Véges Abel - csoportok alaptétele

F.1. Definíció

Legyen R Abel-csoport, X Y T. a R Abel-csoport bázisa, ha generálja R-t, és a bármely nem üres ^ƒ részhalmazára ∏S^„5^‡¹ L ´5 ^ƒ: 5^‡¹ L, ahol L a csoport egy-ségeleme, és wS minden 5-re racionális egész szám.

∆

F.2. Tétel

Ha a R Abel-csoport bázisa, L az egységelem, és T legalább kételemő, akkor Þ ,L1 is bázis.

∆ Bizonyítás:

Ha L Y, akkor nincs mit bizonyítani, legyen ezért L . |T| j 1 következtében létezik T Þ ,L1, ezért ìLí ,L1 Y T (ìí az generátuma), X Y Y ,L1, Þ ,L1 Y X. L elıáll bármely Þ ,L1-beli elem nulladik hatványaként. generátorrendszer, így az elızı elıállítható -beli ele-mek hatványának szorzataként. Mivel Y L, ezért ez a szorzat biztosan tartalmaz legalább egy L-tıl különbözı elemet, és ha L egy hatványa is tényezı, akkor ezt az L-vel egyenlı tényezıt elhagyva is-mét -t kapjuk, Þ ,L1 is generátorrendszer. Ha egy szorzat csak úgy lehetett L, hogy a szorzatban szereplı valamennyi különbözı -beli 5-hez tartozó hatvány külön-külön L, akkor ez a tulajdonság megmarad akkor is, ha csupán azokat a szorzatokat nézzük, amelyek nem tartalmazzák L valamely hatványát, tehát Þ ,L1 is bázis.

A továbbiakban |T| j 1 esetén bázis olyan halmaz, amely nem tartalmazza a csoport egység-elemét.

F.3. Tétel

Ha a legalább kételemőR Abel-csoport bázisa, akkor a R minimális generátorrendszere.

∆ Bizonyítás:

Tegyük fel, hogy 5 -re ^ƒ Þ ,5L1 is generálja R -t. Mivel |T| j 1, ezért L Y, 5 Y L, és LY^ƒ. Ha ^ƒ generátorrendszer, akkor az elemeibıl vett hatványok szorzataként felírható 5 is. Le-gyen 5 egy ilyen felírása 5 ∏]^„K^‡µ, ahol nem üres (mert 5 Y L). Ezek szerint a csupa bázis-elem-hatványokból álló 5^EF∏]^„K^‡µ szorzat a csoport egységelemét, vagyis L-t adja úgy, hogy van a szorzatban olyan báziselem-hatvány, amely maga nem az egységelem (mert 5 Y L´5^EFY L), ami ellentmond a bázis definíciójának. Az ellentmondás úgy oldható fel, hogy ^ƒ nem generátorrend-szer, tehát egyetlen valódi részhalmaza sem generálja R -t, minimális generátorrendszer.

Három fontos megjegyzést főzünk az elızı tételhez.

a) Ugyanazon csoportnak több különbözı elemszámú bázisa lehet. Ha például R egy -edrendő ciklikus csoport, és egy generátoreleme, akkor a R csoport egyelemő bázisa. Legyen összetett, -., ahol 1 N - , 1 N . és -, . 1. Mind ^h, mind ⁱ R -nek valódi részcsoportját Vissza a tartalomhoz

generálják, ugyanakkor alkalmas p és r egészekkel 1 p- H r., így elıállítható ^hp-edik és ⁱ r -edik hatványának szorzataként, de akkor R minden elemét is felírhatjuk ^h és ⁱ alkalmas hatványá-nak szorzataként, így ^h és ⁱ a R minimális generátorrendszerét adja. Végül, ha L ^hVil, akkor L L^{÷ i$l}, ami csak akkor lehet - és . relatív prímsége miatt, ha -|kv, de akkor ^il L, és hasonlóan adódik a ^hV L egyenlıség is, ,^h, ⁱ1 a R -nek kételemő bázisa.

b) Minimális generátorrendszer nem feltétlenül bázis. Legyen R ismét ciklikus csoport a ge-nerátorelemmel, a rendje , - és . 1-nél nagyobb relatív prím természetes számok úgy, hogy szorza-tuk az egy valódi osztója. Ekkor az elızı ponthoz hasonlóan ^h és ⁱ (együtt) minimális generátor-rendszer. Ugyanakkor ha -. (a feltétel alapján j 1), és p H r pozitív egész p-rel és r-sel, akkor sem ^qhi, sem ^shi nem az egységelem, a szorzatuk viszont az.

c) A tétel megfordításaként kapjuk, hogy ha egy kommutatív csoportnak nincs minimális gene-rátorrendszere, akkor bázisa sem lehet. Kérdés, hogy van-e minimális generátorrendszerrel nem ren-delkezı Abel-csoport. Ha igen, akkor ez végtelen elemszámú, hiszen véges csoportnak van véges ge-nerátorrendszere (például önmaga), és véges generátorrendszerbıl biztosan kiválasztható minimális generátorrendszert. Az elızı kérdésre a válasz pozitív, amint az alábbi példa mutatja.

A racionális számok halmazának az összeadással, mint Abel-csoportnak nincs minimális gene-rátorrendszere, bármely generátorrendszer tartalmaz nála szőkebb generátorrendszert. Ezt a következı -képpen láthatjuk be. Legyen az nem üres halmaz egy generátorrendszer. Ha tartalmazza a 0-t, az nyilván elhagyható, feltehetjük ezért, hogy egyetlen -ba tartozó ' sem egyenlı nullával. Akkor egy tetszıleges -beli ' és 1 N r kiválasztásával ^F_s' is (nullától különbözı) racionális szám, így -val generálható, ^F_s' ìí. Az ìí-t -beli elemek egész-számszorosainak összege alkotja (hiszen a mővelet az összeadás), ezért minden elem és így ^F_s' is ilyen formájú, azaz ^F_s' -'HH, ahol - egész szám, és H az '-tól különbözı elemei által az összeadással generált halmaz egy eleme, vagyis H ì Þ ,'1í. HY 0 biztosan teljesül, mivel ellenkezı esetben -r 1 lenne, ami r j 1-gyel lehetet-len (hiszen - egész szám), ezért semmilyen - egésszel nem tudjuk ^F_s' -t többszöröseként, tehát csupán ' generátumaként kifejezni. Amennyiben - 0, akkor máris ' rH ì Þ ,'1í. Ellenkezı esetben a korábbi egyenlıségbıl azt kapjuk, hogy 1 D -r' rH. _FEhs^F ' is racionális szám (1 D -r nem le-het nulla, hiszen akkor H is nulla lenne, amirıl elıbb láttuk, hogy lehetetlen), ennélfogva ^F

FEhs' .'H ¾ megfelelı. egész és ¾ ì Þ ,'1í számmal. Most írhatjuk, hogy

' 1 D -r.'H ¾ 1 D -r.'H 1 D -r¾ .%1 D -r'& H 1 D -r¾ .rHH 1 D -r¾

.rHH 1 D -r¾ ì Þ ,'1í, ennélfogva ' elıállítható a generátorrendszer többi elemével, ezért el-hagyható -ból, így -ból bármelyik elemet elhagyva ismét generátorrendszert kapunk, továbbá ez bármely generátorrendszerre igaz, így nem létezhet minimális generátorrendszer.

Az elızı három pont alapján látjuk, hogy ez a bázis nem mindenben rendelkezik a lineáris al-gebrában látott bázis ismérveivel (például, hogy egy lineáris tér minden bázisának számossága azonos, bár láttunk már más ilyen struktúrát is, nevezetesen a modulusokat). Ennek ellenére van közös tulaj-donságuk.

F.4. Tétel

Ha a R Abel-csoport bázisa, akkor T minden eleme lényegében véve egyértelmően írható -beli elemek hatványának szorzataként, vagyis ∏S^„5^‡¹þ ∏S^„5^‡¹$ esetén minden 5 ^ƒ-re 5^‡¹þ 5^‡¹$. Fordítva, ha a T nem üres részhalmaza, és a csoport minden eleme lényegében véve egyértelmően írható fel -beli véges sok elem hatványának szorzataként, akkor a csoport bázisa.

∆

Bizonyítás:

Ha a R csoport elemére ∏S^„5^‡¹þ ∏S^„5^‡¹$, akkor L ∏S^„5^‡¹þE‡¹$, ami báziselemekkel csak úgy teljesülhet, ha a ^ƒ valamennyi elemére L 5^‡¹þE‡¹$, azaz 5^‡¹þ 5^‡¹$. Visszafelé láthatóan generátorrendszer, és ha minden elem alapvetıen egyértelmően írható -beli elemek hatványának szorzataként, akkor ez igaz a csoport egységelemére is, márpedig ez mindig írha-tó úgy, hogy a báziselem-hatványok maguk az egységelemmel azonosak.

A következı tétel a véges Abel-csoportok alaptétele.

F.5. Tétel

Minden véges Abel-csoportnak van bázisa.

∆ Bizonyítás:

Elsıként leszögezzük, hogy véges csoport minden olyan generátorrendszere, amelyben egy elem csak egyszer fordul elı véges (hiszen legfeljebb csak annyi elembıl állhat, amennyi magában a csoportban van), ezért ha van bázis, az is csak véges lehet, mint minimális generátorrendszer (minimá-lis generátorrendszer nyilván nem tartalmaz többszörös elemet). Ha a R véges Abel-csoport ciklikus, akkor egyetlen elemmel generálható, és ha egy ilyen generátorelem , akkor ^V L nyilván pontosan akkor teljesül, amikor ^V L, ,1 tehát bázis (ha T legalább kételemő, akkor a generátorelem nem lehet az egységelem).

Nézzük ezek után azt az esetet, amikor R nem ciklikus. Ekkor van T-ben L-tıl különbözı elem, így max¶,W1 Þ ,11, hisz véges csoport minden eleme véges rendő, és ^€ L-bıl W 1-re L. Legyen T olyan, hogy W (ilyen elem biztosan létezik), és legyen R_F a R által generált ciklikus részcsoportja. A feltétel szerint R Y RF, ezért a [ R R⁄ F csoport is leg-alább kételemő, és |TF| W j 1 következtében |Z| |R R⁄ | F _|¶^|¶|

þ|^|¶| N |T|. Mivel cikli-kus csoportra beláttuk a tétel állításának helyességét, és az egy- és kételemő csoport ciklikus, ezért te-gyük fel, hogy már minden r j U Þ ,11-re bizonyítottuk a tételt, és legyen |T| r. 1 N |Z| N r azt jelenti, hogy [-nak van bázisa, mondjuk ½¨:4op • 2 À, és W%¨:4& C4. ¨:4 a R -nek egy RF

szerinti mellékosztálya, és ha _F és _/ azonos mellékosztály elemei, akkor g_F g_/, Wg_F Wg/. W%¨:& C azt jelenti, hogy ¨^}R_F ¨R_F^} R_F, ami másként írva azzal egyenértékő, hogy ¨^} T_F, és C a legkisebb ilyen tulajdonságú pozitív egész. Legyen ¨: a egyik eleme, ¨ a ¨: ¨RF mellékosz-tálynak egy olyan eleme, amelynek ¨^{} h}, • - alakú felírásában - a lehetı legnagyobb, és legyen W¨ c. Belátjuk, hogy C c. Tegyük fel az ellenkezıjét. ¨^$ L T_F, így C c. Ha C N c, akkor ¨^}Y L (mert C j 0), ^h sem az egységelem, j - . ¨^}R_F ¨R_F^} R_F, ezért vC|c, másrészt véges kommutatív csoportban minden elem rendje osztója a maximális rendnek (lásd a 3.52. Tétel bizonyításának b) és c) pontját a 62. oldalon) így c| (és ebbıl következik, hogy c is teljesül). L ¨^$ %¨^}&^{Œ hŒ hŒ}, ennélfogva -^$_} f 0 , tehát - f 0 ._,

Œ€/. vC|vc| -bıl v^$

}n , innen

,_Œ€_$C és - f 0 _$C €, azaz - _$C, és az - korlátai alapján ^$

} j . ¨ -val együtt ¨ is eleme ¨RF-nek, ezért ¨C-edik hatványa is benne van TF-ben, ¨ is -nek egy hat-ványa, méghozzá a legkisebb pozitív egész kitevıvel írva -nek legfeljebb --kitevıs hatványa.

¨^} ¨^{}} h} h}}, és így - H C j -, tehát - H C j , mivel C pozitív egész. Ekkor N - H C _$C H C-bıl ^$_} j j^$_} D^$ •^$_}D 1 (a legelsı egyenlıtlenség a korábbi feltétel -ra), ami egész -val lehetetlen, mert ^$_} egész. Az ellentmondás a N^$_}, azaz az - N feltételbıl ered, amit azért kellett feltennünk, mert C N c csak így teljesülhet, tehát az ellentmondás oka a C N c megkötés, és így C c.

A F ,1 ß ,¨4|p • 2 1 halmaz generálja R-t, ugyanis T minden eleme benne van egy RF

szerinti mellékosztályban, mondjuk 3 ¨TF, ¨TF felírható a ¨4TF hatványainak szorzataként, azaz a

¨4 hatványainak szorzataként, megszorozva TF-gyel, 3 %∏ ¨^q_{4F 4}^‡’&TF, 3 K.

Végül belátjuk, hogy F bázis. A ¨4-k egyike sem L, ugyanis ¨4 L-bıl ¨:4 Lg, ami nem lehet, hiszen a legalább kételemő [ bázisa, sem az egységelem, így F-nek nem eleme L. Tegyük fel, hogy ^‡∏ ¨^q4F ₄^‡’ L. Innen Lg :::::::::::::: ^‡∏ ¨^q!F _!^‡· ::: ∏ ¨:^{‡ q}4F ₄^‡’ ∏ ¨:^q_{4F 4}^‡’, ami akkor és csak akkor le-hetséges, ha minden 2-re ¨:₄^‡’ Lg, tehát c4 vC4|w4. Ekkor viszont ¨₄^‡’ L, emiatt ^‡ L, és F bázis.

Csoportkarakterek

Az alábbiakban §_V §_F€^V 1, U^/€ a U^/ szöghöz tartozó -edik komplex egységgyök.

F.6. Definíció

Legyen R kommutatív csoport, ¸ a R-nek a komplex számok multiplikatív félcsoportjába való nem azonosan nulla félcsoport-homomorfizmusa. Ekkor ¸ a R karaktere.

∆

F.7. Megjegyzés

Karaktertıl általában megkívánják, hogy abszolút értéke 1 legyen a csoport minden elemén. Mi ezt nem kötjük ki, de látni fogjuk, hogy véges esetben a szőkebb és tágabb értelmezés megegyezik.

∆

F.8. Tétel

Legyen ¸ a R kommutatív csoport karaktere, ekkor 1.  T:¸ Y 0;

2. ¸L 1, ahol L a R egységeleme;

3.  T:¸^EF %¸&^EF;

4. ha T -re W , akkor ¸ §_V §_F€^V (´|¸| 1) egy j U egésszel; véges T esetén |¸| az azonosan 1 függvény, így ¸ korlátos;

5. ha ¸ korlátos, akkor  T: |¸| 1; 6. ha |¸| 1, akkor ¸^EF ¸::::::.

∆ Bizonyítás:

1. Tetszıleges T-beli -hez adott ¨ esetén van olyan ^ƒ, hogy ¨^ƒ . Ha ¸¨ 0, akkor

¸ ¸¨^ƒ ¸¨¸^ƒ 0 ·¸^ƒ 0,

tehát ¸ azonosan nulla, ami ellene mond a definíciónak.

2. Az elızı pont alapján ¸L Y 0, ezért 1 ·¸L ¸L ¸L^/ ¸L · L ¸L ·¸L.

¸L-vel egyszerősíthetünk, és ekkor ¸L 1.

3. ¸^EF¸ ¸^EF ¸L 1, ahonnan adódik az állítás.

4. A feltétel szerint L, ezért %¸&¸ ¸L 1, ¸ egy -edik komplex egységgyök, ennek abszolút értéke viszont 1. Véges csoport minden eleme végesrendő, tehát minden csoportbeli elemen a karakter értékének abszolút értéke 1, ami egyben korlátosságot is jelent.

5. Legyen a T-nek olyan eleme, amelyre |¸| Y 1. Láttuk, hogy ekkor rendje végtelen.

Ha |¸| N 1, akkor a 3. pont alapján |¸^EF| j 1, ezért feltehetjük, hogy |¸| j 1. Innen bár-mely -re |¸| n%¸&n |¸|, és ez tart a végtelenhez, a karakter nem korlátos.

6. ¸^EF %¸&^EF, és egységnyi hosszúságú komplex szám inverze a szám konjugálja.

F.9. Tétel

Legyen R egy kommutatív csoport. Ha ¸_F, ¸_/, ¸ a R karaktere, akkor a ;¸_F¸/, ;¸^EF, ;¸:::::: szabályok karaktert definiálnak. Amennyiben ¸ korlátos, akkor a két utóbbi karakter egybeesik.

∆ Bizonyítás:

a) Mind ¸F, mind ¸/ minden -re értelmezett és nem nulla komplex szám, ezért nullától különbözı komplex szám a szorzatuk is, továbbá egy -hez ¸F és ¸/ egyértelmően rendel egyetlen komplex számot, ezek szorzata is egyértelmően meghatározott, így az elsı szabály egy leképezést de-finiál T-rıl ˜^¡-be. Komplex számok szorzása kommutatív és asszociatív,

¸_FF_/¸_/F_/ %¸FF¸_F/&%¸/F¸_//&

%¸FF¸_/F&%¸F/¸_//&, így F/ képe a F és / képének szorzata, a leképezés mővelettartó.

b) egyértelmően meghatározza az inverzét, ehhez egyértelmően rendel ¸ egy nem nulla komplex számot; ez minden -re érvényes, így ;¸^EF a T-nek ˜^¡-be való leképezése.

¸F/^EF ¸/EFFEF ¸/EF¸FEF ¸FEF¸/EF, így a leképezés homomorfizmus.

c) Minden T-re ¸, létezik és egyértelmő nem nulla komplex szám, de akkor ez igaz a konjugáltjára is, hiszen a konjugálás automorfizmus ˜-n. Mivel szorzat konjugáltja a konjugáltak szorzata, ezért ez ismét homomorfizmus.

d) Ha a feltétel teljesülés, akkor az elızı tétel 5. és 6. pontja alapján a T minden elemére tel-jesül, hogy ¸^EF ¸:::::: , de ekkor a két függvény megegyezik.

F.10. Definíció

Legyen ¸F, ¸/, ¸ a R kommutatív csoport karaktere. Ekkor a ;¸F¸/ karakter a ¸F

és ¸/ karakter szorzata, a ;¸^EFkarakter a ¸ karakter inverze, a ;¸:::::: karakter a ¸ karakter konjugáltja, az elsı jele ¸¸F¸/, a másodiké ¸^EF, az utolsóé ¸g χ . R karaktereinek hal-mazát T-vel jelöljük.

∆

F.11. Tétel

Tetszıleges R kommutatív csoport esetén T kommutatív csoport a karakterszorzással.

∆

Bizonyítás:

1. T nem üres: ha minden -hez 1-et rendelünk, akkor ez egy leképezés T-rıl ˜-be, nem azo-nosan nulla, és nyilván szorzattartó, tehát karakter, jelöljük ¸M-val.

2. A karakterszorzás asszociatív: ha ¸F, ¸/ és ¸ három karakter, akkor tetszıleges -re

%¸F¸/¸_"& %¸F¸/&¸" %¸F¸/&¸" ¸F%¸/¸"&

¸F%¸/¸"& %¸F¸/¸"&

tehát ¸_F¸/¸_" %¸F¸_/¸"&.

3. Bármely ¸ karakterrel a T minden elemére ¸M¸ ¸M¸ 1 ·¸ ¸, így ¸M¸¸, tehát ¸M baloldali egységelem T-ben.

4. Ismét tetszıleges T-beli ¸ -vel és T-beli -vel

¸^EF¸ ¸^EF¸ ¸^EF¸ ¸^EF ¸L 1 ¸M, azaz a karakterekre átírva ¸^EF¸¸M.

1.-4. együtt biztosítja, hogy T csoport a ¸_M egységelemmel és ¸^EF-gyel mint inverzzel. Ezt a csoportot R-vel fogjuk jelölni.

5. ¸F¸/ ¸F¸/ ¸/¸F ¸/¸F, mivel ˜-ben a szorzása kommuta-tív, így ¸F¸/¸/¸F, a karakterszorzás kommutatív.

F.12. Definíció

Ha R Abel-csoport, és ¸M: T ˜^¡-gal minden T-beli -re ¸M 1, akkor ¸M a fıkarakter.

∆

F.13. Tétel

Ha R véges Abel-csoport, akkor R < R.

∆ Bizonyítás:

A véges R Abel-csoportnak van bázisa, legyen ez ,54|p • 2 1, és W54 . Az, hogy T véges, nyilvánvaló: T minden eleméhez csak véges sok érték rendelhetı, hiszen T-re tet-szıleges ¸ karakterrel ¸ egy véges fokú komplex egységgyök valamilyen hatványa, és ilyen csak véges számú van, a kommutativitást pedig már beláttuk. Mivel így R véges kommutatív csoport, ezért van bázisa. Legyen p • 2 -ra ¸4: T ˜ olyan, hogy 5l -re ¸4%5l& §_F, ha 2 k, egyébként

¸4%5l& 1, továbbá ¸4 ¸4%∏ 5^q‡F _‡^V(& ∏ %¸^q‡F 45‡&^V( §_F^’€^V’, ha ∏ 5^q‡F _‡^V(. Belát-juk, hogy ekkor ,¸4|p • 2 1 egy bázis R-ben.

a) 1, U^/€ 1,^/€^V 1 1,0 akkor és csak akkor teljesül, ha U^/ w ·2, ami azzal ekvivalens, hogy |Uv, és így §_F^’ rendje 4.

b) ¸4 karakter. A definícióból látszik, hogy értéke minden csoportelemre egy nullától különbö-zı komplex szám. felírása a bázis elemeivel egyértelmő, ezért a -hez rendelt komplex szám egy-értelmő. Legyen F ∏ 5^q‡F _‡^V(þ és / ∏ 5^q‡F _‡^V($ két elem a csoportból. Ekkor F/ ∏ 5^q‡F _‡^V(, ahol p • w mellett ‡ j U‡ és U‡f U_‡^FH U_‡^/ ‡. A definícióból

¸4F/ §_F^’€^V’

¸4F¸4/ §_F^’€^V’þ§_F^’€^V’$ §_F^’€^V’þV’$ és a két komplex szám azonos a U-kra vonatkozó kongruencia következtében.

c) Legyen ¸ a R egy karaktere. 5₄ rendje ₄, ezért ¸54 §_F^’€^$’ egy ₄ j c₄ egész-szel. Terkintsük a ¸^ƒ ∏^q_‡F¸_‡^$( karaktert, ekkor ¸^ƒ54 ∏^q_‡F¸_‡^$(54 §_F^’€^$’. Amennyiben ∏ 5^q_{‡F ‡}^V(, akkor

¸ ¸ Ë 5_‡^V(

q

‡F

Ë%¸5‡&^V(

q

‡F

Ë §_F⁽€^$(€^V(

q

‡F

Ë%¸^ƒ5‡&^V(

q

‡F

¸^ƒË 5_‡^V(

q

‡F

¸^ƒ

így a ¸₄-k generálják R-ot. Ha ∏^q_‡F¸_‡^s(¸_M, akkor 1 ¸_M54 ∏^q_‡F¸_‡^s(54 §_F^’€^s’, ami csak úgy lehet, ha v4|r4. Ekkor viszont ¸4 a minden elemén 1, de akkor T valamennyi elemén is 1,

¸4f 1, vagyis ¸4 ¸M. Mivel ez minden p • 2 -re igaz, ezért valóban bázis.

Végül és elemeinek száma és minden 2-re 5₄ és ¸₄ rendje azonos, ezért R és R izomorf.

F.14. Tétel

Ha a R kommutatív csoportnak van bázisa, akkor tetszıleges T Þ ,L1-hez van olyan ¸ ka-rakter, hogy ¸ Y 1 (L a R egységeleme).

∆ Bizonyítás:

Jelöljük R bázisát -vel. báziselemek hatványainak szorzataként való felírásában van legalább egy olyan tényezı, amely nem az egységelem, vagyis ha ez 5 a U kitevıvel, akkor 5^V Y L. Ha 5 -edrendő, akkor legyen ' §_F, különben ' L^4/], ahol U^EFY K — (ahol most L a természetes logaritmus alapja, és U Y 0 a feltétel értelmében). Definiáljuk ¸-t úgy, hogy ¸5 ', 5^ƒ Þ ,51 -re ¸5^ƒ 1, és ha a T ^ƒ eleme ^ƒ 5^V¹∏S^„„Þ,S15^ƒV¹„ alakú, akkor ¸^ƒ '^V¹. Ez T min-den eleméhez hozzárendel egy és csak egy nem nulla komplex számot, hiszen a bázisban való felírás egyértelmő. Ha F 5^Vþ¨F, / 5^V$¨/, ahol ¨F és ¨/ felírásában már nem szerepel 5, akkor

¸F_/ '^VþV$'^Vþ'^V$ ¸F¸/, így ¸ karakter R-n. ' választása folytán '^VY 1, ezért '^V ¸ Y 1.

F.15. Következmény

Véges kommutatív csoport Y L eleméhez van R -nek olyan ¸ karaktere, amelyre ¸ Y 1.

∆ Bizonyítás:

Véges Abel-csoportnak van bázisa, így alkalmazható az elızı tétel.

F.16. Tétel

Legyen ¸ a R véges Abel-csoport karaktere. Ekkor ∑¶¸ Ú|T|, ha ¸¸_M 0, ha ¸Y¸M.v

∆ Bizonyítás:

Ha ¸¸M, akkor az összeg minden tagja 1, így az összeg megegyezik T elemeinek számával.

Ellenkezı esetben van T-nek olyan M eleme, amelyre ¸M Y 1, vagyis 1 D¸M Y 0. R csoport, ezért bármely T-beli -hez van pontosan egy olyan ^ƒ, hogy _M^ƒ, így, miközben ^ƒ végigfut T elemein, azalatt is egyszer és csakis egyszer egybeesik T valamennyi elemével, következésképpen

1 · ¸

¶

 ¸M^ƒ

^„¶

¸M  ¸^ƒ

^„¶

¸M ¸

¶

.

Innen %1 D¸M& ∑¶¸ 0, és mivel az elsı tényezı különbözik nullától, így ∑¶¸ 0.

F.17. Tétel

Legyen a R véges Abel-csoport rögzített eleme. Ekkor ∑¹¶¸ Ú|T|, ha L 0, ha Y L.v.

∆ Bizonyítás:

Ha a csoport egységeleme, akkor minden karakter értéke -n 1, az összeg megegyezik a ka-rakterek számával, ami viszont azonos T elemszámával, hiszen R és R izomorf csoportok. Ha viszont Y L, akkor az F.15. Következmény szerint van olyan ¸F karakter R -n, amelyre ¸F Y 1. R cso-port, így valamennyi T-beli ¸-hez egyértelmően megadható egy olyan ¸^ƒ, amellyel ¸¸F¸^ƒ, ezért

1 · ¸

¹¶

 ¸F¸^ƒ

¹^„¶

¸F  ¸^ƒ

¹^„¶

¸F ¸

¶

,

tehát %1 D¸F& ∑¹¶¸ 0, ami csak úgy lehet, ha az összeg nulla.

F.18. Tétel (ortogonalitási tételek)

Legyen R véges Abel-csoport, ¸F és ¸/ illetve F és / a R két karaktere és két eleme. Ekkor a) ∑¶¸_F¸g/ Ú|T|, ha ¸F¸/

0, ha ¸FY¸/;v b) ∑_¹¶¸F¸g_/ Ú|T|, ha 0, ha F^FY ^//;v

∆ Bizonyítás:

a) ¸F¸g/ ¸F¸/EF ¸, és ¸ akkor és csak akkor a fıkarakter, ha ¸F¸/; b) ¸F¸g_/ ¸F/EF ¸, és pontosan akkor lesz R egységeleme, ha F /.

Most mindkét esetben alkalmazhatjuk az elızı tételek eredményeit.

In document Véges testek (Pldal 182-190)