Véges test feletti sorozatok periodikusságával kapcsolatban fontos a polinomok rendje.
8.1. Tétel
Ha ìí, 0 Y 0 és deg c, ahol c , akkor van olyan $D 1 p egész, hogy |qD Lv.
∆ Bizonyítás:
ìí ⁄ (ahol az által generált ideál) nullától különbözı elemeinek száma $D 1. Mi-vel 0 Y 0, ezért nem osztója -nek, irreducibilis polinom fölött, tehát és , ennélfogva tetszıleges 2 -re 4 és relatív prímek, így 4 Z0 , ìí ⁄ 4-vel reprezentált osztálya nem a nullelem a maradékosztály-győrőben. Ha $D 1 2 , akkor az ilyen kitevıjő-hatványok száma $, több, mint a nem nulla elemek száma, ezért van legalább egy olyan 2 és k egész számpár, hogy $D 1 k j 2 , és amelyre 4 f l , vagyis olD 4 4%lE4D L&v teljesül. Mivel 4 és relatív prímek, ezért olE4D Lv, és a korlátokat figyelembe véve $D 1 k D 2 .
8.2. Definíció
Legyen 4 ìí, ahol 2 és 0 Y 0, továbbá p minV&½oVD LvÀ. Ekkor p az polinom rendje, periódusa vagy exponense, jele W.
∆
8.3. Tétel
Tetszıleges 0 Y ìí polinomnak van egyértelmően meghatározott rendje. Ha 4, ahol 2 , akkor W W, és ha 0 Y 0 valamint deg c, akkor w W , ahol w max,1, $D 11.
∆ Bizonyítás:
Az ìí-beli tetszıleges nem nulla polinom felírható 4 alakban alkalmas nemnegatív egész 2-vel és fölötti polinommal, amelyre 0 Y 0. Az elsı tétel szerint van olyan pozitív egész U, amelyre osztója az VD L polinomnak, ezért a definícióban megadott halmaz a pozitív egész szá-mok halmazának nem üres részhalmaza, amelyben jólrendezettsége folytán van egyértelmően meghatározott legkisebb elem, így -nek van egyértelmő rendje. A következı állítás a definíció köz-vetlen következménye, az utolsó pedig a definíciónak és az elsı tételnek azzal a kiegészítéssel, hogy amennyiben egy nem nulla konstans polinom, akkor a foka 0, viszont a rend definíciójában pozitív egészek minimuma áll, és a test tetszıleges nem nulla eleme osztója az D L polinomnak, ekkor tehát a rend 1.
8.4. Tétel
Legyen ìí, 0 Y 0 és K . Ekkor akkor és csak akkor osztója az ]D L, poli-nomnak, ha vW|K.
∆ Vissza a tartalomhoz
Bizonyítás:
0 Y 0-t azért kell kikötni, mert ellenkezı esetben vagy 0, és így W nem definiált, vagy nem lehet osztója ]D L-nek egyetlen pozitív egész K-re sem. Legyen W p. A rend definí-ciója és 0 Y 0 alapján v|qD L, így akkor és csak akkor osztója ]D L-nek, ha osztója qD L és ]D L legnagyobb közös osztójának. A 37. oldalon foglalkoztunk $D L és D L legnagyobb közös osztójával, és láttuk, hogy $D L, D L $,D L. c, c, és itt egyenlıség akkor és csak akkor teljesül, ha c osztója -nek. p pozitív egész, ezért C p, K is pozitív egész szám. Mi-vel p az rendje, ezért csak akkor lehet osztója }D L-nek, ha C p, másrészt C nem nagyobb p -nél, így pontosan akkor osztója }D L-nek, ha C p, tehát akkor és csak akkor, ha p osztója K-nek.
8.5. Tétel
Ha egy c-edfokú irreducibilis polinom a -elemő test fölött, 0 Y 0, és ' az egy gyöke a felbontási testben, akkor rendje megegyezik ' rendjével a $-elemő test multiplikatív csoportjában.
∆ Bizonyítás:
0 Y 0 biztosítja, hogy 'Y 0, ezért van olyan pozitív egész 2 kitevı, amellyel '4 L. Le-gyen rendje p, ' multiplikatív rendje r. 's L következtében ' gyöke az sD L polinomnak, tehát v|sD L, így az elızı tétel szerint vp|r. Másrészt v|qD L maga után vonja, hogy ' gyöke az qD L polinomnak, így 'qD L 0, azaz 'q L, ami pedig akkor és csak akkor teljesül, ha vr|p. Mivel p és r egyaránt pozitív egész, a kölcsönös oszthatóság pontosan azt jelenti, hogy p r.
8.6. Következmény
-karakterisztikájú test fölött irreducibilis, c-edfokú polinomra vp| $D 1, és p, 1, ahol p W .
∆ Bizonyítás:
0 0 az irreducibilitás miatt csupán K esetén lehetséges, ahol K e. Ekkor p 1, és 1 minden egésznek osztója, és minden egészhez relatív prím. fölötti felbontási teste , ezért oD v, és ha 0 Y 0, akkor oEFD Lv, innen pedig p| $D 1v, tehát most is teljesül az oszt-hatóság. De egy pozitív egésszel, ezért $D 1 relatív prím -hez, de akkor $D 1 minden osztója is relatív prím -hez.
8.7. Tétel
Az fölötti normált c-edfokú, p-edrendő irreducibilis polinomok száma p 2 és c Wq
esetén zq$ , c 1 p mellett 2, egyébként 0.
∆ Normált polinom a fıpolinom más megnevezése, azaz olyan polinom, amelynek fıegyütthatója, vagyis legmagasabb fokú tagjának együtthatója a test (vagy győrő) egységeleme.
Bizonyítás:
Legyen tetszıleges nem nulla polinom, akkor ez egyértelmően írható 4 alakban nemnegatív egész 2-vel és olyan -vel, amelyre 0 Y 0. Ha irreducibilis, akkor ez csak úgy lehet, ha 2 1 és K Y 0 egy e.-beli K-vel , vagy 2 0, tehát , 0 Y 0, és deg 1. 0 Y 0 és
deg j 1 esetén rendje legalább 2, hiszen legalább másodfokú polinom nem lehet osztója D L -nek, ezért elsırendő polinom nem lehet elsıfokúnál magasabb fokú. Konstans polinom nem irreduci-bilis, így W 1 irreducibilis polinommal csak deg 1 esetén lehetséges. Minden elsıfokú po-linom irreducibilis; az elsıfokú normált polinomok D K alakúak, ahol K a test tetszıleges eleme. Ha K 0, akkor , és rendje 1, és ekkor c 1 p. D L L D K H K D L, ezért D L ak-kor és csak akak-kor osztható D K-vel, ha K L, és így D L az egyetlen olyan polinom, amelyre p 1 és 0 Y 0, ezért p 1 csak c 1 mellett lehetséges irreducibilis normált polinomokkal, és ilyen tényleg 2 van (mármint olyan irreducibilis normált polinom, amelynek a rendje 1). A továbbiakban le-gyen p 2. Ha egy p-edrendő irreducibilis fıpolinom, akkor bármely ' gyöke fölötti primitív p -edik egységgyök, osztója az fölötti p-edik körosztási polinomnak, és fordítva, ezen körosztási po-linom minden irreducibilis fıpolinom osztója egy ìí-beli p-edrendő normált irreducibilis polinom.
Ezek foka egységesen c Wq , és a számuk zq
$ , ugyanakkor, ha egy 2 p -re c Y Wq , akkor látjuk, hogy nincs olyan fölötti polinom, amelynek rendje p és a foka c.
8.8. Tétel
Ha a karakterisztikájú test fölötti irreducibilis polinom, 0 Y 0, és , ahol egy pozitív egész szám, továbbá w olyan egész szám, hogy EF N , akkor W W.
∆ Bizonyítás:
Az nyilvánvaló, hogy w 0, hiszen j 1 miatt EFN 1 . Legyen W . és W -. 0 Y 0-ból következik, hogy 0 Y 0, tehát v|hD L. Mivel v|, ezért v|hD L, amibıl követ-kezik, hogy v.|-. |iD LvoiD Lò(oiò(D Lvv, ezért v-|., és ez v.|--val azt adja, hogy - . egy w r egésszel. Mivel irreducibilis, ezért ., 1, ennél fogva iD L gyökei egyszeresek, de akkor hD L iD LòF mindenegyes gyöke pontosan s-szeres. Mivel osztója hD L-nek, ezért hD L gyökei legalább -szeresek, tehát s, ami w választása folytán azonos a w r feltétellel, így a korábbi egyenlıtlenséggel együtt r w, és - ..
8.9. Tétel
Ha M, … , sEF nem nulla polinomok a -elemő test fölött, és r j 2 -re 40 Y 0, akkor legkisebb közös többszörösük rendje megegyezik a rendek legkisebb közös többszörösével.
∆ Bizonyítás:
Legyen W4 4, a polinomok legkisebb közös többszöröse , ennek rendje , és a rendek legkisebb közös többszöröse w. Ekkor valamennyi lehetséges 2 indexre v4|w, és akkor 4|D Lv, így
|D Lv, és v|w. Viszont megint minden r j 2 -re v4||D Lv, ahonnan az v4| oszthatóságot kapjuk. ekkor w osztója -nek, és w és pozitív egész, tehát w és megegyezik.
8.10. Következmény
Ha M, … , sEF páronként relatív prím nem nulla polinomok a -elemő test fölött, és szorza-tukra 0 Y 0, akkor rendje megegyezik a 4-k rendjének legkisebb közös többszörösével.
∆ Bizonyítás:
0 Y 0-ból 40 Y 0, és relatív prímek legkisebb közös többszöröse a szorzatuk.
8.11. Tétel
Legyen char%& , 0 Y 3V∏sEF4M4ìí, ahol r j 2 -re 4 , 40 Y 0 és az 4-k páronként különbözı, fölött irreducibilis polinomok, U , 3 , p az W4 p4-k legkisebb közös többszöröse, maxs·4,41 és w min, 1. Ekkor W p.
∆ Bizonyítás:
w-rıl tudjuk, hogy nemnegatív egész. 3 e, ezért egység ìí-ben, tehát 3EF és ugyan-azon polinomok osztói, így a rendjük megegyezik, továbbá a rend nem függ V-tól sem. Az 4-k pá-ronként relatív prímek, a hatványaik is azok, továbbá a 0 nem gyökük, ezért a szorzatuk rendje meg-egyezik a rendjeik legkisebb közös többszörösével. Mindegyik rend egy hatványának és a megfelelı 4 rendjének a szorzata. Ez utóbbi relatív prím -hez, így a legkisebb közös többszörös maximális kitevıjő hatványának és az 4-k rendje legkisebb közös többszörösének szorzata, a kitevıje viszont a polinom kitevıjének monoton növekvı függvénye.
8.12. Tétel
Nem nulla polinom rendje megegyezik reciprokának rendjével.
∆ Bizonyítás:
Legyen 4, ahol 2 és 0 Y 0. Ekkor e e és W W, így elég azt belátni, hogy és e rendje azonos. Ha rendje p, akkor |qD Lv, azaz q D L - egy - polinommal, és innen -ee -e qD Le L D q DLqD L, tehát e osztja qD L-t, és így e rendje, pe is osztója p-nek. Hasonlóan módon ee rendje osztója pe-nak, és mivel ee , ezért p|pev, vagyis p és pe kölcsönösen osztják egymást, ami pozitív egészek esetén csak egyenlıséggel lehetsé-ges, márpedig p és pe egyaránt pozitív egész, így p pe.
8.13. Definíció
Ha az egy primitív elemének fölötti minimál-polinomja, akkor primitív polinom fölött.
∆
8.14. Tétel
Az ìí-beli c-edfokú fıpolinom rendje pontosan akkor $D 1, ha 2 és , vagy primitív polinom fölött.
∆ Bizonyítás:
Ha 2 és , akkor W 1 és c 1, vagyis $D 1 1, míg c-edfokú primitív po-linom egyben c-edfokú irreducibilis polinom is, így a rendje megegyezik bármely gyökének rendjé-vel, amely a definíció alapján $D 1, hiszen a gyök a test primitív eleme.
Nézzük a fordított irányt. Legyen V, ahol U és 0 Y 0. Amennyiben U c, ak-kor W W 1, és 1 $D 1 akkor és csak akkor igaz, ha $2, azaz pontosan akkor, ha 2 és c 1, vagyis amikor a kételemő test fölötti polinom és . Hasonlóan kapjuk, hogy c j U esetén W W $EVD 1 N $D 1, ezért a továbbiakban legyen c j U 0. Ha F/, ahol F foka c j cF, / foka c j c/, és a két polinom relatív prím, akkor
W ìWF, W/í WFW/ $þD 1 $$D 1 N $þD 1 $$ $þ$$D $$ $D $$ $D2N $D 1,
míg ha egy irreducibilis, a nullában nem 0 polinom p-edik hatványa, ahol 1 N p , és a test karakterisztikája, akkor |W $D 1v, ám nem osztója $D 1-nek, így rendje ismét kisebb, mint $D 1. Végül, ha irreducibilis, de nem primitív, akkor a rendje a gyökének a $-elemő test-beli rendjével azonos, ami ismét kisebb, mint $D 1, hiszen ez a gyök nem primitív elem.