6.2 Publications
6.2.1 Publications directly related to this thesis
The results of this thesis were presented at conferences and published or accepted
in journals and research reports as follows (in parenthesis the relevant Thesis is
indicated):
Journal papers
[P1] E. Weyer, G. Szederkényi, and K. M. Hangos. Grey box fault detection of
heat exchangers. Control Engineering Practice 8:121-131, 2000. (Thesis 1)
[P2] G.Szederkényi, M. Kovács, and K.M. Hangos. Reachabilityof nonlinear
fed-batch fermentation processes. International Journal of Robust and Nonlinear
Control, inprint,2002. (Thesis 2)
[P3] G. Szederkényi, N. R. Kristensen, K. M. Hangos and S. B. Jorgensen.
Non-linearanalysisand controlofacontinuousbioreactor. Computers &Chemical
Engineering,in print,2002. (Thesis 3)
systems. AIChE Journal, 47:1819-1831,2001. (Thesis 4)
Conference papers
[P5] G.Szederkényi,E.Weyer,andK.M.Hangos. Simulataneousfaultdetectionof
heat exchangers. In Proc. of the IFACWorkshop on Fault Detection and
Su-pervision inthe ChemicalProcess Industries,P.S.Dhurjati,S.Cauvin (Eds.),
(Lyon, France),pp. 1-6, June 1998. (Thesis 1)
[P6] K. M. Hangos and G. Szederkényi. Grey box process modeling for fault
de-tectionand isolation. InProc. ofthe EuropeanControlConference(ECC'99),
(Karlsruhe,Germany),(on CD),Aug. 1999. (Thesis 1)
[P7] L. Tesar, G. Dolanc, G. Szederkényi, J. Kadlec, D. Juricic, K. M. Hangos,
andM. Kinnaert. A toolbox formodel-based faultdetection and isolation. In
Proc. of the European Control Conference (ECC'99), (Karlsruhe, Germany),
(on CD),Aug. 1999. (Thesis 1)
[P8] K.M.Hangos,J.BokorandG.Szederkényi. Greyboxcharacterizationof
non-linearprocess systems. In Proc. of the 9th NordicProcess Control Workshop,
(Copenhagen, Denmark), pp. 89-106,Jan. 2000. (Thesis 2)
[P9] G. Szederkényi, N. R. Kristensen, K. M. Hangos, and S. B. Jorgensen.
Non-linear analysis and control of a continuous fermentation process. In Proc.
of the 11th European Symposium on Computer Aided Process Engineering
(ESCAPE-11),R.Gani,S.B.Jorgensen (Eds.),(Kolding,Denmark), pp.
787-792 May 2001. (Thesis 2, Thesis 3)
[P10] G. Szederkényi, K. M. Hangos, J. Bokor, and T. Vámos. Linear output
selectionforfeedbacklinearization. InProc. ofthe15thIFACWorldCongress
on Automatic Control, (Barcelona, Spain),accepted, July 2002. (Thesis 3)
Research reports
[P11] G. Szederkényi. Simultaneous fault detection of heat exchangers. Research
report of the Systems and Control Laboratory SCL-5-1998. Budapest, MTA
SZTAKI, 1998. 39p. (Thesis 1)
[P12] K. M. Hangos, G. Szederkényi, and J. Bokor. Grey box characterization
of nonlinear process systems. Research report of the Systems and Control
LaboratorySCL-1-1999. Budapest, MTA SZTAKI, 1999. 17 p. (Thesis 2)
[P13] K.M.Hangos, J.Bokor,and G.Szederkényi. Analysisand controlof
nonlin-ear process systems. Research report of the Systems and Control Laboratory
SCL-3-2000. Budapest, MTA SZTAKI, 2000. 115 p. (Thesis 2)
[P14] G. Szederkényi. Analysis and control of nonlinear fermentation processes.
ResearchreportoftheSystemsandControlLaboratorySCL-1-2001. Budapest,
MTA SZTAKI, 2001. 53 p. (Thesis 3)
Publications partially related to this thesis but primarily used in another Ph.D.
work are the following
[P15] P. Ailer, I. Sánta, G. Szederkényi, and K. M. Hangos. Nonlinear
model-buildingof a lowpower gas turbine. Periodica Polytechnica, inprint,2002.
[P16] P.Ailer,G.Szederkényi,andK.M.Hangos. Parameterestimationandmodel
validationof a lowpower gas turbine. In Proc. of the IASTEDInternational
Conference on Modeling, Identication and Control (MIC'2002), (Innsbruck,
Austria),accepted, Feb. 2002.
[P17] P. Ailer, G.Szederkényi, and K. M. Hangos. Model-based nonlinear control
of a low power gas turbine. In Proc. of the 15th IFAC World Congress on
Automatic Control, (Barcelona, Spain),accepted, July 2002.
Other publicationsnot connected to the topic of this thesis are as follows
[O1] Hangos Katalin, Szederkényi Gábor. Dinamikus rendszerek paramétereinek
becslése. (Lecture notes) Veszprém, Veszprémi Egyetemi Kiadó, 1999. 99 p.
[O2] Hangos Katalin,BokorJózsef, Szederkényi Gábor. Computer Controlled
Sys-tems-2ndeditionwithexamples. (Lecturenotes)Veszprém,VeszprémiEgyetemi
Kiadó,2002. 135 p.
[O3] J. Nacsa, G. L. Kovács, and G. Szederkényi. Intelligent alert state
detec-tion andswitching ordergeneration atthe 400/120kV substation ofthe Paks
Nuclear Power Plant. In Proc. of the 4th IFAC Symposium on Fault
Detec-tion and Safety for Technical Processes (SAFEPROCESS 2000), (Budapest,
Hungary), pp. 1127-1132, 2000.
[O4] K. Eged, Z. Kis, B. Kanyár, and G. Szederkényi. A critical review of
exper-imental, eld and modeling information on the transfer of radionuclides to
fruits,description of RUVFRUmodel(I).IAEA TECDOC, 2000.
[O5] K. Eged, Z. Kis, B. Kanyár, and G. Szederkényi. A critical review of
exper-imental, eld and modeling Information on the transfer of radionuclides to
fruits,description of RUVFRUmodel(II). IAEA TECDOC, 2001.
[O6] G. Szederkényi, K. Eged, and B. Kanyár. Nukleáris beavatkozások
költség-optimális tervezése Matlab-Simulink rendszerrel. In Neumann János
Kol-lokvium,Veszprém, 1997.
[O7] K. Eged, Z. Kis, G. Szederkényi, and B. Kanyár. Planning nuclear
counter-measures in the way of optimization of cost. 23rd Workshop on Radiation
Protection, Balatonkenese, Hungary,1998.
[O8] B. Kanyár, K. Eged, Z. Kis, Á. Nényei, G. Szederkényi, and A. Sanchez.
Radionuklidok transzportjának modellezése a talaj-növény rendszerek esetén,
szcenárióvizsgálatok. InÚj módszerek a mez®gazdaságban,Szarvas,Hungary,
1999.
Wewouldliketoextendtheresultspresentedinthisthesisinthefollowingdirections
Chapter 2 The results of this part could be extended in a fairly straightforward
way tothe morerealistic case whenthe thermodynamicdriving forceis given
by a nonlinear relationin the heat exchanger model.
Although recursive parameter estimation is a very well-developed area, a few
excellent papers have appeared recently in this eld. In particular, the new
resultspresented in[62],[38]and[49]mightbesuccessfullyappliedinthefault
diagnosisof process systems.
Chapter 3 We have already begun working on the nonlinear model analysis of
systems given in the form of dierential-algebraic equations (DAEs). F
ur-thermore, wewould liketocontinue the nonlinearmodelanalysis with a deep
investigationofnonlinearobservabilityforprocesssystemstobeabletodesign
nonlinear observers.
Chapter 4 The next step in controller design is to study how the modelanalysis
results can be used in the design of not only static but dynamic linear and
nonlinear controllers.
Thestructureofthe globallystabilizingfeedback lawforcontinuous
fermenta-tionprocessesgiven by eqs. (4.13)and (4.14)proved tobe solucky that there
isa goodchance for solving the so-callednonlinear state feedback H
1
control
problem (see e.g. Chapter 7in [89]) for this type of systems.
Chapter 5 FutureworkintheareaofHamiltoniansystemswillbedirectedtowards
designingand tuningnonlinear controllersforpassivationand loop-shaping of
further classes of process systems. The more accurate determination of the
stability regionof thesecontrollers needsalsofurther study forrealistic cases.
Itisalsoaninteresting problemhowprocess modelsof moregeneralformcan
be transformed into Hamiltonian form using state feedback and/or dynamic
extension.
6.4 Tézisek magyar nyelven
Az értekezésben bemutatottúj tudományos eredményeket azalábbi tézisekben
fog-lalom össze. Az egyes tézisek címe után zárójelben a dolgozat vonatkozó fejezete
illetve atézishez tartozó, a6.2szakaszban felsorolt saját publikációkcímkéje
szere-pel.
Tézis 1 Nemlineáris folyamatrendszerek modell alapú hibadiagnosztikája (2.
feje-zet)
([P1], [P5], [P6], [P7], [P11])
Módszertdolgoztamkinemlineárisfolyamatrendszerekmodell-alapú
diagnosz-tikai eljárásainakvizsálatára. A folyamatdinamika leírásárazikai modellt, a
meghibásodásokraszemi-empirikus modellt alkalmaztam.
befolyásolja a vizsgált hibadetektálási és hibaizolációs algorimtusok
tu-lajdonságait. Módszert dolgoztam ki a hiba térbeli lokalizációjára a
fo-lyamatdinamikai modellnek a jelek térbeli elhelyezkedését is gyelembe
vev® nomítása útján.
2. Megmutattam, hogya folyamatmodellmellett rendelkezésre álló
szürke-vagy fehér-doboz hibamodellek alkalmazásával az egy id®ben fellép®
hi-bajelenségek isbiztonságosan detektálhatók és elkülöníthet®k.
Az eredményeket ellenáramú h®cserél®k modell alapú hibadiagnosztikájának
példáján illusztráltam. Az ismert folyamatdinamikátsz¶r®ként használtam a
mérésiadatokbólolyanjelek el®állítására,amelyek karakterisztikus változásai
csak a vizsgált hibajelenségekre jellemz®k. A hibadiagnosztikához rekurzív
paraméterbecsl® és a becsült paraméter hibára jellemz® változását detektáló
algoritmusokatalkalmaztam.
Tézis 2 Folyamatrendszerek nemlineárismodellanalízise (3. fejezet)
([P2], [P8], [P9], [P12], P[13])
Nemlineárisinput-an állapottérmodellel megadott folyamatmodellek
analí-zisét végeztem ellineáris ésnemlineáris módszerekkel, akapotteredményeket
összehasonlítottam.
1. Megmutattam, hogy a folyamatmodellek speciális strukturális
tulajdon-ságait felhasználva az általános esetben nagy bonyolultságú nemlineáris
elérhet®ségi analízis analitikusanis kiszámítható problémává válik. F
er-mentációs folyamatok elérhet®ségének példáján mutattam be, hogy az
elérhet®ségi analízis során kiszámított szinguláris pontok mérnökileg jól
értelmezhet® zikaijelentéssel bírnak.
2. Megmutattam, hogy izoterm félfolyamatos (fed-batch) üzem¶
fermentá-ciós folyamatok széles osztálya nemlineáris értelemben nem irányítható
a bemen®folyadékáram segítségével,mertazirányíthatóságidisztribúció
rangja az állapottér minden pontjában kisebb mint az állapotváltozók
száma. Meghatároztamaztaglobáliskoordináta-transzformációt,
amely-nek segítségével a félfolyamatos üzem¶ fermentációs folyamatok
állapot-tér modellje irányíthatósági kanonikus alakra hozható. Megmutattam,
hogy a kiszámított koordináta-transzformáció független a fermentációs
modellben szerepl® forrásfüggvényt®l. A koordináta-transzformáció
fel-használásávalmegadtam a félfolyamatosüzem¶fermentációs folyamatok
minimális állapottér realizációját. Meghatároztam egy dimenzionálisan
homogén megmaradó mennyiséget, amelyazállapotváltozók nemlineáris
kombinációja. Az eredményeket h®mérsékletfügg®esetreis
általánosítot-tam.
3. Megmutattam,hogy folyamatosüzem¶ izotermfermentációs folyamatok
zéró dinamikája a szubsztrátkoncentrációra nézve globálisan
aszimtpto-tikusan stabil a forrásfüggvényt®l függetlenül (azaz a folyamatos üzem¶
telemben minimálfázisúrendszerek), míga biomasszakoncentráció
kime-netbe való bevonása a zéró dinamika(és így visszacsatolás esetén a zárt
rendszer) stabilitási tartományát sz¶kíti.
Tézis 3 Analízisalapú szabályozóstruktúra-választás (4. fejezet)
([P3], [P9], [P14])
A nemlineáris analízis eredményeinek a szabályozó-struktúra tervezésében és
kiválasztásában betöltött szerepét vizsgáltam. Lineáris és nemlineáris
sza-bályozókat terveztem folyamatos üzem¶ fermentációs folyamatok stabilizáló
szabályozására. A szabályozók m¶ködését összehasonlítottam.
1. Módszertdolgoztamkiarra,hogyanemlineárisanalízissoránkapott
el®-zetes információk(stabilitásitartomány,elérhet®ségi disztribúció
szingu-lárispontjai,zéródinamika)hogyanhasználhatókfelfolyamatrendszerek
statikus nemlineáris szabályozóinak tervezésére.
2. Elméleti analízissel és szimulációs kísérletekkel megmutattam, hogy a
modell analízis eredményeinek gyelembevételével tervezett nemlineáris
statikus visszacsatolások tulajdonságai el®nyösebbeka linearizáltmodell
alapjántervezett lineáris szabályozókénál.
3. Módszertadtamfolyamatosüzem¶ fermentációs folyamatokatglobálisan
stabilizálónemlineárisstatikus szabályozó tervezésére. A szabályozó
ter-vezési paramétere a zárt rendszer kvadratikus Ljapunov-függvénye.
4. Általánosan alkalmazható módszert adtam nemlineáris, egy bemenet¶,
lokálisan irányíthatóinput-an alakú állapottér modellek lokális
stabili-zálására. A módszerrel a lineáris optimális szabályozás és a nemlineáris
rendszerek közti kapcsolatot felhasználva olyan lineáris kimenet
választ-ható ki, amelyre nézve arendszer legalábblokálisan minimálfázisú.
Tézis 4 Folyamatrendszerek hamiltoni leírása (5. fejezet)
([P4])
A folyamatrendszerek széles osztályát leíró dinamikus modellek egyszer¶
ha-miltonialakrahozhatók. Azegyszer¶hamiltonileírásalapjána
folyamatrend-szerekhez stabilizálóés nemlineáris loop-shaping szabályozók tervezhet®k.
1. Módszertdolgoztamkiahamiltonistabilizálóésnemlineárisloop-shaping
szabályozók hangolásához, amely a visszacsatolt rendszer globális
stabi-litásvizsgálatán alapul.
2. Megadtam a folyamatrendszerek egyszer¶ hamiltoni leírásának a
rend-szer forrásfüggvényére vonatkozó feltételét. Ennek alapján
megállapítot-tam, hogy a forrást nem tartalmazó, valamint a csak egy komponenst
tartalmazó, forrással is rendelkez® folyamatrendszerek mindig leírhatók
egyszer¶ hamiltonimodellekkel.
Detailed Simulation Results of
Chapter 4
0 5 10 15 20 25
−3
−2
−1 0 1 2 3
Time [h]
Centered concentration [g/l]
Biomass concentration Substrate concentration
0 5 10 15 20 25
1 1.5 2 2.5 3 3.5
Time [h]
Input feed flow rate [l/h]
Input feed flow rate
FigureA.1: Centeredstatevariablesand input,partiallinearcontroller,X(0)=2 g
l ,
S(0)=0:1 g
l
, k =1
0 5 10 15 20 25
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1 0 0.1 0.2 0.3
Time [h]
Centered concentration [g/l]
Biomass concentration Substrate concentration
0 5 10 15 20 25
3.06 3.08 3.1 3.12 3.14 3.16 3.18 3.2 3.22 3.24
Time [h]
Input feed flow rate [l/h]
Input feed flow rate
Figure A.2: Centered state variables and input, full state feedback pole placement
controller,X(0) =4:5 g
l
,S(0) =0:1 g
l
0 5 10 15 20 25
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5
Time [h]
Centered concentration [g/l]
Biomass concentration Substrate concentration
0 5 10 15 20 25
1 1.5 2 2.5 3 3.5
Time [h]
Input feed flow rate [l/h]
Input feed flow rate
FigureA.3: Centeredstatevariablesandinput,LQcontroller,cheapcontrol,X(0)=
2 g
l
,S(0)=0:1 g
l
0 5 10 15 20 25
−2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5
Time [h]
Centered concentration [g/l]
Biomass concentration Substrate concentration
0 5 10 15 20 25
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
Time [h]
Input feed flow rate [l/h]
Input feed flow rate
Figure A.4: Centered state variables and input, LQ controller, expensive control,
X(0)=3 g
l
,S(0) =0:1 g
l
0 5 10 15 20 25
−1.4
−1.2
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2 0 0.2 0.4
Time [h]
Centered concentration [g/l]
Biomass concentration Substrate concentration
0 5 10 15 20 25
2 2.5 3 3.5
Time [h]
Input feed flow rate [l/h]
Input feed flow rate
FigureA.5: Centeredstate variablesandinput,linearizationofthebiomass
concen-tration,X(0)=3:5 g
l
, S(0)=0:1 g
l
.
0 5 10 15 20 25
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5
Time [h]
Centered concentration [g/l]
Biomass concentration Substrate concentration
0 5 10 15 20 25
1 1.5 2 2.5 3 3.5
Time [h]
Input feed flow rate [l/h]
Input feed flow rate
Figure A.6: Centered state variables and input, linearization of the substrate
con-centration,X(0)=2 g
l
, S(0)=0:1 g
l
0 5 10 15 20 25
−2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5
Time [h]
Centered concentration [g/l]
Biomass concentration Substrate concentration
0 5 10 15 20 25
1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6
Time [h]
Input feed flow rate [l/h]
Input feed flow rate
FigureA.7: Centered state variablesand input,linearization ofthe linear
combina-tion of the biomass and substrate concentrations, X(0)=3 g
l
,S(0)=0:1 g
l
0 5 10 15 20 25
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5
Time [h]
Centered concentration [g/l]
Biomass concentration Substrate concentration
0 5 10 15 20 25
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
Time [h]
Input feed flow rate [l/h]
Input feed flow rate
FigureA.8: Centeredstatevariablesandinput,passivitybasedcontrol,X(0)=2 g
l ,
S(0)=0:1 g
l
6
;
FigureA.9: TimederivativeoftheLyapunovfunctionasafunctionofcenteredstate
variables q
1
=1;q
2
=0:1, poleplacementcontroller, K
pp
=[ 0:3747 0:3429]
6
;
Figure A.10: Time derivative of the Lyapunov function as a function of centered
state variables q
1
=1;q
2
=0:1, partial linear feedback, k =1
6
;
Figure A.11: Time derivative of the Lyapunov function as a function of centered
state variables q
1
=1;q
2
=1, LQcontroller, cheap control
6
;
Figure A.12: Time derivative of the Lyapunov function as a function of centered
state variables q
1
=1;q
2
=1, LQcontroller, expensive control
6
;
Figure A.13: Time derivative of the Lyapunov function as a function of centered
state variables q
1
=1;q
2
=1, linearizingthe substrate concentration, k=0:5
6
;
Figure A.14: Time derivative of the Lyapunov function as a function of centered
state variables q
1
=1;q
2
=1, linearizingthe linear combination of the biomassand
substrate concentrations, K =[ 0:6549 0:5899]
T
,k =0:5
6
;
Figure A.15: Time derivative of the Lyapunov function as a function of centered
state variables q
1
=1;q
2
=1, passivity based controller, k =0:5
.
Mathematical tools
This chapter summarizes the basic mathematical notions and techniques for the
analysis and controlof nonlinear systems in the followingsections.
B.1 Notations, basic tools and concepts
B.1.1 State space representation
_
x=f(x)+ P
m
i=1 g
i (x)u
i
(B.1)
y=h(x) (B.2)
x2R n
; f;g
i 2R
n
!R n
i=1;:::;m (B.3)
f = 2
6
4 f
1
.
.
.
f
n 3
7
5 g
i
= 2
6
4 g
1i
.
.
.
g
ni 3
7
5 h=
2
6
4 h
1
.
.
.
h
p 3
7
5
(B.4)
B.1.2 Changes of coordinates (coordinates transformations)
Transforming the coordinates in the state space is often very useful in order to
highlight some properties of interest (e.g. reachability, observability etc.), or to
showhow certaincontrolproblems can be solved.
Linear changes of coordinates
Thiskindoftransformationcorrespondstothesubstitutionofthe originaln
dimen-sional state vector x with a new vector z related to x by a transformation of the
form
z =Tx (B.5)
where T is a nonsingularnn matrix. Accordingly, the originaldescription of the
linear system
_
x = Ax+Bu (B.6)
y = Cx (B.7)
_
Nonlinear changes of coordinates
A nonlinear change of coordinates is writtenas
z =(x) (B.11)
where represents aR n
-valued functionof n variables,i.e.
(x) =
with the followingproperties
1. is invertible, i.e. there exists a function 1
arebothsmoothmappings,i.e. theyhavecontinuouspartial
deriva-tives of any order.
A transformationof this type is called aglobal dieomorphismon R n
.
Sometimes, a transformation having both these properties and dened for all x
is dicultto nd. Thus, in most cases one rather looks attransformations dened
only in a neighborhood of a given point. A transformation of this type is called a
local dieomorphism. In order to check whether a given transformation is a local
dieomorphismor not, the followingresult is very useful.
Suppose is a smooth function dened on some subset U of R n
. Suppose the
jacobian matrix of is nonsingular at a point x = x 0
. Then, on a suitable open
subset U 0
of U, containingx 0
, denes a localdieomorphism (see e.g. [35]).
B.1.3 Lie-derivative
2R
Derivativeof alongf:
L
Repeated use:
L
f;g 2R
Lie-product (bracket) of f and g:
[f;g](x)=
Important properties
bilinearityover R
f
skew commutativity
[f;g]= [g;f] (B.20)
Jacobi identity
[f;[g;p]]+[g;[p;f]]+[p;[f;g]]=0 (B.21)
B.1.5 Distributions
f
A vector space is assignedto eachpointof U. Notation:
=spanff
Obviously, if the distributions
1
and
2
are spanned by the functions (f
1
) respectively, then the distribution (
1
9d2N such that
dim((x)) =d 8x2U (B.26)
x 0
is a regular point of a distribution :
Thereexists a neighborhood U 0
of x 0
such that is nonsingular onU 0
.
point of singularity:
not a regularpoint
f belongs to the distribution (f 2):
f(x)2(x) 8x (B.27)
a distribution
1
contains a distribution
2
a distribution is involutive:
a distribution is invariant underthe vector eld f:
2)[f;]2 (B.30)
B.1.6 Codistributions
Denitions:
the set of all linearreal-valued functions dened onV.
f(x)=f(x
Notethat f isgiven by the rowvector a.
covector-eld:
A mappingfromR n1
toR 1 n
. (Arowvector valued function).
f(x)=f(x
2R
codistribution :
Let!
1
;:::;!
n
be smooth covector-elds.
(x)=spanf!
1
(x);:::;!
d
(x)g (B.35)
Pointwise: codistributionsare subspaces of (R n
)
. Notation:
=spanf!
1
;:::;!
d
g (B.36)
analogue concepts: addition, intersection, inclusion, dimension at a point,
regular point, point of singularity
annihilator of a distribution (
?
):
The set of all covectors whichannihilates all vectors in (x).
The annihilator of a distribution is a codistribution. The annihilator of a
smooth distributionis not necessarily smooth.
annihilator of a codistribution (
?
The annihilator of acodistribution isa distribution.
a codistribution ! is invariant under the vector eldf:
!2 ) L
f
! 2 (B.39)
where(L
f
!)(x)=!(x)
@f(x)
@x
Important properties of distributions and codistributions
sum of dimensions
dim()+dim(
?
)=n (B.40)
inclusion
annihilatorof an intersection
(
at a pointx 0
is equalto the rankof F(x 0
). If the entries of F are smooth
functionsof x then the annihilator of is identiedat each x2U by the set
of rowvectors w
satisfyingthe condition w
F(x)=0
If a codistribution is spanned by the rows of a matrix W, whose entries
are smooth functions of x, its annihilator is identied at each x by the set of
vectors v satisfyingW(x)=0. (I.e.
?
(x)=ker(W(x)))
If a smooth distribution is invariant under the vector eld f, then the
codistribution =
?
is also invariant under f. If a smooth codistribution
is invariant under the vector eld f, then the distribution =
?
is also
invariantunder f.
A smooth distribution=spanff
1
;:::;f
d
g isinvolutive if and only if
[ f
i
;f
j
]2 8 1i;j d: (B.43)
B.2 Manifolds
AlocallyEuclideanspaceX ofdimensionn isatopologicalspacesuchthat,foreach
p2X,thereexistsahomeomorphism mappingsomeopen neighborhoodofponto
anopen set in R n
.
A manifold N of dimension n is a topological space which is locally Euclidean
of dimension n, is Hausdor (i.e. any two dierent points p
1
and p
2
have disjoint
neighborhoods) and has a countable basis.
B.3 Conservation matrices and their properties
Denition B.3.1 A real square matrix F = ff
ij g
n
i;j=1
of order n is said to be a
column conservation matrix (or a row conservation matrix) if it is a matrix with
dominant main diagonal with respect columns (or rows), i.e.
jf
ii j
X
j6=i jf
ij j=R
i
; i=1;2;:::;n (B.44)
or
jf
ii j
X
j6=i jf
ji j=C
i
; i=1;2;:::;n (B.45)
and its elements have the following signpattern
f
ii
0 ; f
ij
0 ; i6=j (B.46)
In case of proper inequalityfor every inequalityin eitherEq. (B.44) or (B.45) F is
saidtobe aa strictcolumnconservationmatrixor astrictrowconservationmatrix.
Conservation matrices are nonsingular and stable matrices (Szidarovszky and
Bahill,1991).
Quadratic forms are important expressions in loss functions of both parameter
es-timationand controlproblemformulations. A quadratic formis anexpression
con-taininga vector x2R n
and a square matrix Q2R nn
:
q
Q
=x T
Qx (B.47)
Observe that the value of the quadratic formitself isa real number, that is
x T
Qx2R
A quadratic form is denite if it has the same sign for every possible vector x.
The matrix Q present in the quadratic form is called denite if the corresponding
quadraticform isdenite. In particular, aquadratic matrix Q is called
positive denite, if x T
Qx>0
degative denite,if x T
Qx<0
positive semidenite, if x T
Qx0
negative semidenite, if x T
Qx0
if neither of the above conditions hold
for every possible x2R n
.
B.5 Stability of nonlinear systems
In this section we give a very brief summary on Lyapunov stability. We consider
the stability ofan autonomoussystem, i.e.
_
x=f(x) (B.48)
that can be eitheran open loopnonlinearcontrol system assumingzero input,or a
closedloopnonlinear statespace model. We assumethat x2R n
and f isasmooth
vectoreld onR n
. The solution of(B.48) for initialcondition x(0) =x
0
is denoted
asx(t;x
0 ).
Denition B.5.1 Let x
be an equilibrium point of (B.48) i.e. f(x
) = 0. The
equilibrium x
is
1. stable, if for each >0 there exists Æ() such that
kx
0 x
k<Æ())kx(t;x
0 ) x
k<;8t0 (B.49)
2. locally asymptotically stable, if it is stableand there exists r(x
)>0such that
kx
0 x
k<r(x
)) lim
t!1 x(t;x
0 )=x
(B.50)
3. globally asymptotically stable, if it is stable and lim
t!1 x(t;x
0
) = x for all
x
0 2R
n
4. unstable, if it is notstable.
Theorem B.5.1 (First method of Lyapunov) Theequilibriumpointx
of(B.48)
islocallyasymptoticallystableifthe matrixA:=
@f
@x (x
)isasymptoticallystable,i.e.
if the matrix A has all its eigenvalues in the open left half plane. The equilibrium
point is unstable, if at least one of the eigenvalues of the matrix A has a positive
realpart.
Theorem B.5.2 (Second method of Lyapunov) Letx
beanequilibriumof(B.48).
Let V :R n
!R +
be a C 1
function with
V(x
)=0; V(x)>0; x6=x
0
(B.51)
such that
_
V(x)=
@V
@x
f(x)0; 8x2R n
(B.52)
Then x
is a stable equilibrium. If moreover
_
V(x)<0; 8x2R n
; x6=x
; (B.53)
thenx
isanasymptoticallystableequilibrium,whichisgloballyasymptoticallystable
if V is proper (that is, the sets fx 2 R n
j0 V(x) cg are compact for every
j0 V(x) cg are compact for every