Sorozatok és konvergencia
4. Valós számsorozatok
4.1. Sorozatok konvergenciája, alapvet˝ o tételek
Most bevezetjük a valós analízis egyik legfontosabb fogalmát:
4-3. Definíció: Azt mondjuk, hogy az(xn)⊂Rszámsorozatkonvergens, éspedig azx∈Rszámhoz tart, ha mindenε >0számhoz van olyanN ∈Nún. küszöbindex, hogy mindenn≥N indexre|xn−x|< εteljesül.
Ezt a tényt így jelöljük: xn → x vagy limxn = x . Az x számot a sorozat határértékének, vagylimeszének nevezzük. A nem konvergens sorozatokatdivergensnekis nevezzük.
Ha(xn)-et egy bonyolultabb kifejezés definiálja, és nem nyilvánvaló, hogy mi a sorozat indexe, akkor szokás még azxn→x (n→+∞) vagy alimn→+∞xn=xjelölések használata.
Szemléletesen: a sorozat "nagy index˝u" tagjai „tetsz˝oleges pontossággal” megközelítik azxszámot.
A definícióból nyilvánvaló, hogy sem a konvergencia ténye, sem a határérték nem változik, ha a sorozatvéges soktagját megváltoztatjuk.
Megjegyzés: A kés˝obbiekben, a kialakult gyakorlat szerint az(xn) ⊂ Rsorozat jelölésére mindig az (xn) szimbólumot használjuk, és nem x-et (egyéb függvények jelölését˝ol eltér˝oen). Nem fog tehát félreértést okozni, ha az(xn)sorozat határértékét esetenkéntx-szel jelöljük.
Megjegyzés: Nem hivatalos használatra bevezetjük a következ˝o elnevezést ill. szóhasználatot. Azt mond-juk, hogy valamely tulajdonság egy sorozatmajdnem mindentagjára teljesül, ha az illet˝o tulajdonság csak véges sok indexre nem teljesül, azaz, ha valamely indext˝ol kezdve az összes további indexre teljesül. Ezzel a szóhasználattal: egy (xn) ⊂ R számsorozat konvergens, ésxn → x, ha bármely (bármilyen kicsi)ε > 0 szám esetén a sorozat majdnem minden tagjaε-nál közelebb esikx-hez.
Nyilvánvaló, hogy konvergens sorozat minden részsorozata is konvergens, és az eredeti sorozat határértékéhez tart.
Megjegyzés: A definíció nem tartalmazza a határérték egyértelm˝uségét, azonban látni fogjuk, hogy (a szemlélettel összhangban) konvergens sorozatoknak csak egy határértékük van.
A zérushoz tartó sorozatokat rövidenzérussorozatoknaknevezzük.
A gyakorlatban határértékekek számításakor jól felhasználható a konvergencia definíciójának alábbi átfogalmazása (a bizonyítást az Olvasóra hagyjuk).
4-1. Állítás: Tetsz˝oleges(xn)⊂Rsorozatraxn→xpontosan akkor, ha|xn−x| →0.
Most egy, a konvergenciánál jóval egyszer˝ubb, de fontos és könnyebben ellen˝orizhet˝o fogalmat vezetünk be:
4-4. Definíció: Azt mondjuk, hogy az (xn) ⊂ R sorozat korlátos, ha az abszolút értékekb˝ol képezett {|xn| : n ∈ N} számhalmaz felülr˝ol korlátos R-ben, azaz, ha van oly C ≥ 0 szám, hogy |xn| ≤ C tel-jesül minden n∈ Nindexre. Az(xn) ⊂ Rsorozatfelülr˝ol(alulról)korlátos, ha a sorozat tagjaiból képezett {xn: n∈N}számhalmaz felülr˝ol (alulról) korlátosR-ben.
A korlátosság a konvergenciánál gyengébb fogalom, amint azt a következ˝o állítás is mutatja.
4-2. Állítás: Minden(xn)⊂Rkonvergens sorozat korlátos is.
Bizonyítás:
Legyenxn→x. Akkor speciálisan azε:= 1számhoz is van olyN ∈Nküszöbindex, hogy mindenn≥N esetén|xn−x|<1, azaz véges sok kivétellel a sorozat tagjai 1-nél közelebb vannakx-hez, tehát lefedhet˝ok az
(x−1,x+ 1)véges hosszúságú intervallummal. A kivételes tagok szintén lefedhet˝ok egy alkalmas véges hosszúságú intervallummal, ezért ez a sorozat összes tagjára is igaz, azaz a sorozat korlátos.
Az állítás megfordítása nem igaz, a korlátosságból a konvergencia nem következik!
Példák
4-1. Példa: Az xn := a (n = 1,2,...) stacionárius sorozat (melynek minden tagja a-val egyenl˝o) korlátos, konvergens ésa-hoz tart tetsz˝olegesavalós azám esetén.
4-2. Példa: Azxn:= n1 (n= 1,2,...)sorozat korlátos, konvergens és 0-hoz tart.
Bizonyítás:
Valóban,|xn| ≤1teljesül mindenn∈N-re; továbbá tetsz˝olegesε >0mellett minden olyanN ∈Nszám jó küszöbindexnek, melyreN > 1ε.
4-3. Példa: Azxn:= √1n (n= 1,2,...)sorozat korlátos, konvergens és 0-hoz tart.
Bizonyítás:
Valóban,|xn| ≤1teljesül mindenn∈N-re; továbbá tetsz˝olegesε >0mellett minden olyanN ∈Nszám jó küszöbindexnek, melyreN > ε12.
4-4. Példa: Legyenc∈Rolyan, hogy|c|<1. Akkor azxn:=cn (n= 1,2,...)sorozat korlátos, konvergens és 0-hoz tart.
Bizonyítás:
Valóban,|xn| ≤1teljesül mindenn∈N-re; továbbá tetsz˝olegesε >0mellett minden olyanN ∈Nszám jó küszöbindexnek, melyreN > loglog|c|ε.
4-5. Példa: Azxn:=n (n= 1,2,...)sorozat nem korlátos, ezért divergens.
4-6. Példa: Az xn := (−1)n (n = 1,2,...) sorozat korlátos és divergens. Ennek egy részsorozata a (−1,− 1,−1,...)stacionárius sorozat (ami konvergens).
Az alábbi egyszer˝u állításokban összefoglaljuk a konvergencia legfontosabb tulajdonságait. Figyeljük meg a bizonyítások jellegzetes technikáit!
4-3. Állítás: Minden konvergens sorozatnak csak egy határértéke van.
Bizonyítás:
Indirekt tegyük fel, hogy az(xn)⊂Rsorozat olyan, hogyxn→xésxn→y, aholx6=y. Jelöljeε:= |x−y|2 . Akkor léteznekN1∈NésN2 ∈Nküszöbindexek úgy, hogy|xn−x|< εmindenn≥N1-re és|xn−y|< ε mindenn≥N2-re. JelöljeN a két küszöbindex közül a nagyobbikat, akkor mindenn≥N-re|xn−x|< εés
|xn−y|< ε, innen:
2ε=|x−y|=|x−xn−y+xn| ≤ |x−xn|+|y−xn|<2ε, ami nem lehetséges.
4-4. Állítás: Ha(xn),(yn)⊂Rolyan konvergens sorozatok, hogy mindennindexrexn≤yn, akkorlimxn≤ limyn.
Bizonyítás:
Tegyük fel indirekt, hogyx:= limxn> y:= limyn. Jelöljeε:= x−y2 , akkor léteznekN1 ∈NésN2∈N küszöbindexek úgy, hogy|xn−x|< εmindenn≥N1-re és|xn−y|< εmindenn≥N2-re. JelöljeN a két küszöbindex közül a nagyobbikat, akkor mindenn≥N-rex−xn< ε, azazxn> x−ε, ugyanakkoryn−y < ε, azazyn< y+ε. Innen:
yn< y+ε=y+x−y
2 = x+y
2 =x−x−y
2 =x−ε < xn, ami ellentmond azxn≤yn(n∈N) feltevésnek.
4-5. Következmény: . Nemnegatív tagú konvergens sorozatok határértéke is nemnegatív.
Bizonyítás:
Az állítás az el˝oz˝o állítás speciális esete, azt azxn:≡0stacionárius sorozatra alkalmazva.
4-6. Állítás: („rend˝or elv”). Ha(xn),(yn),(zn) ⊂Rolyan sorozatok, hogy mindennindexrexn ≤yn ≤zn, továbbá(xn)-nek és (zn)-nek közös határértéke van: limxn= limzn=x, akkor az(yn)sorozat szükségképp konvergens és határértéke ugyanez a közös érték: limyn=x.
Bizonyítás:
A feltétel miattxn−x≤yn−x≤zn−x. Ha mostyn−x≥0teljesül, akkor|yn−x| ≤ |zn−x|; ha pedig yn−x <0, akkor|yn−x| ≤ |xn−x|. Mindenképp igaz tehát, hogy:|yn−x| ≤ |xn−x|+|zn−x|. Legyen most ε >0tetsz˝oleges. Ekkor léteznekN1 ∈NésN2∈Nküszöbindexek úgy, hogy|xn−x|< ε2 mindenn≥N1-re, és|xn−z|< 2ε mindenn≥N2-re. JelöljeN a két küszöbindex közül a nagyobbikat, akkor mindenn≥N-re xn−x < ε2 ésxn−z < ε2, innen|yn−x| ≤ |xn−x|+|zn−x|< ε, azazyn→x.
4-7. Következmény: . Ha(xn),(yn)⊂Rolyan sorozatok, hogy mindennindexre|xn| ≤ynésyn→0, akkor az(xn)sorozat is szükségképp konvergens és szintén 0-hoz tart.
Bizonyítás:
Mivel−yn≤xn≤yn(n∈N), és−yn→0, ezért az el˝oz˝o állítás alapjánxn→0.
Sorozatok határértékének kiszámítását nagyon megkönnyíti, hogy a határérték a szokásos m˝uveletekkel felcserélhet˝o:
4-8. Állítás: Tegyük fel, hogy (xn),(yn) ⊂ R konvergens sorozatok, xn → x, yn → y, és legyen c ∈ R tetsz˝oleges szám. Akkor:
(a)(xn+yn)is konvergens ésxn+yn→x+y, (b)(xn−yn)is konvergens ésxn−yn→x−y, (c)(c·xn)is konvergens ésc·xn→cx,
(d)(xnyn)is konvergens ésxnyn→xy, (e)
xn
yn
is konvergens és xyn
n → xy (feltéve, hogyy 6= 0).
Bizonyítás:
Példaképpen (d)-t igazoljuk, a többit az Olvasóra bízzuk.
|xnyn−xy|=|xnyn−xny+xny−xy| ≤ |xn| · |yn−y|+|y| · |xn−x|.
Ámde(xn)konvergens lévén, korlátos is, így alkalmasC≥0konstans mellett
|xnyn−xy| ≤C·(|yn−y|+|xn−x|). Következésképp a jobb oldal zérushoz tart, innen pedigxnyn→xy.
4-7. Példa: Számítsuk ki az alábbi sorozat határértékét (ha az létezik):
xn:= 3 +n−5n2
2−10n+ 2n2 (n∈N).
Megoldás: Osszuk el a számlálót és a nevez˝ot isn2-tel, és alkalmazzuk az el˝oz˝o állítást:
xn=
3
n2 +n1 −5
2
n2 −10n + 2 → −5 2, mert n1 →0és n12 →0.
4-8. Példa: Számítsuk ki az alábbi sorozat határértékét (ha az létezik):
xn:=√
n+ 2−√
n (n∈N).
Megoldás: Szorozzunk és osszunk is(√
4-9. Példa: Számítsuk ki az alábbi rekurzív módon megadott sorozat határértékét (ha az létezik):
x1:= 0 és xn+1:= 3
5xn−4 (n∈N).
Megoldás: A feladat most két, jól elkülöníthet˝o részre bomlik:
(a) Kiszámítjuk, hogyhaa sorozat konvergens, akkor mi lehet a határérték.Tegyük feltehát, hogy valamelyx számraxn→x. Akkor a rekurzív definíció baloldala nyilván szinténx-hez tart, a jobboldal pedig 35x−4
-hez.
A kett˝o szükségképp egyenl˝o, azazx= 35x−4, ahonnanx=−10. Tehát:halétezik a határérték, akkor az csakis(−10)lehet.
(b) Igazoljuk, hogy a sorozat valóban konvergens. A rekurzív definíció mindkét oldalából kivonva az el˝obb kiszámított lehetséges határértéket: xn+1+ 10 := 35xn+ 6 = 35(xn+ 10). Ugyanezt az egyenl˝oséget alkalmazva az egyre kisebb indexekre:
xn+1+ 10 = 3
=...= 3
5 (x1+ 10) = 11· 3
5 →0,
amivel igazoltuk, hogy a sorozat valóban konvergens, és újra megkaptuk, hogy a határérték(−10)-zel egyenl˝o.