Mint azt korábban láttuk, egy nem kommutatív csoportban aza◦Hbal oldali mellékosztály néha megegyezik aH◦ajobb oldali mellékosztállyal, néha nem.
Az, hogy a két halmaz egybeesik vagy nem, függ attól is, hogy a csoport melyik elemével képezzük a mellékosztályokat, attól is, hogy mely részcsoport szerinti mellékosztályokról beszélünk. Ha például a ∈ H, akkor a◦H = H ◦ a(= H). Ha H triviális részcsoportja G-nek, akkor tetszőleges elem esetén egybeesik az illető elemmel képzettH szerinti bal oldali mellékosztály a jobb oldalival.
5.2. Definíció. A (G,◦) csoport egy (H,◦) részcsoportját normálosztónak (vagynormális részcsoportnak) nevezzük, ha tetszőlegesg∈Geseténg◦H= H◦g. Jelölése:H CG.
Például:
1. Kommutatív csoportnak minden részcsoportja normálosztó.
2. Tetszőleges csoportban a triviális részcsoportok normálosztók.
Bizonyítás. Ha ugyanis H = {e}, ahol {e} a csoport egységeleme, akkor ∀g-re
g◦H ={g}=H◦g;
ha pedigH =G, akkor
g◦H=G=H◦g.
3. Tetszőleges véges csoportban egy 2 rendű részcsoport normálosztó.
Bizonyítás. Ha ugyanisH rendje fele a csoport rendjének, akkor két különböző – mondjuk bal oldali – mellékosztályt kapunk (|G:H|= 2), amelyek egyike maga a H, a másik pedig a H-ból kimaradó elemek halmaza. Ha egy h ∈ H elemmel képezzük akár a bal, akár a jobb oldali mellékosztályt, akkor magát aH halmazt kapjuk, ha pedig egy H-n kívüli elemmel, akkor H-nak a G-re vonatkozó komplementerét, ami szintén független attól, hogy bal vagy jobb oldali mellékosztályról van-e szó.
4. A(Z,◦) csoportban, ahola◦b=a+b, ha apáros ésa◦b=a−b, ha apáratlan, például a 10-zel osztható számok halmaza normálosztó.
Bizonyítás. Azt, hogy egy páros szám többszörösei részcsoportot al-kotnak, már láttuk. LegyenN ={10k|k∈Z}. Ha mostapáros szám, akkor mivel a 10kalakú számok mindig párosak, tetszőlegesk-ra
a◦10k=a+ 10k= 10k+a= 10k◦a, vagyis a◦N =N◦a. Haapáratlan, akkor
a◦10k=a−10k, míg
10k◦a= 10k+a.
Mivel az a−10k alakú számok halmaza egybeesik a 10k+a alakú számok halmazával, a◦N most is egyenlő N ◦a-val. Ugyanebben a csoportban a kételemű részcsoportok – példáulH ={0,3}– nem nor-málosztók. (Például 2◦H ={2,5}, míg H◦2 ={2,1}).
5. D4-ben (a négyzet szimmetriacsoportja) azN ={f0, f180} normálosz-tó.
Bizonyítás. Könnyen meggyőződhetünk arról, hogy a transzformá-ciók egymásutánjára is és az inverzképzésre is zárt a halmaz, vagyis
62 5. Mellékosztályok, normálosztó N részcsoport. Mivel D4-ben a forgatások kommutatív részcsoportot alkotnak (ami szintén normálosztó, hiszen rendje fele a csoport rendjé-nek), és N részcsoportja az összes forgatás részcsoportjának, így ha g egy forgatás, akkorg·N =N·g. Hagegy tükrözés, akkor könnyen el-lenőrizhető, hogyg·N ={g, t}=N·g, aholtagtengelyére merőleges tengelyre vonatkozó tükrözés.
6. Könnyen ellenőrizhető, hogy ugyanebben a csoportban a H ={f0, t}
részcsoport, aholt az egyik tükrözés, nem normálosztó.
Megjegyzés. Ha egy normáloszó szerint készítjük el a mellékosztályokat, akkor a normálosztó definíciója szerint mindegy, hogy bal vagy jobb oldali mellékosztályokról van szó, így beszélhetünk agelemmel képzettN normál-osztó szerinti mellékosztályról anélkül, hogy megmondanánk, hogy az bal vagy jobb oldali mellékosztály.
5.3. Tétel. Egy csoport két normálosztójának metszete is és komplexus-szorzata is normálosztó.
Bizonyítás. LegyenN1ésN2 a(G,◦)csoport két normálosztója. Azt, hogy N1∩N2 részcsoport, már a 2.3. tételből tudjuk (a normálosztók részcsopor-tok, és részcsoportok metszete is részcsoport). Legyengegy tetszőleges eleme a csoportnak. Könnyen meggondolható, hogy a g◦(N1∩N2) mellékosztály részhalmaza lesz a(g◦N1)∩(g◦N2)halmaznak és viszont, így a kölcsönös tartalmazás miatt
g◦(N1∩N2) = (g◦N1)∩(g◦N2).
Mivel N1 ésN2 normálosztó,
g◦N1 =N1◦g és g◦N2 =N2◦g, így
g◦(N1∩N2) = (g◦N1)∩(g◦N2) = (N1◦g)∩(N2◦g) = (N1∩N2)◦g.
Vagyis a két normálosztó metszete is normálosztó.
Ahhoz, hogy N1◦N2 részcsoportja G-nek, a 3.2. Tétel értelmében ele-gendő azt belátni, hogy(N1◦N2)◦(N1◦N2)−1 ⊆N1◦N2. Ehhez egyrészt azt fogjuk felhasználni, hogyN1◦N2=N2◦N1 (hiszenN2 normálosztó, így N1 tetszőlegesn eleméren◦N2=N2◦n); másrészt, hogy
(N1◦N2)−1(N2)−1◦(N1)−1⊆N2◦N1
(hiszenN2 is ésN1 is részcsoport). Ezek alapján:
(N1◦N2)◦(N1◦N2)−1 = (N1◦N2)◦(N2−1◦N1−1) =
=N1◦(N2◦N2−1)◦N1−1⊆(N1◦N2)◦N1−1= (N2◦N1)◦N1−1 =
=N2◦(N1◦N1−1)⊆N2◦N1 =N1◦N2.
Be kell még látnunk, hogy N1◦N2 normálosztó, vagyis tetszőleges g elem esetén
g◦(N1◦N2) = (N1◦N2)◦g.
Felhasználva, hogy N1 ésN2 normálosztók:
g◦(N1◦N2) = (g◦N1)◦N2= (N1◦g)◦N2 =
=N1◦(g◦N2) =N1◦(N2◦g) = (N1◦N2)◦g.
Megjegyzés. A bizonyítás első felében a részcsoport tulajdonság a nyilván-való, a második részben a normálosztó tulajdonság.
Megjegyzés. A(G,◦) csoport egyN normálosztójára ugyan teljesül, hogy tetszőleges g ∈ G elemre g◦N = N ◦g, mindazonáltal nem szükségszerű, hogy mindenn∈N elemre fennálljon, hogy g◦n=n◦g. Sőt!
Vizsgáljuk a D6 csoport műveleti táblázatát!
· f0 f60 f120 f180 f240 f300 t1 t2 t3 t4 t5 t6 f0 f0 f60 f120 f180 f240 f300 t1 t2 t3 t4 t5 t6 f60 f60 f120 f180 f240 f300 f0 t6 t1 t2 t3 t4 t5 f120 f120 f180 f240 f300 f0 f60 t5 t6 t1 t2 t3 t4 f180 f180 f240 f300 f0 f60 f120 t4 t5 t6 t1 t2 t3
f240 f240 f300 f0 f60 f120 f180 t3 t4 t5 t6 t1 t2
f300 f300 f0 f60 f120 f180 f240 t2 t3 t4 t5 t6 t1
t1 t1 t2 t3 t4 t5 t6 f0 f60 f120 f180 f240 f300 t2 t2 t3 t4 t5 t6 t1 f300 f0 f60 f120 f180 f240 t3 t3 t4 t5 t6 t1 t2 f240 f300 f0 f60 f120 f180 t4 t4 t5 t6 t1 t2 t3 f180 f240 f300 f0 f60 f120
t5 t5 t6 t1 t2 t3 t4 f120 f180 f240 f300 f0 f60
t6 t6 t1 t2 t3 t4 t5 f60 f120 f180 f240 f300 f0 A szomszédos tengelyek az elsőtől a hatodikig az egymással 30◦-os szö-get zárnak be egymással. H = {f0, f120, f240} részcsoport. Normálosztó is, mert a forgatások részcsoportja eleve kommutatív – a táblázatban feltünte-tett tükörtengely indexelés mellett pedig – a tengelyek indexének paritása megmarad, akár jobbról, akár balról szorozzuk meg veleH-t:
64 5. Mellékosztályok, normálosztó Ht1={t1, t5, t3}, t1H ={t1, t3, t5}; Ht2={t2, t6, t4}, t2H ={t2, t4, t6};
Ht3={t3, t1, t5}, t3H ={t3, t5, t1}; Ht4={t4, t2, t6}, t4H ={t4, t6, t2};
Ht5={t5, t3, t1}, t5H ={t5, t1, t3}; Ht6={t6, t4, t2}, t6H ={t6, t2, t4}.
Az is látszik viszont, hogy például f120t1 6= t1f120.
Feladatok
1. Hány elemű részcsoportja lehet egy (a) 6, (b) 5 elemű csoportnak?
(Használhatja awww.cs.elte.hu/~kfried/algebra3/groups2-8.jar csoportkészítő programot.) Melyek lehetnek normálosztók? Egy konk-rét példán adja meg a mellékosztályokat!
2. Határozza meg a (a) (Z6,+mod 6) (b) (Z5,+mod 5) csoport részcso-portjait, normálosztóit!
3. Határozza meg a(Z6,+mod 6) csoport részcsoportjait, normálosztóit!
4. Legyenptetszőleges pozitív prímszám. Értelmezzük a{1, p, p2, p3, p4, p5} halmazon a ◦ műveletet úgy, hogy pk◦pm = pr, ahol r ≡ k+m (mod 6),0≤r <6. Igazolja, hogy csoportot kapunk!
Van-e normálosztó ebben a csoportban?
Ciklikus-e ez a csoport? Kommutatív-e a csoport?
5. Ellenőrizze, hogy(Z,+)csoport!
Igazolja, hogy aH={8k|k∈Z}részhalhamaz részcsoportot alkot.
Készítse el aH szerinti mellékosztályokat! Mit kapunk?
6. Határozza meg (Z6,+mod 6) részcsoportjait! Melyek normálosztók ezek közül?
7. Igazolja, hogy a2×2-es valós reguláris (invertálható) mátrixok a mát-rixszorzásra nézve csoportot alkotnak. Igazolja, hogy az 1 determinánsú mátrixok halmaza részcsoport ebben a struktúrában!
8. Melyek lesznek a(R,+)csoportZrészcsoport szerinti mellékosztályai?
9. Igazolja, hogy a valós számok [0,1)intervallumába eső részhalmaza a mod 1összeadás szerint csoportot alkot. (r1ésr2 összegét értelmezzük r1+r2 törtrészeként, azaz{r1+r2}-nek.)
10. A sík vektorai a vektorösszeadásra nézve csoportot alkotnak. Ennek részcsoportja az y = x egyenessel egyirányú vektorok halmaza. Mik lesznek eszerint a részcsoport szerinti mellékosztályok?
11. Igazolja, hogy a komplex egységvektorok (az 1 abszolút értékű komp-lex számok) a kompkomp-lex számok szorzására nézve csoportot alkotnak.
Keressen részcsoportot ebben a csoportban!
12. Határozza meg (Z8,+mod 8) elemeinek rendjét!
Hány eleme lehet egy részcsoportjának?
Határozza meg a részcsoportokat!
Adja meg a részcsoportok indexét!
Melyek normálosztók a részcsoportok közül?
13. A (G,◦) csoport centrumának nevezzük a csoport azon c elemeinek halmazát, amelyekre teljesül, hogy tetszőlegesg∈Gelemreg◦c=c◦g.
(a) Igazolja, hogy egy csoport centruma részcsoport.
(b) Igazolja, hogy egy csoport centruma normálosztó.
14. Igazolja, hogy egy ciklikus csoport minden részcsoportja normálosztó!
15. TekintsükR[x]összeadásra vett csoportjának a legfeljebbn-edfokú va-lós együtthatós polinomokH részcsoportját.
Adja meg aH szerinti mellékosztályokat!
16. (a) A (Z,+) csoportnak részcsoportja, sőt normálosztója a H3 = {3k|k∈Z}és H4 ={4k|k∈Z} is. (Lássa be!)
Határozza megH3∩H4-t ésH3+H4-et. Ellenőrizze, hogy mind-kettő normálosztó!
(b) A (Z,+) csoportnak részcsoportja, sőt normálosztója a H9 = {9k|k∈Z}és H12={12k|k∈Z}is. (Ezt is lássa be!)
Határozza megH9∩H12-t ésH9+H12-t. Ellenőrizze, hogy mind-kettő normálosztó!