6.1. Elm´ eleti ¨ osszefoglal´ o
6.1. Defin´ıci´o. Aza∈Rsz´amot aH ⊂Rhalmazbels˝o pontj´anak nevezz¨uk, ha l´etezik olyanδ∈R+, melyre (a−δ, a+δ)⊂H. AH ⊂Rhalmaz bels˝o pontjainak halmaz´at intH jel¨oli.
A H ⊂ R halmazt ny´ılt halmaznak h´ıvjuk, ha H minden eleme bels˝o pontja e halmaznak.
6.2. Defin´ıci´o. Azf f¨uggv´enyt az ´ertelmez´esi tartom´any´anakabels˝o pont-j´aban differenci´alhat´onak nevezz¨uk, ha l´etezik az f0(a) := lim
x→a
f(x)−f(a) x−a hat´ar´ert´ek, ´es ez val´os sz´am. Ekkor azf0(a) sz´amot azf f¨uggv´enyapontbeli deriv´altj´anak mondjuk.
Megjegyz´es.Azf(x)−f(a)x−a ,x6=ah´anyadostk¨ul¨onbs´egi h´anyadosnak nevezz¨uk.
6.3. Defin´ıci´o. Ha azf f¨uggv´eny azapontban differenci´alhat´o, akkor a gra-fikonj´anak az (a, f(a)) pontbeli´erint˝oje azy=f(a) +f0(a)(x−a) egyenlet˝u egyenes.
6.1. ´All´ıt´as. Ha egy f¨uggv´eny differenci´alhat´o egy pontban, akkor folytonos is abban a pontban.
6.2. ´All´ıt´as. Ha az f ´es a g f¨uggv´eny differenci´alhat´o az a pontban, akkor f+g,f−g,f g, ´esg(a)6= 0eset´en fg is differenci´alhat´o azapontban, tov´abb´a
(f +g)0(a) =f0(a) +g0(a), (f −g)0(a) =f0(a)−g0(a), (f g)0(a) =f0(a)g(a) +f(a)g0(a),
f g
0
(a) = f0(a)g(a)−f(a)g0(a) g2(a) .
6.1. K¨ovetkezm´eny. Ha azf ´es agf¨uggv´eny differenci´alhat´o azapontban, valamintc1, c2∈R, akkor c1f+c2g is differenci´alhat´o aza pontban, ´es
(c1f+c2g)0(a) =c1f0(a) +c2g0(a).
51
52 6. Differenci´alhat´os´ag, deriv´alt 6.1. T´etel. Ha a g f¨uggv´eny differenci´alhat´o az a pontban ´es az f f¨ ugg-v´eny differenci´alhat´o a g(a) pontban, akkor az f ◦g ¨osszetett f¨uggv´eny is differenci´alhat´o azapontban, tov´abb´a
(f◦g)0(a) =f0 g(a) g0(a).
6.2. T´etel. Ha az f f¨uggv´eny szigor´uan monoton ´es folytonos egy interval-lumon, differenci´alhat´o annak egy a bels˝o pontj´aban ´es f0(a) 6= 0, akkor az f−1 inverz f¨uggv´eny differenci´alhat´o ab:=f(a)pontban, tov´abb´a
(f−1)0(b) = 1 f0 f−1(b). 6.4. Defin´ıci´o. Azf f¨uggv´eny eset´en a
D(f0) :={x∈D(f) :f differenci´alhat´o azxpontban}
halmazon azx7→f0(x) hozz´arendel´esi szab´allyal ´ertelmezett f¨uggv´enyt azf f¨uggv´eny deriv´altf¨uggv´eny´enek nevezz¨uk, jelef0.
Azt mondjuk, hogy azf f¨uggv´eny aH ⊂D(f)ny´ılt halmazon
differenci-´
alhat´o, ha aH halmaz minden pontj´aban differenci´alhat´o.
Egy f¨uggv´enytdifferenci´alhat´onak h´ıvunk, ha az ´ertelmez´esi tartom´any´ a-nak minden pontj´aban differenci´alhat´o. A f¨uggv´eny folytonosan differenci´ al-hat´o, ha differenci´alhat´o ´es a deriv´altf¨uggv´enye folytonos.
Az f f¨uggv´enyt az [a, b] korl´atos z´art intervallumon differenci´alhat´onak mondjuk, ha az (a, b) ny´ılt intervallumon differenci´alhat´o, tov´abb´a l´eteznek a lim
x→a+0
f(x)−f(a) x−a , lim
x→b−0
f(x)−f(b)
x−b egyoldali hat´ar´ert´ekek, ´es mindkett˝o va-l´os sz´am. A f¨uggv´enyt az [a, b]intervallumon folytonosan differenci´alhat´onak h´ıvjuk, ha az [a, b] intervallumon differenci´alhat´o, valamint a deriv´altf¨ ugg-v´eny´et az intervallum bal ´es jobb v´egpontj´aban a lim
x→a+0
f(x)−f(a) x−a , ill. a
x→b−0lim
f(x)−f(b)
x−b egyoldali hat´ar´ert´ekk´ent defini´alva az ´ıgy kiterjesztett deriv´ alt-f¨uggv´eny az [a, b] intervallumon folytonos.
6.5. Defin´ıci´o. Az f f¨uggv´enyt k´etszer differenci´alhat´onak nevezz¨uk az a pontban, ha az f0 deriv´altf¨uggv´eny differenci´alhat´o az a pontban. Ekkor f00(a) := (f0)0(a) az f f¨uggv´eny m´asodik deriv´altja (vagy m´asodrend˝u de-riv´altja) azapontban.
B´armelyn≥2 eg´esz sz´amra azf f¨uggv´enytn-szer differenci´alhat´onak ne-vezz¨uk azapontban, ha az (n−1)-edik deriv´altf¨uggv´enye (jel¨olje eztf(n−1)) differenci´alhat´o az apontban. Ekkor f(n)(a) := (f(n−1))0(a) az f f¨uggv´eny n-edik deriv´altja (vagyn-edrend˝u deriv´altja) azapontban.
6.6. Defin´ıci´o. Azf f¨uggv´eny ´es azn≥2 eg´esz sz´am eset´en a D(f(n)) :={x∈D(f) :f n-szer differenci´alhat´o azxpontban}
6.1. Elm´eleti ¨osszefoglal´o 53 halmazon az x7→ f(n)(x) hozz´arendel´essel ´ertelmezett f(n) f¨uggv´enyt az f f¨uggv´eny n-edik deriv´altf¨uggv´eny´enek nevezz¨uk.
Azt mondjuk, hogy azf f¨uggv´eny aH ⊂D(f)halmazon n-szer differen-ci´alhat´o, ha a H halmaz minden pontj´abann-szer differenci´alhat´o.
Egy f¨uggv´enytn-szer differenci´alhat´onak h´ıvunk, ha az ´ertelmez´esi tarto-m´any´anak minden pontj´abann-szer differenci´alhat´o.
V´eg¨ul a f¨uggv´eny nulladik deriv´altf¨uggv´eny´enek mondhatjuk mag´at a f¨ ugg-v´enyt, azazf(0):=f.
Megjegyz´esek. Azf f¨uggv´eny xpontbeli deriv´altf¨uggv´eny´enek klasszikus je-l¨ol´ese dfdx, a m´asodik deriv´altf¨uggv´eny´e´e ddx2f2, ´altal´aban az n-edik deriv´ alt-f¨uggv´eny´e´e ddxnfn, n∈N+.
Amikor a v´altoz´ott jel¨oli, az f f¨uggv´eny tpontbeli deriv´altj´ara (Newton nyom´an) gyakran az ˙f(t) jel¨ol´es haszn´alatos.
Megjegyz´es.Differenci´al´asi szab´alyok a deriv´altf¨uggv´enyekre.
(cf)0=cf0 (c∈R), (c1f +c2g)0 =c1f0+c2g0 (c1, c2∈R), (f g)0 =f0g+f g0,
f g
0
= f0g−f g0 g2 , (f◦g)0 = (f0◦g)·g0, (f−1)0= 1
f0◦f−1.
A k¨ovetkez˝o t´etelben ´es gyakran k´es˝obb is a r¨ovid jel¨ol´esm´odot haszn´aljuk.
Pl. han∈N+, akkor (xn)0 at7→tn,t∈Rf¨uggv´eny deriv´altf¨uggv´eny´enek x helyen vett ´ert´ek´et jel¨oli.
6.3. T´etel (nevezetes elemi f¨uggv´enyek deriv´altf¨uggv´enye).
(xn)0=nxn−1, n∈R, (sin(x))0= cos(x), (tg (x))0= 1 cos2(x), (ex)0=ex, (cos(x))0=−sin(x), (ctg (x))0=− 1
sin2(x), (ax)0=axln(a), a∈R+, (sh (x))0= ch (x), (th (x))0= 1
ch2(x), (ln(x))0= 1
x, (ch (x))0= sh (x), (cth (x))0=− 1 sh2(x), loga(x)0
= 1
ln(a)·1
x, a∈R+, a6= 1,
(arcsin(x))0= 1
√1−x2, x∈(−1,1), (arccos(x))0=− 1
√1−x2, x∈(−1,1),
54 6. Differenci´alhat´os´ag, deriv´alt
(arctg (x))0= 1
1 +x2, x∈R, (arcctg (x))0=− 1
1 +x2, x∈R, (arsh (x))0= 1
√1 +x2, x∈R, (arch (x))0= 1
√x2−1, x∈(1,+∞), (arth (x))0= 1
1−x2, x∈(−1,1), (arcthx)0= 1
1−x2, x∈R\[−1,1].
Megjegyz´es.Felh´ıvjuk a figyelmet arra, hogy az arcsin, az arccos ´es az arch f¨uggv´eny ´ertelmez´esi tartom´anya b˝ovebb a deriv´altf¨uggv´eny¨uk ´ertelmez´esi tartom´any´an´al.
6.3. ´All´ıt´as. Ha azf f¨uggv´eny differenci´alhat´o azapontban, akkor pontosan egy olyan, legfeljebb els˝ofok´u l polinom l´etezik, melyre lim
x→a
f(x)−l(x) x−a = 0, m´egpedig
l(x) =f(a) +f0(a)(x−a), x∈R.
Ezt h´ıvjuk azf f¨uggv´enyt az a pont k¨ozel´eben legjobban k¨ozel´ıt˝o legfeljebb els˝ofok´u polinomnak (line´aris f¨uggv´enynek).
6.2. Kidolgozott feladatok
1. A defin´ıci´o alapj´an igazolja az al´abbi deriv´al´asi szab´alyokat!
(a) (xn)0=nxn−1, x∈R, n∈N+. (b) √ x0
= 1
2√
x, x∈R+. (c) (sin(x))0= cos(x), x∈R.
Megold´as.
(a) Azf(x) :=xn, D(f) :=Rf¨uggv´eny k¨ul¨onbs´egi h´anyados´anak sz´ am-l´al´oj´at tetsz˝oleges a, x∈R,x6=aeset´en szorzatt´a bontva
f(x)−f(a)
x−a = xn−an
x−a = (x−a)(xn−1+xn−2a+. . .+an−1) x−a
=xn−1+xn−2a+. . .+an−1. Ez´ert
f0(a) := lim
x→a
f(x)−f(a) x−a = lim
x→a(xn−1+xn−2a+. . .+an−1) =nan−1. Megjegyz´es.Bel´athat´o, hogy az ¨osszef¨ugg´es x∈R+,n∈R mellett is igaz, valamint akkor is, ha x∈R\ {0}´esn= mp, aholm∈Z, p p´aratlan pozit´ıv eg´esz.
6.2. Kidolgozott feladatok 55 azo-noss´ag seg´ıts´eg´evel bonthatjuk szorzatt´a:
f(x)−f(a)
2. Az inverz f¨uggv´eny deriv´altj´ara vonatkoz´o t´etel alapj´an mutassa meg, hogy
Ekkor az inverz f¨uggv´eny deriv´altj´ara vonatkoz´o 6.2. T´etelt, a tg0 =
1
cos2 ¨osszef¨ugg´est, majd egy trigonometrikus azonoss´agot alkalmazva arctg0(b) = 1
56 6. Differenci´alhat´os´ag, deriv´alt (b) Legyenf(x) :=ex,D(f) :=R´esa∈R,b:=ea. ln = exp−1alapj´an
a 6.2. T´etel ´es az exp f¨uggv´eny deriv´altj´anak felhaszn´al´as´aval ln0(b) = 1
exp0(ln(b)) = 1 eln(b) = 1
b. 3. Deriv´alja a k¨ovetkez˝o f¨uggv´enyeket!
(a)f(x) := 1
x, D(f) :=R\ {0}.
(b)f(x) := 1
√x, D(f) :=R+.
(c)f(x) := 2ex−3 ln(x), D(f) :=R+. (d)f(x) := 5x7+√
2x4−2x3, D(f) :=R.
(e)f(x) := arsh (x)−2 arch (x) + 3 th (x), D(f) := [1,+∞).
Megold´as.
(a) Hatv´anyf¨uggv´enyk´ent fel´ırva x10
= x−10
= (−1)x−2=−x12, x∈R\ {0}.
(b)
√1 x
0
= x−120
=−12x−32 =− 1
2√
x3,x∈R+.
(c) A k¨ul¨onbs´eg, majd a konstansszoros deriv´al´asi szab´aly´at alkalmazva 2ex−3 ln(x)0
= (2ex)0−(3 ln(x))0= 2(ex)0−3(ln(x))0= 2ex−x3, x∈R+.
(d) (5x7+√
2x4−2x3)0= (5x7)0+(√
2x4)0−(2x3)0 = 35x6+4√
2x3−6x2, x∈R.
(e) arsh (x)−2 arch (x) + 3 th (x)0
= √ 1
1+x2 −√ 2
x2−1+ch23(x), x∈(1,+∞).
Erre a f¨uggv´enyre teh´atD(f0) =D(f)\ {1}.
4. Deriv´alja az al´abbi f¨uggv´enyeket!
(a)f(x) :=√3
xtg (x), D(f) :=R\π
2 +kπ:k∈Z . (b)f(x) := 3xarccos(x), D(f) := [−1,1].
(c)f(x) := 3 ctg (x) lg(x), D(f) :=R+\ {kπ:k∈N+}.
(d)f(x) :=x4exsin(x), D(f) :=R. (e)f(x) :=sh (x)
ch (x), D(f) :=R.
6.2. Kidolgozott feladatok 57 (f)f(x) :=ln(x)
2x , D(f) :=R+. (g)f(x) := arctg (x)
x4 , D(f) :=R\ {0}.
(h)f(x) := sin(x)−cos(x)
arcsin(x) , D(f) := [−1,1]\ {0}.
(i)f(x) :=
√x ex
tg (x), D(f) :=R+\kπ
2 :k∈N+ . (j)f(x) :=ln(x) arth (x)
√3
xsh (x) , D(f) := (0,1).
Megold´as.
(a) A szorzat deriv´al´asi szab´alya alapj´an
√3
xtg (x)0
= √3 x0
·tg (x) +√3
x· tg (x)0
=
= 1
3x−23tg (x) +√3
x 1
cos2(x)= tg (x) 3√3
x2 +
√3
x cos2(x), x∈D(f)\ {0}.
(b) 3xarccos(x)0
= (3x)0·arccos(x) + 3x· arccos(x)0
=
= 3xln(3)·arccos(x)+3x· −√ 1
1−x2
= 3x
ln(3) arccos(x)−√1
1−x2
, x∈(−1,1). Teh´atD(f0) =D(f)\ {−1,1}.
(c) 3ctg (x) lg(x)0
= 3
−sin12(x)·lg(x) + ctg (x)· 1x· ln(10)1
=
= 3ctg (x)
ln(10)·x−sinlg(x)2(x)
, x∈D(f).
(d) E h´aromt´enyez˝os szorzatot el˝osz¨or tekints¨uk ´ugy, mint az els˝o k´et t´enyez˝oj´enek ´es a harmadiknak k´ett´enyez˝os szorzat´at. ´Igy alkalmaz-hatjuk a szorzatra ismert deriv´al´asi szab´alyt:
x4exsin(x)0
= x4ex0
·sin(x) + (x4ex)· sin(x)0
=
= (4x3ex+x4ex) sin(x) + (x4ex) cos(x) =
=x3ex 4 sin(x) +xsin(x) +xcos(x)
, x∈R. (e) Haszn´aljuk a h´anyados deriv´altj´ara tanult ¨osszef¨ugg´est!
th (x)0
= sh (x)ch (x)0
= (sh (x))0·ch (x)−sh (x)·(ch (x))0
ch2(x) =ch2(x)−shch2(x)2(x)=
=ch21(x), x∈R.
58 6. Differenci´alhat´os´ag, deriv´alt
(1+2x) sin(x) cos(x)−2x
2√
5. Deriv´alja a megadott f¨uggv´enyeket!
(a)f(x) := sin(3x), D(f) :=R. kompoz´ıci´oj´anak deriv´al´asa.
sin(3x)0
= cos(3x)·(3x)0 = cos(3x)·3 = 3 cos(3x), x∈R. (b) ¨Osszetett f¨uggv´ennyel van dolgunk, a n´egyzetf¨uggv´eny a k¨uls˝o f¨
ugg-v´eny, a szinuszf¨uggv´eny a bels˝o f¨uggv´eny.
sin2(x)0
= (sin(x))20
= 2 sin(x)·(sin(x))0 = 2 sin(x)·cos(x) =
6.2. Kidolgozott feladatok 59
= sin(2x), x∈R.
(c) Ez is ¨osszetett f¨uggv´eny, most a szinuszf¨uggv´eny a k¨uls˝o f¨uggv´eny ´es a n´egyzetf¨uggv´eny a bels˝o f¨uggv´eny.
sin(x2)0
= cos(x2)·(x2)0= cos(x2)·2x= 2xcos(x2), x∈R. (d) cos(ln(x))0
=−sin(ln(x))·1x, x∈R+. (e) ln(cos(x))0
= cos(x)1 ·(−sin(x)) =−tg (x), x∈D(f).
(f) arctg (5 +x−2x2)0
= 1+(5+x−2x1 2)2 ·(1−4x), x∈R.
(g) A f¨uggv´eny t¨obbsz¨or¨osen ¨osszetett, ez´ert el˝osz¨or tekints¨uk ´ugy, mint a szinusz hiperbolikusz k¨uls˝o f¨uggv´enyb˝ol ´es azx 7→√
1 +x3, x∈ [−1,+∞) bels˝o f¨uggv´enyb˝ol ¨osszetett f¨uggv´enyt, ´ıgy alkalmazzuk az
¨osszetett f¨uggv´eny deriv´al´as´ara ismert szab´alyt!
shp
1+x30
= chp 1+x3
·p 1+x30
=
= chp 1+x3
·1
2(1+x3)−12·(1+x3)0=
=3x2ch √ 1+x3 2√
1+x3 , x∈(−1,+∞).
IttD(f0) =D(f)\ {−1}.
6. Deriv´alja a megadott f¨uggv´enyeket!
(a)f(x) :=xx,D(f) :=R+. (b)f(x) :=xsin(x),D(f) :=R+.
(c)f(x) := (x2+ 1)tg (x),D(f) := −π2,π2 . (d)f(x) := ln(x)2x
,D(f) := [1,+∞).
(e)f(x) :=xxx, D(f) :=R+. Megold´as.
(a) A hatv´any alapja ´es a kitev˝oje sem ´alland´o, ez´ert k¨ozvetlen¨ul sem exponenci´alis f¨uggv´enyk´ent, sem hatv´anyf¨uggv´enyk´ent nem deriv´ al-hatjuk.
Az xx = (eln(x))x = exln(x), x ∈ R+ elemi ´atalak´ıt´as ut´an az e alap´u exponenci´alis k¨uls˝o f¨uggv´eny ´es azx7→xln(x),x∈R+ bels˝o f¨uggv´eny kompoz´ıci´oj´anak deriv´altja
(xx)0 = (exln(x))0=exln(x)· xln(x)0
=exln(x)
1·ln(x) +x· 1 x
=
60 6. Differenci´alhat´os´ag, deriv´alt
=xx(ln(x) + 1), x∈R+.
(b) xsin(x) = (eln(x))sin(x) = eln(x) sin(x), x ∈ R+ alapj´an az e alap´u exponenci´alis k¨uls˝o f¨uggv´eny ´es azx7→ln(x)·sin(x), x∈R+ bels˝o f¨uggv´eny kompoz´ıci´oj´at deriv´alva
(xsin(x))0 = (eln(x) sin(x))0=eln(x) sin(x)· ln(x) sin(x)0 Megjegyz´es.Megmutathat´o, hogy lim
x→1+0f0(x) = 0, ez´ert a deriv´ alt-f¨uggv´eny folytonosan kiterjeszthet˝o az [1,+∞) intervallumra.
(e) xxx = (eln(x))xx =exxln(x), x∈R+ alapj´an az (a) pont eredm´eny´et 7. Deriv´alja az al´abbi f¨uggv´enyeket!
(a)f(x) := 1
6.2. Kidolgozott feladatok 61
3, akkor hasonl´oan
·−sin(x)·sin(x)−(1+cos(x)) cos(x)
sin2(x) =sin13(x), x∈D(f).
62 6. Differenci´alhat´os´ag, deriv´alt Megold´as. Az els˝o k´et t´enyez˝ot egynek tekintve k´ett´enyez˝os szorzatot kapunk:
(f gh)0(a) = (f g)h0
(a) = (f g)0(a)h(a) + (f g)(a)h0(a) =
=
f0(a)g(a) +f(a)g0(a)
h(a) +f(a)g(a)h0(a) =
=f0(a)g(a)h(a) +f(a)g0(a)h(a) +f(a)g(a)h0(a).
Megjegyz´es.A h´aromt´enyez˝os szorzat deriv´al´asi szab´alya f¨uggv´eny´ert´ekek helyett f¨uggv´enyekkel (f gh)0=f0gh+f g0h+f gh0.
9. Legyennpozit´ıv eg´esz sz´am ´es D(f) :=R, f(x) :=
(xnsin x1
, hax6= 0,
0, hax= 0.
Mely n sz´amokra differenci´alhat´o, ill. folytonosan differenci´alhat´o az f f¨uggv´eny?
Megold´as. A nulla pont kiv´etel´evel f folytonosan differenci´alhat´o, ´es a deriv´altja x6= 0 eset´enf0(x) =nxn−1sin 1x
−xn−2cos 1x .
A nulla b´armely k¨ornyezet´eben a f¨uggv´eny esetsz´etv´alaszt´assal van defi-ni´alva, ez´ert a nullabeli differenci´alhat´os´ag´at a defin´ıci´o alapj´an vizsg´ al-juk. A nulla ponthoz tartoz´o k¨ul¨onbs´egi h´anyadosx6= 0 eset´en
f(x)−f(0)
x−0 =xn−1sin 1
x
,
aminekn = 1 mellett nincs hat´ar´ert´eke, n≥ 2 eset´en viszont null´ahoz tart, hiszen az els˝o t´enyez˝o null´ahoz tart, a m´asodik pedig korl´atos. Teh´at azf f¨uggv´eny n≥2 eset´en differenci´alhat´o, ´esf0(0) = 0.
Han≥3, akkor
x→0limf0(x) = lim
x→0
nxn−1·sin 1
x
−xn−2cos 1
x
= 0 =f0(0), mert mindk´et tag els˝o t´enyez˝oje null´ahoz tart, a m´asodik korl´atos. Teh´at ffolytonosan differenci´alhat´o a nulla pontban is. Han= 2, akkor az els˝o tag null´ahoz tart, a m´asodiknak nincs hat´ar´ert´eke, amib˝ol az k¨ovetkezik, hogyf deriv´altf¨uggv´enye nem folytonos a nulla pontban.
10. Sz´amolja ki az al´abbi f¨uggv´enyek ¨osszes magasabb rend˝u deriv´altj´at!
(a)f(x) := 2x3−x2+ 5x−11, D(f) :=R. (b)f(x) := sin(x), D(f) :=R.
6.2. Kidolgozott feladatok 63 (c)f(x) := ln(6x+ 1),D(f) := −16,+∞
. (d)f(x) :=x ex,D(f) :=R.
Megold´as.
(a)f(x) = 2x3−x2+ 5x−11, f0(x) = 6x2−2x+ 5, f00(x) = 12x−2, f000(x) = 12 ´es f(n)(x) = 0, n≥4, x∈R.
(b)f(x) = sin(x), f0(x) = cos(x), f00(x) =−sin(x), f000(x) =−cos(x), f0000(x) = sin(x), x ∈ R. Teljes indukci´oval l´athatjuk be, hogy mindenx∈Reset´en
f(n)(x) =
sin(x), han= 4k, cos(x), han= 4k+ 1,
−sin(x), han= 4k+ 2,
−cos(x), han= 4k+ 3,
k∈N.
(c)f(x) = ln(6x+1),f0(x) = 6x+16 = 6(6x+1)−1,f00(x) =−36(6x+1)−2, x∈D(f).
Teljes indukci´oval igazolhat´o, hogy minden n ∈ N+ ´es x ∈ D(f) eset´en
f(n)(x) = (−1)n+16n(n−1)! (6x+ 1)−n.
(d)f(x) =x ex, f0(x) = (1 +x)ex, f00(x) = (2 +x)ex, x∈R. Teljes indukci´oval bizony´ıthatjuk, hogy minden n ∈ N ´es x ∈ R eset´en f(n)(x) = (n+x)ex.
11. Keresse meg az f(x) :=√
1 +x, D(f) := [−1,+∞) f¨uggv´enyt a nulla pont k¨ozel´eben legjobban k¨ozel´ıt˝o legfeljebb els˝ofok´u polinomot!
Megold´as. A keresett polinom l(x) =f(0) +f0(0)x. Mivel f0(x) = 12· (1+x)−12, x∈(−1,+∞), ´es f(0) = 1, f0(0) = 12, ez´ert l(x) = 1+12x, x∈R.
12. Legyen a ∈ R. ´Irja fel annak az egyenesnek az egyenlet´et, amelyik az f(x) :=ex,D(f) :=Rf¨uggv´eny grafikonj´at az a, f(a)
pontban ´erinti!
Megold´as.Az ´erint˝o egyenes egyenlete y=f(a)+f0(a)(x−a). f0(x) =ex alapj´an f(a) =f0(a) =ea, ´ıgy a keresett egyenlet y=ea+ea(x−a).
13. Legyenn ∈N+ ´esx∈R. Adja meg soktag´u ¨osszegt˝ol mentes alakban (´un.
”z´art alakban”) a
n
X
k=1
kxk=x+ 2x2+. . .+nxn ¨osszeget!
Megold´as.Ap(x) :=
n
P
k=1
xk,x∈Rpolinom deriv´altja p0(x) =
n
P
k=1
kxk−1, x∈R, amitx-szel szorozva a feladatban szerepl˝o ¨osszeget kapjuk.
64 6. Differenci´alhat´os´ag, deriv´alt
Hax6= 1, akkor v´eges m´ertani sorozat ¨osszegek´ent p(x) =
n
X
k=1
xk =xxn−1
x−1 =xn+1−x x−1 . Ebb˝olp0(x) =nxn+1(x−1)−(n+1)x2 n+1, v´eg¨ul
n
X
k=1
kxk= nxn+2−(n+ 1)xn+1+x
(x−1)2 , x∈R, x6= 1.
Hax= 1, akkor az ¨osszeg
n
P
k=1
k= n(n+1)2 .
Megjegyz´es. A p0 polinomf¨uggv´eny folytonos, ez´ert lim
x→1p0(x) = p0(1), vagyis
x→1lim
nxn+1−(n+ 1)xn+ 1
(x−1)2 = n(n+ 1)
2 .
Ezt a hat´ar´ert´eket algebrai azonoss´agok seg´ıts´eg´evel is megkaphatjuk.
6.3. Megoldand´ o feladatok
Az1.–9. feladatban deriv´alja a f¨uggv´enyt!
1. f(x) := ln(x3−3·√
x), D(f) := √5 9,+∞
. 2. f(x) := 7th (x)
ex+ cos(x), D(f) :={x∈R:ex+ cos(x)6= 0}.
3. f(x) := sin(ex−x4), D(f) :=R. 4. f(x) :=
√x
3 ln(x), D(f) :=R+\ {1}.
5. f(x) := ch (2x+x5), D(f) :=R. 6. f(x) := tg (x)−ln(x)
√x , D(f) :=R+\ {π2 +kπ:k∈N}.
7. f(x) := ln3
2 +x 3−x
, D(f) := (−2,3).
8. f(x) := lg(x)
x2 −6xarctg (x), D(f) :=R+. 9. f(x) := sin(x3)
ex −5 cos(2x), D(f) :=R.
6.4. Megold´asok 65 10. LegyenN ∈N+ ´esxn, yn∈R,n∈N+, 1≤n≤N eset´en
Q(a) :=
N
X
n=1
(yn−axn)2, D(Q) :=R.
Hat´arozza meg aQpolinomf¨uggv´eny deriv´altf¨uggv´eny´et ´es m´asodik deri-v´altf¨uggv´eny´et!
11. Sz´am´ıtsa ki az al´abbi f¨uggv´enyek ¨osszes magasabb rend˝u deriv´altj´at!
(a)f(x) := cos(x), D(f) :=R. (b)f(x) := 2x, D(f) :=R. (c)f(x) := 1
1 + 2x, D(f) :=R\
−12 .
12. Sz´amolja ki az al´abbi f¨uggv´enyek magasabb rend˝u deriv´altjait a meg-adott rendig!
(a)f(x) :=x2cos(x), D(f) :=Ra negyedik deriv´altig.
(b)f(x) :=esin(x), D(f) :=Ra harmadik deriv´altig.
13. (Leibniz-t´etel.) Legyenn∈N+, valamintf ´esgazahelyenn-szer diffe-renci´alhat´o f¨uggv´eny. Bizony´ıtsa be, hogyf gis azahelyen n-szer diffe-renci´alhat´o, ´es
(f g)(n)(a) =
n
X
k=0
n k
f(k)(a)g(n−k)(a)!
A14.–15.feladatban hat´arozza meg a f¨uggv´enyt a megadott pont k¨ oze-l´eben legjobban k¨ozel´ıt˝o legfeljebb els˝ofok´u polinomot!
14. f(x) := ln(1 +x), D(f) := (−1,+∞), a:= 0.
15. f(x) := cos(x), D(f) :=R, a:= π 4.
A16.–17.feladatban adja meg annak az egyenesnek az egyenlet´et, amelyik az a, f(a)
pontban ´erinti a f¨uggv´eny grafikonj´at!
16. f(x) := tg (x), D(f) :=R\π
2 +kπ:k∈Z , a:= π 6. 17. f(x) :=√
x, D(f) := [0,+∞), a:= 1.
6.4. Megold´ asok
1. f0(x) = 6x
5 2−3
2x72−6x, x∈ √5 9,+∞
.
2. f0(x) = 7·[ex+cos(x)]−sh (x) ch (x)·[ex−sin(x)]
ch2(x)(ex+cos(x))2 , x∈D(f).
66 6. Differenci´alhat´os´ag, deriv´alt Azf f¨uggv´enyt ott nem ´ertelmezt¨uk, ahol a nevez˝oje nulla. A nevez˝o z´ e-rushelyeinek halmaza megsz´aml´alhat´oan v´egtelen halmaz, melynek nincs val´os torl´od´asi pontja. A D(f) ´ertelmez´esi tartom´any ennek a komp-lementere, p´aronk´ent diszjunkt ny´ılt intervallumok megsz´aml´alhat´oan v´egtelen halmaz´anak uni´ohalmaza.
3. f0(x) = cos(ex−x4)·(ex−4x3), x∈R. 4. f0(x) = 6√ln(x)−2xln2(x), x∈R+\ {1}.
5. f0(x) = sh (2x+x5)·(2xln(2) + 5x4), x∈R. 6. f0(x) =
2x
cos2 (x)+ln(x)−tg (x)−2 2x32
, x∈D(f).
7. f0(x) = (2+x)(3−x)15 ·ln2
2+x 3−x
, x∈(−2,3).
8. f0(x) = 1−2 ln(10)·lg(x)
ln(10)·x3 −6arctg (x)−1+x6x2, x∈R+. 9. f0(x) = 3x2cos(xe3x)−sin(x3)+ 10 sin(2x), x∈R. 10. Q0(a) = 2a
N
P
n=1
x2n−2
N
P
n=1
xnyn, Q00(a) = 2
N
P
n=1
x2n, a∈R. 11. (a)
cos(n)(x) =
cos(x), han= 4k,
−sin(x), han= 4k+ 1,
−cos(x), han= 4k+ 2, sin(x), han= 4k+ 3,
k∈N, x∈R.
(b) (2x)(n)= (ln 2)n·2x, n∈N, x∈R. (c) 1+2x1 (n)
= (−1)n2nn! (1 + 2x)−n−1, n∈N, x∈R\
−12 . 12. (a)f0(x) = 2xcos(x)−x2sin(x),
f00(x) = 2 cos(x)−4xsin(x)−x2cos(x), f000(x) =−6 sin(x)−6xcos(x) +x2sin(x), f0000(x) =−12 cos(x) + 8xsin(x) +x2cos(x).
(b)f0(x) =esin(x)cos(x),
f00(x) =esin(x) cos2(x)−sin(x) ,
f000(x) =esin(x) cos3(x)−3 sin(x) cos(x)−cos(x) .
6.4. Megold´asok 67 13. Teljes indukci´oval bizony´ıtjuk a t´etelt. Ha n = 1, akkor a szorzat deri-v´al´asi szab´alya alapj´an igaz az ´all´ıt´as. Ha n ∈ N+, akkor az indukci´os l´ep´eshez tegy¨uk fel, hogyf ´esg (n+ 1)-szer differenci´alhat´o azahelyen.
Ez´ert l´etezik olyan ny´ılt intervallum, mely tartalmazza az asz´amot, ´es az intervallumon mindk´et f¨uggv´enyn-szer differenci´alhat´o. Az indukci´os feltev´es szerint ennek az intervallumnak mindenxpontj´ara
(f g)(n)(x) =
n
X
k=0
n k
f(k)(x)g(n−k)(x).
Mindk´et oldalt az a helyen deriv´alva, majd a jobb oldalt ´atalak´ıtva, k¨ozben az
n i−1
+
n i
= n+ 1
i
, n, i∈N, 1≤i≤n
¨osszef¨ugg´est is felhaszn´alva a bizony´ıtand´o ´all´ıt´ast kapjuk.
14.l(x) =x, x∈R. 15.l(x) =−
√2
2 x−π4 +
√2
2 , x∈R. 16.y=43 x−π6
+
√3
3 . 17.y= 12(x−1) + 1 = x+12 .