Stabilitási kritériumok

A lineáris dinamikus rendszerek stabilitását kvalitatív értelemben a rendszer belső vissza-csatolásai, míg a kvantitatív vizsgálatban a rendszermátrix sajátértékeinek, vagy ezzel ekvivalens módon a karakterisztikus polinom gyökeinek valós részei határozzák meg, azaz a stabilitásvizsgálat alapesetben sajátértékek vagy gyökök meghatározását igényli. Ez egy n-ed rendű rendszer esetében n komplex érték kezelését igényli, ami megnehezíti a rendszerparaméterek hatásának szisztematikus vizsgálatát. Ha azonban ismert a karakterisztikus polinom, akkor a gyökök meghatározása nélkül, csak a polinom együtthatóinak ismeretében meg tudjuk határozni a rendszer stabilitásának mikéntjét. Erre itt egy algebrai és egy frekvenciamódszert mutatunk be, melyek tehát a (33) n-ed rendű, n≥1, karakterisztikus polinom ismeretében kerülnek meghatározásra.

Az algebrai módszert a Routh-Hurwitz kritérium szolgáltatja.

3.12 Tétel. Routh-Hurwitz kritérium. Az(3.19)dinamikus rendszer akkor és csak akkor aszimptotikusan stabilis, ha az(3.29) karakterisztikus polinomjának valamennyi együtthatója pozitív (azonos előjelű, ez a szükséges feltétel), és a Routh-tábla első oszlopának minden egyes eleme pozitív (ez az elégséges feltétel).

Az Routh-tábla első oszlopában az előjelváltások száma megadja a polinom pozitív valós részű gyökeinek számát.

Ha a rendszer instabilis, akkor a Routh-Hurwitz kritérium alkalmazásával megkaphatjuk azt is, hogy a polinomnak hány darab pozitív valós részű gyöke van, de azok értékeit természetesen csak a (3.28) karakterisztikus egyenlet megoldásával határozhatjuk meg.

A Routh-tábla első két sorát közvetlenül a karakterisztikus polinom együtthatóiból képezzük a legmagasabb rendű tag együtthatójával kezdve és alá helyezve a következő rendű tag együtthatóját, majd így folytatva a két sort a következő tagokkal egészen a konstans tagig. A tábla első két sora, ha az n=2u páros az alábbi formájú

míg ha az n=2u-1 páratlan, akkor az utolsó oszlopot egy zérussal zárjuk le

.

Ezt követően a következő sorokat a közvetlenül fölöttük lévő sorok tagjaiból képezzük sorban másodrendű determinánsokat alkotva az első oszloppal párosítva a következő oszlopokat és elosztva első oszlop alsó elemének negatív értékével. Ezeket a lépéseket folytatva a Routh-tábla a következő mátrix-formát eredményezi:

(3.30)

ahol

………

míg a következő sorban már az i1 első elem is zérus lenne, mivel

.

Ezzel záródik a Routh-tábla.

A következő lépés az első oszlopban található (an, an-1, b1, c1…g1, h1) elemek előjelének vizsgálata és a Routh-Hurwitz feltétel ellenőrzése.

3.4 példa.Legyen valamely lineáris dinamikus rendszer karakterisztikus polinomja a

alakú. Megmutatjuk, hogy a rendszer stabilis.

A polinom teljes és mindegyik együtthatója pozitív, ezért a stabilitás szükséges feltétele teljesül. Az elégséges feltétel vizsgálatához létrehozzuk a Routh-táblát:

ahonnan az első oszlop elemei 1, 9, 17, 81 mind pozitívak, azaz az elégséges feltétel is teljesül, tehát a rendszer stabil. □

Előfordulhat, hogy az első oszlopban zérus jelenik meg, amely nem található a feltételek között. Ebben az esetben két módon léphetünk tovább:

• Az első oszlop zérusa helyébe az ε≠0 kis mennyiséget helyettesítjük, ezzel végigszámoljuk a Routh-táblát és képezzük az ε→0 határértéket mind a pozitív és negatív értékek felöl. Ekkor ellenőrizhetjük az első oszlop előjeleit.

• Behelyettesítve az (3.29)polinomba az 1/z változót és kiemelve az (1/z)n tényezőt a

polinomot kapjuk, melynek gyökei az eredeti ( polinom gyökeinek reciprok értékeivel egyezik meg, így azonos előjelű valós részekkel rendelkeznek, ami a rendszer stabilitásáról az előzővel ekvivalens információt szolgáltat.

A Routh-Hurwitz kritérium a lineáris dinamikus rendszerek stabilitás-vizsgálatának algebrai módszerei közé tartozik. Egy másik módszertani csoportot alkotnak a frekvencia tartományban végzendő módszerek, melyek közül itt a Mihajlov-kritérium alkalmazását vizsgáljuk meg.

Vegyük ehhez a karakterisztikus polinom

(3.31) frekvencia-formáját, amelyet a

illetve

alakban is felírhatunk.

A frekvenciafüggvényt ábrázolhatjuk a komplex változók síkján az körfrekvencia függvényében, és ezt a geometriai képet Mihajlov-hodográfnak nevezzük.

3.13 tétel. Mihajlov-kritérium. A (3.19) dinamikus rendszer aszimptotikus stabilitásának szükséges és elégséges feltétele, hogy a Mihajlov-hodográf az körfrekvenciát a 0≤<intervallumban változtatva pontosan n síknegyeden haladjon keresztül az óramutató járásával ellentétes irányban, azaz a argumentumának változása legyen

(.3.32)

3.5 példa. Vegyük a 4. példában vizsgált harmadrendű rendszer

karakterisztikus polinomját, melyről a Routh-Hurwitz kritérium alkalmazásával megmutattuk, hogy stabilis rendszert reprezentál. Ennek a polinomnak és részeinek Mihajlov-hodográfjait mutatja be a 3-14. ábra, amely jól illusztrálja, hogy mindegyik redukció stabil rendszert reprezentál.

Az a) egyenes a elsőrendű rendszer hodográfja, amely csak az első sík-negyeden halad át, és az ω→ limitnél a végpont által bezárt szög eléri a π/2 értéket.

A b) jelű görbe a másodrendű rendszer hodográfja, míg a c) jelű görbe (hodográf) a harmadrendű rendszert reprezentálja. □

3.6 példa. Vizsgáljuk meg a

karakterisztikus polinommal adott harmadrendű rendszer stabilitását az α paraméter függvényében.

a) Alkalmazva a Routh-Hurwitz kritériumot az alábbi Routh-táblához jutunk

3.14. ábra - Az 3.5 példa Mihajlov-kritériumának magyarázatához

amelyből három esetet különböztetünk meg:

1. Ha a>750, akkor az első oszlopban csak az s1 sor első eleme negatív, azaz két előjelváltás van, ezért a rendszer instabil és a polinomnak két pozitív egész részű gyöke van.

2. Ha 0<a<750, akkor az első oszlop mindegyik eleme pozitív, azaz a rendszer stabil.

3. Ha a<0, akkor az első oszlop utolsó eleme negatív, azaz egy előjelváltást látunk, így a rendszer instabil és a polinomnak egy pozitív egész részű gyöke van.

b) Az egyes esetekhez tartozó Mihajlov-hodográfokat a 3-15. ábra mutatja be. Az 1) esetben a görbe úgy halad át az első negyedből a harmadikba, hogy kihagyja a sorrendben következőnek számító második negyedet, a 2) görbe a stabil rendszernek megfelelően halad át az első, második és harmadik síknegyeden, míg a 3) esetben a görbe eleve a második negyedből indul, így az első negyedbe el sem juthat.

3.15. ábra - A3.6 példa Mihajlov-kritériumának magyarázatához