Hatások és hatásgráfok

A mechatronikai rendszerek elemzésében, tervezésében és irányítási feladatainak megoldásában jelentős szerepet játszanak a rendszerek modelljei, melyek többnyire sok változót és a közöttük fellépő kölcsönhatásokat leíró algebrai és/vagy differenciálegyenleteket, valamint a rendszerekre vonatkozó korlátozásokat kifejező egyenlőtlenségeket tartalmaznak. A rendszerek kvantitatív vizsgálata, az egyenlet- és egyenlőtlenségrendszerek megoldásai adják meg a tervezési és irányítási problémák végső megoldásait, azonban a feladatok elemzésében, a rendszerek egyes minőségi tulajdonságainak és viselkedési formáinak vizsgálatában, valamint a többnyire meglehetősen összetett kvantitatív vizsgálatok előkészítésében a rendszerek kvalitatív analízise, kvalitatív tulajdonságainak és az azokat meghatározó körülmények felderítése sokszor alapvető a kedvező tervezési és üzemelési feltételek kimunkálásában

A rendszerben fellépő kölcsönhatások minőségi vizsgálatát a kvalitatív rendszerdinamika módszereivel végezhetjük, melynek célja annak meghatározása, hogy a rendszer változói, mint a rendszert alkotó fizikai objektumoknak és/vagy fizikai mennyiségeknek a modelljei milyen hatással vannak egymásra. Ez tehát a rendszerben fellépő hatások minőségi vizsgálatát jelenti, melynek feladata azon tényezők meghatározása, amelyek lényeges hatással lehetnek a rendszer viselkedésére.

A kvalitatív elemzés geometriai segédeszköze a hatásgráf, amely lényegében egy irányított geometriai gráf, amellyel egyrészt megadjuk a rendszer egyes változó-párjai közötti

• ok-okozati kapcsolatokat, másrészt az

• okok által az okozatokban előidézett változások értékbeli irányait.

A hatásgráf két példáját mutatja be az 3-1. ábra, ahol az ok és okozat értékbeli változásainak irányától függően a hatások előjelét is megadtuk.

3.1 definíció. Az x változó pozitív hatással van az y változóra, ha az x változó mint ok az y változóban mint okozatban azonos irányú értékbeli változást idéz elő: azaz ha x növekszik, akkor y növekedését idézi elő, míg ha x csökken, akkor az y csökkenését okozza.

3.2 definíció. Az x változó negatív hatással van az y változóra, ha az x változó mint ok az y változóban mint okozatban ellenkező irányú értékbeli változást idéz elő: azaz ha x növekszik, akkor y csökkenését idézi elő, míg ha x csökken, akkor az y növekedését okozza.

3.1. ábra - Változók közötti pozitív és negatív hatások

A továbbiakban a változók változási irányait a változókhoz csatolt nyilakkal jelöljük, azaz azx↑ jelölés növekvő x változót jelent, míg az x↓ jelölés csökkenőt. Ezt felhasználva a fenti definíciót tömörebben az

(3.1)

és

(3.2) módon fogalmazhatjuk meg.

A kvalitatív rendszerdinamika változóinak és két alapműveletének meghatározása után definiáljuk a hatás-algebra műveleti szabályait az 1. táblázatban megadott módon: ha ismertek az és hatások, akkor milyen jellegű az eredő hatás?

1 + + +

2 + -

-3 - +

-4 - - +

1. táblázat. A hatás-algebra műveleti szabályai

Az 1. táblázatban megadott műveleti szabályokat az alábbi képletekkel is megfogalmazhatjuk könnyen ellenőrizhető formában:

1) (3.3)

2) (3.4)

3) (3.5)

4) (3.6)

Természetesen az 1. táblázatban bemutatott két-elemű kapcsolatot, amely gyakorlatilag a két hatás soros kapcsolását jelenti, tetszőleges elemszámú, különböző elágazásokkal rendelkező hatásláncra bővíthetjük az 3-1.

ábra által bemutatott módon. Ennek értékelését az 1-4 műveleti szabályok szekvenciális alkalmazásával érhetjük el, és meghatározhatjuk az ok-okozati kapcsolatok következetes végigkövetésével bármely két rendszerelem közötti eredő hatás értékét. Így könnyen megállapíthatjuk, hogy a v1 változó a v10 és v13 változókra negatív hatással van, míg v17 és v22 változókra az eredő hatás pozitív. Ezek az értékelések egy nagyon egyszerű szabály megfogalmazását engedik meg: irányított köröknek, vagy egyszerűen hurkoknak nevezzük. Ezek az apró bővítések azonban jelentős változást idéznek elő a rendszer viselkedésében, mivel a zárt hatásláncokbármelyik eleme visszahat önmagára. Így a

visszahatásnak jól meghatározott értéke van, ami természetesen függ a zárt hatásláncban szereplő egyes hatások értékeitől. Ahogy ezt a nyílt hatásláncok esetében láttuk, az eredő hatás értéke itt is lehet negatív és pozitív, amit a hurok polaritásának is nevezünk. A 3-3. ábra negatív polaritású hurkot mutat be, mivel páratlan számú negatív hatást lehet összeszámolni, míg a 3-4. ábra pozitív polaritású hurkot tartalmaz, ui. itt a negatív hatások száma páros.

3.2. ábra - Elágazó nyílt hatásláncok

3.3. ábra - Elágazó hatásláncok negatív polaritású hurokkal

3.4. ábra - Elágazó hatásláncok negatív polaritású hurokkal

A zárt hatásláncok polaritásának azonban mélyebb értelme van: ugyanis a negatív polaritás lényegében a negatív visszahatást jelenti, azaz a v2 bármilyen irányú megváltozása a zárt hatásláncon keresztül ellenkező irányú hatást generál, azaz gyengíti önmaga változását, amit negatív visszacsatolásként értelmezünk.

Ugyanakkor a pozitív polaritás a pozitív visszahatásból ered, azaz a v2 bármilyen irányú megváltozása a zárt hatásláncon keresztül azonos irányú hatást generál, azaz erősíti önmaga változását, aminek értelmezése a pozitív visszacsatolás. Ennek az a következménye, hogy a pozitív visszacsatolás a rendszerben mindaddig erősíti valamely változó, azaz ezen változó által modellezett fizikai mennyiség azonos irányú változását, amíg valamely ettől független hatás meg nem gátolja ezt vagy ellen nem hat ennek. Ugyanakkor a negatív visszacsatolás a rendszerben gyengíti valamely változó, azaz ezen változó által modellezett fizikai mennyiség bármely irányú változását.

3.4 definíció. A negatív visszacsatolás a rendszert stabilizáló zárt hatáslánc, míg a pozitív visszacsatolás a rendszerben destabilizáló hatást eredményez. A kvalitatív értékelés egyik lényeges célja a visszacsatolások felderítése a rendszer stabilitásának elemzése érdekében.

Jegyezzük meg, hogy egy zárt hatáslánc bármelyik változójára ugyanolyan jellegű visszahatás, azaz visszacsatolás érvényesül, mivel ezt a hurok polaritása határozza meg.

Ha most gondolatban összevonjuk a 3-3. ábra és 3-4. ábra rendszervázlatait, akkor a v2 változóra egyidejűleg egy negatív és pozitív visszacsatolás is hat, ami azonban bizonytalanná teszi az értékelést, mivel azonnal felvetődik a kérdés: milyen értékű visszahatás? De ez a kérdés az 3-5. ábra rendszerében is felvetődik, ahol a v1 és v3 között az alsó kételemű lánc negatív eredő hatást ad, míg a felső háromelemű lánc eredője pozitív. Ismét: milyen értékű a hatás? Ezekre a kérdésekre a választ a tiszta kvalitatív képhez egy kvantitatív adat hozzáadásával tudjuk megadni, ahogy ezt az 3-5. ábra b része jelöli, mégpedig egy-egy hatás értékéhez annak erősítésének, azaz erősítési tényezőjének megadásával. Ezzel a hatás eredő értéke attól függ, hogy a –(p·q)és +(a·b·c) szorzatok abszolút értékei közül melyik a nagyobb? Ezt úgy fejezzük ki, hogy a nagyobb abszolút értékkel rendelkező hatás a domináns. Ezzel természetesen már azt is meg tudjuk adni, hogy a 3-3. ábra. és 3-4. ábra sémáinak egyesítésével kapott rendszerben melyik visszacsatolás a domináns.

3.5. ábra - Hatásláncok erősítési tényezőkkel

Az erősítési tényező értelmezésével egy további hatás-élt tudunk bevezetni a 3-6. ábraáltal bemutatott módon, amely az erősítési tényező modulálását jelenti a rendszer valamely változójának hatására. Ez alapjában véve a hatások szabályozását jelenti, amellyel egyes visszacsatolások erősítési tényezőit, sőt akár értékeit is meg tudjuk változtatni, azaz valamely pozitív visszacsatolást megszakítani vagy ellenkező értékűre változtatni a rendszer stabilitása érdekében.

Az eddigi vizsgálatok azt mutatják, hogy a hatásláncok elemzése során minden hatást egyidejűnek tételezünk fel. Azonban sok esetben szükséges lehet egy további elem explicit megfogalmazása, ami az egyes hatásokban előforduló időkésleltetéseket jelenti. Ezeket újabb változók és hatások bevezetésével eliminálhatjuk, de figyelembe kell vennünk, hogy jelentős hatásuk lehet a rendszer viselkedésére, ezért a kvantitatív vizsgálatok esetében figyelembe kell azokat venni.

A hatásgráfokkal történő elemzés által igényelt egyidejűség a dinamikus rendszerek esetében mind tranziens, mind állandósult állapotokban fennáll még abban az esetben is, ha a rendszer egyes hatásaiban jelentős időkésések fordulnak elő.

3.6. ábra - Változók erősítési tényezőjének modulálása