A TÖNKREMENETELI VALÓSZÍNŰSÉG

5. Tönkremeneteli valószínűség számítása végtelen hosszú, szemcsés rézsű esetén

- kc a centrális biztonsági tényező (az R ellenállás és az E igénybevétel átlagértének a hányadosa);

- Φ a normális eloszlás eloszlásfüggvénye.

Ha az eloszlás nem normális vagy lognormális, akkor a tönkremeneteli valószínűség az ellenállás és az igénybevétel sűrűségfüggvényeinek közös területéből határozható meg, például numerikus integrálással (Rétháti 1988). Viszonylag nagy (0,005-0,01) tönkremeneteli valószínűség esetén Höeg és Murarka (1974) szerint az eloszlásfüggvény típusának nincs túlzott jelentősége.

A Φ függvény paraméterét²⁴ megbízhatósági indexnek (β) nevezzük. A megbízhatósági index és a tönkremeneteli valószínűség kapcsolatát valamint a US Army Corps of Engineers (1997) által az földművekre meghatározott biztonsági szinteket a 16. táblázat mutatja. A β megbízhatósági index javasolt értéke az MSZ EN 1990 szabvány alapján 3,8; de a tervezői gyakorlatban gyakran a β=3,72 megbízhatósági indexet használják, amelyhez p_f=10^-4 tönkremeneteli valószínűség tartozik.²⁵

Megbízhatósági index (β)

Tönkremeneteli valószínűsg (pf)

Biztonsági szint (földművekre)

1,0 0,16 veszélyes

1,5 0,07 nem kielégítő

2,0 0,023 alacsony

2,5 0,006 átlag alatti

3,0 0,001 átlag feletti

3,72 0,0000996 (≈0,0001)

3,8 0,0000723

4,0 0,00003 ≈ 10^-5 jó

5,0 0,0000003 ≈ 10^-7 magas

16. táblázat A megbízhatósági index és a tönkremeneteli valószínűség kapcsolata valamint a US Army Corps of Engineers (1997) által a

földművekre meghatározott biztonsági szintek

Meg kell jegyezni, hogy a β≥4,0 megbízhatósági index nagyon kis tönkremeneteli valószínűség értéket eredményez, a geotechnikában a talaj változékonysága miatt nagyon nehezen teljesíthető.

5.2. Biztonsági tényező meghatározása végtelen hosszú²⁶, szemcsés rézsű esetén Kohézió nélküli szemcsés talajokból (φ>0, c=0) álló, végtelen hosszú rézsű esetén a biztonsági tényezőt egyszerűen a belső súrlódási szög (φ_k) tangensének karakterisztikus értéke és a rézsűhajlás (α)²⁷ tangensének hányadosaként (37) értelmezhetjük (Taylor 1938):

24 A szögletes zárójelben szereplő kifejezés a (35) és (36) egyenletekben.

25 Normális eloszlás esetén pf=1-Φ(3,72)=10^-4.

26 Akkor tekinthetünk egy rézsűt végtelen hosszúnak, ha a statikai állékonysági biztonság a rézsű magasságától független (Kézdi 1975).

27 A szakirodalom a rézsűhajlást általában β-val jelöli, de itt a megbízhatósági indextől történő markáns megkülönböztetés miatt az α jelölést használom.



 tg

k  tg ^k . (37)

A biztonsági tényező számításánál a rézsűhajlást az átlagértékén vettem figyelembe: a geometriai adatok variációs tényezője rendszerint kisebbre vehető fel, mint a talajjellemzők variációs tényezőjének a negyede (Danka 2009).

A MSZ EN 1997-1 szerint a hazai gyakorlatban a rézsűállékonyság számításához a talajjellemzőket a karakterisztikus értékükön kell számításba venni. Közelítésként (a mért adatok számától függetlenül) Schneider (1999) egyszerűsített képletét (25) használva a (37) egyenlet így módosul:





 _

tg

k tg (10,5 ^tg )

 , (38)

ahol ν tgφ a szemcsés rézsű belső súrlódási szögének variációs tényezője.

A centrális biztonsági tényező (kc) a (37) egyenlethez hasonlóan a belső súrlódási szög átlagértékekből számítva:



 tg

k_c  tg . (39)

A (37) és a (38) egyenletek alapján a centrális biztonsági tényező (39) kifejezhető a karakterisztikus értékből meghatározott (MSZ EN 1997-1 szerint számított) biztonsági tényezővel:

_tg c

k k



  5 , 0

1 . (40)

5.3. Tönkremeneteli valószínűség számítása végtelen hosszú, szemcsés rézsűk esetén

Megbízhatósági elven is elvégeztem a biztonság meghatározását először arra az esetre, melynél feltételeztem, hogy a rézsű hajlásának variációs tényezője nem jelentős a hibaterjedés törvénye alapján. Ezzel a közelítéssel az α szög konstans értékként adott, vagyis a rézsűhajlás tangensének nincs variációs tényezője (υtgα=0). A υE variációs tényező a rézsűhajlás tangensének variációs tényezőjével egyezik meg, vagyis itt elhanyagolható: υE = υtgα=0.

Végtelen hosszú, szemcsés rézsűk esetén a tönkremenetelt okozó hatások variációs tényezője a belső súrlódási szög tangensének variációs tényezője lesz (υR = υtgφ). Az összehasonlító vizsgálataimban a belső súrlódási szög tangensének variációs tényezőjét 0,05 és 0,15 közötti értékekkel vettem számításba²⁸. Ezeket a kiindulási értékeket a (35) és (36) egyenletekbe behelyettesítve, a különböző eloszlás típusok esetén a tönkremeneteli valószínűség az alábbi képletekkel határozható meg:

normális eloszlásra















 





_tg c

c

f k

p k 1

1 ; (41)

28 Az 5. ábra, valamint a 4. és 5. táblázat adatainak figyelembe vételével határoztam meg ezt a tartományt.

lognormális eloszlásra

 

















 





) 1 ln(

) 1 /(

1 ln

1 2

2









tg tg c

f

k

p . (42)

A karakterisztikus érték alapján számított k biztonsági tényezőből (40) alapján a kc centrális biztonsági tényezőt meghatározva és a (41) illetve (42) képletekbe behelyettesítve:

normális eloszlásra 



 



  







 k

p_f 1 0,5 ^tg 1

1 ; (43)

lognormális eloszlásra

































  



 





) 1 ln(

) 1 /(

5 1 , 0 ln 1

1 2

2









 

tg

tg tg

f

k

p (44)

egyenletet kaptam. Ennek megoldása: a különböző, karakterisztikus értékhez tartozó biztonsági tényezőkhöz (1,05-1,45 között 0,1 lépésközzel), eloszlás típusonként²⁹ ábrázoltam (18. ábra) a belső súrlódási szög tangensére vonatkozó variációs tényező függvényében a tönkremeneteli valószínűség változását.

18. ábra A belső súrlódási szög variációs tényezője (νtgφ) és a végtelen hosszú, szemcsés talajból álló rézsű tönkremeneteli valószínűsége (pf) közötti összefüggés (νtgα=0

feltételezésével)

A számítások alapján megállapítottam, hogy az alacsony, k=1 körüli biztonsági tényező esetén a lognormális eloszlás jelent nagyobb tönkremeneteli valószínűséget (bár az eltérés nem szignifikáns), k≥1,1 biztonsági tényező esetén a tönkremeneteli valószínűség normális eloszlás esetén lesz nagyobb. Az eltérés a biztonsági tényező növekedésével nő.

Megállapítottam, hogy a talajjellemzők eloszlás típusának és variációs tényezőjének is

29 Kétségtelen gyakorlati tapasztalat volt, hogy az eloszlás típusoknál a jelentősebb eltérések az eloszlás

„farkánál” jelentkeznek, nem pedig az átlag értékének meghatározásánál. Jelen példánál az látható, hogy az átlagértékkel történő számítás is jelentős eltéréseket tartalmaz.

jelentős szerepe van a tönkremeneteli valószínűség eredményére, de minél nagyobb a belső súrlódási szög tangensének variációs tényezője, annál kisebb az eltérés a fentiek függvényében a tönkremeneteli valószínűségek között úgy, hogy a variációs tényezők növekedésével a tönkremeneteli valószínűség szigorúan monoton nő.

19. ábra A (karakterisztikus értékből meghatározott) k biztonsági tényező és a végtelen hosszú, szemcsés talajból álló rézsű tönkremeneteli valószínűsége (pf) közötti összefüggés

(νtgα=0 feltételezésével)

Lényeges a tönkremeneteli valószínűség és a biztonsági tényező kapcsolata a végtelen hosszú, szemcsés anyagú rézsűk esetén. A k (karakterisztikus értékből meghatározott) biztonsági tényező és a rézsű tönkremeneteli valószínűsége (pf) közötti összefüggést mutatja a 19. ábra és a 28. táblázat (νtgα=0 feltételezésével). A számítások konkrét értékekkel támasztják alá gondolati feltételezésünket, hogy

 a biztonsági tényező növekedésével csökken a tönkremeneteli valószínűség,

 a variációs tényező növekedésével nő a tönkremeneteli valószínűség, és

 a lognormális eloszlás alacsonyabb tönkremeneteli valószínűséget ad.

Ennek ismeretében ki kell emelni néhány számítási eredményt, melyek segítenek eligazodni a nagyságrendi kérdésekben:

 az Eurocode 7 (magyar nemzeti melléklete) által szorgalmazott k=1,35 biztonsági tényező csak mintegy νtgφ<0,09-0,1 értékek esetén ad megfelelő tönkremeneteli valószínűséget,

 a 10^-4 tönkremeneteli valószínűség³⁰ csak νtgφ<0,08 értékek mellett teljesíthető normális eloszlás esetén,

 a pf = 10^-3 tönkremeneteli valószínűség pedig elbírja a νtgφ = 0,09 variációs tényezőt is.

30 Véleményem szerint túlnő a PhD disszertáció feladatkörén az a biztonságpolitikai megfogalmazás, hogy a tönkremeneteli valószínűség milyen értékét fogadjuk el megfelelőnek.

A talajvizsgálatok azt mutatták (Nagy és Kádár 2012), hogy szemcsés talajokkal szemben nem teljesíthetetlen követelmény a νtgφ=0,09 variációs tényező (ld. 5. ábra).

Egy eloszlás típusnál a tönkremeneteli valószínűség, biztonsági tényező és variációs tényező szoros kapcsolatban áll egymással. Megállapítottam, hogy a 20. ábra szerint a szemcsés talajokra meghatározható νtgφ=0,05-0,08 variációs tényező alapvetően megfelel a pf =10^-4 tönkremeneteli valószínűség esetén is. Mindenképpen arra kell törekedni a talajmechanikai vizsgálatoknál, hogy ez a variációs tényező teljesüljön. Amennyiben nem teljesül, az adott rétegből a vizsgálatok számát kell növelni, esetleg osztani kell a réteget több rétegre³¹.

20. ábra A tönkremeneteli valószínűségek a belső súrlódási szög variációs tényezője (νtgφ) függvényében különböző biztonsági stratégiák alapján

2010 óta Magyarországon az Eurocode 7 alapján kell a geotechnikai méretezést végezni. a szabvány k=1,35 biztonsági tényezőt ír elő (a magyar nemzeti melléklet) a karakterisztikus érték alapján végzett számítások esetére. A korábbi magyar előírások (MSZ 15003) kc=1,5 centrális biztonsági tényezőt határoztak meg a talajfizikai jellemzők átlagára. Kérdésként merült fel, hogy egy végtelen hosszú szemcsés anyagú rézsűnél a két módon meghatározott biztonsági kritérium mekkora tönkremeneteli valószínűséget jelent. A tönkremeneteli valószínűségek a belső súrlódási szög variációs tényezője (υtgφ) függvényében jelennek meg a 20. ábrán. A számítási eredményeim azt mutatják, hogy

 a két módszer nem egyenértékű,

 a vizsgált esetben az Eurocode 7 alapján történő számítás adja a nagyobb tönkremeneteli valószínűséget, minden variációs tényező esetén,

 az eloszlások közül a normális eloszlás adta a magasabb tönkremeneteli valószínűséget, ha nem tudjuk eldönteni, hogy milyen eloszlást használjunk a normális és lognormális

31 Réteghatár felvételével homogénebb rétegre kell osztani a vizsgált réteget.

eloszlások közül, válasszuk inkább a normálist, mert az a biztonság kárára történő közelítés.

 a variációs tényező háromszoros változása mintegy öt nagyságrendnyi változást mutat a tönkremeneteli valószínűségben. Ezért fontos a variációs tényező lehető legpontosabban ismerete.

5.4. a variációs tényezők együttes hatásának szerepe a tönkremeneteli valószínűség számításánál

5.4.1. A rézsűhajlás állandó

A (41) és a (42) kifejezések alapján, a biztonsági tényező és a belső súrlódási szög variációs tényezőjének az összefüggését vizsgáltam a tönkremeneteli valószínűség rögzített (pf≥10^-4) értékén. Meghatároztam, hogy a biztonsági tényező (k) függvényében hogyan változik a belső súrlódási szög variációs tényezőjének a megengedhető maximális értéke (21. ábra és az F4 függelék, 29. táblázat). Normális eloszlás esetén a β megbízhatósági index maximuma centrális biztonsági tényezővel kifejezve:

 



tg c

c

k k



 1 .

A kc centrális biztonsági tényezővel mindkét oldalt osztva, valamint a k és kc közötti összefüggést (40) behelyettesítve:





 



 

tg tg

tg

c k

k



 







5 , 0 1 1 1 1

. Az egyenlet mindkét oldalát k·νtgφ-vel szorozva:

) 5 , 0 1

( _

 



 _tg k _tg

k      .

Ebből közvetlenül kifejezhető a υtgφ keresett maximális értéke:

5 , 0 1





 

 _  k

k

tg ; (45)

lognormális eloszlás esetén:

 

) 1 ln(

1 1 5

, 0 ln 1 )

1 ln(

) 1 /(

1 ln

2 2

2 2



















 

tg tg tg

tg tg c

k k















 



 





  . (46)

A (46) egyenlet paraméteresen is megoldható, de az értékeléshez elegendő a numerikus megoldás célérték kereséssel.³² Normális eloszlás esetén konstans pf tönkremeneteli valószínűséghez valamennyi biztonsági tényező esetén kisebb lesz a belső súrlódási szög variációs tényezőjének a megengedhető maximális értéke, mint lognormális eloszlás esetén.

32 Ehhez a feladathoz az MS Excel program beágyazott célérték keresőjét használtam.

A pf≤10^-4 tönkremeneti valószínűséghez (β≥3,72 megbízhatósági indexhez) és az előírt k=1,35 biztonsági tényezőhöz a belső súrlódási szög variációs tényezőjének maximuma (νtgφ) normális eloszlás esetén kb. 0,08, lognormális eloszlás esetén kb. 0,09.³³

Ugyanezen értékek pf≤10^-3 tönkremeneti valószínűséghez (β≥3,09 megbízhatósági indexhez) és az előírt k=1,35 biztonsági tényezőhöz a belső súrlódási szög variációs tényezőjének maximuma (νtgφ) normális eloszlás esetén kb. 0,095, lognormális eloszlás esetén kb. 0,114.

21. ábra Adott tönkremeneteli valószínűség (p_f=10^-4 és pf=10^-3) esetén a biztonsági tényező függvényében a belső súrlódási szög variációs tényezőjének a maximuma (νtgα=0) 5.4.2. A belső súrlódási szög és a rézsűhajlás bizonytalanságának együttes figyelembe vétele

A belső súrlódási szög és a rézsűhajlás bizonytalanságának együttes figyelembe vételénél azt vizsgáltam, hogy adott p_f tönkremeneteli valószínűség és k biztonsági tényező esetén mekkora lehet a bemenő paraméterek variációs tényezőjének (νtgφ és ν_tgα) a maximuma. Ehhez a következő értékeket vettem fel: pf≤10^-4 tönkremeneti valószínűség, vagyis β≥3,72 megbízhatósági index és a hazai gyakorlatban előírt k=1,35 biztonsági tényező.

A 5.3. fejezet (35) és (36) kifejezéseibe a ν_R=νtgφ és ν_E=ν_tgα egyenlőségeketbehelyettesítve és csak a megbízhatósági indexet meghatározva a következő egyenlőtlenségeket kaptam:

normális eloszlásra:

2 2 2

1



 

 

tg tg c

c

k k





  ; (47)

lognormális eloszlásra

) 1 ( ) 1 ln(

1 ln 1

2 2

2 2



















tg tg

tg tg

kc



















 

 . (48)

Tekintve, hogy a (47) és (48) egyenlőtlenségekben a centrális biztonsági tényező szerepel, ezért a k és a kc biztonsági tényezők közötti (40) összefüggést is figyelmbe kell venni. Mivel

33 pontos értékük: normális eloszlás esetén 0,077; lognormális eloszlás esetén 0,092

ez utóbbiban is szerepel a νtgφ variációs tényező, ezért numerikus megoldást³⁴ célszerű választani. A számított eredmények numerikus értékeit a 30. táblázat (F4. függelék) , a grafikus megoldást a 22. ábra tartalmazza.

22. ábra Adott biztonsági tényező (k=1,35) és tönkremeneteli valószínűség (pf=10^-4) esetén a teheroldal variációs tényezőjének (νtgα) függvényében a belső súrlódási szög variációs

tényezőjének a maximuma

A belső súrlódási szög variációs tényezője mellett a rézsűhajlás variációs tényezőjét is figyelembe véve megállapítottam, hogy pf≤10^-4 tönkremeneti valószínűséghez (β≥3,72 megbízhatósági index) és a hazai gyakorlatban alkalmazott k=1,35 biztonsági tényezőhöz:

 A belső súrlódási szög tangensére (tgφ) és a rézsűhajlás tangensére (tgα) is normális eloszlást feltételezve a belső súrlódási szög variációs tényezőjének a maximuma és a rézsűhajlás variációs tényezőjének a maximuma az alábbi közelítésből határozható meg (a két variációs tényezőt derékszögű koordináta rendszerben ábrázolva az egyenlőtlenséget kielégítő pontok egy origo középpontú ellipszisen belül helyezkednek el):

2 1

2 2 2



 b a

tg tg  

 . (49)

Az állandók értékei: a=0,08 és b=0,077.

 A belső súrlódási szög tangensére (tgφ) és a rézsűhajlás tangensére (tgα) normális vagy lognormális eloszlást is megengedve (feltételezve) a belső súrlódási szög variációs tényezőjének a maximuma és a rézsűhajlás variációs tényezőjének a maximuma szintén a (49) összefüggés alapján határozható meg. A paraméterek értékei ekkor: a=0,095 és b=0,077, vagyis a két variációs tényezőt derékszögű koordináta rendszerben ábrázolva az egyenlőtlenséget kielégítő pontok szintén egy origo középpontú ellipszisen belül helyezkednek el.

34Ehhez is az MS Excel program beágyazott célérték keresőjét használtam.

5.5. Ipari hasznosítás és javaslatok

2011-ben a Lajta menti árvízvédelmi gátak kockázat elemzéséhez készült megbízhatósági elven tönkremeneteli valószínűség számítás. A Lajta árvízvédelmi gátjai és az altalaja is csaknem mindenhol olyan durvaszemcsés anyagból van, ahol a szemeloszlási görbe rendszerint frakcióhiányos és az egyenlőtlenségi mutató CU>100. A 5. fejezetben bemutatott elvek alapján felépülő állékonyságszámításnál több helyen a tönkremeneteli valószínűség meghaladta a 0,1-et, ami egy nagyon magas érték. Ennek oka a magas (a belső súrlódási szöget megközelítő) rézsűhajlás és annak viszonylag rapszodikus változékonysága. A Lajta bal parti fővédvonal közel 18 km hosszú szakaszára a mentett oldali rézsűcsúszásból meghatározott tönkremeneteli valószínűségeket a 23. ábra mutatja (Nagy és Takács 2011).

23. ábra A Lajta bal parti fővédvonalra meghatározott, mentett oldali rézsűcsúszásból származó tönkremeneteli valószínűségek

Az elvégzett összehasonlító vizsgálatok alapján megállapítottam, hogy a tönkremeneteli valószínűséget döntő módon befolyásolja a bemenő adatok bizonytalansága, ezért javasolt a bemenő paraméterek variációs tényezőinek meghatározása, elsősorban a nyírószilárdsági paramétereknél.

Továbbá javasolt a hagyományos állékonyságszámítási módszerek alkalmazásának kiterjesztése azzal, hogy előírt biztonsági tényező mellett kerüljenek meghatározásra a bemenő paraméterek variációs tényezőjének - még ésszerűen előforduló - maximális értékei, ami az összehasonlító számítások elvégzéséhez nyújtana segítséget.

Ugyancsak javítaná a biztonság megfogalmazását és az ismeretek ilyen irányú bővülését érzékenységi vizsgálatok végzése, aminek segítségével az egyes befolyásoló tényezők hatását lehet ellenőrízni.

In document HAZAI LEJTŐK ÉS RÉZSŰK ÁLLÉKONYSÁGI VIZSGÁLATA (Pldal 42-52)