Az eddigiek ismertében vázoljuk fel, hogy milyen időbeni változást (kinetika) várunk egy reaktorban.
Ha N-nel jelöltjük a neutron számát, akkor a dt idő alatt a változása arányos lesz a neutronok számával. Az előzőekben láttuk, hogy a reaktivitás írja le az arányossági tényezőt két generáció között, azaz L idő alatt. Ez a késő neutronok figyelembevétele nélkül volt. Ha figyelembe vesszük a késő neutronokat, akkor annyi, azaz
bétahányad hiányozni fog a születendő neutronszámból, és neutronok helyett az első lépésben késő anyamagokat szülnek. Azaz a késő anyamagok számának növekedéséhez járulnak hozzá. Ezek viszont
lebomlanak l bomlási állandóval, azaz csökkentik ilyen mértékben a késő anyamagok számát. Minden késő anyamag megszűnéséből egy új neutron keletkezik. Ezt írjuk most fel:
Oldjuk meg ezt a csatolt egyenletet! Lásd 2.10 példát!
3.1. Az időtérben a megoldás: az inverz kinetika, „inhour equation”
Írjuk fel ismét, de most már hat késő csoporttal csatolt pontkinetikus egyenletet (mert valójában még több késő neutron anyagmag is létezik, de idő és hozam szerint ezeket hat, közel azonos bomlási állandójú csoportot lehet kialakítani)!
Keressük a megoldását a következő alakban:
Behelyettesítve, kapunk hét egyenletet a fő megoldásokra:
Az alsó hat egyenletből a k-dik prekurzor (késő anyamagra) a következő kifejezést kapjuk:
Behelyettesítve az első, a neutronháztartást leíró egyenletbe, megkapjuk a híres inhour- (inverz kinetikus) egyenletet:
A csatolt differenciálegyenletek megoldási szabályai szerint már csak ennek gyökeit kellene meghatározni, és azokból lineáris kombinációval megkaphatnánk az alapmegoldást, a szélsőértékek figyelembevételével pedig meghatározhatnánk az abban szereplő szabad konstansokat. A gyökök meghatározása, azaz az ómega kifejezése a fenti egyenletből nem kis feladat, ezért inkább grafikusan oldjuk meg. Ez úgy történik, hogy a bal oldali részt ábrázoljuk úgy, mint y = ρ, és felrajzolva a jobb oldali ómega-függvényt, megkeressük a görbesereg metszési pontjait az y = ρ „egyenessel”.
3.3.1.1. ábra
A 3.3.1.1.ábrán berajzoltuk a L generációs idővel képzett aszimptotikus egyenlet egyenesét is:
Definiáljuk a hosszú idő után eltelt aszimptotikus időkre a reaktor periódusidejét:
és máris leolvashatjuk az ábráról az alapvető időbeni viselkedését a reaktornak:
ahol az ómegák a fenti grafikus megoldásban szereplő gyökök, a lineáris kombináció gyökeit a szélsőértékek (kezdeti és végfeltételek) alapján kell meghatározni.
Rápillantva az inhour egyenlet grafikus megoldásaira, láthatjuk, hogy aszimptotikusan a reaktor pozitív reaktivitás-érték esetén exponenciálisan növekvő neutronpopulációval rendelkezik. Szokás definiálni azt az időt, ami alatt a populáció kétszeresére nő:
ahonnan
Tehát a populáció megkétszereződik a periódusidő ln2-szörösének ideje alatt.
Máris „tudjuk”, hogyan viselkedik a reaktor. Rövid időn belül, ha változik a reaktivitás, akkor valamilyen átmeneti, a hét exponenciális súlyozott összegeként létrejövő átmenet után aszimptotikusan exponenciálisan nő vagy csökken a neutronok száma, amit majd, ha térben is kiterítünk, neutronfluxusnak fogunk nevezni.
A gyakorlófeladatokban mutatjuk be, hogy mi történik, ha egy kritikus reaktorból kihúzunk egy rudat (no, nem teljesen, csak valamennyivel megnöveljük a reaktivitást, vagy fordítva, ha beejtünk egy rudat, azaz negatív reaktivitást hozunk létre). Látható a megoldott példákból, hogy exponenciálisan növekvő vagy csökkenő lesz a válasz, és a görbének a kitevőjéből meg lehet határozni a kétszerezési idő segítségével (felfelé) vagy a csillapításból (lefelé) a reaktivitás értékét. Ezt a két kísérletet nevezik rúdkilökődési kísérletnek vagy rúdejtési kísérletnek, és ezzel kalibrálják be a rudakat, azok „értékességét”, azaz azt, hogy mennyit érnek a rudak, mennyi a reaktivitásra kifejtett hatásuk, ha kihúzzuk őket vagy betoljuk. Ezt aztán kisebb húzásokra, illetve egységekre (dollárt centekre) lehet váltani, és máris kész a reaktorszabályozó rendszerünk.
Mielőtt továbblépnénk, érdemes megoldani a gyakorlófeladatokat! Azokon keresztül ismerkedünk meg a rúdhúzások értékével és különböző egyszerű reaktivitás-mérési módszerekkel.
3.2. Frekvenciatér: a reaktor átviteli függvénye
Elemezzük a frekvenciatérben a reaktor átvitelét! Ezt az irányítástechnikából jól ismert módon vezetjük le.
(Felhívjuk a figyelmet arra, hogy ez egy egyszerű megoldása a pontkinetikus egyenletrendszernek!)
Ha Laplace- vagy Fourier-transzformációt végzünk, a fenti egyenleteken, a következőt kapjuk:
Fourier-transzformáció esetén
Ha a bemenet ugrásfüggvény, akkor a válasz kiszámításához a Laplace-transzformációt használhatjuk. Ha a folyamat „steady state”, azaz állandó, a reaktivitás fluktuációval vezérelt, akkor a Fourier-transzformáció a helyes út.
Behelyettesítve és kifejezve
Az átviteli függvényt, ha ábrázoljuk:
3.3.2.1. ábra
Mit jelent ez köznapi kifejezésekkel? Mit látunk a 3.3.2.1. ábrán? Alacsony frekvenciákon, azaz a generációs idő reciproknál kisebb frekvenciákon ez az átviteli függvény szinguláris, azaz viszonylag kis amplitúdójú oszcillációkra is nagy neutronoszcillációkkal válaszolna. (A feltételes módot megértjük majd, ha bevezetjük a reaktivitás-együtthatók fogalmát, amely jellemzi a termikus visszacsatolásokat a reaktorban). Ezután egy viszonylag széles plató következik, amelyen a reaktor körülbelül 1/béta erősítéssel válaszol a reaktivitás-fluktuációkra. Majd béta/lambda-érték felett az átvitel kb. 1/20 dB meredekséggel elkezd csökkenni. A gyors fluktuációkat a reaktor nem képes átvinni. Ez persze roppan előnyös, mert egyben azt is jelenti, hogy ennél nagyobb frekvenciákat nem visz át a reaktor. Más szóval a letörési frekvenciának a reciprokjánál gyorsabb időbeni változásokat nem képes követni, illetve késéssel követi. Ez lehetővé teszi, hogy közbeavatkozhassunk.
Ez pedig a késő neutronoknak köszönhetjük.
A további részleteket megtalálhatjuk Keepin: Kinetics of nuclear reactors, Wiley, 1958. c. könyvében, ahol azt is megláthatjuk, hogy a visszacsatolások szerencsésen megölik a pólust a zéró frekvenciánál.