Nevezetes határértékek, konvergenciasebesség
5. Végtelen sorok
5.1. Végtelen sorok, konvergenciájuk
5-1. Definíció: Legyen(an)⊂Regy tetsz˝oleges sorozat. Tekintsük az ebb˝ol képezett Sn:=a1+a2+...+an (n∈N)
(rövid jelöléssel: Sn :=
n
P
k=1
ak ) új sorozatot (a részletösszegek sorozatát). Ha az (Sn) sorozat konvergens, akkor azt mondjuk, hogy a
∞
X
k=1
ak
végtelen sornak van összege, vagykonvergens. (Sn) határértékét pedig a
∞
P
k=1
akvégtelen sorösszegének nevez-zük. Ha(Sn)→ +∞ (vagy(Sn) → −∞), akkor azt mondjuk, hogy a sor összege+∞(ill. −∞). Ennek jele:
Megjegyzés: A
∞
P
k=1
akvégtelen sort a szemléletesség kedvéért sokszor így is írjuk:a1+a2+a3+.... Konkrét sorok esetén azonban mindig világos kell, hogy legyen, hogy a ki nem írt tagok pontosan mivel egyenl˝ok.
Nem kötelez˝o a tagok indexét 1-t˝ol indítani: sokszor célszer˝u 0-tól, vagy akár egy 1-nél nagyobb pozitív számtól. Ez a sor konvergenciájának fogalmán nem változtat. Világos az is, hogy ha a sor tagjai közülvéges sokatmegváltoztatunk, ez a sor konvergenciájának tényét nem befolyásolja, a sor összegét természetesen igen.
5-1. Példa: Tetsz˝olegesq ∈Rszám esetén, amelyre|q|<1, a
∞
X
k=0
qk= 1 +q+q2+q3+...
ún. végtelen mértani sorkonvergens, összege pedig 1−q1 . Bizonyítás:
Sn= 1 +q+q2+q3+...+qn. Ez a soktagú összeg zárt alakra hozható, mert
(1−q)Sn= 1 +q+q2+q3+...+qn−(q+q2+q3+...+qn+qn+1) = 1−qn+1, ahonnan
Sn= 1−qn+1 1−q = 1
1−q −q· qn
1−q → 1 1−q.
Nem konvergens sorokra a legegyszer˝ubb példa a k=11 = 1 + 1 + 1 +...sor, melynek összege nyilván+∞.
sor konvergens, összege 1.
Bizonyítás:
sor (hiperharmonikus sor) konvergens.
Bizonyítás:
Az(Sn)részletösszeg-sorozat nyilván monoton növ˝o (csupa pozitív számokat adunk össze), és felülr˝ol korlátos, mert:
Következésképp(Sn)konvergens is.
Amint az az bizonyításából kiderül, a fenti sor konvergenciájának ténye nagyon egyszer˝uen igazolható. Sokkal nehezebb feladat a sorösszeg kiszámítása. (Érdekességképpen megemlítjük, hogy a fenti hiperharmonikus sor összegeπ2/6.) Általában is igaz, hogy sokszor egészen más eszközöket igényel a konvergencia meglétének vizsgálata, mint a sorösszeg kiszámítása. Vizsgálatainkat az el˝obbi problémakörre korlátozzuk. Az olyan jelleg˝u tételeket, melyek segítségével a sor konvergenciája (vagy divergenciája) igazolható,
konvergenciakritériumoknaknevezzük.
5.2. Konvergenciakritériumok
Sorozatokra a Cauchy-tulajdonság ekvivalens a konvergenciával. Ennek a ténynek speciálisan egy sor
részletösszegeire való átfogalmazása azonnal egy konvergenciakritériumot eredményez a sorokra vonatkozóan.
5-1. Állítás: (Cauchy-kritérium sorokra). A
∞
P
k=1
akvégtelen sor pontosan akkor konvergens, ha mindenε >0 számhoz van oly N ∈ Nküszöbindex, hogy minden m ≥ n ≥ N indexekre a
< ε egyenl˝otlenség teljesül.
sor (harmonikus sor) divergens, összege(+∞).
Bizonyítás:
Azt mutatjuk meg, hogy a sornemteljesíti a Cauchy-kritériumot. Valóban, pl. := 12-re nem létezik a kívánt tulajdonságú küszöbindex, mert tetsz˝olegesn∈Nésm:= 2nindexek mellett:
A Cauchy-kritériumból azonnal következik a sorok konvergenciájának egy egyszer˝u szükséges feltétele.
5-2. Következmény: Ha a
∞
P
k=1
ak sor konvergens, akkor a sor tagjainak sorozata szükségképp zérussorozat, azazan→0.
Bizonyítás:
A Cauchy-kritériumban szerepl˝omindexet speciálisanm:=n-nek választva kapjuk, hogy minden >0 számhoz van olyN ∈Nküszöbindex, hogy mindenn≥N indexre
Megjegyzés: A fenti következmény egy hasznos átfogalmazása: ha a sor tagjai nem alkotnak zérussoroza-tot, azazan→0nem teljesül, akkor a
∞
P
k=1
aksor biztosan divergens.
A fenti következmény megfordítása nem igaz. Abból, hogyan→0, még nem következik a
∞
P
k=1
ak sor
konvergenciája. Ez a helyzet pl. a harmonikus sor esetében is. Bizonyos speciális esetben, további feltételek mellett ez mégis igaz.
5-3. Következmény: Legyen(an) nemnegatív tagú, monoton fogyó zérussorozat: a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ ... ≥ 0, an→0. Akkor az
a1−a2+a3−a4+a5−...
váltakozó el˝ojel˝u sor(vagyLeibniz-sor) konvergens.
Bizonyítás:
A részletösszegek sorozata tehát Cauchy-sorozat, ezért a sor konvergens.
5-5. Példa: Az1−12 +13 −14 +...sor konvergens.
Három, a gyakorlatban jól használható konvergenciakritérium következik.
5-4. Tétel: (majoráns kritérium). Ha a
∞
P
k=1
aksorhoz van olyan konvergens
∞
P
k=1
bksor, hogy|ak| ≤bk teljesül minden k indexre (majoráns sor), akkor az eredeti
∞
P
k=1
ak sor is konvergens, és a sorösszegre teljesül, hogy
Bizonyítás:
A Cauchy-kritériumot fogjuk használni. Legyenε >0tetsz˝oleges. Mivel
∞
P
k=1
bkkonvergens, azértε-hoz van oly N ∈Nküszöbindex, hogy mindenm≥n≥N indexekre Pm
k=n
bk< εteljesül. Innen, használva az|ak| ≤bk egyenl˝otlenségeket, kapjuk, hogy:
aksor is kielégíti a Cauchy-kritériumot, ezért konvergens. A sor részletösszegeit pedig a következ˝oképp becsülhetjük: mert a nemnegatív tagú
∞
P
k=1
bk majoráns sor részletösszegeinek sorozata nyilván monoton növ˝o. Kaptuk, hogy
|Sn| ≤
A majoráns kritérium lényege, hogy ha az eredeti sor tagjait kicseréljük abszolút értéküknél nem kisebb pozitív számokra úgy, hogy a módosított sorról (a majoráns sorról) sikerül kimutatni a konvergenciát, akkor ez az
eredeti sorra nézve is biztosítja a konvergenciát. Természetesen arra törekszünk, hogy a majoráns sor minél egyszer˝ubb (ill. már ismert konvergens sor) legyen.
5-6. Példa: A
sor mindenα ≥2(nem feltétlen egész!) szám esetén konvergens.
Bizonyítás:
A sort ui. a konvergens
∞
P
k=1 1
k2 hiperharmonikus sor majorálja, így maga is konvergens.
Megjegyzés: Megmutatható – itt nem részletezzük –, hogy a a fenti sor nemcsak α ≥ 2, de már α >
1 esetben is konvergens. A sor összege természetesen az α kitev˝o függvénye. Ezt a függvényt – amely egyébként a számelméletben igen fontos szerepet játszik –Riemann-féleζ-függvényneknevezzük.
5-2. Definíció: Az
∞
P
k=1
ak sort abszolút konvergensnek nevezzük, ha a tagok abszolút értékeib˝ol képzett
∞
P
k=1
|ak|sor konvergens.
Nem nyilvánvaló, hogy egy abszolút konvergens sor konvergens is, de a majoráns kritériumból ez már egyszer˝uen következik.
5-5. Következmény: Minden abszolút konvergens sor konvergens is.
akabszolút konvergens, akkor
∞
P
k=1
|ak|egy konvergens majoráns sora, így az eredeti
∞
P
k=1
aksor is konvergens.
5-6. Következmény: Ha egy sornak létezik konvergens majoráns sora, akkor az eredeti sor abszolút konver-gens (nemcsak konverkonver-gens).
Bizonyítás:
A majoráns kritérium ui. egyidej˝uleg az abszolút értékekb˝ol képezett sorra is fennáll.
Megjegyezzük, hogy az egyik el˝oz˝o példában szerepl˝o Leibniz-típusú sor konvergens, de nem abszolút konvergens, ui. a tagok abszolút értékei által alkotott sor a divergens harmonikus sor. Érdekességképp megjegyezzük még, hogy konvergens, de nem abszolút konvergens sorok esetében a végtelen tagú összeg, meglep˝o módon, már nem asszociatív. A tagok alkalmas cseréjével elérhet˝o, hogy a kapott sor összege más és más legyen, s˝ot az is, hogy az átrendezett sor egyáltalán ne legyen konvergens. Ez is mutatja, hogy a végtelen tagú összegekre a véges összegekre jól ismert m˝uveleti azonosságok már nem feltétlen teljesülnek. Ez a fajta anomália abszolút konvergens sorok esetén nincs, azok tetsz˝olegesen átrendezhet˝ok, és az átrendezett sor továbbra is abszolút konvergens marad, a sorösszeg pedig nem változik.
5-7. Tétel: (hányadoskritérium). Legyen
∞
≤q, akkor a sor abszolút konvergens, következésképp konvergens is.
Bizonyítás:
≤qfeltételt ismételten alkalmazva a megel˝oz˝o indexekre is:
|an| ≤q· |an−1| ≤q2· |an−2| ≤...≤qn· |a0|.
Kaptuk, hogy a sort a konvergens|a0| ·
∞
P
k=0
qkmértani sor majorálja, így maga is abszolút konvergens.
5-8. Tétel: (gyökkritérium). Legyen
∞
P
k=0
ak egy végtelen sor. Ha van olyan0≤q <1 szám, hogy mindenn indexre pn
|an| ≤q, akkor a sor abszolút konvergens, következésképp konvergens is.
Bizonyítás:
qkmértani sor majorálja, ezért maga is abszolút konvergens.
Bizonyítás: tehát a sor valóban abszolút konvergens.
A gyökkritériumot is alkalmazhatjuk:
pn amib˝ol szintén következik a sor abszolút konvergenciája.
Megjegyzés: Mivel a sor konvergenciájának ténye nem változik, ha a sor véges sok tagját megváltoztatjuk, világos, hogy a hányados-, ill. a gyökkritériumban szerepl˝o egyenl˝otlenségeket nem kell valójában minden nindexre megkövetelni. Elég, ha ezek csak valamilyenN ∈Nküszöbindexet meghaladó indexekre teljesül-nek. Ez a feltétel tovább gyengíthet˝o. Ha történetesen a
|an|) sorozatmaga is konvergens, és határértéke 1-nél kisebb, akkor véges sok kivétellel teljesül pl. az
egyenl˝otlenség, ami már elegend˝o a sor abszolút konvergenciájához.
Ezt az észrevételt külön állításban is megfogalmazzuk.
5-9. Állítás: Legyen
∞
P
k=0
akegy végtelen sor.
(a) Ha az
sorozat konvergens, és lim
< 1, akkor a sor abszolút konvergens, következésképp konvergens is.
(b) Ha az pn
|an|sorozat konvergens, és limpn
|an| < 1, akkor a sor abszolút konvergens, következésképp konvergens is.
Ha valamelyik szóban forgó határérték épp 1-gyel egyenl˝o, akkor a konvergencia azzal a kritériummal nem dönthet˝o el. Pl. a harmonikus sor és a hiperharmonikus sor esetén
tartanak, ugyanakkor a harmonikus sor divergens, míg a hiperharmonikus sor konvergens.
Gyakori hiba a hányados- és gyökkritérium alkalmazásakor, hogy csak azt ellen˝orizzük, hogy
|an|<1teljesül-e, és ha igen, ebb˝ol (hibásan) a sor abszolút konvergenciájára következtetünk. Az
|an|szám egy1-nél kisebb pozitív konstans alatt kell, hogy maradjon, méghozzán-t˝ol függetlenül. A fenti gondolatmenet hibáját ismét jól példázza a harmonikus sor, ahol
sor divergens. Itt
→1, így nincs olyan 1-nél kisebb pozitív konstans, hogy az
hányados ez alatt maradna mindennindexre.
További példák.
5-8. Példa: Legyen|x|<1tetsz˝oleges valós szám. Akkor a
∞
P
k=0
nxnsor abszolút konvergens.
Bizonyítás:
A hányadoskritériummal
A gyökkritériumot is használhatnánk, mivel pn
|an|=|x| · √n
n→ |x|<1.
Mindkét esetben a kritérium teljesül, amib˝ol az abszolút konvergencia következik.
A gyakorlatban a hányados- és a gyökkritérium alkalmazhatósági köre lényegében ugyanaz.
Ezt a részt a sorok divergenciájának eldöntését célzó kritériumokkal zárjuk, melyek formailag nagyon hasonlók a konvergenciakritériumokhoz:
5-10. Állítás: Ha a
∞
P
k=1
ak sorhoz van olyan
∞
aksor is divergens, összege+∞.
Bizonyítás:
Ha
∞
P
k=1
akkonvergens lenne, akkor majoráns sora lenne
∞
bk sor is konvergens volna.
5-11. Állítás: Legyen
≥1teljesül mindennindexre, akkor a sor divergens.
Bizonyítás:
Ekkor ui. a sor tagjainak abszolút értékei monoton növ˝o sorozatot alkotnak, így a konvergenciához szükséges an→0feltétel nem teljesül.
5-12. Állítás: Legyen
∞
P
k=1
akegy végtelen sor. Ha pn
|an| ≥1teljesül mindennindexre, akkor a sor divergens.
Bizonyítás:
Ekkor ui. a sor tagjaira|an| ≥1, így a konvergenciához szükségesan→0feltétel nem teljesül.
Az utóbbi három állításban a divergencia ténye (a konvergenciakritériumokhoz hasonlóan) akkor is igaz marad, ha a tett feltételek nem mindegyiknindexre teljesülnek, hanem csak valamelyN küszöbindexet meghaladó indexekre.