10.1. Elm´ eleti ¨ osszefoglal´ o
10.1. Defin´ıci´o. Ha a, b∈R, a < b ´esn∈N+, valamint az x1, . . . , xn∈ [a, b] sz´amokra teljes¨ul a=:x0< x1< . . . < xn:=b, akkor a
Φ :={[x0, x1],[x1, x2], . . . ,[xn−1, xn]}
intervallumokb´ol ´all´o halmazt az [a, b] intervallumfeloszt´as´anak nevezz¨uk.
10.2. Defin´ıci´o. Ha Φ az [a, b] intervallum feloszt´asa ´es azf f¨uggv´eny kor-l´atos ezen az intervallumon, akkor azf f¨uggv´eny Φ feloszt´ashoz tartoz´oals´o, ill.fels˝o integr´alk¨ozel´ıt˝o ¨osszege
s(f,Φ) :=
n
X
i=1
inf
[xi−1,xi]
f·(xi−xi−1), S(f,Φ) :=
n
X
i=1
sup
[xi−1,xi]
f·(xi−xi−1).
10.3. Defin´ıci´o. Jel¨olje az [a, b] intervallum feloszt´asainak halmaz´atF. Ha azf f¨uggv´eny korl´atos az [a, b] intervallumon, tov´abb´a
sup{s(f,Φ) : Φ∈ F }= inf{S(f,Φ) : Φ∈ F },
akkor azf f¨uggv´enyt az [a, b] intervallumonRiemann-integr´alhat´onak nevez-z¨uk.
Egy f¨uggv´enyt Riemann-integr´alhat´onak nevez¨unk, ha korl´atos z´art inter-vallumon van ´ertelmezve ´es az ´ertelmez´esi tartom´any´an Riemann-integr´alhat´o.
A sup{s(f,Φ) : Φ ∈ F } = inf{S(f,Φ) : Φ ∈ F } sz´amot az f f¨ ugg-v´eny [a, b] intervallumon vett Riemann-integr´alj´anak h´ıvjuk, jele
b
R
a
f vagy
b
R
a
f(x) dx.
10.4. Defin´ıci´o. Ha f az [a, b] intervallumon Riemann-integr´alhat´o f¨ ugg-v´eny, akkor azf f¨uggv´eny grafikonja, a v´ızszintes tengely, valamint az x=a,
123
124 10. Riemann-integr´al, improprius integr´al ill.x=begyenlet˝u f¨ugg˝oleges egyenesek ´altal hat´arolt s´ıkidomel˝ojeles ter¨ u-let´enek mondjuk az
b
R
a
f Riemann-integr´alt.
Megjegyz´esek. E s´ıkidom v´ızszintes tengely feletti r´esz´et pozit´ıv, e tengely alatti r´esz´et negat´ıv el˝ojellel vessz¨uk figyelembe. Ha a f¨uggv´eny nemnega-t´ıv, akkor az eml´ıtett s´ıkidom ter¨ulet´et szok´as a f¨uggv´eny grafikonja alatti ter¨uletnek is mondani.
A Riemann-integr´althat´arozott integr´alnak is h´ıvjuk.
10.5. Defin´ıci´o. Ha a, b∈ R, a < b´es f az [a, b] intervallumon Riemann-integr´alhat´o, akkor
a
10.1. T´etel. Ha egy korl´atos z´art intervallumon ´ertelmezett f¨uggv´eny folyto-nos, akkor Riemann-integr´alhat´o.
Ha egy korl´atos z´art intervallumon ´ertelmezett f¨uggv´eny monoton ´es kor-l´atos, akkor Riemann-integr´alhat´o.
10.2. T´etel. Haf az[a, b] intervallumon Riemann-integr´alhat´o f¨uggv´eny ´es c∈(a, b), akkor f az[a, c] ´es a[c, b]intervallumon is Riemann-integr´alhat´o,
10.3. T´etel. Haf ´esgaz[a, b]intervallumon Riemann-integr´alhat´o f¨uggv´eny
´esc∈R, akkor cf,f+g,f−g is az[a, b] intervallumon Riemann-integr´
10.4. T´etel. Ha f ´es g az [a, b] intervallumon Riemann-integr´alhat´o f¨ ugg-v´eny, valamintf ≤g az[a, b] intervallumon, akkor
b
10.5. T´etel. Ha f az [a, b] intervallumon Riemann-integr´alhat´o f¨uggv´eny, akkor|f| is az[a, b] intervallumon Riemann-integr´alhat´o, tov´abb´a
10.6. T´etel. Haf az[a, b] intervallumon Riemann-integr´alhat´o f¨uggv´eny ´es m, M ∈ R olyan sz´amok, melyekre m ≤ f ≤M az [a, b] intervallumon,
10.1. Elm´eleti ¨osszefoglal´o 125 akkor
m(b−a)≤
b
Z
a
f ≤M(b−a).
10.7. T´etel (Newton–Leibniz-t´etel). Haf az[a, b]intervallumon Riemann-integr´alhat´o f¨uggv´eny, ´es egy primit´ıv f¨uggv´enye az [a, b] intervallumon F, akkor
b
R
a
f =F(b)−F(a).
Megjegyz´es. A Newton–Leibniz-t´etel alkalmaz´asakor gyakran haszn´aljuk az [F]ba:=F(b)−F(a) jel¨ol´est.
10.8. T´etel(parci´alis integr´al´as). Haf ´esgaz[a, b]intervallumon differen-ci´alhat´o f¨uggv´eny, valamint f0 ´es g0 Riemann-integr´alhat´o az [a, b] interval-lumon, akkor
b
Z
a
f0g= [f g]ba−
b
Z
a
f g0.
10.9. T´etel (integr´al´as helyettes´ıt´essel). Ha f az [a, b] intervallumon Rie-mann-integr´alhat´o f¨uggv´eny, g pedig a [c, d] intervallumon ´ertelmezett dif-ferenci´alhat´o szigor´uan monoton f¨uggv´eny, melyre g0 a [c, d] intervallumon Riemann-integr´alhat´o ´es R(g) = [a, b], akkor
b
Z
a
f(x) dx=
g−1(b)
Z
g−1(a)
f g(t) g0(t) dt.
10.10. T´etel (grafikon ´ıvhossza). Ha f az [a, b] intervallumon ´ertelmezett folytonosan differenci´alhat´o f¨uggv´eny, akkor a grafikonj´anak ´ıvhossza
b
Z
a
p1 + (f0)2.
10.6. Defin´ıci´o. Ha f ´es g az [a, b] intervallumon Riemann-integr´alhat´o f¨uggv´eny, valamintf ≤g, akkor az
(x, y)∈R2:x∈[a, b], f(x)≤y≤g(x) halmazt azels˝o v´altoz´ora n´ezve norm´altartom´anynak, az
(x, y)∈R2:y∈[a, b], f(y)≤x≤g(y)
halmazt am´asodik v´altoz´ora n´ezve norm´altartom´anynak nevezz¨uk. R¨oviden mindkett˝ot norm´altartom´anynak h´ıvjuk.
126 10. Riemann-integr´al, improprius integr´al 10.11. T´etel(norm´altartom´any ter¨ulete). Haf ´esg az[a, b]intervallumon Riemann-integr´alhat´o f¨uggv´eny, valamintf ≤g, akkor az
(x, y)∈R2:x∈[a, b], f(x)≤y≤g(x) norm´altartom´any ter¨ulete
b
R
a
(g−f).
10.7. Defin´ıci´o. Haf az [a, b] intervallumon ´ertelmezett Riemann-integr´ al-hat´o nemnegat´ıv f¨uggv´eny, akkor az f f¨uggv´eny grafikonja ´es a v´ızszintes tengely ´altal k¨ozrefogott s´ıkidom v´ızszintes tengely k¨or¨uli megforgat´as´aval keletkez˝o
(x, y, z)∈R3:a≤x≤b, y2+z2≤f2(x) ⊂R3 halmaztforg´astestnek, aπ
b
R
a
f2sz´amot aforg´astest t´erfogat´anak nevezz¨uk.
10.8. Defin´ıci´o. Ha azff¨uggv´eny az [a, b] intervallumon folytonosan differen-ci´alhat´o ´es nemnegat´ıv, akkor az
(x, y, z)∈R3:a≤x≤b, y2+z2≤f2(x) forg´astest pal´astj´anak felsz´ıne 2π
b
R
a
fp
1 + (f0)2.
10.9. Defin´ıci´o. Legyen a ∈ R, b ∈ R´es a < b. Ha az f val´os f¨uggv´eny mindeny∈(a, b) eset´en az [a, y] intervallumon Riemann-integr´alhat´o, tov´ ab-b´a l´etezik lim
y→b−0 y
R
a
f ∈ R, akkor azt mondjuk, hogy az f f¨uggv´eny [a, b) intervallumon vettimproprius integr´alja konvergens.
Ha a fenti hat´ar´ert´ek nem l´etezik vagy l´etezik, de nem val´os sz´am, hanem +∞ vagy −∞ valamelyike, akkor azt mondjuk, hogy az f f¨uggv´eny [a, b) intervallumon vettimproprius integr´alja divergens.
Ha a fenti hat´ar´ert´ek l´etezik, az
b
Z
a
f := lim
y→b−0 y
Z
a
f
´ert´eket azf f¨uggv´eny [a, b) intervallumon vett improprius integr´alj´anak ne-vezz¨uk.
Legyen a ∈ R, b ∈ R ´es a < b. Ha az f val´os f¨uggv´eny minden y ∈ (a, b) eset´en az [y, b] intervallumon Riemann-integr´alhat´o, tov´abb´a l´etezik
y→a+0lim
b
R
y
f ∈R, akkor azt mondjuk, hogy azf f¨uggv´eny (a, b] intervallumon vettimproprius integr´alja konvergens.
10.2. Kidolgozott feladatok 127 Ha a fenti hat´ar´ert´ek nem l´etezik vagy l´etezik, de nem val´os sz´am, hanem +∞ vagy −∞ valamelyike, akkor azt mondjuk, hogy az f f¨uggv´eny (a, b]
intervallumon vettimproprius integr´alja divergens.
Ha a fenti hat´ar´ert´ek l´etezik, azt az f f¨uggv´eny (a, b] intervallumon vett improprius integr´alj´anak nevezz¨uk, jele
b
R
a
f.
10.10. Defin´ıci´o. Legyen azf val´os f¨uggv´eny az (a, b) intervallum b´armely korl´atos z´art r´eszintervallum´an Riemann-integr´alhat´o. Ha valamelyc∈(a, b) eset´en az
f improprius integr´al konvergens, akkor azt mondjuk, hogy azff¨uggv´eny (a, b) intervallumon vettimproprius integr´alja konvergens.
Ha
f valamelyike divergens, akkor azt mondjuk, hogy azf f¨ ugg-v´eny (a, b) intervallumon vettimproprius integr´alja divergens.
Ha mindk´et fenti improprius integr´al l´etezik, ´es az ¨osszeg¨uk ´ertelmezve van, akkor az
´ert´eket azf f¨uggv´eny (a, b) intervallumon vettimproprius integr´alj´anak ne-vezz¨uk.
Megjegyz´es.A defin´ıci´o ugyanazt adja, hachelyett m´as val´os sz´ammal v´agjuk kett´e az (a, b) intervallumot.
10.2. Kidolgozott feladatok
1. Sz´amolja ki az al´abbi Riemann-integr´alokat!
(a)
128 10. Riemann-integr´al, improprius integr´al A2.–5.feladatban sz´am´ıtsa ki a Riemann-integr´alt!
2.
2. Parci´alis integr´al´assal
π ez´ert a Newton–Leibniz-t´etelt alkalmazva
π
Z
−π
cos(kx) cos(lx) dx= 1
10.2. Kidolgozott feladatok 129
´ıgy
π
Z
−π
sin(kx) sin(lx) dx= 1
5. Az integrandus p´aratlan f¨uggv´eny, ez´ert a nulla pontra szimmetrikus [−2π,2π] intervallumot f´elbev´agva az 10.2. T´etel szerint
2π
Az els˝o tagban helyettes´ıt´essel kapjuk az
0
¨osszef¨ugg´est, ez´ert a feladatbeli Riemann-integr´al nulla.
Megjegyz´es.Altal´´ aban is igaz, hogy haf p´aratlan f¨uggv´eny, mely adott a∈R+eset´en Riemann-integr´alhat´o a [−a, a] intervallumon, akkor
a [−cos(x)]π0 = 2. Rekurzi´ot keres¨unk e sorozatra. Parci´alisan integr´alva b´armelyn∈N,n≥2 eset´en
130 10. Riemann-integr´al, improprius integr´al
f¨uggv´eny grafikonja ´altal hat´arolt korl´atos tartom´any ter¨ulete?
Megold´as. Ha a k´et grafikonnak (x, y) k¨oz¨os pontja, akkor y =f(x) = g(x), ´ıgy 12x+12 =x2. Ennek megold´asai x1 =−12, x2 = 1. Teh´at f
´esg grafikonja k´et pontban metszi egym´ast, ´es a [−12,1] intervallumon f ≥g, ez´ert a k´et grafikon ´altal hat´arolt korl´atos tartom´any ter¨ulete
1
t´erfogat´anak mekkora r´esze a v´ız t´erfogata?
Megold´as.Tekints¨uk a g¨omb sugar´at egys´egnyinek. Ilyen g¨omb¨ot kapunk, ha az f(x) := √
1−x2, D(f) := [−1,1] nemnegat´ıv f¨uggv´eny grafi-konja alatti tartom´anyt a v´ızszintes tengely k¨or¨ul megforgatjuk. Mivel a g¨ombben az ´atm´er˝o k´etharmad´aig ´all a v´ız, annak t´erfogata
10.2. Kidolgozott feladatok 131 9. Sz´amolja ki az f(x) := ch (x), D(f) := [0,2] f¨uggv´eny grafikonj´anak
´ıvhossz´at, a grafikonja alatti ter¨uletet, majdf grafikonj´anak a v´ızszin-tes tengely k¨or¨uli megforgat´as´aval keletkez˝o forg´astest t´erfogat´at ´es a forg´astest pal´astj´anak felsz´ın´et!
Megold´as.A grafikon ´ıvhossza
2
A grafikon alatti ter¨ulet
2
A f¨uggv´eny grafikonj´anak a v´ızszintes tengely k¨or¨uli megforgat´as´aval keletkez˝o forg´astest t´erfogata
π E test pal´astj´anak felsz´ıne
2π
10. Hat´arozza meg a k¨ovetkez˝o improprius integr´alokat!
(a)
132 10. Riemann-integr´al, improprius integr´al
xpdximproprius integr´al?
Megold´as.A defin´ıci´o, majd a Newton–Leibniz-t´etel alapj´an
+∞
10.3. Megoldand´o feladatok 133 Teh´at az els˝o improprius integr´alp >1 eset´en konvergens.
1
A m´asodik improprius integr´al 0< p <1 eset´en konvergens.
Az
xpdx¨osszef¨ugg´es szerint a harmadik im-proprius integr´al semelyik p∈R+ eset´en sem konvergens.
12. Adottλ∈R+ param´eter eset´en sz´am´ıtsa ki az
+∞
R
0
λe−λxdximproprius integr´alt!
10.3. Megoldand´ o feladatok
Az1.–9. feladatban sz´amolja ki a Riemann-integr´alt!
1.
sin(2x) cos(x) dx. 6.
π
sin(kx) cos(lx) dx Riemann-integr´alt!
11. Mennyi az f(x) := (e−1)x+ 1,D(f) :=R ´es a g(x) :=ex,D(g) :=R f¨uggv´eny grafikonja ´altal hat´arolt korl´atos tartom´any ter¨ulete?
12. Mennyi az f(x) := sin32(x), D(f) := [0, π] f¨uggv´eny grafikonj´anak a v´ızszintes tengely k¨or¨uli megforgat´as´aval keletkez˝o forg´astest t´erfogata?
134 10. Riemann-integr´al, improprius integr´al 13. Sz´amolja ki az f(x) := x2, D(f) := [0,1] f¨uggv´eny grafikonj´anak
´ıvhossz´at, a grafikonja alatti ter¨uletet, valamintf grafikonj´anak a v´ız-szintes tengely k¨or¨uli megforgat´as´aval keletkez˝o forg´astest t´erfogat´at!
A14.–17.feladatban hat´arozza meg az improprius integr´alt!
14.
+∞
Z
0
1
2xdx. 15.
1
Z
0
ln(x) dx. 16.
1
Z
0
√ 1
1−x2dx. 17.
+∞
Z
2
1 2x−3dx.
18. Adotta, s∈R+ eset´en sz´am´ıtsa ki az
+∞
R
a
e−stdtimproprius integr´alt!
19. Adotts∈R+ param´eter eset´en sz´am´ıtsa ki az
+∞
R
0
t2e−stdtimproprius integr´alt!
20. Tetsz˝oleges n ∈ N+ ´es s ∈ R+ eset´en hat´arozza meg az
+∞
R
0
tne−stdt improprius integr´alt!
10.4. Megold´ asok
1. 12. 2.−212. 3. 12. 4. π4. 5. 43. 6.0. 7.0.
8. π2. 9. e2−1−ln e22+1
. 10.0. 11. 3−e2 . 12. 43π.
13. A grafikon ´ıvhossza 12√
5+14arsh (2), a grafikon alatti ter¨ulet13, a grafi-konnak a v´ızszintes tengely k¨or¨uli megforgat´as´aval keletkez˝o forg´astest t´erfogata π5.
14. ln(2)1 . 15.−1. 16. π2. 17.+∞. 18.e−sas . 19. s23. 20.sn+1n! .