5.1. Definíció. Legyen a (G,◦) csoportnak (H,◦) egy részcsoportja. Egy tetszőleges g ∈ G esetén a (G,◦) csoport g elemmel képzett H szerinti bal oldali mellékosztályának nevezzük a g◦h alakú elemek halmazát, ahol h ∈
∈H. Jelölése:g◦H. Hasonlóan, a g elemmel képzettH szerinti jobb oldali mellékosztály:
H◦g={h◦g|h∈H}.
Megjegyzés. Ag◦Hmellékosztályt úgy is elképzelhetjük, mint az egyelemű {g}halmaz és aHhalmaz{g} ◦H komplexusszorzatát. (Hasonlóan:H◦g= H◦ {g}.)
Például:
1. (Z6,+)részcsoportjai: (A,+), aholA ={0};(B,+), ahol B ={0,3};
(C,+), aholC ={0,2,4}; továbbá maga a teljes(Z6,+)csoport, ahol Z6 ={0,1,2,3,4,5}.
Az Aszerinti
bal oldali mellékosztályok: jobb oldali mellékosztályok:
¯0 +A={¯0}=A A+¯0 ={¯0}=A
¯1 +A={¯1} A+¯1 ={¯1}
¯2 +A={¯2} A+¯2 ={¯2}
¯3 +A={¯3} A+¯3 ={¯3}
¯4 +A={¯4} A+¯4 ={¯4}
¯5 +A={¯5} A+¯5 ={¯5}
A B szerinti
54
bal oldali mellékosztályok: jobb oldali mellékosztályok:
¯0 +B ={¯0,¯3}=B B +¯0 ={¯0,¯3}=B
¯1 +B ={¯1,¯4} B +¯1 ={¯1,¯4}
¯2 +B ={¯2,¯5} B +¯2 ={¯2,¯5}
¯3 +B ={¯3,¯0}= ¯0 +B B +¯3 ={¯3,¯0}=B+ ¯0
¯4 +B ={¯4,¯1}= ¯1 +B B +¯4 ={¯4,¯1}=B+ ¯1
¯5 +B ={¯5,¯2}= ¯2 +B B +¯5 ={¯5,¯2}=B+ ¯2 A C szerinti
bal oldali mellékosztályok: jobb oldali mellékosztályok:
¯0 +C ={¯0,¯2,¯4}=C C +¯0 ={¯0,¯2,¯4}=C
¯1 +C ={¯1,¯3,¯5} C +¯1 ={¯1,¯3,¯5}
¯2 +C =¯4 +C =C C +¯2 =C+ ¯4 =C
¯3 +C =¯5 +C = ¯1 +C C +¯3 =C+ ¯5 =C+ ¯1
A teljesZ6 szerinti tetszőleges elemmel képzett, akár bal, akár jobb oldali mellékosztályok megegyeznek magával a teljesZ6-tal.
Ha a csoport nem kommutatív, akkor általában nem egyezik meg az ugyanavval az elemmel képzett bal, illetve jobb oldali mellékosztály. Erre példa a következő:
2. D3-ban (a szabályos háromszög szimmetriacsoportjában) az elemek:
f0 (identikus leképezés),f120,f240 (forgatások), továbbátA,tB,tC (az egyes csúcsokon átmenő tengelyekre vonatkozó tükrözések), a művelet pedig a leképezések szorzása (transzformációk egymásutánja).
A B
C
t
At
Bt
Cf
120f
2405.1. ábra.
56 5. Mellékosztályok, normálosztó D3 részcsoportjai:
H1 ={f0},
H2 ={f0, f120, f240}, H3 ={f0, tA}, H4 ={f0, tB}, H5 ={f0, tC}
és maga a teljesD3 ={f0, f120, f240, tA, tB, tC} csoport.
A H1 szerinti mellékosztályok: tetszőlegesgelem esetén g·H1 ={g}=H1·g.
f0 f120 f240 tA tB tC f0 f0 f120 f240 tA tB tC f120 f120 f240 f0 tC tA tB f240 f240 f0 f120 tB tC tA
tA tA tB tC f0 f120 f240 tB tB tC tA f240 f0 f120
tC tC tA tB f120 f240 f0 5.1. táblázat.
A H2 szerinti mellékosztályok:
f0·H2 =f120·H2 =f240·H2 ={f0, f120, f240}=H2 =H2·f0 =
=H2·f120=H2·f240,
tA·H2 =tB·H2 =tC·H2 ={tA, tB, tC}=H2·tA=
=H2·tB=H2·tC. A H3 szerinti
bal oldali mellékosztályok: jobb oldali mellékosztályok:
f0·H3 ={f0, tA}=H3 H3·f0 ={f0, tA}=H3
f120·H3={f120, tC} H3·f120={f120, tB} f240·H3={f240, tB} H3·f240={f240, tC} tA·H3 ={tA, f0}=H3 H3·tA ={tA, f0}=H3 tB·H3 ={tB, f240}=f240·H3 H3·tB ={tB, f120}=H3·f120 tC·H3 ={tC, f120}=f120·H3 H3·tC ={tC, f240}=H3·f240.
A H4 szerinti
bal oldali mellékosztályok: jobb oldali mellékosztályok:
f0·H4 =tB·H4={f0, tB}=H4 H4·f0 =H4·tB ={f0, tB}=H4 f120·H4=tA·H4={f120, tA} H4·f120=H4·tC={f120, tC} f240·H4=tC·H4={f240, tC} H4·f240=H4·tA={f240, tA} A H5 szerinti
bal oldali mellékosztályok: jobb oldali mellékosztályok:
f0·H5 =tC·H5={f0, tC}=H5 H5·f0 =H5·tC={f0, tC}=H5 f120·H5=tB·H5={f120, tB} H5·f120=H5·tA={f120, tA} f240·H5=tA·H5={f240, tA} H5·f240=H5·tB ={f240, tB} A teljes D3 szerinti tetszőleges elemmel készített akár bal, akár jobb oldali mellékosztályok megegyeznek magávalD3-mal.
Vizsgáljunk meg egy olyan csoportot is, amelynek végtelen a rendje:
3. (Z,+)-ban például részcsoportot alkotnak a hárommal osztható szá-mok:
H ={3k|k∈Z}.
A H szerinti mellékosztályok:
0 +H =H =H+ 0
1 +H ={1 + 3k|k∈Z}=H+ 1 2 +H ={2 + 3k|k∈Z}=H+ 2
3 +H ={3 + 3k|k∈Z}={3k|k∈Z}=H
4 +H ={4 + 3k|k∈Z}={1 + 3k|k∈Z}= 1 +H ...
−12 −9 −6 −3 0 3 6 9 12
−11 −8 −5 −2 1 4 7 10 13
−10 −7 −4 −1 2 5 8 11 14
::: ::: :::
::: ::: :::
5.2. ábra.A modulo 3 maradékosztályok, aH szerinti mellékosztályok Példáinkból leszűrhetünk néhány általánosabb észrevételt egy tetszőleges (G,◦)csoport (H,◦) részcsoportja szerinti mellékosztályaival kapcsolatban:
5.1. Állítás. Tetszőleges h ∈H elem esetén a h◦H, illetve H◦h mellék-osztály megegyezikH-val.
58 5. Mellékosztályok, normálosztó Bizonyítás. Egyrészt mivelH részcsoport, tetszőleges két elemének, így h-nak és egy tetszőleges elemének „szorzata” is benne vanH-ban. Másrészt az inverz egyértelműsége miatt ha különböző elemeit „szorozzuk” h-val, akkor az eredmények is különbözőek lesznek. Az is igaz, hogy H egy tetszőleges h∗ eleme előáll h és egy H-beli elem szorzataként, ugyanis H részcsoport, így h−1, valaminth−1◦h∗ is eleme H-nak, ésh∗=h◦(h−1◦h∗). Vagyis a hi →h◦hi aH halmazt bijektíven képezi le önmagára.
5.2. Állítás. Tetszőlegesg∈Gelem esetén ag◦H, illetveH◦g mellékosz-tály számossága megegyezik aH számosságával.
Bizonyítás. Az előzőekhez hasonlóan könnyen belátható, hogy ahi →g◦hi bijektíven képezi leH-t g◦H-ra.
5.3. Állítás. Tetszőlegesg∈Gelem esetén ag◦H, illetveH◦g mellékosz-tálynak eleme lesz ag elem.
Bizonyítás. Mivel H részcsoport, benne van a csoport eegységeleme, így a g◦H mellékosztálynak eleme lesz a g◦e = g, a H◦g mellékosztálynak pedig az e◦g=g elem.
5.4. Állítás. Tetszőleges a, b∈Gesetén aza◦H és b◦H mellékosztályok vagy egybeesnek, vagy diszjunktak, és hasonlóan, a H◦a és H◦b mellék-osztályok is vagy azonosak, vagy diszjunktak.
Bizonyítás. Tegyük fel, hogy aza◦H mellékosztály egya◦h1eleme egyben a b◦H mellékosztálynak is eleme. Ez azt jelenti, hogy ez az elem felírható b◦h2 alakban is, ahol h2 ∈H, vagyis
a◦h1=b◦h2.
Ekkor mindkét oldalt jobbról „szorozva” h1 inverzével, azt kapjuk, hogy a= (b◦h2)◦h−11 .
Ezt felhasználva aza◦H mellékosztály tetszőlegesa◦hi elemét a◦hi = (b◦h2)◦h−11
◦hi=b◦(h2◦h−11 ◦hi) alakban írhatjuk fel. Mivel h1, h2, hi∈H ésH részcsoport,h−11 és
hk=h2◦h−11 ◦hi
is elemeH-nak, vagyis aza◦H mellékosztály minden eleme előállb◦hk alak-ban, így aza◦Hmellékosztály minden eleme eleme ab◦H mellékosztálynak is. Teháta◦H⊆b◦H. Hasonlóan bizonyítható, hogyb◦H ⊆a◦H, amiből következik, hogya◦H=b◦H. A jobb oldali mellékosztályokra is ugyanígy igazolható az állítás.
ah1=bh2 ⇒ a=b h2h−11 b=a
h1h−21
ahi =bh2h−11hi =bh3
bhi =ah1h−21hi =ah4
a H
b H
a H ⊆b H, b H ⊆a H 5.3. ábra.Ha két mellékosztály nem diszjunkt, akkor azonosak A fenti állítások alapján kimondhatjuk a következő tételeket:
5.1. Tétel. A (G,◦)csoport (H,◦)részcsoportja szerinti összes – mondjuk bal oldali – mellékosztály megadjaG-nek egy osztályozását. (Hasonló állítás teljesül a jobb oldali mellékosztályokra is.)
Bizonyítás. Azt kell megmutatnunk, hogy a H szerinti (bal oldali) mel-lékosztályok olyan halmazrendszert alkotnak, amelynek uniója éppen a G halmaz, és amelyben a halmazok páronként diszjunktak és egyikük sem üres.
Az, hogy a mellékosztályok uniója a G, vagyis G minden eleme benne van valamelyik mellékosztályban, a 3. állításból; az pedig, hogy két különbö-ző maradékosztály nem tartalmazhat közös elemet, a 4. állításból következik.
Az, hogy egyik mellékosztály sem üres, akár a 2., akár a 3. állításból követ-kezik.
5.2. Tétel. (Lagrange-tétel) Legyen (G,◦) egy véges csoport, amelynek (H,◦) egy tetszőleges részcsoportja. Ekkor |H| | |G| (vagyis véges csoport tetszőleges részcsoportjának rendje osztója a csoport rendjének).
Bizonyítás. A5.1. Tételből tudjuk, hogy aH szerinti (mondjuk bal oldali) mellékosztályok elkészítésekor közös részt nem tartalmazó részhalmazokra osztjuk fel a G halmazt. A 2. állítás szerint a létrejövő osztályok mind-egyikének megegyezik a számossága |H|-val, így számosságuk egymáséval is megegyezik, ami véges halmazok esetén azt jelenti, hogy ugyanannyi ele-mük van. Vagyis a csoport elemeit egyenlő létszámú osztályokba soroltuk be.
Ha a létrejövő különböző mellékosztályok számak, és minden osztályban|H|
darab elem van, akkor, mivel minden elem pontosan egy osztályban szerepel, k· |H|=|G|, aholkegész szám, vagyis |H| | |G|.
Megjegyzés. A 5.1. és 5.2. Tétel bizonyításának lényegi része az 1–4. állí-tások indoklásában rejlik.
60 5. Mellékosztályok, normálosztó Megjegyzés. Tetszőleges G véges csoportban, ha a H részcsoport szerin-ti jobb oldali mellékosztályokat készítjük el, akkor – mivel ezek számossága is megegyezik H-éval – a csoport elemeit ugyanolyan létszámú osztályok-ba soroljuk be, mint a osztályok-bal oldali mellékosztályok esetén. Emiatt – mivel a jobb oldali mellékosztályok uniója is G – ugyanannyi különböző jobb oldali mellékosztályt kapunk, mint bal oldalit. Az tehát, hogy a H szerinti osz-tályozás során hány mellékosztály lesz, független attól, hogy jobb vagy bal oldali mellékosztályokról beszélünk. (Bár a fentiek során kihasználtuk, hogy véges csoportról van szó, meggondolható, hogy ha H egy végtelen csoport részcsoportja, akkor is igaz, hogy H szerint osztályozva a csoport elemeit, ugyanannyi bal oldali mellékosztályt kapunk, mint jobb oldalit.)
A H szerinti különböző bal oldali – vagy különböző jobb oldali – mel-lékosztályok darabszámát szokás aH részcsoport G-re vonatkozó indexének nevezni, és|G:H|-val jelölni. Ennek segítségével így is felírható a Lagrange-tétel:
|G|=|H| · |G:H|.
Következmény. A4.5. Tételt követően megjegyeztük, hogy egy elem rendje megegyezik az általa generált (ciklikus) részcsoport rendjével. Véges csoport esetén ez a rend egy pozitív egész szám, és a Lagrange-tétel miatt osztója a csoport rendjének, így véges csoportban egy tetszőleges elem rendje is osztója a csoport rendjének. Ennek alapján megállapíthatjuk például hogy minden prímrendű csoport ciklikus, így tetszőlegespprím esetén ap-edrendű csoportok izomorfak.