9.1. Elm´ eleti ¨ osszefoglal´ o
9.1. Defin´ıci´o. Az f val´os f¨uggv´eny primit´ıv f¨uggv´eny´enek nevezz¨uk az I⊂D(f) intervallumon az ott ´ertelmezettF folytonos f¨uggv´enyt, haF dif-ferenci´alhat´oI bels˝o pontjainak intIhalmaz´an, ´esF0(x) =f(x),x∈intI.
Az intervallumon ´ertelmezettf f¨uggv´eny primit´ıv f¨uggv´eny´enek nevezz¨uk azF f¨uggv´enyt, haFazff¨uggv´eny primit´ıv f¨uggv´enye aD(f) intervallumon.
A primit´ıv f¨uggv´enyek halmaz´at R
f vagy R
f(x) dx jel¨oli. Az f f¨uggv´enyt integrandusnak h´ıvjuk.
Megjegyz´es.Nem minden intervallumon ´ertelmezett f¨uggv´enynek l´etezik pri-mit´ıv f¨uggv´enye, valamint nem minden elemi f¨uggv´eny primit´ıv f¨uggv´enyei elemi f¨uggv´enyek. Pl.f(x) :=e−x2,D(f) :=Relemi f¨uggv´eny, de a primit´ıv f¨uggv´enyei nem azok.
9.1. ´All´ıt´as. Minden intervallumon ´ertelmezett folytonos f¨uggv´enynek l´etezik primit´ıv f¨uggv´enye.
9.2. ´All´ıt´as. Egy intervallumon ´ertelmezett f¨uggv´eny b´armely k´et primit´ıv f¨uggv´eny´enek k¨ul¨onbs´ege ´alland´o.
Megjegyz´es.Ha az f f¨uggv´eny egyik primit´ıv f¨uggv´enyeF, akkor a primit´ıv f¨uggv´enyek R
f = {F+C : C ∈ R} halmaz´at r¨oviden ´ıgy szok´as jel¨olni:
Rf =F+C, C∈R.
9.3. ´All´ıt´as. Ha a k¨oz¨os intervallumon ´ertelmezettf ´esgf¨uggv´enynek l´etezik primit´ıv f¨uggv´enye, valamint c∈R, akkor acf,f+g, f−g f¨uggv´enyeknek is l´etezik primit´ıv f¨uggv´enye, ´es
Z
(cf) =c Z
f, Z
(f+g) = Z
f+ Z
g, Z
(f−g) = Z
f− Z
g.
Megjegyz´es.A szorzat, a h´anyados ´es a kompoz´ıci´o primit´ıv f¨uggv´enyeire nem
´erv´enyes hasonl´o ´all´ıt´as.
9.4. ´All´ıt´as. Ha azIintervallumon ´ertelmezettf f¨uggv´enynek egy primit´ıv f¨uggv´enye F, akkor a, b ∈ R, a6= 0 eset´en az x7→ f(ax+b), ax+b ∈I
107
108 9. Primit´ıv f¨uggv´eny f¨uggv´enynek is l´etezik primit´ıv f¨uggv´enye, ´es
Z
f(ax+b) dx= F(ax+b)
a +C, C ∈R.
9.5. ´All´ıt´as. Legyenf ny´ılt intervallumon ´ertelmezett differenci´alhat´o f¨ ugg-v´eny. Ha f 6= 0, akkor az ff0 f¨uggv´enynek is l´etezik primit´ıv f¨uggv´enye, ´es R f0
f = ln(|f|) +C,C∈R.
Ha α∈ R,α 6=−1 ´es fα ´ertelmezve van, akkor az fαf0 f¨uggv´enynek is l´etezik primit´ıv f¨uggv´enye, ´es R
fαf0= α+11 fα+1+C, C∈R.
9.1. T´etel (parci´alis integr´al´as). Haf ´esg k¨oz¨os intervallumon ´ertelmezett differenci´alhat´o f¨uggv´eny, tov´abb´a az f g0 f¨uggv´enynek l´etezik primit´ıv f¨ ugg-v´enye, akkor azf0g f¨uggv´enynek is l´etezik primit´ıv f¨uggv´enye, ´es
Z
f0g=f g− Z
f g0.
Megjegyz´es.Az egyenl˝os´eg bal oldal´an halmaz, a jobb oldal´an egy f¨uggv´eny
´es egy halmaz k¨ul¨onbs´ege szerepel. Az ut´obbin azt a halmazt ´ertj¨uk, melynek elemeit ´ugy kapjuk, hogy az f g f¨uggv´enyb˝ol kivonjuk f g0 egy-egy primit´ıv f¨uggv´eny´et:
f g− Z
f g0:=
f g−H :H ∈ Z
f g0
.
9.2. T´etel(integr´al´as helyettes´ıt´essel). Ha az f f¨uggv´enynek aJ intervallu-mon l´etezik primit´ıv f¨uggv´enye,g pedig az I intervallumon ´ertelmezett olyan differenci´alhat´o szigor´uan monoton f¨uggv´eny, melyre R(g) ⊂ J, akkor az y7→f(g(y))g0(y), y∈I f¨uggv´enynek l´etezik primit´ıv f¨uggv´enye, tov´abb´a
Z
f(x) dx= Z
f(g(y))g0(y) dy
y=g−1(x)
. Megjegyz´es.A t´etel m´asodik ´all´ıt´asa t¨om¨orebb jel¨ol´essel
Z f =
Z
(f◦g)g0
◦g−1.
A k¨ovetkez˝o t´abl´azatban ´es k´es˝obb is a r¨ovids´eg kedv´e´ert az R
f(x) dx= F(x) +C egyenl˝os´eget ´ugy ´ertj¨uk, hogy azf integrandust ´es azF primit´ıv f¨uggv´enyt is lesz˝uk´ıtj¨uk az integrandus ´ertelmez´esi tartom´any´anak valamelyik r´eszintervallum´ara, tov´abb´a Ctetsz˝oleges val´os sz´am.
9.2. Kidolgozott feladatok 109 9.6. ´All´ıt´as (nevezetes elemi f¨uggv´enyek primit´ıv f¨uggv´enyei).
Z
xndx= xn+1 n+ 1 +C,
Z 1
xdx= ln(|x|) +C.
n∈R, n6=−1.
Rexdx=ex+C.
Z
axdx= 1
ln(a)ax+C, a∈R+,a6= 1.
Rln(x) dx=xln(x)−x+C. R
loga(x) dx=xloga(x)− 1
ln(a)x+C, a∈R+,a6= 1.
Rsin(x) dx=−cos(x) +C. R
cos(x) dx= sin(x) +C.
Rtg (x) dx=−ln(|cos(x)|) +C. R
ctg (x) dx= ln(|sin(x)|) +C.
Z 1
sin2(x)dx=−ctg (x) +C.
Z 1
cos2(x)dx= tg (x) +C.
Rsh (x) dx= ch (x) +C. R
ch (x) dx= sh (x) +C.
Rth (x) dx= ln(ch (x)) +C. R
cth (x) dx= ln(|sh (x)|) +C.
Z 1
sh2(x)dx=−cth (x) +C.
Z 1
ch2(x)dx= th (x) +C.
Z 1
√1 +x2dx= arsh (x) +C.
Z 1
1 +x2dx= arctg (x) +C.
Z 1
√1−x2dx= arcsin(x) +C a (−1,1) intervallumon.
Z 1
1−x2dx= arth (x) +C a (−1,1) intervallumon.
Z 1
1−x2dx= arcth (x) +C a (−∞,−1) ´es az (1,+∞) intervallumon.
9.2. Kidolgozott feladatok
1. Adja meg a k¨ovetkez˝o primit´ıv f¨uggv´enyeket!
(a)R
xdx. (b)R
x2dx. (c)R√ xdx.
(d)R
e2xdx. (e)R
e1−3xdx. (f)R
sin(5x) dx.
(g)R
cos(4x−1) dx. (h) Z 1
1−2xdx. (i)
Z 1
x2+ 2x+ 5dx.
(j)
Z 1
2x2+ 10dx. (k)
Z 1
x2−4x+ 4dx.
110 9. Primit´ıv f¨uggv´eny
2. Sz´amolja ki az al´abbi primit´ıv f¨uggv´enyeket!
(a)R
9.2. Kidolgozott feladatok 111 3. Hat´arozza meg a k¨ovetkez˝o primit´ıv f¨uggv´enyeket!
(a)R
xcos(x) dx. (b)R
x exdx. (c)R
ln(x) dx.
Megold´as.
(a) Parci´alis integr´al´assal azRhalmazon R xcos(x) dx=xsin(x)−R
1·sin(x) dx=xsin(x) + cos(x) +C.
f g’ f g f ’ g
(b) Parci´alis integr´al´assal azRhalmazon R x exdx=x ex−R
1 ·exdx=xex−ex+C, x∈R.
f g’ f g f ’ g
(c) Parci´alis integr´al´assal azR+ halmazon R 1
A 4.–8.feladatban parci´alis integr´al´assal hat´arozza meg a primit´ıv f¨ ugg-v´enyeket!
112 9. Primit´ıv f¨uggv´eny 5. Parci´alis integr´al´assal a (−1,1) intervallumon
Z p
Adott intervallumon b´armely k´et primit´ıv f¨uggv´eny k¨ul¨onbs´ege ´alland´o, ez´ert
6. Parci´alis integr´al´assal a (−2,+∞) intervallumon Z x
7. Parci´alis integr´al´assal azRhalmazon Z
A jobb oldal m´asodik tagj´at is parci´alisan integr´aljuk, ism´et az exponen-ci´alis f¨uggv´enyt tekintj¨uk deriv´altf¨uggv´enynek:
Z (HaC tetsz˝oleges val´os sz´am lehet, akkor−C is.)
Megjegyz´es.Han∈N+,a∈R\ {0},c∈R+\ {1}, akkor az R pri-mit´ıv f¨uggv´enyeket kisz´amolhatjuknalkalommal parci´alisan integr´alva.
9.2. Kidolgozott feladatok 113 8. K´etszer parci´alisan integr´alunk azRhalmazon, mindk´et alkalommal az
exponenci´alis f¨uggv´enyt v´alasztjuk a deriv´altf¨uggv´enynek.
Z
M´ask´eppen: K´etf´elek´eppen parci´alisan integr´alunk az R halmazon. Ha az exponenci´alis f¨uggv´enyt tekintj¨uk a deriv´altf¨uggv´enynek, akkor
Z
exsin(x) dx=exsin(x)− Z
excos(x) dx, ha pedig a szinuszf¨uggv´enyt, akkor
Z
exsin(x) dx=ex(−cos(x))− Z
ex(−cos(x)) dx.
A k´et egyenl˝os´eget ¨osszeadva, ´es felhaszn´alva, hogy azR intervallumon egy f¨uggv´eny b´armely k´et primit´ıv f¨uggv´eny´enek k¨ul¨onbs´ege ´alland´o, a A9.–13.feladatban helyettes´ıt´essel sz´am´ıtsa ki a primit´ıv f¨uggv´enyeket!
9. szigor´uan monoton, ez´ert a t´etel alapj´an
Z 1
114 9. Primit´ıv f¨uggv´eny
x, x∈[0,+∞) helyettes´ıt´est alkalmazva x=y2, dxdy = 2y, dx= 2ydy alapj´an
9.2. Kidolgozott feladatok 115 Megjegyz´es.M´ask´eppen kaptuk meg ugyanezt az eredm´enyt a 2.(j) fel-adatban.
12. A 9.2. T´etelben legyenf(x) := tgtg22(x)+1(x)+4 ´ertelmezve pl. a −π2,π2 inter-vallumon, valamintg(x) := arctg (x), D(g) :=R.
A klasszikus m´odon, az y= tg (x), x∈ −π2,π2
helyettes´ıt´essel x= arctg (y), dxdy = 1+y12, dx= 1+y12dy alapj´an a primit´ıv f¨uggv´enyek a keress¨uk a primit´ıv f¨uggv´enyeket, akkor azok
F(x) :=12arctgtg (x)
. Az ´ıgy lesz˝uk´ıtett szinuszf¨uggv´eny szigor´uan monoton n¨ovekv˝o.
A klasszikus m´odon,x∈[−1,1], y∈
−π2,π2
eset´en azx= sin(y), azaz y= arcsin(x) helyettes´ıt´essel dxdy = cos(y), dx= cos(y) dy,
Z p
A m´asodik ´es az utols´o egyenl˝os´egn´el felhaszn´altuk, hogy a koszinuszf¨ ugg-v´eny a
−π2,π2
intervallumon nemnegat´ıv.
Megjegyz´es.E primit´ıv f¨uggv´enyeket az 5. feladatban parci´alis integr´ a-l´assal sz´amoltuk ki, a k´et eredm´eny azonos.
A 14.–19.feladatban hat´arozza meg a racion´alis t¨ortf¨uggv´eny primit´ıv f¨uggv´enyeit!
116 9. Primit´ıv f¨uggv´eny Megold´as.
14. A sz´aml´al´o ´es a nevez˝o is els˝ofok´u polinom. Marad´ekos oszt´assal 4x+2 = 2(2x−1) + 4, x∈R, ez´ert a −∞,12
vagy az 12,+∞
intervallumon Z 4x+ 2
2x−1dx=
Z 2(2x−1) + 4 2x−1 dx=
= Z
2 + 4 2x−1
dx= 2x+ 2 ln(|2x−1|) +C.
15. A sz´aml´al´o els˝ofok´u, a nevez˝o pedig m´asodfok´u polinom, ´es az ut´obbinak nincs val´os gy¨oke. Marad´ekosan osztva a sz´aml´al´ot a nevez˝o deriv´altj´aval a 4x= 2(2x+6)−12, x∈R egyenl˝os´eget kapjuk. Ebb˝ol azRhalmazon
Z 4x
x2+ 6x+ 10dx=
Z 2(2x+ 6)−12 x2+ 6x+ 10 dx=
= 2
Z 2x+ 6
x2+ 6x+ 10dx−12
Z 1
(x+ 3)2+ 1dx=
= 2 ln(x2+ 6x+ 10)−12arctg (x+ 3) +C.
16. Marad´ekos oszt´assal x= 12(2x−1) +12, x∈R alapj´an a −∞,12 vagy az 12,+∞
intervallumon Z x
(2x−1)2dx= Z 1
2(2x−1) +12 (2x−1)2 dx=
= 1 2
Z 1
2x−1dx+1 2
Z
(2x−1)−2dx=
= 1
4ln(|2x−1|)− 1
4(2x−1) +C.
Megjegyz´es. Ezeket a primit´ıv f¨uggv´enyeket parci´alis integr´al´assal sz´ a-moltuk ki a 4. feladatban, az
R x
(2x−1)2dx=−2(2x−1)x +14 ln(|2x−1|) +C eredm´enyt kaptuk. A k´et eredm´eny k¨ul¨onb¨oz˝onek t˝unik, de a
− 1
4(2x−1) =− x
2(2x−1) +1
4, x∈R\ 1
2
azonoss´ag szerint egyenl˝o. Az azonoss´agot pl. ´ugy igazolhatjuk, hogy a jobb oldal´at k¨oz¨os nevez˝ore hozzuk.
17. A nevez˝o m´asodfok´u polinom, melynek k´et val´os gy¨oke van, ez´ert
fel-´ırhatjuk szorzatk´ent: x2−1 = (x−1)(x+ 1), x ∈ R. Bontsuk ´un.
9.2. Kidolgozott feladatok 117 parci´alis t¨ortek ¨osszeg´ere az integrandust, vagyis keress¨unk olyan A ´es B val´os sz´amokat, melyekre
1
Az egyenlet mindk´et oldal´an polinomf¨uggv´eny ´all. Ezek folytonosak, ´ıgy az egyenl˝os´egx=−1 ´esx= 1 eset´en is fenn´all:
1 = 0−2B, vagyis B=−12, 1 = 2A+ 0, vagyis A= 12.
A parci´alis t¨ortek felhaszn´al´as´aval a primit´ıv f¨uggv´enyek a (−∞,−1), a (−1,1) vagy az (1,+∞) intervallumon
Z 1
Megjegyz´es.Areaf¨uggv´enyeket haszn´alva is megoldhatjuk a feladatot. A (−1,1) intervallumon a (−∞,−1) vagy az (1,+∞) intervallumon pedig
Z 1
´ırjuk fel az integrandust, majd k¨oz¨os nevez˝ore hozzuk a jobb oldalt:
3x−5
118 9. Primit´ıv f¨uggv´eny K´et polinom pontosan akkor egyenl˝o, ha az egy¨utthat´oik rendre egyen-l˝ok. Ez egyenletrendszert ad az egy¨utthat´okra:
A+B = 3
A jobb oldal utols´o tagj´at parci´alis t¨ortekre bontjuk:
4x+ 1
sin(x) cos(x) dxprimit´ıv f¨uggv´ enye-ket azRhalmazon, majd hasonl´ıtsa ¨ossze az eredm´enyeket!
Megold´as.
9.2. Kidolgozott feladatok 119 (c) A koszinuszf¨uggv´enyre, mint deriv´altf¨uggv´enyre tekintve parci´alis
in-tegr´al´assal azRhalmazon Z
sin(x) cos(x) dx= sin2(x)− Z
cos(x) sin(x) dx, amit ´atrendezve R
sin(x) cos(x) dx= 12sin2(x) +C3, C3∈R, mert b´armely k´et primit´ıv f¨uggv´eny k¨ul¨onbs´ege ´alland´o.
Mindh´arom megold´as ugyanazt a f¨uggv´enyhalmazt adja, hiszen trigono-metrikus azonoss´agot alkalmazva
−1 primit´ıv f¨uggv´enyeket!
21.
22. Parci´alis integr´al´assal azRhalmazon Z
23. K´etszer parci´alisan integr´alva azRhalmazon Z
Mivel adott intervallumon b´armely k´et primit´ıv f¨uggv´eny k¨ul¨onbs´ege ´ al-land´o,
Z
e−stcos(at) dt= e−st
a2+s2 asin(at)−scos(at) +C
120 9. Primit´ıv f¨uggv´eny
Megjegyz´es.Az el˝oz˝o megold´ashoz hasonl´oan k´et parci´alis integr´al´assal is megkaphatjuk az eredm´enyt.
25. Legyen f az I ny´ılt intervallumon differenci´alhat´o f¨uggv´eny ´es s ∈ R. Mutassa meg, hogy azI intervallumon
Z bizony´ıtand´o ¨osszef¨ugg´est adja.
9.3. Megoldand´ o feladatok
Az1.–27.feladatban hat´arozza meg a primit´ıv f¨uggv´enyeket!
1.
9.4. Megold´asok 121 primit´ıv f¨uggv´enyeket!
28.
122 9. Primit´ıv f¨uggv´eny 15. R ex
e2x+1dx= arctg (ex) +C azRhalmazon.
16. R 1
(1−x2)32
dx= x
√1−x2 +C a (−1,1) intervallumon.
17. R
xsin(4x) dx=−14xcos(4x) +161 sin(4x) +C azRhalmazon.
18. R
xln(x+ 1) dx= x22−1 ln(x+ 1)−14x2+12x+C a (−1,+∞) interval-lumon.
19. R1+tg2(x)
1+2tg (x)dx= 12ln(|1 + 2tg (x)|) +Caz
x∈R: cos(x)6= 0,tg (x)6=−12 halmaz b´armely r´eszintervallum´an.
20. R√
1 +x2dx=12x√
1 +x2+12arsh (x) +C azRhalmazon.
21. R x√3
x−1 dx=34x(x−1)43−289 (x−1)73+C= 283(x−1)43(4x+ 3) +C azRhalmazon.
22. R 3x+2
2−x dx=−3x−8 ln(|2−x|) +C a (−∞,2) vagy a (2,+∞) interval-lumon.
23. R 2x−1
(x+1)2dx = 2 ln(|x+ 1|) + x+13 +C a (−∞,−1) vagy a (−1,+∞) intervallumon.
24. R x2
x2−2x+2dx=x+ ln(|x2−2x+ 2|) +C azRhalmazon.
25. R x
x2+3x−4dx= 15ln(|x−1|) +45ln(|x+ 4|) +C a (−∞,−4), a (−4,1) vagy az (1,+∞) intervallumon.
26. R 1−2x
2x2−x−3dx=−25ln(|2x−3|)−35ln(|x+ 1|) +C a (−∞,−1), a −1,32 vagy a 32,+∞
intervallumon.
27. R x3
x2+x−2dx= 12x2−x+83ln(|x+ 2|) +13ln(|x−1|) +C a (−∞,−2), a (−2,1) vagy az (1,+∞) intervallumon.
28. Haa ∈ R, a 6=s, akkor R
e−steatdt = e(a−s)ta−s +C, ha pedig a = s, akkor R
e−steatdt=t+C az Rhalmazon.
29. R
t2e−stdt=−e−st ts2 +s2t2 +s23
+C az Rhalmazon.
30. R
e−stsin(at) dt=−ae2−st+s2 ssin(at) +acos(at)
+C azRhalmazon.