Általában az a1, a2, a3, . . . an elemek egy permutációján egy sorbarakásukat értjük. Egy n elemű halmaz összes permutációnak száma annyi, ahányféle-képpen sorbarakhatók az elemei, vagyisn!. Ebben az értelemben aza1, a2, a3 elemek permutációi a következő sorrendeket jelentik:
a1, a2, a3 a1, a3, a2 a2, a1, a3
a2, a3, a1
a3, a1, a2 a3, a2, a1
www.cs.elte.hu/~kfried/algebra3/PERMUT.EXE Program:nelem sorrendjei (1< n <9).
Egy-egy sorrend tekinthető egy permutációnak.
83
84 7. Permutációcsoportok függetlenül attól, hogya1,a2, illetvea3 miféle három különböző dolgot jelöl.
(Ha például a1 = 9, a2 = 77 ésa3 = 2, akkor a fenti hat permutáció rend-re a következő sorbarakásokat jelenti: 9,77,2; 9,2,77; 77,9,2; 77,2,9;
2,9,77; 2,77,9.)
Ha most azt vizsgáljuk, hogy melyek azok a bijektív leképezések, amelyek aH =a1, a2, a3 (vagy a9,77,2) halmazt önmagára képezik le, akkor a fenti sorbarakások mindegyikének megfelel pontosan egy bijektív leképezés, még-pedig az, amelyik az adott sorbarakás első tagját rendelia1-hez, a másodikat a2-höz, a harmadikat a3-hoz. Vagyis ha megadjuk a halmaz elemeinek egy kitüntetett sorrendjét, – és amikor a halmaz elemeit valahogy felsoroltuk, akkor ezzel éppen egy kitüntetett sorrendet adtunk meg, ennek alapján ne-veztük az „első” elemeta1-nek, a „másodikat” a2-nek, a „harmadikat” a3-nak –, akkor ehhez a sorrendhez képest minden sorbarakásnak megfelel egy bi-jektív leképezés és viszont. Ez adott lehetőséget arra, hogy a permutációkat bijektív leképezésekként definiáljuk.
Vegyük észre, hogy csak véges halmazok bijekciót tekintettük. Végtelen halmazok önmagára való bijekciót általában nem szokás permutációnak ne-vezni.
H =
9 77 2
Kitüntetett sorrend: 9, 77, 2
Soroljuk fel az összes bijekciót az összes különböző sorbarakás alapján, amelyek (mint korábban láttuk):
Amikor az n elem permutációiról beszélünk, akkor ez egyrészt jelenti az 1,2,3, . . . , n-nel jelölt nelem lehetséges sorrendjeit, másrészt azokat a
ϕ=
1 2 3 . . . n
ϕ(1) ϕ(2) ϕ(3) . . . ϕ(n)
bijektív leképezéseket, amelyek a kitüntett1,2,3, . . . , n sorrendben felsorolt elemekhez rendelik hozzá ugyanezen elemek ϕ(1),ϕ(2),ϕ(3), . . . , ϕ(n) sor-rendjét. Így például az 1, 2, 3 elemek 2, 3, 1 sorrendjének az
1 2 3 2 3 1
bijektív leképezés felel meg.
Érdemes észrevenni, hogy ugyanazt a permutációt leképezésként többfé-leképpen (éppen n!-féleképpen) is leírhatjuk. A fenti
1 2 3 2 3 1
permutáció pontosan ugyanazt jelenti, mint például a
3 2 1 1 3 2
leképezés, hiszen mind a három elem képe ugyanaz az egyik leképezés szerint, mint a másik sze-rint. A permutációk leképezéses írásmódjánál nem lényeges az, hogy a „felső sorban” milyen sorrendben soroljuk fel az elemeket, csak az, hogy minden elem alá a képét írjuk. Az1,2,3, . . . , n sorrendet nem az tünteti ki, hogy a
„felső sorban” ilyen sorrendben írjuk az elemeket (ezt csak a könnyebb át-tekinthetőség miatt szoktuk így írni, de nem kötelező), hanem az, hogy a halmaz elemeinek volt eredetileg egy sorrendje, ami szerint neveztük az elsőt 1-nek, a másodikat 2-nek stb., vagyis maguk a számok tükröznek egy eredeti kitüntetett sorbarakást.
Inverzió, permutációk paritása
Amennyiben megállapodtunk az nelem egy kitüntetett sorrendjében (alap-elrendezésben), akkor beszélhetünk arról, hogy ehhez a kitüntett sorrendhez képest két elem inverziót alkot, vagy inverzióban áll. Ez azt jelenti, hogy az éppen vizsgált permutációban az illető két elem egymáshoz képest nem a kitüntetett permutációban tapasztalt sorrendben követi egymást.
Ha például a 9, 77, 2 elemeknek ezt (a felsorolásuk szerinti) sorrendjét tüntetjük ki, akkor a 2, 77, 9 sorrendjükben inverzióban áll a 9 a 2-vel, a 9 a 77-tel és a 2 a 77-tel, vagyis ebben a permutációban az inverziók száma 3.
Ha a 2, 9, 77 sorrendet tüntetjük ki, akkor ugyanebben a 2, 77, 9 sorrendben csak a 9 és a 77 alkot inverziót, vagyis az inverziók száma 1. Önmagában tehát nincs értelme arról beszélni, hogy (sorbarakásként felfogva) egy per-mutációban mely elemek állnak inverzióban, vagy hány inverzió van, csak egy előre megadott sorrendhez képest.
Ha pusztán annyit kérdezek, hogy (leképezésként felfogva) a
9 77 2 9 2 77
permutációban mely elemek állnak inverzióban, ez éppen olyan értelmetlen
86 7. Permutációcsoportok kérdés, hiszen nem ismerjük a kitüntetett alapelrendezést. Ha ez a 9, 77, 2 sorrend volt, akkor a
9 77 2 9 2 77
leképezés a 9, 2, 77 sorrendnek felel meg, amelyben 1 az inverziók száma (a 2 inverzióban áll a 77-tel). Ha az alapelrendezés a 2, 9, 77 volt, akkor mivel
9 77 2 ugyanez a leképezés a 77, 9, 2 sorrendnek felel meg, amelyben 3 inverzió van.
Ahhoz tehát, hogy egy adott permutáció esetén (akár sorbarakásként, akár leképezésként képzeljük el) inverziókról beszéljünk, szükség van egy alapelrendezésre. Akkor, amikor egynelemű halmaz elemeit 1, 2, 3, . . .n-nel jelöljük, ezzel kitüntetjük az elemek egy sorrendjét. Célszerű ezt a névadást éppen az alapelrendezésnek megfelelően megtenni, vagyis a halmaz elemeit épp abban a felsorolásban megadni, amit alapelrendezésnek szeretnénk te-kinteni az inverziók vizsgálatakor. Ennek alapján ha például a
3 1 2 2 1 3 permutációról beszélünk, akkor feltételezhetjük, hogy a névadás éppen az alapelrendezésnek megfelelően történt, vagyis hogy a kitüntetett sorrend az 1, 2, 3. Ekkor a
permutációnak az 1, 3, 2 sorrend felel meg, amelyben a 2 és a 3 alkotja az egyetlen inverziót. (Amennyiben va-laki mégsem az1,2, . . . , nsorrendhez képest szeretné vizsgálni az inverziókat, akkor ezt megteheti, feltéve, hogy megad egy másik kitüntetett sorrendet.
Ha például a 2, 1, 3 sorrendet tünteti ki, akkor a fenti permutációnak a 3, 1, 2 sorrend fog megfelelni, melyben a 2, 1, 3 kitüntetett sorrendhez képest az inverziók száma 3 (mindegyik mindegyikkel).)
Egy permutációt párosnak nevezünk, ha benne (az alapelrendezéshez ké-pest) páros sok elempár alkot inverziót.Páratlannak, ha az inverziók száma páratlan.
Például az 1, 2, 3, 4, 5 alapsorrendhez képest az
1 2 3 4 5 4 3 5 2 1 permutációban az inverziók száma 8 (1–2, 1–5, 1–3, 1–4, 2–5, 2–3, 2–4, 3–4), így páros.
7.1. ábra.Az inverziók leszámlálása
Belátható, hogy ha egy permutációban két elemet felcserélünk, akkor a permutáció paritása megváltozik. (Ha két szomszédos elemet cserélünk fel,
1 2 3 4 5 4 3 5 2 1
akkor ha eredetileg nem álltak inverzióban, akkor a csere után inverziót al-kotnak, a többi elemhez viszonyított helyzetük pedig nem változik, így az inverziók száma 1-gyel nő; ha pedig eredetileg inverzióban álltak, akkor ez a cserével megszűnik, így az inverziók száma 1-gyel csökken. Mindenképpen 1-gyel változik, így biztos, hogy a paritás változik. Nem szomszédos elemek cseréje estén meggondolható, hogy ha azn-edik és azn+k-adik elemet akar-juk felcserélni, akkor ez megoldható 2k−1 – tehát páratlan sok – lépésben úgy, hogy minden lépésben a szóbanforgó elemek valamelyikét egy szomszéd-jával cseréljük fel. Az inverziók száma ilyenkor is páratlan számmal változik, ami megváltoztatja paritását.)
Érdemes meggondolnunk, hogy mit jelent két elem cseréje, ha a permu-tációt leképezésként képzeljük el.
Például:
A kitüntetett sorrend (alapelrendezés): 1, 2, 3, 4, 5.
Tekintsük a 4, 3, 5, 2, 1 sorrendet, és cseréljük ki a 4-et és a 2-t. A 2, 3, 5, 4, 1 sorrendet kapjuk.
A 4, 3, 5, 2, 1 permutáció leképezésként felírva:
1 2 3 4 5 4 3 5 2 1
. A 2, 3, 5, 4, 1 permutáció leképezésként felírva:
1 2 3 4 5
vagyis az első és a negyedik elem felcserélésével keletkező permutációt meg-kaptuk úgy is, hogy az eredeti permutációt megszoroztuk jobbról azzal a leképezéssel, amely az 1-et a 4-be, a 4-et az 1-be viszi, a többi elemet hely-ben hagyja. Ez a permutáció ugyanis úgy hat az eredetire, hogy annak felső sorában felcseréli az 1-et a 4-gyel:
4 2 3 1 5
hiszen az általa létrehozott képekre kell alkalmaznunk az eredeti permutáci-ónak megfelelő leképezést. Általában is igaz az, hogy ha n elem valamelyik permutációjában felcseréljük az a-adik és a b-edik elemet, akkor az ered-ményt úgy is megkaphatjuk, hogy a szóbanforgó permutációt (mint leké-pezést) megszorozzuk jobbról az
1 2 . . . a . . . b . . . n 1 2 . . . b . . . a . . . n
permutá-cióval (amelynek éppen az a sorrend felel meg, amit az alapelrendezésből kapunk a szóbanforgó két elem felcserélésével).
88 7. Permutációcsoportok
vagyis ugyanezt az eredményt úgy is megkaphatjuk, hogy az eredeti permu-tációt megszorozzuk balról azzal a leképezéssel, amely az alapelrendezéshez képest a 2-est a 4-esbe, a 4-est a 2-esbe viszi, a többieket változatlanul hagy-ja. Most ugyanis az eredeti permutációt hajtjuk végre először, majd a kapott képek között a 2-est és a 4-est felcseréljük. Általában ez most is egy
1 2 . . . a . . . b . . . n 1 2 . . . b . . . a . . . n
alakú permutációval való szorzást jelent, de most balról, és míg az előbb az adott permutációban aza-adik és ab-edik elemet (első és negyedik) akartuk felcserélni, most az aszámot a bszámmal (2 és 4). Ez az alapelrendezésben tetszőleges a és b esetén egybeesik (ott éppen a az az a-dik és b a b-edik szám), általában azonban nem.
Permutációk paritását vizsgálva megfigyelhetjük, hogynelem összes per-mutációi között ugyanannyi a páros, mint a páratlan (vagyis akár a páros, akár a páratlan permutációk száma n!/2).
Például négy elem esetén (1, 2, 3, 4 alapelrendezést feltételezve):
Párosak: 1, 2, 3, 4 (0 inverzió) Páratlanok: 2, 1, 3, 4 (1 inverzió) (Általában is igaz, hogy ha felsoroljuk az összes páros permutációt, ak-kor megkaphatjuk az összes páratlant úgy, hogy a párosakban az első két elemet felcseréljük. Két elem cseréje mindig megváltoztatja a paritást, így ezáltal a párosokból páratlanokat fogunk kapni. Másrészt, ha volna olyan páratlan, amit így nem kaptunk meg, akkor abban felcserélve az első két elemet, olyan páros permutációt kellene kapnunk, ami nem szerepelt a fel-sorolásban. Márpedig az összeset felsoroltuk, így ez nem lehetséges. Tehát mindig ugyanannyi a páros permutációk száma, mint a páratlanoké, vagyis az összes permutációk fele páros, fele páratlan.)