Valós számok és számhalmazok

A számfogalom fokozatos b˝ovítése röviden a következ˝okben foglalható össze.N-b˝ol kiindulva, el˝oször a 0 számot definiáljuk, és a{0} ∪Nhalmazra kiterjesztjük az összeadást0 +n:=nel˝oírással mindenn∈N-re.

Ezután definiáljuk a negatív egész számokat és kiterjesztjük rájuk az összeadást a szokásos módon. Így nyerjük aZhalmazt. Most definiálhatjuk a racionális számokQhalmazát. Erre kiterjesztve az összeadást és a szorzást, kiderül, hogyZ⊂Q.Qelemeib˝ol kiindulva a valós számokRhalmaza egy, az eddigieknél bonyolultabb eljárással nyerhet˝o, melyet nem részletezünk.

Ehelyett a valós számokRhalmazát, rajta az összeadás és szorzás m˝uveletét valamint a „<” rendezési relációt adottnak tételezzük fel, és elfogadjuk a következ˝o két állítást:

2-17. Állítás: Q ⊂ R, és bármely két különböz˝o a,b ∈ R,a < b valós szám között vanp ∈ Q racionális szám, melyre teháta < p < bteljesül.

2-18. Állítás: (Cantor-axióma vagy Cantor-féle közöspont tétel). Legyen I₁ ⊃I₂ ⊃I₃ ⊃...korlátos és zárt R-beli intervallumok egymásba ágyazott tetsz˝oleges sorozata. Akkor ezen intervallumsorozatnak legalább egy közös eleme van, azaz∩^∞_k=1Ik6=∅.

Itt használtuk az intervallumok szokásos definícióját, melyeket az alábbiakban foglalunk össze. Haa,b∈R, a≤btetsz˝oleges számok, akkor a továbbiakban jelölje:

(a,b) :={x∈R: a < x < b}(nyílt intervallum), [a,b] :={x∈R: a≤x≤b}(zárt intervallum),

(a,b] :={x∈R: a < x≤b}(alulról nyílt, felülr˝ol zárt intervallum), [a,b) :={x∈R: a≤x < b}(alulról zárt, felülr˝ol nyílt intervallum), (a,+∞) :={x∈R: a < x}(félig végtelen, nyílt intervallumok),

(−∞,a) :={x∈R: x < a},

[a,+∞) :={x∈R: a≤x}(félig végtelen, zárt intervallumok), (−∞,a] :={x∈R: x≤a},

és néhaR-et(−∞,+∞)-nel is jelöljük. Hangsúlyozzuk azonban, hogy a+∞,−∞szimbólumoknem számok (nincsenek rájuk a m˝uveletek kiterjesztve), hanem pusztán kényelmesjelölések!

Megjegyzés:

• Az el˝oz˝o állítást ismételten alkalmazva kapjuk, hogy bármely két különböz˝o valós szám közt végtelen sokracionális szám van. Ezt szemléletesen úgy fejezzük ki, hogy a racionális számok a valós számok egymindenütt s˝ur˝urészhalmazát alkotják.

• Az, hogy a Cantor-axiómát tételnek avagy axiómának tekintjük, attól függ, hogy a valós számoknak (egymással ekvivalens) többféle lehetséges felépítése közül melyiket választjuk. Mi a kés˝obbiekben axiómának tekintjük.

A Cantor-axióma mindegyik feltétele lényeges. Példákkal mutatjuk meg, hogy bármelyik feltétel elhagyása esetén az állítás már általában nem igaz:

(a) Mindhárom feltétel teljesül.

LegyenI_k:=

0,¹_k

(k∈N). Ekkor közvetlenül látható, hogy∩^∞_k=1I_k={0}(egyelem˝u halmaz).

(b) Az intervallumok nem végesek.

LegyenI_k:= [k,+∞](k∈N). Akkor∩^∞_k=1I_k=∅.

(c) Az intervallumok nem zártak.

LegyenIk:= 0,¹_k

(k∈N). Akkor∩^∞_k=1Ik=∅.

(d) Az állítást nemR-ben tekintjük.

LegyenI1:= [1.4,1.5],I2 := [1.41,1.42],I3:= [1.414,1.415], és így tovább, ak-adik intervallum bal végpontja legyen a√

2számktizedesjegy pontossággal, a jobb végpontja pedig ett˝ol10^−k-nal nagyobb. Könnyen látható, hogy ezen intervallumsorozat kielégíti a Cantor-axióma feltételeit, az intervallumok közös pontja pedig az egyetlen√

2szám. Következésképpen, haRhelyettQ-ban tekintjük ezen intervallumokat, akkor a közös rész üres. Az állítás tehátQ-ban nem igaz. Szemléletesen szólva, az állítás azt jelenti, hogyR-ben nincsenek

„lyukak”. Ez a tulajdonságaQ-nak nincs meg.

2-14. Definíció: Azt mondjuk, hogy azA⊂Rszámhalmazfelülr˝ol korlátos, ha van olyanC∈Rszám, hogy minden x ∈A-ra teljesül, hogyx ≤C. Ekkor az ilyenC számokat azAhalmazfels˝o korlátjainaknevezzük.

Hasonlóan, ha van olyan c ∈ R szám, hogy minden x ∈ A-ra x ≥ c teljesül, akkor az A halmazt alulról korlátosnak nevezzük, az ilyen tulajdonságúcszámokat pedig azA halmazalsó korlátjainak hívjuk. Ha egy halmaz felülr˝ol is és alulról is korlátos, akkor röviden csakkorlátosnaknevezzük. Ekkor a halmaz lefedhet˝o egy véges hosszúságú intervallummal.

A valós számokat alapvet˝oen jellemzi a következ˝o tétel, melyet bizonyítás nélkül mondunk ki (a tétel egyébként a Cantor-axiómán alapul):

2-19. Tétel: . Minden nemüres felülr˝ol korlátosAhalmaznak van legkisebb fels˝o korlátja. Ezt azAhalmaz szuprémumánaknevezzük, és supA-val jelöljük. Hasonlóan, minden nemüres alulról korlátosA halmaznak van legnagyobb alsó korlátja. Ezt azAhalmazinfimumánaknevezzük, és infA-val jelöljük.

A szuprémum és infimum esetleg maguk is a szóbanforgó halmazhoz tartoznak, de ez nem szükségszer˝u. Pl. a (0,1]félig nyílt intervallum infimuma 0 (ami nem tartozik hozzá e halmazhoz), szuprémuma pedig 1 (ami hozzátartozik a halmazhoz). A szuprémum és az infimum a maximum ill. minimum fogalmának bizonyos irányú általánosításai abban az értelemben, hogy ha egy halmaznak van legkisebb (legnagyobb) eleme, akkor ez egyúttal a szóbanforgó halmaz infimuma (szuprémuma) is. Ámde míg minimális (maximális) elem nem feltétlen létezik – a(0,1)nyílt intervallumnak pl. sem minimális, sem maximális eleme nincs –, addig a fenti tétel értelmében infimum (szuprémum) mindig létezik, amennyiban a halmaz alulról (felülr˝ol) korlátos.

Könny˝u látni azt is, hogy a tétel érvényét veszti, haRhelyett példáulQ-beli halmazokat vizsgálunk. Így pl. az {x∈Q: 0< x²<2}halmaz korlátos, deQ-ban nincs legkisebb fels˝o korlátja. Ilyen értelemben ez a tétel is a valós számok hézagmentességeként interpretálható.

Megjegyzés: Ha azA⊂Rszámhalmaz nem korlátos felülr˝ol (alulról), akkor azt mondjuk, hogy supA= +∞(infA=−∞).

A hatványhalmaz példáján már láttuk, hogy nem mindegyik végtelen halmaz megszámlálható. Most erre konkrét példát is adunk. Bebizonyítjuk, hogyRnem megszámlálható.

2-20. Állítás: A valós számokRhalmaza nem megszámlálható.

Bizonyítás:

Elég megmutatni, hogy azR-nél sz˝ukebb(0,1)intervallum sem megszámlálható (ha ui. Rmegszámlálható lenne, akkor a sz˝ukebb(0,1)is az volna). Indirekt, tegyük fel, hogy a(0,1)halmaz megszámlálható, ezért sorozatba rendezhet˝o: (0,1) ={a₁,a2,a3,...}. Írjuk fel mindegyikak-t végtelen tizedestört alakban:

a₁ = 0.x₁₁x₁₂x₁₃..., a₂ = 0.x₂₁x₂₂x₂₃..., a3 = 0.x31x32x33..., ...,

ahol tehátxkj jelöli azakszámj-edik tizedesjegyét (az egyértelm˝uség kedvéért a végtelen, csupa 9-esb˝ol álló szakaszokat kizárjuk, helyettük a megfelel˝o véges tizedestört alakot használjuk, így az ilyen számok vége csupa 0-ból áll). Tekintsük most aza:= 0.y₁y₂y₃...számot, ahol azy_j tizedesjegyek olyan, 0-tól és 9-t˝ol különböz˝o számok, melyekre teljesül, hogyyj 6=xjj, de egyébként tetsz˝olegesek. Akkor egyrészt nyilvána∈(0,1), másrészt viszont a konstrukció következtében azaszám mindegyika_k-tól különbözik (ui. legalább ak-adik

tizedesjegyük nem azonos). Ez ellentmond az indirekt feltevésnek, miszerint az{a₁,a2,a3,...}megszámlálható halmaz egyenl˝o volna a teljes(0,1)intervallummal. Ez az ellentmondás az állítást igazolja.

Megjegyzés: A(0,1)intervallum egyenl˝o számosságú a teljesRhalmazzal, az f : (0,1)→R, x7→tgπ

x−1

2

leképezés pedig ekvivalenciát létesít(0,1)ésRközött.

AzR-rel egyenl˝o számosságú halmazokatkontinuum számosságúhalmazoknak nevezzük. Megjegyezzük, hogy ennél „nagyobb” számosság is van. Így pl. a2^Rhalmaz se nem megszámlálható, se nem kontinuum

számosságú.

3. LECKE