Példa az időtartamok becslésére

Egy termelő vállalat nyílászárókat készít. A tevékenységeinek (percekben mért) időtartamát feljegyzi, és a következő megállapításokat teszi (tapasztalatai alapján). Naponta 75-80 nyílászárót tud elkészíteni. 25 munkása van a különböző munkák elvégzéséhez. Kérdés az, hogy hogyan tudja fokozni a termelését, ha tudjuk, hogy a tevékenységidők a legvalószínűbb időtartamtól maximum -10 – +30% között tér(het)nek el. A költségigényekkel most még nem foglalkozunk. Az erőforrás-szükségletet pedig adott tevékenység esetén konstansnak vesszük.

Az egyszerűség kedvéért tételezzük fel, hogy a tevékenység időtartama, mint valószínűségi változó β-eloszlást követ. Feltételezzük továbbá, hogy a tevékenységeket egymás után sorban hajtjuk végre.

Srsz. Tevékenység megnevezése a b m t σ² _{r1 r2} α β

1Darabolás 9,0 13,0 10,0 10,3 0,44 0,87 1,26 2 4

2

Vízkifolyó és kilincshely

kimaratása 9,0 13,0 10,0 10,3 0,44 0,87 1,26 2 4

3Merevítő vas vágása 4,5 6,5 5,0 5,2 0,11 0,87 1,26 2 4

4Csavarozás 4,5 6,5 5,0 5,2 0,11 0,87 1,26 2 4

5

Fő szerkezeti egységek

összeállítása és hegesztése 6,3 9,1 7,0 7,2 0,22 0,87 1,26 2 4 6Hegesztés utáni sorjázás 5,4 7,8 6,0 6,2 0,16 0,87 1,26 2 4 7

Vasalatok és pántok szerelése

(szárny) 13,5 19,5 15,0 15,5 1,00 0,87 1,26 2 4

8

Vasalatok és pántok szerelése

(tok) 13,5 19,5 15,0 15,5 1,00 0,87 1,26 2 4

9Üvegezés (panel), üveglécezés 6,8 9,8 7,5 7,8 0,25 0,87 1,26 2 4 10

Funkcionális elemek beállítása és

ellenőrzése 3,6 5,2 4,0 4,1 0,07 0,87 1,26 2 4

Σ Összesen 76,1 109,9 84,5 87,3 3,8

2.8.3.1.1-1 táblázat: tevékenységek várható időtartamának, standard bizonytalanságának illetve a β-eloszlás paramétereinek becslése

Ha az egyes tevékenységek várható időtartama, mint valószínűségi változó β-eloszlást követ, akkor használjuk a PERT-módszert az egyes paraméterek becslésére. Ekkor a legyen az optimista becslés (itt a tevékenység legvalószínűbb időtartamának m 90%-a). Legyen b a pesszimista becslés (itt a tevékenység legvalószínűbb időtartamának m 130%-a).

Az előző fejezet egyenleteit felhasználva kiszámíthatók a fenti paraméterek (várható érték, szórás, eloszlás paraméterei stb.)

Ha a fenti paraméterek ismertek, meghatározható az átfutási idő (TPT) várható értéke E(TPT), illetve szórása σ_TPT² (összetett standard bizonytalansága u_c²

(

TPT

)

).

A számítás megkönnyítése érdekében tegyük fel a következőket:

1. f egy egyszerű összegző függvény, tehát az átfutási idő nem lesz más, mint a kritikus úton lévő tevékenységek (itt az összes tevékenység) időtartamának összege. Ekkor a deriváltak 1-ek lesznek.

2. A tevékenységek között nincs korreláció. Ekkor az összeg második fele 0.

Így az összefüggés a következőképpen egyszerűsödik:

( ) ∑ ( ) ∑

Tehát az átfutási idő szórásnégyzete nem lesz más, mint az időtartamok szórásnégyzeteinek összege. Látható azonban, hogy a modell akkor is alkalmazható, ha a tevékenységek között létezik korreláció.

Meghatározható továbbá adott valószínűségi szintek (90%, 95%, 99%) mellett, mennyi lesz legrosszabb esetben a tevékenységek időtartama.

Srsz. Tevékenység megnevezése m t t_p=0,9 t_p=0,95t_p=0,99 t_P=0,9 t_P=0,95t_P=0,99p_P=0,9p_P=0,95p_P=0,99

1Darabolás 10,0 10,3 11,3 11,6 12,1 10,6 10,7 10,9 0,68 0,71 0,77

2

Vízkifolyó és kilincshely

kimaratása 10,0 10,3 11,3 11,6 12,1 10,6 10,7 10,9 0,68 0,71 0,77 3Merevítő vas vágása 5,0 5,2 5,7 5,8 6,1 5,3 5,4 5,4 0,68 0,71 0,77

4Csavarozás 5,0 5,2 5,7 5,8 6,1 5,3 5,4 5,4 0,68 0,71 0,77

5

Fő szerkezeti egységek

összeállítása és hegesztése 7,0 7,2 7,9 8,1 8,5 7,4 7,5 7,6 0,68 0,71 0,77 6Hegesztés utáni sorjázás 6,0 6,2 6,8 7,0 7,3 6,4 6,4 6,5 0,68 0,71 0,77 7

Vasalatok és pántok szerelése

(szárny) 15,0 15,5 17,0 17,4 18,2 15,9 16,1 16,3 0,68 0,71 0,77

8

Vasalatok és pántok szerelése

(tok) 15,0 15,5 17,0 17,4 18,2 15,9 16,1 16,3 0,68 0,71 0,77

9Üvegezés (panel), üveglécezés 7,5 7,8 8,5 8,7 9,1 8,0 8,0 8,2 0,68 0,71 0,77 10

Funkcionális elemek beállítása és

ellenőrzése 4,0 4,1 4,5 4,7 4,8 4,3 4,3 4,3 0,68 0,71 0,77

ΣÖsszesen 84,5 87,3 95,8 98,3 102,3 89,82 90,53 91,86

2.8.3.1.1-2 táblázat: tevékenységek időtartamai különböző biztonsági szintek esetén

Ebben az esetben p a tevékenységekhez tartozó biztonsági szintet jelöli. Tehát pl.

tp=0,9 azt jelenti, hogy 90%-os biztonsági szint mellett az esetek 90%-ában a tevékenység

legalább ennyi idő alatt végre fog hajtódni. Minél magasabb ez a biztonsági szint, annál nagyobb a (becsült) időtartam. Ha egy tevékenység csúszni is fog, de a közöttük lévő korreláció 0, annak az esélye, hogy minden tevékenység csússzon, elég kicsi. Ezért itt a tevékenységek 90%-os biztonsági szint melletti időtartamainak egyszerű összegzése helyett célszerű – az átfutási idő összetett standard bizonytalanságát felhasználva – valamely biztonsági szintre meghatározni az átfutási időt. P ezt a valószínűséget jelöli. tP=0,9 tehát azt jelenti, hogy ha az átfutási idő az esetek 90%-ában legfeljebb TPTP=0,9=89,82 óra, akkor átlagosan tP=0,9 lesz a tevékenység időtartama. Az esetek pP=0,9=68%-ában egy adott tevékenység időtartama nem lesz nagyobb ettől a tP=0,9 értéktől.

Srsz. a b m t σ² r rmax n rn rm tn tnp=0,9tnp=0,95tnp=0,99tnP=0,9tnP=0,95tnP=0,99

1 9,0 13,0 10,0 10,3 0,44 2 4 2 4 0 5,17 5,67 5,81 6,06 5,31 5,36 5,44 2 9,0 13,0 10,0 10,3 0,44 2 4 2 4 0 5,17 5,67 5,81 6,06 5,31 5,36 5,44 3 4,5 6,5 5,0 5,2 0,11 1 3 1 1 2 5,17 5,67 5,81 6,06 5,31 5,36 5,44 4 4,5 6,5 5,0 5,2 0,11 1 3 1 1 2 5,17 5,67 5,81 6,06 5,31 5,36 5,44 5 6,3 9,1 7,0 7,2 0,22 1 3 2 2 1 3,62 3,97 4,07 4,24 3,72 3,75 3,80 6 5,4 7,8 6,0 6,2 0,16 1 4 2 2 2 3,10 3,40 3,49 3,63 3,19 3,21 3,26 7 13,5 19,5 15,0 15,5 1,00 1 5 4 4 1 3,88 4,25 4,36 4,54 3,99 4,02 4,08 8 13,5 19,5 15,0 15,5 1,00 1 8 4 4 4 3,88 4,25 4,36 4,54 3,99 4,02 4,08 9 6,8 9,8 7,5 7,8 0,25 2 6 1 2 4 7,75 8,50 8,72 9,08 7,97 8,03 8,15 10 3,6 5,2 4,0 4,1 0,07 1 23 1 1 22 4,13 4,53 4,65 4,84 4,25 4,29 4,35

Σ 76,1 109,9 84,5 87,3 3,8 25

2.8.3.1.1-3 táblázat: tevékenységek várható időtartamai, erőforrás-szükségletei

A feladatban ismert minden tevékenység erőforrásigénye r. Legyen ez az erőforrás a tevékenységek végrehajtásához szükséges munkások száma. n legyen a gépek száma tevékenységenként. Ekkor egy adott tevékenység összes erőforrásigénye: rn=r ^. n. Ez az érték nem lehet magasabb, mint az adott tevékenységet elvégezni tudó dolgozók száma: rmax.

rm legyen a maradék erőforrás, tehát: rm:= rmax - rn. tn az egységnyi időtartam, amely megmutatja, hogy n gép esetén egy gépen átlagosan mennyi lesz egy adott tevékenység végrehajtási ideje. Ekkor tn:= t / n. Ennek maximuma (tnmax:=max(tn)) lesz a szűk keresztmetszet (ebben a példában a dőlt betűkkel szedett 9. sorszámú tevékenység). Ha adott a munkaidő, illetve a műszakok száma, akkor kiszámítható, hogy átlagosan mennyit lehet termelni egy munkanapon.

TPT_P=0,5 87,32 Q_P=0,5 77,4

TPTP=0,9 89,82 QP=0,9 75,3 Qp=0,9 74,3

TPTP=0,95 90,53 QP=0,95 74,7 Qp=0,95 73,5

TPTP=0,99 91,86 QP=0,99 73,6 Qp=0,99 72

σ

_TPT 1,95

munkaórák száma 10

műszakok száma 1

2.8.3.1.1-4 táblázat: különböző biztonsági szinthez tartozó átfutási idő, illetve megtermelhető termékek mennyisége

50%-hoz tartozó átfutási idő a várható átfutási idő. Feltételezhetjük a központi határeloszlás tételéből fakadóan, hogy elegendően sok tevékenység esetén az átfutási idő,

mint valószínűségi változó normális eloszlást követ. Ekkor a várható megtermelhető termékek száma: QP=0,5:=műszakok száma (itt 1) * munkaórák száma (itt 10) * 60 (perc) / TPTP=0,5.

Hasonlóan kiszámítható Q értéke a többi biztonsági szinten is. Így pl. az esetek 90%-ában (QP=0,9:= 1 * 10 * 60 (=600) / TPTP=0,9 = 75.3 nyílászáró/nap) ettől kevesebb terméket nem fogunk termelni.

Menedzseri, vezetői döntést befolyásoló döntés lehet, hogy a kritikus tevékenység esetleges csúszása hogyan befolyásolja a megtermelhető tevékenységek számát. Ezt mutatja meg a Qp érték. Kiszámításakor m db termelés esetén szintén feltételezhetjük, hogy az összes megtermelt mennyiség tnmax várható értékű σtnmax szórású normális eloszlást követ. Ennek megfelelően pl. Qp=0,9 kiszámítása a következőképpen történik.

(

⁶⁰⁰max^,

)

^74,3 valószínűségi értékhez tartozó t_nmax középértékű,

nnax

σt szórású inverz normális eloszlás.

Elemzés:

Az elemzés során fontos megállapításokat tehetünk:

1. Várhatóan 77,4 darab nyílászárót fogunk tudni egy nap alatt megtermelni. Ez az előzetes becslésekkel teljesen szinkronban van.

2. Elmondható, hogy 72-nél kevesebbet 99%-os valószínűséggel egyetlen nap sem termelünk.

3. Csak úgy tudunk egy nap többet termelni, ha az időtartamokat csökkentjük és/vagy több munkagép segítségével a termelési folyamatot párhuzamosítjuk. Ez utóbbi viszont az erőforrásigény növekedésével, egyúttal költségnövekedéssel járhat.

4. Ahhoz, hogy eldöntsük, van-e értelme párhuzamosítani, költségelemzést kell végezni.

5. Csak olyan tevékenységeket célszerű párhuzamosítani, amelynek egységnyi (várható) időtartama magas. Jelen esetben ez a 9., illetve esetlegesen az 1-4. tevékenységek lennének.

2.8.3.1.2 Változó költség és az időtartam kapcsolatának meghatározása

In document Optimális erőforrás-tervezés (Pldal 148-152)