ábra: A PHT1 tag

-0.5 0 0.5 1

-0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3

Nyquist Diagram

Real Axis

Imaginary Axis

4.36 A PHT1 tag Nyquist-ábrázolásban Ap=1, TH=1, T1=1

A PHT1 tag frekvenciafüggvényének Nyquist-ábrázolása a PT1 taghoz hasonlóan ω∞- nál az AP értékről indul, és ω∞-nél az origóba fut be, azonban a közbenső frekvenciatartományban a komplex számsíkon csökkenő spirálban haladva kerül egyre közelebb az origóhoz a körfrekvencia növelésével.

A_p/T₁ w(t)

T₁ t T_H

Ap

v(t)

T_H t T1

xb(t)=1(t)

t xb(t)=(t)

t

PHT1

x_b(t) x_k(t)

-40 -30 -20 -10 0

Magnitude (dB)

10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ 10²

540 630 720 810 900 990 1080

Phase (deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

4.37 ábra: A PHT1 tag Bode-féle ábrázolásban Ap=1, TH=1, T1=1

A frekvenciafüggvény Bode-féle megjelenítése, a logaritmikus amplitúdó-jelleggörbe a PT1 tagéval azonosan fut.

4.3.12. Integráló, holtidős (IH) tag Differenciálegyenlete:

) ) (

(

1 k

x

b

t T

H

dt t

T dx  

. (4.89)

Átviteli függvénye:

sTH

sT e s

Y 

^

1

) 1

(

. (4.90)

Frekvenciafüggvénye:

TH

e

j

T j j

Y

^

  

^

1

) 1

(

. (4.91)

4.38 ábra: A PHT1 tag

-1 -0.5 0 0.5

-2 -1.5 -1 -0.5 0

0.5 Nyquist Diagram

Real Axis

Imaginary Axis

4.39 ábra: A IH tag Nyquist-ábrázolásban TH=1, TI=1

Az IH Nyquist-diagram az IT1-taghoz hasonlóan indul ω 0-nál, és ω∞-nél az origóba fut be. A közbenső frekvenciatartományban azonban a komplex számsík valamennyi síknegyedén át csökkenő spirálban haladva a frekvencia növelésével egyre közelebb kerül az origóhoz.

v(t)

1/T_I t T_H

1/TI

w(t)

T_H t

x_b(t)=1(t)

t xb(t)=(t)

t

IH

x_b(t) x_k(t)

10^-1 10⁰ 10¹ 10² 10³ 0

180 360 540 720 900 1080

Phase (deg)

-60 -40 -20 0 20 40

Magnitude (dB)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

4.40 ábra: A PHT1 tag Bode-féle ábrázolásban T_H=1, T_I=1

Az IH tag Bode-diagram logaritmikus amplitúdó jelleggörbéje az I tagéval azonosan alakul.

4.4. Különböző átviteli függvények megvalósítása Matlabbal

1. Példa: PT1 tagokra MATLAB SZINTAKTIKA

Y1=5/(2*s+1); % egyik PT1 tag átviteli függvénye nu1=[5];

de1=[2 1];

Y2=3/(0.5*s+1); % a másik P1T tag átviteli függvénye nu2=[3];

de2=[0.5 1];

sys1=tf(nu1,de1) % nu1=5; de1=[2 1]

sys2=tf(nu2,de2) % nu2=3; de1=[0.5 1]

bode(sys1) % Bode-diagramot rajzol az első P1T-ről hold on % az új diagram rárajzolódik az előzőre bode(sys2) % Bode-diagramot rajzol a második P1T-ről

-30 -20 -10 0 10 20

Magnitude (dB)

10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ 10²

-90 -45 0

Phase (deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

4.41 ábra: A két PT1 tag Bode-diagramja

2. Példa: PT1 tagok összeszorzása

Az előzőekben megismert két PT1 tag sorba kötésével (összeszorzásával) előállítható a PT2 tag átviteli függvénye, amelynek számlálója most num, nevezője dem lesz.

MATLAB SZINTAKTIKA

[num,dem]=series(nu1,de1,nu2,de2); % két átviteli függvények összeszorzása sys3=tf(num,dem); % áttérés operátortartományba

sys3=series(sys1,sys2); % így is meg lehet adni bode(sys3)

-60 -40 -20 0 20 40

Magnitude (dB)

10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ 10²

-180 -135 -90 -45 0

Phase (deg) System: sys3

Phase Margin (deg): 36.9 Delay Margin (sec): 0.179 At frequency (rad/sec): 3.6 Closed Loop Stable? Yes Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

4.42 ábra: A PT2 Bode-diagramja

A Bode-diagramokon a 0, -20, -40 dB/dekád meredekségű érintőknél a következőket kell megfigyelni:

 az amplitúdódiagramon az érintők metszéspontja és 1/T érték egymás alatt;

 fázisdiagramon fáziseltolás; eltolás fele és 1/T érték egymás alatt;

 az amplitúdó-töréspont és fáziseltolás félértékének egybeesése;

 P2T-nél két töréspont és átlagos időállandó reciprokának egybeesése.

INTEGRÁLÓTAGOK AMPLITUDÓ-FÁZIS FÜGGVÉNYEINEK MEGISMERÉSE.

3. Példa: Időállandó nélküli integrálótag, IT0 MATLAB SZINTAKTIKA

nu1=[3]; % az átviteli függvény számlálója

de1=[1 0]; % az integrálótag nevezője;

integrálótagnál a nevezőben 0 van a

konstans helyén

sys1= tf(nu1,de1) % sys1 a tag átviteli függvénye bode(sys1) % Bode-diagramot rajzol az I tagról

-15 -10 -5 0 5 10

Magnitude (dB)

10⁰ 10¹

-91 -90.5 -90 -89.5 -89

Phase (deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

4.43 ábra: A IT0 Bode-diagramja A 4.43 ábrán megfigyelhető, hogy

 az amplitúdógörbe –20 dB/dekád meredekséggel indul, nincs vízszintes szakasz,

 az amplitúdógörbe a 0 tengelyt a nu1 értéknél metszi,

 a fáziseltolás végig –90° (állandó érték).

4. Példa: Egy időállandóval jellemezhető integrálótag, IT1 MATLAB SZINTAKTIKA

de2=[3 1 0] % az új nevező; ((Ts+1)s)-ből

sys2=tf(nu1,de2);

bode(sys2)

-40 -20 0 20 40 60

Magnitude (dB)

10^-2 10^-1 10⁰ 10¹

-180 -135 -90

Phase (deg) System: sys2

Phase Margin (deg): 18.9 Delay Margin (sec): 0.339 At frequency (rad/sec): 0.973 Closed Loop Stable? Yes Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

4.44 ábra: Az IT1 Bode-diagramja A 4.44 ábrán megfigyelhető, hogy

 az amplitúdógörbe érintője –20 dB/dekád meredekséggel indul, majd 1/T (itt 0,33) fölött –40 dB/dekád meredekségű,

 a fáziseltolás-görbe –90°-ról –180°-ra tolódik, –135° 1/T alatt van.

DIFFERENCIÁLÓTAGOK AMPLITÚDÓ-FÁZIS FÜGGVÉNYEINEK MEGISMERÉSE 5. Példa: Időállandó nélküli differenciálótag DT0

MATLAB SZINTAKTIKA

nu1=[3 0]; % a számlálóban 0 van az s helyén de1=[1];

sys1=tf(nu1,de1) % az átviteli tag átviteli függvénye bode(sys1); % Bode-diagramot rajzol a D tagról

5 10 15 20 25 30

Magnitude (dB)

10⁰ 10¹

89 89.5 90 90.5 91

Phase (deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

4.45 ábra: A DT0 Bode-diagramja A 4.45 ábrán megfigyelhető, hogy

 az amplitúdógörbe +20 dB/dekád meredekséggel indul,

 nincs vízszintes szakasz,

 az amplitúdógörbe a 0 tengelyt az 1/nu1 értéknél metszi, (1/3),

 a fáziseltolás végig +90°.

6. Példa: Egy időállandós differenciálótag DT1 MATLAB SZINTAKTIKA

de2=[3 1]; % T1 taggal bővülő nevező (Ts+1) sys2=tf(nu1,de2) % az átviteli függvény

bode(sys2);

10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ 0

45 90

Phase (deg)

-40 -30 -20 -10 0

Magnitude (dB)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

4.46 ábra: A DT1 Bode-diagramja A 4.46 ábrán megfigyelhető:

 az amplitúdó ógörbe érintője +20 dB/dekád meredekséggel indul,

 majd 1/T (itt 0,33) fölött 0 dB/dekád meredekségű,

 a fáziseltolás-görbe +90°-ról 0°-ra tolódik, +45° 1/T alatt van.

4.5. Átviteli tagok leírása állapotegyenletekkel és állapotváltozókkal

Az átviteli tagok leírására szolgáló, és igen jól alkalmazható átviteli függvények hiányossága az, hogy a rendszer kezdeti állapotát, valamint a nemlineáris átviteli körülményeket a függvény nem tudja figyelembe venni. Ebből az következik, hogy a függvények csak korlátozott feltételek között ismerhetők meg.

A tagok és rendszerek leírásának egy másik lehetséges módja az ÁLLAPOTMÓDSZER alkalmazása, amely mind a lineáris, mind a nemlineáris rendszerekre alkalmazható, és a kezdeti állapotot is figyelembe tudja venni. Az állapotmódszer alkalmazásánál azokat az ÁLLAPOTVÁLTOZÓKAT kell kiválasztani, amelyek leginkább alkalmasak a rendszer jellemezésére, és amelyeket egy differenciálegyenlet-rendszerbe összefoglaljuk (állapotegyenletekbe). Az egyenletrendszerből kiindulva az időbeli válaszok és más leírófüggvények kiszámíthatók. A MATLAB szoftver segítségével a számítások elvégezhetők. Az állapotegyenlet általános alakja:

Du Cx y

Bu Ax x







 

. (4.92)

Az első egyenlet bal oldalán





 

   dt

t x dx ( )



az állapotváltozók differenciálhányadosának vektora látható. A jobb oldalon (A) az együtthatók mátrixa és az (x) állapotváltozók szorzata, továbbá a (B) együtthatók vektorával szorzott (u) beavatkozójelek találhatók.

Az állapotegyenlet első sora az állapotváltozóknak a bemenőjelre adott változását írja le.

A (kimeneti egyenletnek is nevezhető) második sorban az y az (időben változó) kimenőjelek oszlopvektora, míg Cx a bemenőjelvektor és az állapotváltozók szorzata. A Du további állandók és a bemenet szorzatát tartalmazza.

A mátrixok szokásos elnevezése:

A: állapotmátrix, B: kontrollmátrix, C: kimenő(jel) mátrix, D: átviteli mátrix.

Az állapotváltózok, illetve az állapotegyenletek kialakulását egy igen egyszerű példa segítségével mutatjuk be.

A fizikai rendszer egy hengerben rugóra függesztett, a falhoz simulva mozgó dugattyú.

Egy erre ható erő a dugattyút elmozdítja, ami majd – a rugó hatása miatt – néhány lengés után új helyzetet vesz fel. Az állapotegyenlet segítségével a dugattyú mozgását és új helyzetét lehet matematikailag megadni.

A példában szereplő jelölések és értékeik:

M a test tömege [kg]: 1 kg,

K a rugóállandó [N/m]: 10 000 N/m, f súrlódási tényező [kg/s]: 10 kg/s,

y(t) az elmozdulás (időfüggvény), a tömeg helyzete [m], u(t) a beavatkozó erő (időfüggvény) [N].

A mozgást leíró differenciálegyenlet:

)

(gyorsulás; sebesség; helyzet; erő).

A rendszer leírására két állapotváltozó (x1 és x2) választható ki. Az egyik a helyzet (y), a második a tömeg sebessége (dy/dt). Így:

)

(ennek megfelelően a differenciálegyenlet első tagja a gyorsulás, azaz ₂

2

dt y M d

).

Ezeket figyelembe véve a behelyettesített differenciálegyenlet:

)

A rugóval csillapított tömeg mozgását a következő két elsőrendű differenciálegyenlettel lehet leírni:

1

x

2

A két differenciálegyenlet a rendszer állapotát írja le a két állapotváltozó változási sebességének függvényében. A két egyenlet mátrixformába átrendezve:

)

A példa adataival:

)

Az (4.38) differenciálegyenlet második sora (ha D=0 értékű):



1 0



0

A feladat átmeneti függvény kirajzoltatása.

MATLAB SZINTAKTIKA

A=[0 1; -10000 -10]; % az A 2×2 mátrix elemei

t=[0:0.01:1]; % időtartomány, időosztásának megadása u=0.1*t; % a bemenőjel = 0.1*t

[v,x]=lsim(A,B,C,D,u,t,x0); % a számolást végző utasítás

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

4.47 ábra: A feladat állapotegyenlete által kapott eredmény

Az idő függvényében a (v) elmozdulás jelenik meg. Az x mátrix első oszlopa az elmozdulás (x1), a második oszlopa a mozgás sebessége (x2). Az x(:,1) utasítással az első oszlop kerül kirajzoltatásra.

A 4.47 ábrán megfigyelhető:

 a görbe 0-ból indul, az x1 vonatkozásában a kezdeti feltétel x0=0,

 a görbe a választott időszakasz értékeihez tartozó helyzeteket ábrázolja,

 a lengések meredeksége az x2 (sebesség) értékeitől függ,

 az állandósult érték nem 0, de az ábrán a beavatkozó erő kis értéke miatt besimul a 0 tengelybe.

Végezzen további vizsgálatokat; változtasson a kezdeti feltételeken, illetve az u értékét megadó összefüggésen belül, és figyelje meg a görbe módosulásait!

A rendszer átviteli függvényét az állapotegyenlet együtthatómátrixainak ismeretében ki lehet számítani a MATLAB egyetlen utasításával. Az előző példa adataival:

MATLAB SZINTAKTIKA

[num,den]= ss2tf(A,B,C,D) % az átviteli függvény számlálóját és nevezőjét számító utasítás

Eredmény:

num =

0 0.0000 1.0000 den =

1.0e+004 *

0.0001 0.0010 1.0000 Ahol:

num: az átviteli függvény számlálója den: az átviteli függvény nevezője

Az átviteli függvény ismeretében az átmeneti függvény görbéje is kirajzolható.

MATLAB SZINTAKTIKA

sys=tf(num,den) % az átviteli függvény kialakítása step(sys);grid % az átmeneti függvény görbéje Eredmény:

Transfer function:

3.553e-015 s + 1 --- s^2 + 10 s + 10000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0 1

x 10^-4

System: sys Settling Time (sec): 0.76

System: sys Final Value: 0.0001

System: sys Rise Time (sec): 0.0107 System: sys Peak amplitude: 0.000185 Overshoot (%): 85.3 At time (sec): 0.032

Step Response

Time (sec)

Amplitude

4.48 ábra: A feladat: átmeneti függvény görbéje

5. STABILITÁSVIZSGÁLAT

A szabályozásoknál alapkövetelmény a stabilitás. A szabályozási rendszernek ki kell küszöbölnie a zavarásokat, vagy a kívánt mértékűre kell csökkentenie azokat. A szabályozónak a zavarás által kialakult állapotból vissza kell állítani az eredetivel megegyező vagy ettől csak kismértékben eltérő új, állandósult állapotot. A zárt szabályozási kör önmagában is instabil lehet. A stabilitás nem a külső hatásokkal függ össze, hanem a kör belső felépítéséből eredő lényeges tulajdonságával, és elsősorban a felnyitott kör erősítési tényezőjétől és a kört alkotó elemek időállandóitól függ.

Természetesen az instabil szabályozás használhatatlan, ezért a legfőbb cél, hogy a stabilitás meglétét megállapítsuk, vagy feltételeit megteremtsük.

A stabilitási kritériumok (feltételek) alkalmasak annak megítélésére, hogy

 egy adott szabályozás stabilis-e vagy sem;

 ha igen, a szabályozási kör egyes paramétereinek (átviteli tényezők, időállandók) valamely irányba történő változtatása növeli vagy csökkenti-e a stabilitást;

 ha nem, milyen irányban kell befolyásolnunk a szabályozási kör paramétereit;

 avagy milyen dinamikus tulajdonságokkal bíró járulékos tagot kell a szabályozási körbe iktatni, vagy milyen belső visszacsatolásokat kell alkalmazni a célból, hogy a szabályozási kör stabillá váljon.

Lökésszerű bemenőjel-változások hatására a visszacsatolt szabályozási rendszerekben általában lengések keletkeznek. Ezek a lengések aperiodikusak, csillapodó amplitúdójú periodikusak, kedvezőtlen esetben a lengések amplitúdója egészen a berendezések adta lehetőségek határáig (pl. maximális dugattyúlöket, motorteljesítmény stb.) nőhet. A stabilitás fizikai fogalma szerint egy rendszer akkor stabil, ha egyensúlyi állapotából kimozdítva (meglökve), majd magára hagyva idővel visszatér eredeti egyensúlyi állapotába. Az egyes rendszerek stabilitásának eldöntésére több, egymással egyenértékű vizsgálati eljárást dolgoztak ki, amelyek közül néhányról a következőkben lesz szó.

A zárt szabályozási kör stabilitási viszonyait két lényeges paraméter, a hurokerősítési tényező és a rendszer késleltetése befolyásolja. A rendszer lengésének valószínűsége annál nagyobb,

 minél nagyobb a hurokerősítési tényező,

 minél nagyobb a rendszer késleltetése (energiatárolók vannak a rendszerben).

E két rendszerjellemző növekedését a következő tényezők okozhatják:

 a szakasz rendűségének, időállandóinak, holtidejének növekedése,

 a P szabályozó AP arányossági átviteli tényezőjének növelése,

 az I szabályozó T_I integrálási idejének a csökkentése,

 a D szabályozó T_D differenciálási idejének növelése.

A különböző rendszerek stabilitásának eldöntésére több, egymással egyenértékű vizsgálati eljárás létezik, közülük néhányat tekintsünk meg a következőkben. Ezek a vizsgálati módszerek a szabályozási kör átviteli vagy frekvenciafüggvénye alapján adnak felvilágosítást a rendszer stabilitásáról.

5.1. A Routh–Hurwitz stabilitási kritérium

A stabilitás eldöntését a Routh–Hurwitz-kritérium a karakterisztikus egyenlet együtthatóinak vizsgálatára vezeti vissza, ugyanis a karakterisztikus egyenlet gyökei negatív valós részűek, nagyon lényeges következménye, hogy (5.1)-ben valamennyi gyöktényező pozitív tagokból áll.

  s  s s  s s   s  j   s  j  

K

^k _r ^m

i

i

    



 

1

, (5.1)

ahol: k a valós s_i gyökök száma;

m a többszörös s_r gyök multiplicitása.

Ennek megfelelően, a felbontandó törtfüggvényekre a határozatlan együtthatók jelöléseit használva a következő alakú résztörtek adódnak:

     



¹



^{2 2 2}

1

1

 









 

 

  ^{   }











_s^C_{s s}^C _s ^C _s ^{s C}

s

W ^{m k m k m}

j j

r j k k

i i

i

.

(5.2)

Ezáltal a gyöktényezők szorzatából pl. n-edfokú esetben adódó, s szerint rendezett alakban felírható polinom kizárólag pozitív együtthatójú tagokat tartalmazhat:

  s a s a

₁

s

¹

... a

₁

s a

₀

K 

_n ⁿ



_n ^n

  

. (5.3)

Ez viszont a stabilitásnak csak szükséges, de nem elégséges feltétele, mivel harmad- vagy magasabb rendű esetben a pozitív együtthatók nem okvetlenül jelentik azt, hogy csak negatív gyökök vannak. A valós és komplex konjugált gyökpár esetén adódhatnak olyan viszonyok a valós, ill. a komplex gyökpár részei között, amelyekre pozitív valós részű gyök előfordulásakor is minden együttható pozitív értékű.

A stabilitás szükséges és elégséges feltételének algebrai megfogalmazása Routh–

Hurwitz-kritérium néven ismert, amely szerint a zárt szabályozási kör stabil, ha karakterisztikus egyenletének mindegyik együtthatója pozitív és ezzel egyidejűleg az együtthatókból képzett, n×n méretű Hurwitz–féle determináns és a főátló szerinti valamennyi aldeterminánsa nagyobb zérusnál:

0

A stabilitás határesetét a i=0 egyenletrendszer megoldásai adják. A i

determinánsokban szereplő ai (i=0,1, …, n) együtthatók a szabályozási körben szereplő átviteli tagok paramétereit (körerősítés, időállandók) tartalmazzák. Az időállandók megváltoztatására ritkábban van lehetőség, többnyire a K körerősítés a könnyebben változtatható paraméter. Ezért a stabilitás határesetét jelentő egyenletrendszerből megoldásként a kritikus körerősítést (Kkrit) állapítják meg. A Kkrit körüli tartományban az egyszerű lineáris szabályozási kör működése a következőképpen alakul, ha

K = Kkrit – a rendszer állandósult lengéseket végez, K > Kkrit – a szabályozás labilis,

K < K_krit – a kör stabilis működésű.

A Routh–Hurwitz-kritérium a stabilitás határesetében számszerű eredményre vezet:

   

Az (5.6) egyenlet szerint a zárt kör átviteli függvényének a nevezőjéből képzett karakterisztikus egyenlet:

 Ts  2 

³

 K  T

³

s

³

 6 T

²

s

²

 12 Ts  8  K  0

, (5.7) így a Hurwitz-féle determináns feltételéből

 ⁸   ⁷²  ⁸   ⁰

A kapott számszerű eredmény ellenére nehezen dönthető el, hogy milyen mértékben kell megváltoztatni egy labilis kör paramétereit a stabilitás érdekében, vagy az adott paraméterértéken stabilis kör milyen közel áll a stabilitáshoz.

5.2. A Nyquist-stabilitási kritérium

A Nyquist-kritérium a zárt szabályozási kör stabilitását a felnyitott kör Y(j) frekvenciafüggvényére megrajzolható helygörbe menetéből ítéli meg. Abban az esetben amikor a Nyquist-diagram ki van egészítve a negatív körfrekvenciákra vonatkozó helygörbével, akkor így zárt görbét kapunk, amit teljes amplitúdó-fázis jelleggörbének nevezünk.

5.1 ábra: Nyquist-diagram. Bal:0 típusú szabályozás, jobb:1 típusú szabályozás Forrás: [10]

A zárt görbe mentén az  növekedésének az iránya folytonos. Ezek végtelen sugarú körívvel zárhatók az óramutató járásával megegyező irányban, azaz a zárt görbe mentén az  növekedésének irányában végighaladva az origót jobbról kerüljük meg.

A rendszer akkor stabil, ha a felnyitott kör teljes Nyquist-diagramja a (–1, j0) ponton nem megy át és azt nem fogja körül, azaz a növekvő körfrekvenciák irányában haladva a teljes helygörbe mentén a komplex sík (–1, j0) ponton mindig bal kéz felé esik.

5.2 ábra: Nyquist-kritérium szemléltetése Forrás: [10]

Az 1+Y(j)=0 esetben a felnyitott kör Nyquist-diagramja a (–1, j0) ponton halad át, akkor a zárt rendszer a stabilitás határán van. Ennek fizikai tartalma, hogy a zárt rendszernek csillapítatlan szinuszos megoldása van, amelyre Y(jk)=–1 teljesül. Ha egy ilyen zárt rendszer bemenetein ható jelek spektrumában megtalálható az k

körfrekvenciájú összetevő is, akkor az állandósul, a többi lecsillapodik a tranziens folyamat alatt. A felnyitott kör jelátviteléből megállapítható, hogy az k komponens a felnyitott hurkon csillapítatlanul halad át

|Y(jk)|= a(k) = 1. (5.9)

MÁSKÉPP, az

1+Y₀(j)=0 (5.10)

feltétel akkor teljesül, ha a zárt rendszerben bizonyos ω₀ körfrekvenciánál csillapítatlan lengések keletkeznek. Ekkor a szabályozott jellemző soha nem ér el állandósult értéket, a rendszer a STABILITÁS HATÁRÁN VAN. A stabilitásvizsgálat tehát azt jelenti, hogy megnézzük, van-e olyan ω₀ körfrekvencia, amelyre az Y₀(j₀)=-1 feltétel teljesül.

A felnyitott kör (4.37 ábra) Nyquist-diagramján e feltétel teljesülése úgy állapítható meg, hogy az amplitúdó-fázis jelleggörbe – miközben a körfrekvencia 0≤ω≤∞ tartományban változik – a valós tengelyt a –1 pontban metszi egy bizonyos ω₀ körfrekvenciánál. Ekkor az amplitúdóviszony: 1, a fáziskésés: –180°.

5.3 ábra: Felnyitott szabályzási kör hatásvázlata

A rendszer fel van bontva a különbségképző előtt, tehát a nyitott rendszer úgy tekinthető, mint az egymással sorba kapcsolt szakasz (Y_S) és a szabályozó (Y_R). A felnyitott kör bemenőjelének (x_z-x_b) megváltozása kimenőjel (végrehajtó jel) változást eredményez, de ez nincs hatással a további beavatkozásra a kör felnyitása miatt. A kör zavarójel legyen zérus (x_z=0). Ha szinuszosan változtatjuk ω₀ frekvenciánál az x_m módosított jellemzőt, a szakasz bemenőjele (x_m=x_b) a negatív különbségképző miatt 180°-os késéssel, szinuszosan követi a módosított jellemzőt.

A felnyitott kör végrehajtó jele:

Y₀(j₀)=Y_s(j₀)Y_R(j₀) = –1 (5.11) ugyancsak 180°-os késéssel, a bemenőjellel azonos amplitúdójú, s a módosított jellemző fázisával egyező lengésekkel követi a kör bemenőjelének szinuszos változását. Ha felnyitás helyét összekötnénk, azaz záródna a szabályozási kör, az ω0 körfrekvenciájú szinuszos lengés még akkor is fennmarad. Ha a kezdeti beavatkozás már nem hat a rendszerre a stabilitás határán lévő rendszer labilissá válását jelenti.

A RENDSZER STABIL, ha –180°-os fáziskésés esetén az amplitúdóviszony kisebb 1-nél, vagy ha az amplitúdóviszony = 1 esetén a fáziskésés nagyobb –180°-nál.

A RENDSZER LABILIS, ha -180°-os fáziskésés esetén az amplitúdóviszony nagyobb 1-nél, vagy ha az amplitúdóviszony = 1 esetén a fáziskésés kisebb –180°-nál.

A rendszerek stabilitási fokát a fázistartalék és az erősítési tartalék jellemzi.

A 0 típusú (arányos, párhuzamos D tagokat nem tartalmazó) szabályozási kör esetén a hurok 0, 1 vagy 2 tárolót tartalmaz (P, PT1, PT2), a görbék a legnagyobb hurokerősítés mellett sem foghatják körül a (-1,j0) pontot ezért ezek stabil viselkedésűek. Három (PT3) vagy több tároló (PTn) esetén már lehet labilis a 0 típusú hurok.

Az 1 típusú (integráló) szabályozások teljes Nyquist-diagramjai sem alkotnak zárt görbéket. Ekkor a görbét végtelen sugarú, az óramutató járásával egyező irányítású körívvel szokás lezárni. A 0 (PI) vagy 1 (PIT1) tárolóval rendelkező integrálóhurok strukturálisan stabil. Két vagy több tárolóval már lehet labilis a hurok a hurokerősítés növekedése vagy a csillapítási tényező csökkenése következtében.

X_b Xv

- Y_S

Xsz

Y_R

Xz + Xm

5.3. Stabilitásvizsgálat Bode-diagramokkal

A Nyquist-diagramok és a Bode-diagramok között egyértelmű a kapcsolat, ezért a szabályozási rendszer stabilitása a felnyitott kör Bode-diagramja segítségével is meghatározható. A Nyquist-diagramokat korábban főleg pozitív körfrekvenciáknál értelmeztük, így többnyire nyitott görbék adódtak. A (–1, j0) pont körülfogása azonban csak zárt görbékből ítélhető meg, ezért a stabilitás eldöntéséhez a felnyitott hurok Nyquist-diagramját formálisan ki szokták egészíteni a negatív körfrekvenciával megszerkesztett görbével is. (A pozitív körfrekvenciákra érvényes görbét a valós tengelyre tükrözik.)

A stabilitást eldöntő (–1, j0) pontot a komplex számsíkon az egységsugarú kör (a(_c)=1) és a valós tengely negatív félegyenese ((₀)=) jelöli ki. Az a feltétel, hogy szabályozásoknál nem veheti körül a (–1, j0) pontot a gyakorlati eseteknél akkor teljesül, ha a felnyitott kör helygörbéje (az  növekedésének az irányát tekintve) „előbb” metszi az egységsugarú kört, mint a valós tengelyt, azaz _c<₀. Határesetben a helygörbe átmegy a (–1, j0) ponton az c=0=k egyenlőségnek felel meg (kritikus eset). Az c>0

esetben a helygörbe körülöleli a kritikus pontot, és a zárt kör labilis működésű lesz.

Az egységsugarú körnek Bode-diagramon a()=1=0 dB tengely felel meg, a valós tengely negatív félegyenese pedig a diagram fázis-körfrekvencia részén a ()=-

értékhez húzott egyenes (5.4 ábra jobb oldal).

5.4 ábra: Stabil szabályozás Nyquist- és Bode-diagramjai

A gyakorlatban előforduló egyszerű esetekre a stabilitási kritérium alkalmazható. A zárt szabályozási rendszer stabil, ha a felnyitott kör logaritmikus amplitúdó–frekvencia diagramja előbb (kisebb körfrekvencián) metszi a 0 dB tengelyt, mint a fázis–frekvencia diagramja a  =- egyenest. Másképpen:

A stabilitás határát az amplitúdóviszony: a(ω)=1, azaz lga(ω)=0 és a fáziskésés: =–

180° feltételek jelentik. Az egységsugarú körnek a logaritmikus amplitudó diagramon a 0 dB tengely felel meg, az egységsugarú kör és a Nyquist-diagram metszéspontjának pedig a 0 dB tengely és a logaritmikus amplitúdódiagram metszéspontja. Ha e metszésponthoz a fáziskésés-körfrekvencia jelleggörbén –180° tartozik, a^*2(ω), a rendszer a STABILITÁS HATÁRÁN van. Amennyiben a metszésponthoz tartozó fáziskésés –180°-nál kisebb, a^*3(ω) (a fázistartalék negatív) LABILIS, ha pedig –180 foknál nagyobb, a^*1(ω) (a fázistartalék pozitív) STABIL működésű a rendszer. Az 5.5 ábrán ábrázolt háromtárolós, arányos jellegű körben, ha az időállandók nem változnak, a körerősítés megváltoztatása a logaritmikus amplitúdó-frekvencia diagram függőleges irányú eltolódásában mutatkozna meg. Ezzel a kritikus körerősítést lehet egyszerűen meghatározni.

5.5 ábra: Stabilitásvizsgálat Bode-diagramokkal Forrás:[10]

5.4. Felépítésből adódó, feltételes stabilitás

A lineáris szabályozási rendszer stabilitási viszonyai a rendszer szerkezetétől és a paramétereitől (körerősítés, időállandók) függnek. Azt a rendszert, amely tetszőleges paraméterértékeken stabil működésű, szerkezetileg (strukturálisan) STABIL rendszernek nevezzük. Ekkor a felnyitott kör Nyquist-diagramja semmi esetre sem veheti körül a (–1, j0) pontot. Ennek az a feltétele, hogy a felnyitott kör karakterisztikus egyenlete legfeljebb másodfokú lehet, pl. kéttárolós arányos vagy egytárolós integráló jelleggörbék esetében a zárt kör bármilyen paraméterértéken stabil működésű lesz. Szerkezetileg LABILIS viszont pl. a kétszeresen integráló egytárolós rendszer, amelynek karakterisztikus egyenletében a1=0, tehát a stabilitás szükséges feltétele (ai>0) sem teljesül. Az ilyen rendszer bármilyen paraméterértéken instabil működésű lesz, és stabillá csak a struktúra megváltoztatásával tehető.

0

5.6 ábra: Strukturálisan instabil rendszer

Lehetnek feltételesen stabil rendszerek is, amelyekre több kritikus körerősítés is megállapítható és csak az azok közötti tartományban lesznek stabil viselkedésűek. Az ilyen rendszerekben K értékének a tartományon kívüli növelése és csökkentése is a stabilitás elvesztéséhez vezet.

    

5.5. A szabályozási minőség megítélése és a minőség biztosítása

A szabályozóknál a stabilitáson kívül minőségi követelményeket is támasztanak, amelyek a szabályozás állandósult állapotbeli és dinamikus viselkedését meghatározó feltételek.

Az állandósult állapotban értelmezett statikus pontosságot a típusszám (i) és a körerősítés (K) növelésével javíthatjuk, viszont rontjuk a stabilitási viszonyokat. A gyakorlati megvalósítás olyan kiegyezés, amely eleget tesz a tranziens viselkedésre vonatkozó előírásoknak, amiket minőségi jellemzőkkel adnak meg. Minden szabályozással szemben három alapvető követelményt támasztunk:

 stabilan működjön és lehetőleg stabilitási tartalékkal rendelkezzen,

 állandósult állapotban a szabályozási eltérés a követelményekben megadottnál kisebb legyen,

 az átmeneti állapotban a szabályozás minőségi jellemzői a megköveteltnél ne legyenek rosszabbak.

A három követelménynek egyidejűleg kell teljesülnie ahhoz, hogy a szabályozás megfelelő módon működjön.

A minőségi jellemzőket a zárt kör átmeneti függvénye, valamint a felnyitott kör

A minőségi jellemzőket a zárt kör átmeneti függvénye, valamint a felnyitott kör

In document Automatika (Pldal 90-0)