a) Relaxációs lengések, b) Állandósult lengések a fázissíkon
3. A modellreferenciás adaptív szabalyozás
A változó paraméter és/vagy nemlinearitást tartalmazó folyamatok irányítása klasszikus eszközökkel általában nehézségekbe ütközik. A hirtelen zavarások időnként hatnak a folyamat jellemzőire. Ezek kompenzálása megoldható adaptív irányítási rendszerek alkalmazásával. Számos különböző adaptív irányítási rendszert javasoltak az utóbbi időben. [1] A jelen fejezetben kiemeljük a modellreferenciás adaptív rendszereket, mint az egyik legígéretesebb irányt.
A modellreferenciás adaptív rendszerek különleges típusú, általában nemlineáris szabályozási rendszerek.
Tervezésük és alkalmazásuk szoros kapcsolatban áll a számítástechnikai eszközökkel, célszerűen mikroprocesszoros változatban történhet.
A további részekben megpróbáljuk részletesen is megvilágítani e szabályozások lényeges vonásait, továbbá megpróbáljuk bemutatni a működésüket, viselkedésüket, valamint létrejöttük hátterét. Szó lesz még a főbb kapcsolódó problémákról, ezek megoldásáról, valamint utoljára néhány alkalmazási példáról, s az ezekből levonható tapasztalatokról.
3.1. A modellreferenciás adaptív szabályozás alapjai
A modellreferenciás adaptív rendszerek alkalmazásának gondolata egy gyakorlati feladat megvalósítása során vetődött fel. A mai napig számos rendszert valósítottak meg és ezek működése fényesen igazolta a várakozásokat.
A modellreferenciás adaptív szabályozás alapstruktúrája a 5-1. ábran látható, amely jól mutatja, hogy a folyamat megkívánt működését egy referencia modell segítségével írtuk elő. A referencia modell meghatározza az alapjelre adandó ideális választ. A rendszer még tartalmaz egy közönséges visszacsatoló hurkot is, amely a folyamatból és a szabályozó egységből épül fel. A rendszer kimenete és a referenciamodell kimenőjele közötti különbség az " " hiba
(5.1) A szabályozási paramétereket az e váltózásából számítjuk.
Így tehát egy modellreferenciás adaptív rendszerben két hurkot találhatunk: van egy belső hurok, amely egy közönséges szabályozási visszacsatolás és amely a folyamatot, valamint a szabályozó készüléket foglalja magába és van egy külső hurok, amely a belső hurokban a paraméterek beállítását végzi. Ez utóbbi úgy működik, azaz a paraméterek beállítása oly módon történik, hogy a folyamat " " kimenete és a modell " "
kimenete között fellépő "e" hiba kicsi legyen. A belső hurok működése sokkal gyorsabb, mint a külsőé. A modellreferenciás adaptív szabályozás kulcsproblémája: úgy szabályozni a beállító mechanizmust, hogy stabil rendszert kapjunk, azaz az "e" hiba közelítsen a zérushoz.
Az eredeti modellreferenciás rendszert, - mint amilyen a 5-1. ábran is látható - Whitaker tervezte 1958-ban. E rendszer megalkotása két új gondolattal ismertette meg a szakembereket. Az első gondolat az volt, hogy a rendszer működését egy modell segítségével írta elő, a második gondolat pedig az volt, hogy a szabályozási paramétereket a referenciamodell és a rendszer kimenőjele közötti hiba alapján állította be. A modellreferenciás adaptív rendszerek eredetileg a determinisztikus, folyamatos idejű rendszerekben vizsgált szervo problémákból erednek. A gondolatot és az elméletet is később kiterjesztették a diszkrét idejű rendszerekre, valamint a sztochasztikus zavarokkal rendelkező rendszerekre is. E munkában azonban a szabályozás alapgondolatát helyeztük középpontba és a vizsgálatoknál, illetve az ismertetésnél is elsősorban a 5-1. ábran látható eredeti modellreferenciás adaptív rendszerre helyeztük a hangsúlyt. Ezt a rendszert szokás még ún. analóg modellreferenciás adaptív rendszernek is nevezni.
A szakirodalomban lényegében két fő megközelítése létezik a modellreferenciás adaptív rendszerek tervezésének és analízisének:
• Gradiens módszer
• Ljapunov módszer
A gradiens módszert Whitaker használta először, amikor az eredeti modellreferenciás adaptív rendszerekkel dolgozott. Ez a megközelítés azon a feltételezésen alapul, hogy a rendszer kiválasztott állapotváltozói - a paraméterek - sokkal lassabban változnak, mint a rendszer többi állapotváltozója. Ez a feltételezés, - amely megengedi a kvázi-stacionárius tárgyalást - lényegében az adaptációs eljáráshoz szükséges ún. érzékenységi deriváltak kiszámításában játszik fontos szerepet. A gradiens módszer nem fog szükségszerűen stabil eredményhez vezetni zárthurkú rendszerekben. Ez a megfigyelés ösztönözte a stabilitási elméletek felhasználását. A Ljapunov-féle stabilitási elméletet az adaptációs mechanizmus módosítására használták fel. A fentieken kívül még a modellkövetés is fontos része a modellreferenciás adaptív szabályozásnak, hasonlóan más adaptív szabályozásokhoz. A két fő megközelítésről még lesz szó, most a modellkövetés problémáját elemezzük röviden.
Ha egy beállítandó paraméterekkel rendelkező rendszerre a modellreferenciás adaptív szabályozást alkalmazzuk, akkor a paraméterek beállítására egy olyan módszert kapunk, ahol a zárt szabályozási hurok átviteli függvénye egy előírt modellhez fog közelíteni. Ezt hívják az ún. modellkövetés problémájának. Nagyon fontos kérdés, hogy milyen kicsire tudjuk csökkenteni az "e" hibát. Ez függ a modelltől, a rendszertől és az alapjeltől. Ha meg lehetne tenni azt, hogy a hiba minden alapjel esetén zérussal lesz egyenlő, akkor a legjobb modellkövetés valósul meg. A modellkövetés problémáját az ún. pólushely tervezést felhasználva tudjuk megoldani [11].
Egy szervo szabályozási probléma megfogalmazásának és megoldásának egy egyszerű és használatos módja a modellkövetés. Az alapgondolat nagyon egyszerű. A szervo működése közvetve van megadva úgy, hogy a kívánt rendszerválaszhoz egy matematikai modellt állítunk fel. Ez a modell lehet lineáris vagy nemlineáris. A
lehető legközelebb legyen az " " modell kimenőjelhez. Így látható, hogy a modellreferenciás adaptív rendszerekben az optimalizációs módszerek elengedhetetlenül fontos, de ugyanakkor természetes módszerek.
3.2. A gradiens módszer
Ebben a részben a modellreferenciás adaptív szabályozásoknál alkalmazott gradiens módszert mutatjuk be. Ez tulajdonképpen az egyik alapgondolata a modellreferenciás adaptív rendszerek megközelítésének, s egy megfelelő eljárás a paraméterek beállítására.
Feltételezzük, hogy a szabályozó paramétereit úgy szándékozzuk megváltoztatni, hogy a folyamat kimenete és a referencia modell kimenete között fellépő hiba a zérushoz tartson. Jelöljük a kimenőjel hibát " "-vel, a rendszer paramétereit pedig " "-val. Bevezetjük a következő kritériumfüggvényt:
(5.2)
Ha a paramétereket a " " negatív gradiense irányában változtatjuk meg, akkor " " a még elfogadható legkisebb értékre állítható be:
(5.3)
Ha feltételezzük azt, hogy a paraméterek sokkal lassabban változnak, mint a rendszer más állapotváltozói, akkor
a, deriválást azzal a feltételezéssel tehetjük, hogy a konstans. A deriváltat a rendszer érzékenységi deriváltjának nevezzük. A (5.3) egyenletben felirt beállítási szabályt adaptációs törvénynek nevezik. A "" tényező az ún. adaptációs paraméter.
A (5.2) egyenletben bevezetett kritériumfüggvény természetesen tetszőleges. Megemlítjük a legegyszerűbb adaptációs törvényt is, ahol semmi mást nem veszünk figyelembe, csak azt, hogy milyen irányú, azaz milyen előjelű a változás. Ennek alakja a következő:
(5.4)
Visszatérve a (5.3) adaptációs törvényhez, a kompenzáló tagban több beállítandó paraméter található, akkor a "
" változó hetére egy oszlopvektort kell helyettesíteni, a derivált pedig a hiba gradiense a paraméterekre vonatkozóan.
A gradiens módszer néhány fontos tulajdonsága:
• Nem szükséges a legjobb modellkövetést megkívánni. Az eljárás nemlineáris rendszereknél is felhasználható, valamint csak részben ismert rendszerek kezelésére is alkalmas.
• Bizonyos közelítések szükségesek a tényleges paraméterbeállítási törvények, azaz az adaptációs törvények meghatározásához.
• A paraméter konvergenciája leáll, ha Ekkor nincs megfelelő gerjesztés
Az adaptációs törvény megfelelően működik, ha a adaptációs paraméter kicsi. A megengedhető mértéke függ az alapjel nagyságától, valamint a folyamat körerősítésétől. Következésképpen nem adhatóak meg állandó határok rá, amivel a stabilitást garantálhatnánk. Az adaptációs törvény ekkor instabil zárthurkú rendszert eredményez.
3.3. A Ljapunov-módszer
Látható volt az előző részben, hogy a gradiens módszer önmagában nem ad megfelelő biztosítékot arra, hogy stabilis rendszert kapjunk, illetve arra, hogy a paraméterek a megfelelő paraméterekhez tartsanak. Mindez csak megfelelő gerjesztés esetén valósul meg, ha ez nem így van, a konvergencia azonnal leáll. Tehát a konvergencia alapjelfüggő, azaz fontos a gerjesztés szerepe.
Mi azonban szeretnénk egy olyan módszert, amely minden esetben stabilis rendszert eredményez és a paraméterek a megfelelő paraméterekhez tartanak. Azt tudjuk, hogy az állapotot szeretnénk stabilis állapotnak, ezért olyan törvényre van szükség, amely a rendszert ez irányba viszi. A legalkalmasabb ötletnek a Ljapunov-féle stabilitás tűnik, amely nemlineáris rendszerek esetén is alkalmazható. E szerint egy rendszer stabilis, ha egy alkalmasan választott ún. Ljapunov-függvénye pozitív definit, míg e függvény idő szerinti első deriváltja negatív definit.
A szabályozási paraméterek beállítására egyszerű törvények kaphatóak, amelyek a Ljapunov-függvényből származnak. Ezek az adaptációs törvények, hasonlóan a gradiens módszernél megismertekhez. Az ily módon kapott törvények mindig stabilis rendszerhez vezetnek. Egyetlen nehézség a Ljapunov- függvény megválasztása, de ez a módszer egyszerűsége miatt hamar kamatozódik. A gradiens módszerről és a Ljapunov-módszerről további részleteket a [1] irodalomban olvashatunk.