táblázat: Néhány egyszerű függvény és Laplace-transzformáltja

4.1.3. Műveleti szabályok a) Differenciálás

  ^sY     ^{s y 0}

Általánosítva, az n-edik derivált Laplace-transzformáltja a következő alakban írható fel:

       

Ha az összes kezdeti érték zérus, akkor az idő szerinti differenciálás s megfelelő hatványával való szorzássá egyszerűsödik:

 

s Y

 

s

Azokban az esetekben, amikor egy egyoldalas függvény a t=0 pontban a t



₀

tartománybeli y=0 értékéről y=y₀-ra ugrik, a (4.18) egyenletben y(0) két különböző felfogásban értelmezhető.

A) A szigorú matematikai szemléletmódban az y függvény a szakadás helyén nem differenciálható, így a (4.18) a t0 tartománybeli differenciálhányadosainak Laplace-transzformáltját adja értelemszerűen e tartomány határán elhelyezkedő y(0) kezdeti értékkel. (Ezek a differenciálhányadosok t0 esetén a szakadási hely ún. jobb oldali differenciálhányadosaihoz tartanak, így a (4.18)-ban előforduló y(0); stb. értékek is egyértelműek.)

B) A matematikailag nem eléggé precíz, de praktikus esetben – legalábbis a (4.17) egyenletre – jól használható felfogás az y függvény ugrását a t=0 pontban egy t ideig tartó véges meredekségű szakasz elméleti határesetének tekinti. Ekkor a (4.17) egyenletben szereplő kezdeti érték y(0)=0. A véges meredekségű szakaszon létezik differenciálhányados, amelynek pl. az időfüggvénye, ha a meredekség állandó, akkor t szélességű állandó amplitúdójú négyszögimpulzus. Ennek területe a meredeken emelkedő szakasz y₀ végértéke (ty₀/t). Ha a meredekség nő, akkor t csökken, az impulzusterület azonban változatlan marad. A végtelen meredekségre való áttéréskor az impulzus y0 területű Dirac-impulzussá válik. Ekkor a (4.17) egyenlet y(0)=0 helyettesítéssel nemcsak a t0 tartomány differenciálhányadosának, hanem formálisan az „ugrás differenciálhányadosának” minősíthető Dirac-impulzusnak is megadja a Laplace-transzformáltját. A B) felfogás matematikai pongyolasága ellenére is helyes eredményt ad, ameddig olyan jelek képzésére használják, amelyek egy integrátoron (vagy a későbbiekben tárgyalt tárolós tagon) haladnak keresztül. Az integrálás ugyanis megszünteti a problémát okozó Dirac-függvényt.

b) Integrálás

  Y   s dt s

t y L

t

1

0

 



 



 

^{. (4.20)}

c) Eltolási tétel

 

 y t T  e Y   s

L  

^sT . (4.21)

Az egyoldalas y(t) függvény kezdőpontjának T-vel való késleltetése a transzformált függvényben exp(-sT)-vel való szorzással vehető figyelembe.

d) Csillapítási tétel

 ^{e y}   ^t  ^{Y  s a }

L

^at

 

. (4.22)

A t tartománybeli exponenciális

e

^at csillapítás az s tartományban a-val történő eltolásnak felel meg.

e) Kezdeti és végértéktételek

Nagyon gyakran használható tételek a t és az s operátoros tartománybeli határértékek közötti összefüggést írják le:

 

t sY

 

s y

s

tlim lim

0 



  , (4.23)

 

t sY

 

s y

s

t lim

lim  0 . (4.24)

Ez utóbbi kifejezés akkor alkalmazható, ha Y(s) pólusai a bal oldali félsíkra esnek (tehát pl.

e

^at; sin(t) stb. függvények esetén helytelen eredményt ad).

f) Konvolúció- (Faltung-) tétel

Két függvény konvolúcióján az alábbi kifejezést értjük:

 

t y

 

t y

   

y t

 

d



A függvény Laplace-transzformáltja a következőképpen számítható:

Ha L



y₁

 

t



Y₁

 

s , és L



y₂

 

t



Y₂

 

s , akkor

   



y t y t



Y

   

sY s

L ₁  ₂  _{1 2} . (4.26)

Azaz a konvolúció az operátoros tartományban szorzásnak felel meg.

g) Racionális törtfüggvény inverz transzformáltja

Lineáris, koncentrált paraméterű rendszerek analízisekor és szintézisekor előforduló jelek Laplace-transzformáltja a legtöbbször racionális törtfüggvény:

   

Az egyenlet jobb oldala részlettörtekre bontható, és tagonként transzformálható az időtartományba. Ez a kifejtési tétel, amely akkor egyszerű, ha a nevező si gyökei – y(s) pólusai – egyszeresek. Ekkor a résztörtekre bontott alak:

  ^  _

Az időfüggvény:

   

Többszörös gyökhöz a részlettörtekre bontáskor a gyök multiplicitásával azonos számú részlettört tartozik. Pl. ha az i-edik gyök kétszeres, a megfelelő részlettört:



²



²

Az ehhez tartozó időfüggvény táblázatból kikereshető:

   t k

_i

k

_i

 e

^sit

y 

₁



₂ . (4.31)

A részlettörtekre bontást a MATLAB programmal a residue utasítással végezhetjük el.

Megfelelő paraméterezéssel az utasítás a racionális törtfüggvények részlettörtjeinek együtthatóit és pólusait adja, vagy ezekből rekonstruálja az eredő tört számlálóját és nevezőjét.

A lineáris, állandó együtthatós differenciálegyenlet frekvenciatartománybeli megoldásakor az időfüggvények helyett áttérünk azok Laplace-transzformáltjára, ezáltal a differenciálegyenlet algebrai egyenletté válik. Kifejezzük a keresett ismeretlen jelet, és az eredményt visszatranszformáljuk az időtartományba.

4.2. Az időtartományban

4.3 ábra: A tag időtartományban

Mindennapos tapasztalás alapján általánosan kijelenthető, hogy xk (t) függ:

 a tag tulajdonságaitól, amely az y() súlyfüggvénnyel fejezhető ki, és

 az xB(t) bemenőjeltől.

A tag tulajdonságait például az ún. TIPIKUS VIZSGÁLÓJELEK-re adott válasszal lehet leírni.

4.2.1. Tipikus vizsgálójelek

4.4 ábra: Az átviteli tag vizsgálatára szolgáló jelek Minden jelre igaz, hogy f(t)=0, ha t<0 !

AZ EGYSÉGIMPULZUS-FÜGGVÉNY (DIRAC-DELTA):

és területe egységnyi. (4.32)

Válaszfüggvénye a súlyfüggvény (w(t)).

AZ 1(T) EGYSÉGUGRÁSFÜGGVÉNY (BEKAPCSOLÁS):

(4.33) Válaszfüggvénye a átmeneti függvény (v(t), h(t)).

A SEBESSÉGUGRÁS-FÜGGVÉNY:

(4.34) A válaszfüggvénynek nincs külön elnevezése (v_t(t)).

x_k (Bekapcs. fgv.)

t(t)

A GYORSULÁSUGRÁS-FÜGGVÉNY:

(4.35)

A válaszfüggvénynek nincs külön elnevezése (v_t²_/2(t)).

A tipikus vizsgálójel közötti kapcsolatok az alábbi összefüggésekkel jellemezhetők:

).

Lineáris rendszerek kimenetén a tipikus jelek hatására fellépő válaszidőfüggvények között is a bemenőjelek közötti összefüggésekhez hasonló kapcsolatok adhatók meg:

) .

A súlyfüggvény (w(t)) az átmeneti függvény (v(t)) derivált görbéje.

4.3. Az átviteli tagok csoportosítása és jellemzőik

A folytonos-folyamatos rendszerek jellemzésére, közelítésére szolgáló lineáris jelátviteli tagokat rendszerezzük a következő részben. A tagokat csoportosíthatjuk tulajdonságaik alapján. Ez a felosztás némileg tükrözi a differenciálegyenletekkel való leírásmód formai jegyeit is.

4.2 táblázat: A tagokat típusuk és tárolóik száma szerint osztályozhatjuk Típus\tárolók száma 0 1 2 3 Végtelen

Arányos P PT1 PT2 PTn H

Differenciáló D DT1 DT2 DTn

Integráló I IT1 IT2 ITn

Holtidős H

A felsorolt alaptagok meghatározó jellegzetességei a következőkben foglalhatók össze:

 A P az I és a D jelleg az állandósult állapotban jellemző a jelátviteli tagra, tehát a kimenőjel arányos:

o arányos tagnál a bemenőjellel,

o integrálótagnál a bemenőjel idő szerinti integráljával, o differenciálótagnál a bemenőjel differenciálhányadosával.

 Az időkésleltetést a rendszerben végbemenő változások, folyamatok lejátszódásának időszükséglete határozza meg. A késés mértékét az energiatárolók nagysága és száma határozza meg. A T1 egy, a T2 két energiatárolót feltételez, ami mind arányos, mind integráló viselkedéssel társulhat.

 A holtidőt az áramló közegek véges haladási sebessége szabja meg. Ez főleg akkor számottevő, ha a jelenség lejátszódásának, az információszerzésnek vagy a beavatkozásnak helye egymástól távol esik. A holtidős jelleg párosulhat arányos, vagy integráló viselkedéssel.

Az (4.2) egyenlet holtidő jelenléte esetén a következőképp módosul:

     

ahol: A_p az arányossági átviteli tényező

)

Az (4.38) egyenletből a következőképpen lehet leszármaztatni a különböző dinamikájú jelátviteli tagokat:

 A P TAG-ot leíró egyenlet nem tartalmaz differenciálhányadosokat, csak nulladrendű tagokat:

  t A x (t )

x

_k



_P



_b ,

 x

_k

 A

_P

  x

_b. (4.39)

 Az I TAG a kimenőjelre nézve a legalacsonyabb rendű, és egyedüli tagként az elsőrendű differenciálhányados szerepel a bemenőjel nulladrendű tagja mellett:

)

 A D TAG ideális, a valóságban nem kivitelezhető jelátvitellel jellemezhető.

Differenciálegyenletében a bemenőjelre nézve legalacsonyabb rendű az elsőrendű differenciálhányados, és a kimenőjel nulladrendű tagja van megtestesítve. (A gyakorlatban a D tag közelítése nagy arányossági átviteli tényezővel rendelkező P taggal történhet.)

dt

Az idealizált arányos, integráló és differenciáló jelleg (illetve annak közelítése) a kimenőjel és a bemenőjel között a gyakorlatban időeltolódással is érvényesülhet. Ez azért lehetséges, mert az energiatároló időkésleltetése vagy holtidő fellépése miatt késhet az állandósult helyzet kialakulása. Így a következő jelátviteli tagok is lehetnek:

 egytárolós, kéttárolós, többtárolós: arányos (PTi), integráló (ITi);

 holtidős: arányos (PH-), integráló (IH-), differenciáló (DH-);

 tárolós és holtidős: arányos (PTiH-), integráló (ITiH-), differenciáló (DTiH-).

A tagok különböző kombinációik jellegzetességeit az (4.38) egyenletből a P, az I és a D jelleget külön kiemelve más alakban írjuk fel a differenciálegyenletet:

     

ahol: A az átviteli tényező.

Ha az (4.42) egyenlet jobb oldalán csak egy tag szerepel, az A jelentése módosul. Első tag esetén INTEGRÁLÁSI ÁTVITELI TÉNYEZŐ; második tag esetén ARÁNYOSSÁGI ÁTVITELI TÉNYEZŐ; harmadik tag esetén DIFFERENCIÁLÁSI ÁTVITELI TÉNYEZŐ.

Az (4.42) differenciálegyenlet Laplace-transzformálásával nyert algebrai egyenlet:

.

Ebből az átviteli függvény:

1

Tehát az átviteli függvény számlálója állandósult állapot esetén:

 az 1/s tag jelenléte integráló viselkedésre utal,

 az s tag jelenléte differenciáló jelátvitelt jellemez,

 az s hiánya arányos jelátvitelt határoz meg.

Az átviteli függvény nevezőjében levő tagok a tranziensek lefutását jellemzik. Azaz, hogy az állandósult állapot beállását hány és milyen mértékű időkésést okozó energiatároló befolyásolja. Itt az s legnagyobb kitevőjének fokszáma megegyezik az energiatárolók számával mindhárom alaptag esetén.

A holtidős tag egyenértékű egy végtelen számú tárolóval rendelkező arányos taggal.

Jellemzője, hogy a hatás a kimenetén csak egy T_H holtidő múlva, késéssel jelenik meg.

Ezt differenciálegyenletében az eltolásoperátor megjelenése, átviteli függvényében pedig az e^-sT_H szorzótényező jelzi.

4.3.1. Arányos, időkésés nélküli tag (P) Differenciálegyenlete:

  t A x (t )

x

_k



_P



_b , (4.45)

amely egy ideális arányosságot fejezi ki a kimenete és bemenete között. A valóságban ugyanis még egy jó vezetőképességű, rövid vezetékszakasz is a frekvenciatartomány értékétől függően tekinthető P arányos tagnak. A szabályozástechnikában, ahol a folyamatok változásának gyakorisága messze elmarad a rádiófrekvenciás jelek frekvenciájától, P tagnak tekinthető a potenciométer, az ellenállásosztó, a

frekvenciamenetében kiegyenlített erősítő stb., tehát minden olyan tag, amelynek a frekvenciatartományban nincs észlelhető hatása a ható jel legnagyobb frekvenciájú összetevőjére sem.

4.3 táblázat: A proporcionális tag súly- és átmeneti függvénye

4.5 ábra: Az ideális P tag Átviteli függvénye:

  t L A

_P

t A

_p

y

L [ ]  [  ( )] 

(4.46)

sem pólussal, sem zérussal nem rendelkezik.

Frekvenciafüggvénye:

  t Y j A

_p

y

F [ ]  (  ) 

, azaz

20 lg | Y ( j  ) |  20 lg A

_p. (4.47)

A P jelátviteli tag frekvenciafüggvényét Nyquist-diagramon (helygörbe) (4.6 ábra) ábrázolva a valós tengelyen levő egyetlen pont, Bode-diagramon (4.7 ábra) megjelenítve a körfrekvencia-tengellyel párhuzamosan futó egyenes.

Nyquist-diagram, amely az Y(j) komplex függvény valós és képzetes részét mutatja meg körfrekvenciával paraméterezve. A kimenőjel a bemenőjelet mind amplitúdóban, mind fázisban követni képes, a körfrekvenciától függetlenül.

Súlyfüggvénye Átmeneti függvénye )

( )

(t A t

w  _P



( ) ( ) 1( )

0

t A dt t A t

v 



^ _P

^

 _p

w(t)=A_p(t)

t

v(t)=Ap1(t)

t Ap

xb(t)=1(t)

t x_b(t)=(t)

t

P

x_b(t) x_k(t)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 -1

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

System: sys Peak gain (dB): 6.02 Frequency (rad/sec): 1e+012 Nyquist Diagram

Real Axis

Imaginary Axis

4.5 ábra: A P tag Nyquist-féle ábrázolásban Ap=2

5 5.5 6 6.5 7 7.5

Magnitude (dB)

10⁰ 10¹

-1 -0.5 0 0.5 1

Phase (deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

16.7 ábra: A P tag Bode-féle ábrázolásban A_p=2

4.3.2. Egytárolós arányos tag (PT1)

Az automatikában használatos irányítószerveknek (érzékelők, távadók, végrehajtók, beavatkozók) elsősorban mechanikai elemeik véges működési sebessége, az egyensúlyi helyzet beállásának időszükséglete következtében bizonyos időkésleltetésük van. A jeltovábbítás a jel energiahordozó sajátossága. Az egyes jelátviteli tagok energiatároló jellege következtében a jeltovábbítás szükségszerűen energiaátalakulással jár együtt. Az energiatárolós jelátviteli tagok kimenőjele azonnal nem követheti a bemenőjel alakulását.

Differenciálegyenlete:

  ( ) )

( x t x t

dt t

T dx

^k



_k



_b . (4.48)

A PT1 tag (4.48) differenciálegyenletének Laplace-transzformálása után az átviteli függvénye:

s T s A

Y

^p

1

1

)

(  

. (4.49)

Az egyenlet pólusa a nevezőből képzett 1+T1s=0 egyenlet megoldásaként a p1=-1/T1

gyök.

4.4 táblázat: A PT1 tag súly- és átmeneti függvénye

4.8 ábra: A PT1 tag

-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 -0.5

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0

System: sys Peak gain (dB): 0 Frequency (rad/sec): 2e-009 Nyquist Diagram

Real Axis

Imaginary Axis

4.9 ábra: A PT1 tag Nyquist-féle ábrázolásban Ap=1, T1=1

Súlyfüggvénye Átmeneti függvénye

1

1

)

( ^T

t

P e

T t A

w   ^

( ) ( 1

^T1

)

t

p

e

A t

v  

^

Ap

v(t)

T1 t Ap/T1

w(t)

T1 t

xb(t)=1(t)

t xb(t)=(t)

t

PT1

x_b(t) x_k(t)

A Bode-diagramok meghatározásához az Y(j) függvényt először bontsuk valós és képzetes részre:

 Re ( ) Im ( )  .

Az amplitúdó-jelleggörbe:

2 A fázisjelleggörbe:

T

Az aszimptoták meghatározásához vegyük figyelembe:

A

p

Ekkor fordított arányosság van a körfrekvencia és az amplitúdó-jelleggörbe között. Ennek logaritmikus megfelelője a –20 dB/dekád:

 

Ez a legnagyobb eltérés (-3 dB) az aszimptotikus menethez képest:



Látható, hogy a fázisszögnek egyébként 0-tól -90°-ig kell változnia, ugyanis az Y(j) függvény nevezőjében lévő vektor fázisszöge is ennyit változik.

-40 At frequency (rad/sec): 2e-009

10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ 10²

Frequency (rad/sec)

4.10 ábra: A PT1 tag Bode-féle ábrázolásban A_p=1, T₁=1

4.3.3. Kéttárolós arányos tag (PT2)

Mint neve is mutatja, két (energia)tárolóval rendelkező arányos tag. Tulajdonságait tekintve jellegzetessége a lengésekre való képessége, amely kizárólag a benne szereplő időállandók arányától függ. Ilyen tag például a mechanikai és a villamos időállandójával is jellemzett villamos motor, a két aluláteresztő jellegű törésponttal rendelkező villamos hálózat (erősítő) stb.

Másodrendű, arányos viselkedést mutatnak a külön-külön PT1 jelátvitelt mutató, egymással soros, illetve visszacsatolásos kapcsolatban lévő tagok összekapcsolásával nyert tagcsoportok. Két, egymással összemérhető nagyságú energiatároló jelenléte befolyásolja az eredő rendszerdinamikát.

Differenciálegyenlete: differenciálegyenletet kapjuk:

  ( )

A PT2 tag T1 és T2 időállandókkal jelzett differenciálegyenletének Laplace-transzformálásával az átviteli függvény az alábbi:

) 1

A nevező normálalakra hozva:

1

A T egyenértékű időállandó és a  csillapítási tényező bevezetésével

b

Az átviteli függvény:

1

4.5 táblázat: A PT2 tag átmeneti függvénye

0.6 Impulse Response

Time (sec)

1.4 Step Response

Time (sec)

Amplitude

4.11 ábra: Az PT2 tag

Az (4.59) egyenletben szereplő paraméterek bevezetése indokolt, mert ha a csillapítási tényező értéke 1-nél nagyobb (aperiódikus), illetve kisebb (lengő), akkor különböző időbeli viselkedésekre utal. Az átmeneti függvény Laplace-transzformálása után a nevezőből képzett egyenletnek három megoldása lehetséges. A p₁=0 és p_2,3 a csillapítási tényező értékétől függenek.

 Aperiodikus eset >1 esetén értelmezhető. A p₂ és p₃ gyökök egymástól különböző, valós negatív mennyiségek.

 Lengő eset <1 esetén értelmezhető. A p₂ és p₃ gyökök egymással megegyező valós koordinátájú, képzetes koordináták csak előjelben különböző konjugált komplex gyökpárok.

 Aperiodikus határ eset =1 esetén. Ilyenkor a gyökök p₂=p₃. Csillapítási

tényező Átmeneti függvénye

>1

 

Az átmeneti és súlyfüggvények alakulásából kitűnik, hogy minél kisebb a csillapítási tényező értéke, annál nagyobb a PT2 jelátviteli tag lengési hajlama (=0 esetében csillapítatlan lengések jönnek létre, ami visszacsatolásos elemkapcsolatnál, pl.

szabályozási rendszereknél könnyen előfordulhat).

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

0 Nyquist Diagram

Real Axis

Imaginary Axis

4.12 ábra: A PT2 tag Nyquist-féle ábrázolásban A_p=1, T=1, Görbék fentről lefelé =1,5; 1; 0,8; 0,5

-20 -15 -10 -5 0 5 10

System: sys1 Peak gain (dB): 1.24 At frequency (rad/sec): 0.676 System: sys2

Peak gain (dB): 0.351 At frequency (rad/sec): 0.556

Magnitude (dB)

10^-1 10⁰ 10¹

-180 -135 -90 -45 0

System: sys1 Phase Margin (deg): 90 Delay Margin (sec): 1.57 At frequency (rad/sec): 1 Closed Loop Stable? Yes System: sys2

Phase Margin (deg): 116 Delay Margin (sec): 2.71 At frequency (rad/sec): 0.748 Closed Loop Stable? Yes

Phase (deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

4.13 ábra: A PT2 tag Bode-féle ábrázolásban Ap=1, T=1, Görbék alulról felfelé =1,5; 1; 0,8; 0,5

Kettőnél több tárolóval rendelkező arányos tagok tulajdonságai az eddigiek alapján következtethetők, és hasonló módon tárgyalhatók. Többtárolós jelátviteli tagok mindenkori eredő Nyquist-diagramja egytárolós és lengő PT2 tagok helygörbéinek szorzataként, az eredő Bode-diagramja pedig ugyanezen alaptagok logaritmikus frekvencia-jelleggörbéinek (Bode-diagramjainak) összegeként állítható elő.

Megállapítható, hogy egy n tárolót tartalmazó tag:

 differenciálegyenletének bal oldalán megjelennek a megfelelő tárolóhoz tartozó időállandók és a max. „n”-edrendű kimenőjel-deriváltak,

 az átviteli függvényében ugyanez az „s” változó hatványkitevőjében mutatkozik meg, természetesen ezzel a gyökök növekvő számát vonva maga után.

 A logaritmikus amplitúdó-jelleggörbe (Bode) ω0-nál az ω tengellyel párhuzamosan, vagy egybeesően (20lgA_p értéken) haladva indul, és minden energiatároló (időállandó) a jelleggörbe (a görbét közelítő aszimptóta) meredekségét –20 dB/dekáddal módosítja. Az egyes időállandók reciprokaként meghatározható körfrekvencia-értékek egyben kijelölik az aszimptóták metszéspontjait is. A fázisjelleggörbe ω0-nál 0°-ból indul, s a körfrekvencia növekedésével annyiszor -90°-os fáziskéséshez tart, ahány energiatárolója van a jelátviteli tagnak.

 A Nyquist-diagramot az jellemzi, hogy ω0 esetén a valós tengelyen fekvő, A_p arányossági átviteli tényezőnek megfelelő értékről indulva a körfrekvencia növekedésével annyi síknegyeden halad keresztül, ahány energiatárolóval rendelkezik a jelátviteli tag, és ω∞-nél fut be az origóba. A Nyquist-diagramban a helygörbe a tárolók számával azonos számú síknegyedet ölel át.

 A tag tulajdonságai a lengő tagéval azonosak, ezt pedig a legkisebb csillapítási tényezőjű (j tengelyhez legközelebbi) ún. DOMINÁNS PÓLUSPÁR fogja meghatározni. Ez az „s” síkon a legszemléletesebb (gyökhelygörbe-módszer), és jó módszert kínál pl. a rendszerparaméterektől függően a viselkedés tanulmányozására.

4.3.4. Időkésés nélküli tag. Integrálótag (I)

Az integráló jellegű jelátviteli tagok közös jellemzője, hogy az állandósult állapotban kimenőjelük változási sebessége arányos bemenőjelükkel. Azaz, ha az x_b és az x_k állandósult állapotból kiindulva az xb ugrásszerűen megváltozik ∆xb értékkel, akkor a kimenőjel változási sebessége (az időfüggvény meredeksége) azonnal vagy bizonyos idő (holtidő, időkésleltetés) elteltével arányos lesz a bemenőjel ∆xb megváltozásával egy újabb állandósult helyzet beállásakor.

Az integrálótag kimenete konstans bemenőjel hatására állandó változási sebességű, egyre növekvő jelet ad, azaz integrál. Ilyen tag pl. a motor, ha kimenőjeleként a szögelfordulását tekintjük, a villamos fogyasztásmérő, a műveleti erősítővel kialakított integrálókapcsolás stb.

Differenciálegyenlete:

Itt TI az ismétlődési idő, ugyanis a kimenet 0-ról indulva ennyi idő alatt éri el a bemenőjel értékét, ha Ap=1. Azaz egységnyi bemenőjel hatására a kimenet változási sebessége Ap/TI amiről a (4.61) egyenlet átrendezésével meggyőződhetünk.

4.6 táblázat: Az I tag súly- és átmeneti függvénye

Súlyfüggvénye Átmeneti függvénye

)

Átviteli függvénye:

Az integrálás műveletét operátortartományban egy pólus origóban való megjelenése mutatja!

0 Nyquist Diagram

Real Axis

Imaginary Axis

4.15 ábra: A I tag Nyquist-féle ábrázolásban Ap=1, TI=1

-20 At frequency (rad/sec): 1 Closed Loop Stable? Yes Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

4.16 ábra: Az I tag Bode-féle ábrázolásban Ap=1, TI=1

4.3.5. Integráló, elsőrendű időkésleltetett tag (IT1)

Az elsőrendű időkésleltetéses, integráló jelátvitel rengeteg gyakorlati eset jeleníthet meg.

Tudni illik a tiszta integráló, I tag viselkedése ritkán fordul elő a gyakorlatban. A rendszerekben az információ továbbításának a tagok véges működési sebessége és beállási ideje miatt időkésleltetése van. A jel megváltoztatása csak véges időtartam alatt lehet sikeres. Tehát egy időkésés és holtidőmentes integráló viselkedésű rendszerelem a gyakorlatban kiegészül tárolós taggal.

Differenciálegyenlete:

4.7 táblázat: Az IT1 tag súly- és átmeneti függvénye

Átviteli függvénye:

sT

Súlyfüggvénye Átmeneti függvénye

 

Az IT1 jelátviteli tag Nyquist-diagramja ω0-nál a negatív képzetes tengellyel párhuzamosan, attól

I p

T A T

¹



-távolságban –∞-ből indul, s ω∞-nél a komplex számsík kezdőpontjába fut be.

4.17 ábra: Az IT1 tag

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0

-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2

0 Nyquist Diagram

Real Axis

Imaginary Axis

4.18 ábra: Az IT1 tag Nyquist-féle ábrázolásban TI=1, T1=1

A_p w(t)

t

Ap

v(t)

T_I t xb(t)=1(t)

t x_b(t)=(t)

t

IT1

x_b(t) x_k(t)

-100 At frequency (rad/sec): 0.786 Closed Loop Stable? Yes Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

4.19 ábra: Az IT1 tag Bode-féle ábrázolásban T_I=1, T₁=1

A fázisjelleggörbe alakulását -180°-ig (ω∞-nél) terjedő fáziskésés jellemzi. A 60.

ábrából látszik, hogy az eredő amplitúdó-jelleggörbe a kisebb körfrekvenciákból a –20 dB/dekád meredekséggel indul, és a nagyobb körfrekvenciáktól –40 dB/dekád meredekségű. Az A_p arányossági átviteli tényezőt egységnyi értéknek megválasztva a jelleggörbe ω=1/T_I-nél metszi a körfrekvencia-tengelyt.

4.3.6. Integráló, másodrendű időkésleltetett tag (IT2) Differenciálegyenlete:

Átviteli függvénye:

1

0 5 10 15 20 25 30 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

1.4 Impulse Response

Time (sec)

Amplitude

0 5 10 15 20 25 30

0 5 10 15 20 25

30 Step Response

Time (sec)

Amplitude

4.20 ábra: Az IT2 tag

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0

-45 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0

5 Nyquist Diagram

Real Axis

Imaginary Axis

4.21 ábra: Az IT2 tag Nyquist-féle ábrázolásban T=1, balról jobbra =1,5; 1; 0,5

x_b(t)=1(t)

t xb(t)=(t)

t

IT2

xb(t) xk(t)

-100 -50 0 50

Magnitude (dB)

10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ 10²

-270 -225 -180 -135 -90

Phase (deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

4.22 ábra: Az IT2 tag Bode-féle ábrázolásban Görbék fentről lefelé =0,5 (kék); 1 (zöld); 1,5 (piros)

Az energiatárolókkal rendelkező, egyszeresen integráló jelátviteli tagok (IT1, IT2, ITn) sorbakapcsolt tiszta I és adott számú arányos energiatárolóval rendelkező tagok (PT1, PT2, PTn) összegeként értelmezhetők. A frekvenciafüggvény az összetevők frekvenciafüggvényeinek szorzataként állítható elő.

Az integrálótagok Nyquist-diagramja azt jeleníti meg, hogy ω0-nál a negatív képzetes tengely –∞ értékétől (azaz a harmadik síknegyedből) indul és ω∞-nél a számsík kezdőpontjába fut be. A körfrekvencia növekedésével annyi síknegyeden halad keresztül, ahány energiatárolója van a jelátviteli tagnak.

A Bode-diagram ω0-nál -20 dB/dekád meredekséggel kezdődően indul, és minden időállandó a jelleggörbe meredekségét –20 dB/dekáddal módosítja. A fázisjelleggörbe ω0-nál –90°-os fáziskéséssel indul, s ω∞-esetén annyiszor további –90°-os fáziskéséshez tart, ahány energiatárolóval rendelkezik a jelátviteli tag.

4.3.7. Differenciáló, időkésés nélküli tag (D)

A differenciálótagoknak állandósult állapotban a kimenőjelük arányos a bemenőjelük változási sebességével. A technológiák sokszor igénylik a gyors, hatékony beavatkozást a kismértékű változására is azonnal reagáló irányítóberendezéseket. A tag kimenetén a bemenőjel deriváltja jelenik meg, és így egy idealizált tag. A gyakorlatban ennek pontos megvalósítása lehetetlen, de közelíteni lehet, pl. az üresen járó transzformátor, ha a fluxusa és kapocsfeszültsége a két megfigyelt jellemző.

Differenciálegyenlete a (4.41) egyenlet alapján, ahol a ₁=T_D a differenciálási idő:

dt t T x t

x

_{k D} ^b

( ) )

( 

. (4.72)

Átviteli függvénye:

s T s

Y( ) _D . (4.73)

Frekvenciafüggvénye:





T j j

Y( ) _D . (4.74)

A D tag csak képzetes összetevőkkel rendelkezik, az I tag inverz frekvenciafüggvényének tekinthető.

4.23 ábra: A D tag

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

10 Nyquist Diagram

Real Axis

Imaginary Axis

4.24 ábra: A D tag Nyquist-féle ábrázolásban TD=1

A D tag frekvenciatartománybeli viselkedése alapján megállapítható, hogy nem valósítható meg a gyakorlatban. A Nyquist-diagram ω0-nál az origóból indul, és ω növekedésével a pozitív képzetes tengelyen végigfutva a +j∞-hoz tart. Azaz az átvitele ugyanis végtelen felé tart nagy frekvenciákon, ami végtelen teljesítményeket takarna, ez pedig kivitelezhetetlen.

v(t)

t Ap

w(t)

t

xb(t)=1(t)

t xb(t)=(t)

t

D

xb(t) xk(t)

-60 At frequency (rad/sec): 1 Closed Loop Stable? Yes System: sys2

Phase Margin (deg): -90 Delay Margin (sec): 47.1 At frequency (rad/sec): 0.1 Closed Loop Stable? Yes

Phase (deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

4.25 ábra: A D tag Bode-féle ábrázolásban TD=1 (sys1), TD=10 (sys2)

A logaritmikus amplitúdó-jelleggörbe egy olyan egyenes, amelynek meredeksége csak előjelében tér el az I tag jelleggörbéjétől. D és az I jelátviteli tagok

A logaritmikus amplitúdó-jelleggörbe egy olyan egyenes, amelynek meredeksége csak előjelében tér el az I tag jelleggörbéjétől. D és az I jelátviteli tagok

In document Automatika (Pldal 60-0)