3. FÜGGVÉNYEK
3.4. Fontosabb elemi függvények
3.4.6. Szinusz és koszinusz függvény
4. EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK
4.1. Algebrai megoldás
4.1.1. Másodrendű egyenletek, egyenlőtlenségek 4.1.2. Gyököt tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek 4.1.3. Exponenciális egyenletek, egyenlőtlenségek 4.1.4. Logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek 4.2. Grafikus megoldás
5. TRIGONOMETRIA
5.1. Nevezetes szögek szögfüggvény értékei 5.2. Trigonometrikus azonosságok
b) képességei is fejlődnek, így képes alkalmazni a műszaki szakterület műveléséhez szükséges alapvető matematikai elveket, szabályokat, összefüggéseket az alábbi témakörökben:
1. MŰVELETEK SZÁMOKKAL 1.1. Műveleti sorrend, zárójel
1.2. Alapműveletek negatív számokkal 1.3. Alapműveletek közönséges törtekkel
1.3.1. Törtek egyszerűsítése, bővítése 1.3.2. Törtek értelmezése
1.3.3. Tört szorzása, osztása 1.3.4. Törtek összeadása kivonása 1.4. Hatványozás és gyökvonás
2. ALGEBRAI ÁTALAKÍTÁSOK 2.1. Műveletek tulajdonságai 2.2. Nevezetes azonosságok
2.3. Kifejezések egyszerűbb alakra hozása 2.3.1. Szorzattá alakítás
2.3.2. Négyzetgyökös kifejezések átalakítása 2.4. Műveletek algebrai törtekkel
3. FÜGGVÉNYEK
3.1. Függvények ábrázolása koordinátarendszerben 3.2. Műveletek függvényekkel
3.2.1. Összetett függvény 3.2.2. Inverz függvény 3.3. Függvények tulajdonságai
3.3.1. Zérushely 3.3.2. Tengelymetszet 3.3.3. Paritás
3.3.4. Periodikusság 3.3.5. Korlátosság 3.3.6. Monotonitás 3.3.7. Szélsőérték 3.3.8. Görbület 3.3.9. Inflexiós pont
3.3.10. Folytonosság
3.4. Fontosabb elemi függvények
3.4.1. Konstans és identikus függvény
3.4.2. Páros és páratlan kitevős hatvány függvény 3.4.3. Reciprok és lineáris törtfüggvény
3.4.4. Exponenciális függvény 3.4.5. Logaritmus függvény
3.4.6. Szinusz és koszinusz függvény 3.4.7. Tangens és kotangens függvény 4. EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK
4.1. Algebrai megoldás
4.1.1. Másodrendű egyenletek, egyenlőtlenségek 4.1.2. Gyököt tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek 4.1.3. Exponenciális egyenletek, egyenlőtlenségek 4.1.4. Logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek 4.2. Grafikus megoldás
5. TRIGONOMETRIA
5.1. Nevezetes szögek szögfüggvény értékei 5.2. Trigonometrikus azonosságok
c) attitűdje pozitívan módosul, törekszik hiányos ismereteinek pótlására,
d) autonómiája és felelőssége is fejlődik az ismeretek önálló elsajátításával és a gyakorló feladatok autonóm megoldásával.
Jelen tananyag a Szegedi Tudományegyetemen készült az Európai Unió támogatásával. Projekt azonosító: EFOP-3.4.3-16-2016-00014.
1. MŰVELETEK SZÁMOKKAL
Ez a fejezet az egyetemi tananyag: mindegyik témaköréhez kapcsolódik, de kiemelkedően a vektorok és a lineáris algebra részekhez, ahol jellemzően sok számítási művelet végrehajtása szükséges.
Ebben a fejezetben a négy alapműveletet (összeadás, kivonás, szorzás és osztás), valamint a hatványozást tartalmazó kifejezések kiértékelésével foglalkozunk. De kezdjük egy példával! Számítsuk ki a következő kifejezés értékét:
Értelmeznünk kell a kifejezésben megjelenő számokat, előjeleket, műveleteket, valamint ismernünk kell a kiértékelés sorrendjét. A megoldás:
Első évfolyamos hallgatók középiskolai tudását felmérő tesztjénél tapasztaltam, hogy majdnem mindenki hibásan értelmezi a fenti kifejezést, s így negatív szám négyzetét számolja ki. Nézzük meg egy másik megközelítéssel is ezt a problémát: számoljuk ki esetén a következő kifejezés értékét:
Ekkor már jobban látható a helyes megoldás, hogy a szám négyzete előtt szerepel a negatív előjel. A megoldás emiatt:
A végrehajtás sorrendjét a műveletek prioritása határozza meg. A negatív előjel is értelmezhető műveletként, mégpedig mínusz eggyel szorzásnak. Az alapműveletek és a hatványozás esetén a prioritás a következő:
1. hatványozás, 2. szorzás, osztás 3. összeadás, kivonás
Ez alapján a hatványozást hamarabb kell elvégezni, mint a szorzást. Az első példában a negatív előjelet mínusz eggyel szorzással jelölve nézzük meg ismét a végrehajtás menetét lépésenként:
1.1. Műveleti sorrend, zárójel
A matematikában mindig nagyon fontos, hogy csak egyetlen módon legyen értelmezhető mindenki számára egy leírt kifejezés. Az előző példa legutóbbi megoldásánál az összeadás végrehajtása előtt két szorzást kellett még elvégezni, de ezek végrehajtásának sorrendje nem befolyásolta a végeredményt. Viszont két osztás esetén már problémák adódhatnak:
( ) vagy
( )
Természetesen az egyik (a második) értelmezés hibás. Zárójelekkel lehetőségünk van a végrehajtás sorrendjét jelölni. Erre akkor van szükség, ha a műveleti jelek prioritásától eltérő sorrendű végrehajtás szükséges, vagy a „többféle”, azaz a könnyen hibás értelmezhetőség miatt. Zárójelek nélkül az azonos prioritású műveletek esetén balról-jobbra kiértékelést kell alkalmazni:
( )
Az osztás műveletét ritkán jelöljük a kettőspont (: vagy ÷) jellel. Az Excel táblázatkezelő programban és általában a programozási nyelvekben a per (/) az osztás műveleti jele, míg kézírás során törtként jelenik meg az osztás:
⁄
Viszont a törtként alkalmazott írásmód során újabb fontos szempontként jelenik meg, hogy a számláló (a törtvonal felett), a nevező (a törtvonal alatt) vagy a törtvonal szintjén helyezünk el a kifejezésben további jeleket. Ez sok esetben nem értelmezhető, hibás írásmódot okozhat, de a kiértékelés sorrendjét is megváltoztathatja:
A fenti példákban azt látjuk, hogy az egyenlőségjel helyzete mutatott rá az emeletes tört kiértékelésének sorrendjére. Egy tört után csak a törtvonal szintjén helyezhetünk el újabb műveleti jelet, vagy egyenlőségjelet, különben nem értelmezhető a kifejezés.
Emeletes törteknél hosszabb törtvonallal is szokás jelezni a főtörtet. A fenti példákban az egyenlőségjel szintjén lehetne a hosszabb főtört. Így a felső példában a főtört számlálójában szerepel egy tört, míg az alsó példa esetén a főtört nevezőjében láthatunk törtet.
Nézzünk egy összetett kifejezésre példát:
( ) ( )
( )
1.2. Alapműveletek negatív számokkal
A számokat, nagyságukat szemléltetni a számegyenesen elhelyezkedésükkel lehet.
A számegyenes jellemzően egy vízszintes egyenes, melynek minden pontja egy-egy valós számot jelöl úgy, hogy kijelöljük rajta a 0 helyzetét, melytől jobbra a pozitív, balra pedig a negatív számok találhatók a 0-tól a szám abszolútértékének megfelelő távolságra egy alkalmas lépték szerint (például 1 cm-re a 0-tól balra a -1, míg jobbra a +1). Vagyis a szám nagysága (abszolútértéke) a számnak a 0-tól mért távolsága a számegyenesen. Így könnyen ábrázolható az összeadás és kivonás eredménye (1. ábra). A kiszámításakor kiindulunk a helyzetéből a számegyenesen, majd a hozzáadása miatt jobbra lépünk 3-at. Tehát pozitív szám hozzáadásakor jobbra lépéssel kapunk eredményt, míg pozitív szám kivonásakor balra lépéssel.
1. ábra Összeadás és kivonás ábrázolása a számegyenesen
Negatív szám hozzáadásakor illetve kivonásakor fordított irányú lépés alkalmazandó:
( ) ( )
Azt is vegyük észre, hogy egy előjel és egy műveleti jel közvetlen találkozását zárójelezéssel kell elkerülni. Nézzünk pár további példát összeadásra és kivonásra:
( )
( )
Szorzás és osztás során azonos előjelű résztvevők esetén pozitív eredményt kapunk, míg különböző előjelűeknél negatívat:
( ) ( ) ( ) ( ) Nézzünk erre is pár példát:
( ) ( ) 1.3. Alapműveletek közönséges törtekkel
Eddig csak olyan egész számokkal vizsgáltuk a műveleteket, melyek eredménye is egész szám volt. Összeadás, kivonás és szorzás esetén ez minden esetben így alakul, de két egész szám osztásakor általában az eredmény nem lesz egész szám. Racionális számoknak nevezzük azokat a számokat, melyek két egész szám hányadosaként, vagyis osztásuk eredményeként kapható meg. Természetesen az osztás művelete nem csak egész számokon értelmezhető. Fontossága miatt nézzük meg az egyetlen nem értelmezhető esetet, a nullával osztást. Sokan tényként elfogadják, hogy a 0-val osztás nem értelmezhető, de nem gondolnak bele ennek miértjébe. Most ezt tegyük meg!
Az osztás művelete a szorzás ellentétének, inverzének is tekinthető abban az értelemben, hogy az osztandó szám ( ) osztása az osztóval ( ) azt a hányadosnak ( ) nevezett számot kell, hogy eredményezze, melyre a hányados és az osztó szorzataként az osztandó szám adódik:
Viszont nullával osztáskor ( ) a következőt kapjuk:
Ez azt jelenti, hogy 0-val osztáskor az osztandónak is 0-nak kell lennie ( ).
Tehát csak a értelmezhető 0-val osztáskor. Ráadásul vizsgáljuk még meg azt is, hogy ekkor mi az eredmény, a hányados (c=?):
Vagyis olyan eredményt kell kapnunk, melyet nullával szorozva nulla adódik. Ez viszont bármely számra teljesül. Annak a műveletnek nincs értelme, melynek eredménye
bármilyen szám lehet. Csak akkor értelmezhető egy művelet, ha az mindenki számára ugyanazt az eredményt jelenti. Ezért a nullával osztás nem értelmezhető.
Két egész szám osztása ábrázolható a számegyenesen. A 2. ábrán a művelet látható, ahol a 4 nagyságú számot osztottuk 6 részre. Az eredmény egy olyan szám, melynek a nagysága az így keletkezett részek egyikének a hossza. Ez az eredmény nem egész szám, melynek pontos tizedes tört alakja ̇. A 6 számjegy feletti pont azt jelenti, hogy a tizedes törtben a 6 számjegy a végtelenségig ismétlődne. Szokásos még pont nélküli írásmódot is alkalmazva egy kerekített értékkel jelezni az eredményt: ̇ .
2. ábra Osztás ábrázolása számegyenesen
Belátható, hogy két egész szám hányadosa, vagyis egy racionális szám, amennyiben nem egész szám, akkor tizedes tört alakjában vagy véges számú tizedes jegyet tartalmaz, vagy ha nem véges számú tizedest, akkor ez csak véges hosszúsági számjegysorozat ismétlődésével lehetséges. Tehát tizedes tört alakjában leírni egy racionális számot pontosan nagyon nehézkes lehet:
̇ ̇
A esetén 6 számjegyből álló sorozat végtelenszer ismétlődését jelöli az első és utolsó tag feletti pont. Ezt az írásmódot tudjuk leegyszerűsíteni, ha tizedes tört helyett megtartjuk a tört alakját a számnak. Így a 4-nek 7-tel osztásának eredményét közönséges tört alakban, azaz formában írjuk. Ekkor a törtvonalat értelmezhetjük továbbra is úgy, mint az osztás műveleti jelét, de a tört leírására használható jelnek is. A törtként írásmódja a számoknak a pontosságán túl azért is előnyösebb, mert könnyebb velük további műveleteket végezni. Példaként számoljuk ki pontos és 4 tizedesre kerekített értékével ( ) a következő kifejezés értékét:
( )
Ebből a példából is látható, hogy közönséges törtként pontos eredmény adódik akár számológép használata nélkül, míg tizedes tört alakban csak számológéppel célszerű dolgozni. Ráadásul az eredmény sem lesz pontos, ha csak a kerekített kiinduló értéket tudjuk begépelni kiinduló adatként. Emiatt szükséges a törtekkel és a rajtuk végzett műveletekkel tisztában lenni.
1.3.1. Törtek egyszerűsítése, bővítése
Nem változik meg egy tört értéke, ha a számlálóját és a nevezőjét is ugyanazzal a nullától különböző számmal szorozzuk vagy osztjuk. Ezeket a műveleteket a tört egyszerűsítésének, illetve bővítésének nevezzük. A 2. ábrán jól látható, hogy a 4-nek 6-tal osztása megegyezik 2-nek 3-mal osztásával:
A tört egyszerűsített alakja , míg a fordított irányú átalakítást a tört bővítésének nevezzük. Egy tört esetén mindig törekedjünk az egyszerűsítésre, hiszen így kisebb számokkal megadva a törtet a további műveletek a törttel könnyebben elvégezhetők.
Egy tört bővítése a következő formájú:
( ) A tört egyszerűsítése a fordított irányú átalakítás.
1.3.2. Törtek értelmezése
A tört eddigi értelmezésünk szerint a 2-nek 3-mal osztásaként adódik. Ezzel szemben célszerűbb úgy értelmeznünk a törteket, hogy a nevező (3) azt mutatja, hogy az 1-et hány részre osztjuk, míg a számláló (2) jelentése, hogy ekkora részekből hányat veszünk. Így a kétharmad ( ) esetén harmadokból kell kettő:
3. ábra Tört értelmezése
A 3. ábrán megfigyelhetjük a fenti egyenlőség teljesülését. Az előző összefüggésből az is kiolvasható, hogy a hárommal osztás tekinthető egyharmaddal szorzásnak. Mivel a három és az egyharmad egymás reciprokai, ezért egy számmal osztás egyenértékű a szám reciprokával szorzással.
Az eddigiek általánosításaként a következő adódik:
( ) 1.3.3. Tört szorzása, osztása
A törtek legutóbbi értelmezése alapján könnyen adódik a törttel szorzás művelet végrehajtása. Ezt elsőként egy példán nézzük meg:
Általánosítva:
( )
A tört osztásának megértését egy példa fogja segíteni, kétharmad osztása öttel.
Mint látni fogjuk, ez a feladat visszavezethető az egyharmad öttel osztására. De a számegyenesen ez úgy interpretálható, hogy egy egyharmad hosszúságú szakaszt ót egyenlő részre osztunk, Egy ilyen eredmény szakasz hossza egy-tizenötöd nagyságú: mivel az 1 egész mind a három harmadán elvégezve az öt részre osztást, 15 részre osztottuk az 1-et.
Általánosítva:
( )
Egy tőrt osztásának művelete megközelíthető a bővítés és egyszerűsítés segítségével is. Nézzük meg így az előző példát!
Két tört szorzását is először egy példával nézzük meg. Itt ismét felhasználjuk, hogy egy számmal osztás egyenértékű a szám reciprokával szorzással.
Általánosítva:
( )
Két tört osztását emeletes törtként értelmezhetjük, ahol a tört számlálója és nevezője is tört. Az átalakítás során bővítést és egyszerűsítést alkalmazunk:
tekinthető törtnek, melynek nevezője egy (1).
Általánosítva:
( ) Tehát törttel úgy osztunk, hogy a tört reciprokával szorzunk.
1.3.4. Törtek összeadása kivonása adódik, mely akkor még egyszerűsíthető is. Általánosítva a következő adódik:
A kivonás teljesen hasonló módon végezhető el.
Összefoglalva az eddigieket, a törtekkel a következő műveleteket végezhetjük el:
( )
A hatványozásban szereplő mennyiségeket alapnak (2) és kitevőnek (5) nevezzük.
A fenti példa a hatványozás értelmezését mutatja. A hatványozás egy olyan szorzatnak tekinthető, ahol a hatvány alapja jelenik meg a szorzat tényezőiként, míg a hatvány kitevője a tényezők darabszáma. Persze ez az értelmezés csak akkor lehetséges, ha a tényezők darabszáma (kitevő) legalább kettő és egész szám. Ki fogjuk terjeszteni ellentmondásmentes (konzisztens) módon ezt az értelmezést úgy, hogy a kitevő tetszőleges valós szám lehessen. De elsőként a műveleti sorrendet tisztázzuk több hatványozást tartalmazó kifejezésnél:
( ) ( )
Az eddigiekben láttuk a hatványozás és szorzás műveletek „rokonságát”. Mivel az osztás tekinthető a szorzás inverz műveletének is, így a hatványozás az osztáshoz is szorosan kötődik. Viszont a nullával osztás nem értelmezhető, emiatt a hatványozásnál is meg fog jelenni olyan eset, amikor az alap nem lehet nulla. Elsőként nézzünk meg olyan kifejezéseket, melyekben a hatványozással együtt jelenik meg a szorzás, illetve az osztás:
( ) ( )
Mint látható, azonos alapú hatványok szorzásakor a közös alapot a kitevők összegére hatványozással kapunk eredményt, míg osztáskor a kitevők különbsége jelenik meg. Ezek az összefüggések általánosíthatók, csak osztáskor ne feledjük, hogy nullával nem oszthatunk. Viszont eddig a kitevőről kikötöttük, hogy legalább kettő legyen és egész.
Ez viszont az osztás eredményében, már nem fog mindig így adódni:
Terjesszük ki a hatványozás értelmezését tetszőleges egész kitevőre! A fenti példa alapján ezt megtehetjük a törtek egyszerűsítése alapján:
Az utóbbi összefüggés általánosításaként a következő adódik:
( )
A hatványozás így már tetszőleges egész kitevő esetére értelmezhető, de még vizsgáljuk meg a kitevő 0 és 1 értékét:
( )
( )
Nézzük meg egy-egy példával a hatványozás végrehajtását szorzaton, hányadoson és hatványon:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
Összeg és különbség hatványozása egészen más szabályokat igényel. Súlyos hiba lenne egy összeg tagonkénti hatványozása:
( )
Tehát összeg (különbség) hatványozását szigorúan tilos a tagok hatványának összegeként képezni!
Amíg a kitevő egész szám, addig az alapnak csak a nulla értéke vezetett nem értelmezhető hatványhoz. Amikor a kitevőt törtek esetén is értelmezzük, akkor már az alap negatív értéke is problémát okozhat az értelmezhetőségben. A tört kitevő értelmezésében a hatványra vonatkozó hatványozási összefüggést használjuk fel, azaz hatványt úgy hatványozunk, hogy az alapot a kitevők szorzatára emelünk. Nézzük meg a következő példát:
( )
Így az kitevős hatvány értelmezését olvashatjuk ki, mely a négyzetre emelés inverz művelete. Ez abból állapítható meg, hogy értéke az a szám, melynek a négyzete 9. A fenti példában a 9 helyén tetszőleges nem negatív számot is írhattunk volna, s így bármely ilyen számból kiindulva visszakapjuk a számot. Azaz az kitevőre hatványozás és a négyzetre emelés műveletek egymás inverzei. Persze a négyzetre emelés inverzét gyökvonásnak (négyzetgyök-vonásnak) nevezzük:
√ ( )
Negatív szám gyöke azért nem értelmezhető, mert ekkor a gyökvonás eredményének négyzeteként ezt a negatív számot kellene kapnunk, de ilyen valós szám nincs. Ehhez hasonlóan adódik a harmadik-gyök törtkitevős alakja:
√ ( )
Ekkor negatív szám is lehet az alap. Páratlan gyök negatív számokon is elvégezhető:
√ ( )
√ ( )
Az eddigiek alapján könnyen kiterjeszthetjük a hatványozás értelmezését arra az esetre, amikor a kitevő tetszőleges racionális szám:
√ ( )
Ez az összefüggés a törtek értelmezéséből és a hatvány hatványozásából azonnal adódik:
( ) √
Az értelmezhetőség feltételében láthatjuk, hogy egy valós szám hatványozása racionális kitevő esetén negatív és nulla alap estén is problémás lehet a kitevő értékétől függően. Folytatva a hatványozás értelmezhetőségének kiterjesztését, irracionális kitevő esetén már azt is megköveteljük, hogy az alap pozitív legyen. Az irracionális számok a nem racionális valós számok.
Összefoglalva az eddigieket, a hatványozás értelmezhetőségéről a következőket mondhatjuk:
Negatív kitevő, mely osztásra vezet, nulla alapra nem értelmezhető.
Páros gyök, mint a racionális kitevő egyik esete, negatív alapra nem értelmezhető.
Irracionális kitevőjű hatvány csak pozitív alapra értelmezhető.
Nulla a nulladikon nem értelmezhető.
Hatványozási azonosságok szorzatra, hányadosra és hatványra vonatkozhatnak általánosan valamely valós kitevő esetén:
( ) ( ) ( )
√
Összeg és különbség hatványozására csak a kitevő pozitív egész értéke mellett alkalmazhatunk azonosságot, melyet binomiális tételnek nevezünk:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1.5. Ellenőrző kérdések, feladatok
Határozza meg az alábbi kifejezések értékét!
1.5.1.
2. ALGEBRAI ÁTALAKÍTÁSOK
részekhez, ahol az algebrai átalakítások nélkülözhetetlenek.
A különböző tudományterületek sokszor a matematika eszközeit használják fel a törvények, összefüggések leírására:
Ezekben a kifejezésekben változókkal jelölünk egy-egy mennyiséget. Feladataink során a kifejezések átalakítására is szükségünk lehet. Egy kifejezésnek más-más alakjára lehet szükségünk akkor, amikor ki szeretnénk számítani az értékét a bennük szereplő változók különböző értékei mellett, mint amikor a határozatlan integrálját kell képeznünk.
Nézzünk erre egy példát!
Így már könnyen kiszámolható az eredmény:
√
A kifejezés eredeti alakja alkalmas a határozatlan integrál elvégzéséhez. Fordított irányú átalakítás szükséges, ha a másik alakjával rendelkezünk Az átalakítás részleteit most nem tárgyaljuk.
A kifejezésekben szereplő műveleti jelektől függ, hogy milyen szabályokat alkalmazhatunk az átalakítás során. Ebben a fejezetben először áttekintjük a műveletek tulajdonságait, a legfontosabb nevezetes azonosságokat, majd a leggyakoribb átalakításnak, a kifejezések egyszerűbb alakra hozásának technikáit.
A kifejezések leírásakor néhány szabályt ismernünk kell:
A szorzás jelét általában nem írjuk le, kivéve két szám szorzásakor.
Zárójelezést alkalmazunk műveleti jel és előjel találkozásának elkerülésére.
Feleslegesen zárójelet ne alkalmazzunk, csak ha hangsúlyozni szeretnénk a végrehajtás sorrendjét, vagy el szeretnénk kerülni a hibás értelmezést kritikusnak tűnő esetekben.
Tört utáni vagy előtti jel (műveleti jel, egyenlőség jel) csak a törtvonal szintjén állhat.
2.1. Műveletek tulajdonságai
A kifejezések átalakítása során a bennük szereplő műveletekre vonatkozó tulajdonságokat alkalmazzuk. Ebben a részben a négy alapművelet tulajdonságait tekintjük át, de kiemelten csak az összeadásra és a szorzásra vonatkozókat. A kivonás tulajdonságai az összeadáséból adódnak, míg az osztás tulajdonságai a szorzáséból, hiszen a kivonás visszavezethető a kivonandó ellentettjével végzett összeadásra, míg az osztást elvégezhetjük az osztandó reciprokával szorzásra:
( ) ( ) Az összeadás és a szorzás is kommutatív:
Az összeadás és a szorzás is asszociatív:
( ) ( ) ( ) ( ) A szorzás disztributív az összeadásra:
( ) ( )
Tehát teljesül mindkét irányban a disztributivitás. Valójában az egyik irányú disztributivitásból már következik a másik irányú is a szorzás kommutativitása miatt.
Könnyen belátható, hogy az osztás csak az egyik irányban disztributív az összeadásra, mert az osztás nem kommutatív:
( ) ( )
Sokszor tapasztaltam, hogy az osztásra vonatkozó disztributív tulajdonságot abban az irányban is alkalmazzák, amikor az nem teljesül. Ezért nézzünk erre egy példát is:
}
Ha a kivonást visszavezetjük összeadásra az ellentett segítségével, akkor azonnal adódik, hogy a szorzás a kivonásra is disztributív:
( ) ( ( )) ( ) ( ) A fordított irányú disztributivitás is teljesül, ami a fentiekhez hasonló módon levezethető. Mivel a szorzás az összeadásra és a kivonásra is disztributív, ezt szokás összevontan leírni:
( )
( ) } ( )
Most nézzünk arra példákat, hogy ezeket a tulajdonságokat használva, hogyan tehetjük fejben is könnyen kiszámolhatóvá a kifejezések értékét:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
A disztributivitás kétszeri alkalmazásával könnyen belátható a következő összefüggés:
( ) ( ) ( ) ( )
Mint látható, kéttagú összegek szorzataként az eredmény négytagú összeg lesz, mert az első tényező minden egyes tagja szorzandó a második tényező minden tagjával.
Ehhez hasonlóan például egy háromtagú és egy öttagú összeg szorzata 15 tagú lesz.
Különbségek szorzásakor is hasonlóan járhatunk el, de a szorzás jelének elhagyásával fogunk most dolgozni:
( )( ) Nézzünk egy példát:
( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Amikor több sort igényel az átalakítás, akkor a sortörésnél csak „=” vagy „+” jel állhat a sor végén, amit a következő sor elején is el kell helyezni. Más jelnél sortörés nem lehet. A sor elején azért szükséges a sorvégi jel megismétlése, mert ezzel jelezzük, hogy ez
folytatás, nem pedig egy új rész. Például kivonás jel azért ne legyen sortörésnél, mert
folytatás, nem pedig egy új rész. Például kivonás jel azért ne legyen sortörésnél, mert