítésére vagy minimalizálására

44/1975 Bacsó Nándorné: Pneumatikus áramköri hazardok

45/1975 Varga András: Ellenpárhuzamos félvezetöpárokkal ve­

zérelt aszinkronmotoros hajtások számítási módsze­

rei

46/1976 Galántai Aurél: Egylépéses módszerek lokális hiba­

becslései

47/1976 Abaffy József: A feltétel nélküli függvényminimali­

zálás kvadratikus befejezésü módszerei

48/1976 Strehó Mária: Stiff tipusu közönséges differenciál­

egyenletek megoldásáról

49/1976 Gerencsér László: Nemlineáris programozási feladatok megoldása szekvenciális módszerekkel

50/1976 Robert Treer: A syntax macro definition language 51/1976 Bakó András: TIMER időredukciós programcsomag 52/1976 W.A. Potas: Computer Aided Design

53/1976 Farkas Ernő: MP <J>2 makroprocesszor általános ismer­

tetése

5 4 /1976 N.N. Puri: Multi Element Fault Isolation in Electron ic Circuits

55/1976 Edgardo Felipe: The design of color, Raster-Scan graphical displays for process control applications 5 6 /1976 Bán Ilona: Iterációs módszerek lineáris rendszerekre 5 7 /1976 Kovács Mihály: Egységes kisszámitógépes gépgyártás­

technológiai tervezőrendszer vázlatos rendszerterve különös tekintettel a monitor rendszerre

Jelen dolgozat az 5.9.1 számú intézeti témában került kidől gozásra

A x-gal jelölt kivételével a sorozat kötetei megrendelhetők az Intézet könyvtáránál /Budapest, XIII. Victor Hugo u. 18-22/