Monotonitás

A függvény értékek változását (növekedését, csökkenését) mindig az x értékek növelése esetén nézzük, különben csak nézőpont kérdése lenne, hogy növekvő vagy csökkenő a függvény. A függvények az értelmezési tartományuk egyes intervallumaiban eltérően viselkedhetnek, emiatt a monotonitás definíciók adott intervallumokhoz kötötten adottak.

• Az függvény monoton növekvő az ] [ intervallumon, ha minden esetén ( ) ( )

• Az függvény szigorúan monoton növekvő az ] [ intervallumon, ha minden esetén ( ) ( )

• Az függvény monoton csökkenő az ] [ intervallumon, ha minden esetén ( ) ( )

• Az függvény szigorúan monoton csökkenő az ] [ intervallumon, ha minden esetén ( ) ( )

Egy függvény grafikonján balról jobbra haladva (x értékek növekedése) láthatjuk, hogy növekedett vagy csökkent az y érték. Nézzük ezt meg az alábbi ábrán.

11. ábra Függvény monotonitása

 Szigorúan monoton csökkenő, ha

 Monoton csökkenő és növekvő, ha

 Szigorúan monoton növekvő, ha

 Monoton csökkenő, ha

 Monoton növekvő, ha 3.3.7. Szélsőérték

Egy függvény szélsőértéke maximum, vagy minimum lehet, mégpedig lokális (helyi) és globális értelemben. Globális szélsőérték a függvény teljes értelmezési tartományához tartozó értékekre vonatkozik, míg lokális, csak az értelmezési tartomány egy intervallumára, vagyis egy hely környezetében lévő x értékekre korlátozódik.

• Az függvénynek az helyen helyi maximuma van, ha van az helynek olyan környezete, hogy minden esetén ( ) ( )

• Az függvénynek az helyen maximuma van, ha minden esetén ( ) ( )

• Az függvénynek az helyen helyi minimuma van, ha van az helynek olyan környezete, hogy minden esetén ( ) ( )

• Az függvénynek az helyen minimuma van, ha minden esetén ( ) ( )

Példaként nézzük az alábbi ábrán látható függvény grafikonját.

12. ábra Függvény szélsőértéke

 ( ): helyi minimum, helye: , értéke:

 ( ): helyi maximum, helye: , értéke:

 C( ): minimum, helye: , értéke:

 Maximum nincs 3.3.8. Görbület

A függvény grafikonjának görbületét az egyenestől (grafikont metsző húrtól) eltérés irányával jellemezhetjük. Konvex a függvény, ha a grafikonjának a húrral metszéspontjai közötti pontjai, a húron vagy alatta helyezkednek el, míg konkáv, ha a húron vagy felette. A pontos matematikai definícióhoz elsőként tekintsük át a húrt leíró függvényt. A következő ábrán egy f függvény grafikonjának konvex szakaszát, és ennek egy g függvénnyel adódó húrját látjuk.

13. ábra Konvex függvény és húrja

A húr, mint egyenes egyenletét a két metszéspont alapján kapjuk meg:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

Az ábrán látható, hogy a metszéspontok közötti tetszőleges x helyen az f függvény értéke kisebb, mint a g függvényé ( ( ) ( )). Mivel ezen az intervallumon minden húrra ez fennáll, ezért konvex a függvény.

A definíciók a következők:

• Az függvény konvex az ] [ intervallumon, ha minden és esetén ( ) ( ) ^{( ) ( )}

( )

• Az függvény konkáv az ] [ intervallumon, ha minden és esetén ( ) ( ) ^{( ) ( )} ( )

Ha az f és a g függvény grafikonjai egybeesnek, vagyis az f grafikonja egyenes, akkor egyszerre konvex és konkáv is a függvény, hiszen mindkét definícióban az egyenlőség teljesül.

A konvex illetve konkáv elnevezés onnan származik, hogy így neveznénk egy olyan téglalapból származtatott síkidomot, melynek alsó határoló vonalát erre az ívre cserélnénk.

Példaként nézzük a következő ábrát.

14. ábra Függvény konvex és konkáv szakaszokkal

 Konvex: ] [ és ] [ intervallumokon

 Konkáv: ] [ intervallumon 3.3.9. Inflexiós pont

A definíció lényege, hogy az inflexiós pont választja el a konvex és konkáv szakaszait a függvény grafikonjának. Egy lineáris függvény minden pontja inflexiós pontja a függvénynek.

• Az függvénynek az helyen inflexiós pontja van, ha van olyan ] [ intervallum, hogy ] [ és az függvény az ] [ intervallumon konvex, míg az ] [ intervallumon konkáv, vagy az ] [ intervallumon konkáv, míg az ] [ intervallumon konvex.

Példaként nézzük ismét az előző ábra függvényét:

 Az függvénynek két inflexiós pontja van: és helyeken.

3.3.10. Folytonosság

A definíció egy helyen tárgyalja a függvény folytonosságát. Az elnevezés onnan származik, hogy a függvényértékek csak folytonosan tudnak változni, tehát nincs ugrásszerű változás. Ezt úgy fogalmazza meg a definíció, hogy bármely kis függvényérték változáshoz ( ) találok az helynek olyan ( sugarú) környezetét, hogy a környezet x értékeihez tartozó függvényértékek -nál kisebb eltéréssel adódnak az ( ) értéktől.

A pontos definíció:

• Az függvény az helyen folytonos, ha bármely számhoz létezik olyan szám, hogy ha | | és , akkor | ( ) ( )|

A következő ábrán egy helyen folytonos függvény esetén az látható, hogy hogyan kapható meg egy értékhez a sugarú környezet.

15. ábra Folytonosság

1. Az helyhez meghatározzuk az y tengelyen az ( ) értéket.

2. Az y tengelyen bejelöljük az ( ) értéktől távolságra lévő értékeket.

3. A jelölt értékeket visszavetítjük az x tengelyre, melyek távolsága -tol és , s a kisebbik lesz a keresett érték.

Az ábrán így látható, hogy megtaláltuk az -nak azt a sugarú környezetét, melyben minden x értékhez olyan ( ) érték tartozik, mely belül marad az ( ) sugarú környezetében. Így bármely kis eltérésen belül lesznek csak értékei a függvénynek, ha folytonos.

Bizonyítható, hogy az elemi függvények folytonosak az értelmezési tartományuk minden pontjában.

3.4. Fontosabb elemi függvények

Az elemi függvények körének alapja négy kiinduló elemi függvény:

 Konstans függvény: ( )

 Identikus függvény: ( )

 Szinusz függvény: ( )

 Exponenciális függvény: ( )

Elemi függvényekből újabb elemi függvények képezhetők:

 a négy alapművelettel,

 összetett függvény képzéssel,

 inverz függvény képzéssel.

A legfontosabbaknak áttekintjük a tulajdonságait a grafikonjuk alapján. A grafikont egyszerűen megkaphatjuk pár pontjukból, melyek y koordinátája a hozzárendelési szabállyal adódik egyes x értékekből. Mivel minden elemi függvény folytonos az értelmezési tartományának pontjain, ezért ezt külön-külön minden függvénynél nem jelezzük.

Amikor több függvény tartozik egy függvényosztályba, akkor a paraméteres jellemzés és ábrázolás helyett csak paramétereik egy konkrét értéke mellett tárgyaljuk.

3.4.1. Konstans és identikus függvény

A konstans függvények egy függvényosztály. Az elnevezés is mutatja, hogy az értékük állandó, valamilyen valós szám ( ). Általános alakjuk:

Az identikus függvény esetén minden érték képe önmaga.

Hozzárendelési

szabály ( ) ( )

Grafikon

Értelmezési

tartomány

Értékkészlet { }

Zérushely nincs

Tengelymetszet

Paritás páros páratlan

Periodikusság periodikus

periódusa minden

nem periodikus Korlátosság korlátos:

infimum=1, szuprémum=1

nem korlátos:

alulról és felülről sem korlátos Monotonitás monoton csökkenő: ] [

monoton növekvő: ] [

szigorúan növekvő: ] [ Szélsőérték maximuma van:

helye: , értéke:

minimuma van:

helye: , értéke:

nincs szélsőértéke

Görbület konvex: ] [ konkáv: ] [

konvex: ] [ konkáv: ] [

Inflexiós pont Minden pontja Minden pontja

3.4.2. Páros és páratlan kitevős hatvány függvény

Az egész kitevős hatvány függvények az identikus függvények szorzataként származtatható elemi függvények. A kitevő alapján két osztályukat, a páros és páratlan kitevőseket célszerű megkülönböztetni, mert ekkor az azonos osztályba tartozók tulajdonságai megegyeznek.

Hozzárendelési

szabály ( ) ( )

Grafikon

Értelmezési

tartomány

Értékkészlet [ [

Zérushely

Tengelymetszet

Paritás páros páratlan

Periodikusság nem periodikus nem periodikus

Korlátosság alulról korlátos, felülről nem:

infimum=0

nem korlátos:

alulról és felülről sem korlátos Monotonitás Szigorúan csökkenő: ] [

Szigorúan növekvő: ] [

Szigorúan növekvő: ] [ Szélsőérték minimuma van:

helye: , értéke:

nincs szélsőértéke

Görbület konvex: ] [ konkáv: ] [

konvex: ] [

Inflexiós pont nincs origó

3.4.3. Reciprok és lineáris törtfüggvény

A lineáris törtfüggvények osztályába tartozó függvények nevüket onnan kapták, hogy két lineáris függvény hányadosaként kapjuk őket. Általános alakjuk:

{

}

( )

A reciprok függvény ( ) lineáris transzformáltjaként is megkaphatók a lineáris törtfüggvények.

Hozzárendelési

szabály ( ) ( )

Grafikon

Értelmezési

tartomány { } { }

Értékkészlet { } { }

Zérushely nincs

Tengelymetszet nincs

Paritás páratlan nem páros és nem páratlan

Periodikusság nem periodikus nem periodikus

Korlátosság nem korlátos:

alulról és felülről sem korlátos

nem korlátos:

alulról és felülről sem korlátos Monotonitás Szigorúan csökkenő: ] [

Szigorúan csökkenő: ] [

Szigorúan növekvő: ] [ Szigorúan növekvő: ] [ Szélsőérték nincs szélsőértéke nincs szélsőértéke

Görbület konkáv: ] [ konvex: ] [

konvex: ] [ konkáv: ] [

Inflexiós pont nincs nincs

3.4.4. Exponenciális függvény

Az exponenciális függvények általános alakja:

( )

Az függvény lineáris transzformáltjaként megkaphatók, mert alkalmas esetén . Eltérő tulajdonságokat mutatnak, ha , illetve ha . Egy-egy ilyen függvényt tekintünk meg.

Hozzárendelési

szabály ( ) ( ) ( )

Grafikon

Értelmezési

tartomány

Értékkészlet ] [ ] [

Zérushely nincs nincs

Tengelymetszet

Paritás nem páros és nem páratlan nem páros és nem páratlan

Periodikusság nem periodikus nem periodikus

Korlátosság alulról korlátos, felülről nem:

infimum=0

alulról korlátos, felülről nem:

infimum=0

Monotonitás Szigorúan növekvő: ] [ Szigorúan csökkenő: ] [ Szélsőérték nincs szélsőértéke nincs szélsőértéke

Görbület konvex: ] [ konvex: ] [

Inflexiós pont nincs nincs

3.4.5. Logaritmus függvény

A logaritmus függvények általános alakja:

( )

Eltérő tulajdonságokat mutatnak, ha , illetve ha . A logaritmus függvény az exponenciális függvény inverz függvénye:

Tehát értéke egy kitevő, melyre az a alapot emelve x-et kapunk: . Például , mert , és , mert ( ) (( ) ) .

Két speciális eset: és Hozzárendelési

szabály ( ) ( )

Grafikon

Értelmezési

tartomány ] [ ] [

Értékkészlet

Zérushely

Tengelymetszet nincs nincs

Paritás nem páros és nem páratlan nem páros és nem páratlan

Periodikusság nem periodikus nem periodikus

Korlátosság nem korlátos:

alulról és felülről sem korlátos

nem korlátos:

alulról és felülről sem korlátos Monotonitás Szigorúan növekvő: ] [ Szigorúan csökkenő: ] [ Szélsőérték nincs szélsőértéke nincs szélsőértéke

Görbület konkáv: ] [ konvex: ] [

Inflexiós pont nincs nincs

3.4.6. Szinusz és koszinusz függvény

Trigonometrikus függvények, melyek egy szög értékéhez rendelnek hozzá egy értéket. Úgy származtathatjuk az értékeiket, hogy a koordináta rendszerben az ( ) pont origó körüli szöggel elforgatásával (óramutató járásával ellentétesen) kapott pont koordinátái ( ). Tehát esetén ( ) ( ).

Hozzárendelési

szabály ( ) ( )

Grafikon

Értelmezési

tartomány

Értékkészlet [ ] [ ]

Zérushely ( ) ( )

Tengelymetszet

Paritás páratlan páros

Periodikusság periodikus, periódusa: periodikus, periódusa:

Korlátosság korlátos: inf=-1, supr=1 korlátos: inf=-1, supr=1 Monotonitás növekvő: ] [

csökkenő:] [

csökkenő:] [ növekvő: ] [ Szélsőérték minimum: ,

maximum: ,

maximum: , minimum: , Görbület konkáv:] [

konvex: ] [ konkáv: ] [ konvex:] [

Inflexiós pont ( ) ( )

3.4.7. Tangens és kotangens függvény

A szinusz és koszinusz függvények hányadosaként megkapható elemi függvények:

Hozzárendelési

szabály ( ) ( )

Grafikon

Értelmezési

tartomány { } ( ) { } ( )

Értékkészlet

Zérushely ( ) ( )

Tengelymetszet nincs

Paritás páratlan páratlan

Periodikusság periodikus, periódusa: periodikus, periódusa:

Korlátosság nem korlátos:

alulról és felülről sem korlátos

nem korlátos:

alulról és felülről sem korlátos Monotonitás növekvő: ] [ csökkenő:] [

Szélsőérték nincs nincs

Görbület konkáv: ] [ konvex:] [

konvex:] [ konkáv: ] [

Inflexiós pont ( ) ( )

3.5. Ellenőrző kérdések, feladatok

Határozza meg a következő függvények inverzét!

3.5.7.

4. EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK

Ez a fejezet az egyetemi tananyag témakörei közül szorosan kapcsolódik az alábbiakhoz:

 komplex számok,

 elemi függvények,

 differenciálszámítás,

 differenciálegyenletetek.

Ebben a fejezetben csak egyváltozós egyenletekkel és egyenlőtlenségekkel foglalkozunk. A megoldásoknak az ismeretlen olyan értékeit tekintjük, melyekre az egyenlőség vagy egyenlőtlenség teljesül.

Alkalmazhatunk algebrai és grafikus megoldási technikát. Az első esetben olyan algebrai átalakításokat végzünk, melyek nem módosítják a megoldásokat, és a végső alakból a pontos megoldás olvasható ki. A grafikus megoldás egyenleteknél nem mindig eredményezhet pontos megoldást. Ezért jellemzően egyenlőtlenségeknél alkalmazzuk, de ekkor is egyenlet megoldásával kombináltan a pontosság érdekében.

4.1. Algebrai megoldás

A négy alapművelet alkalmazása az átalakításkor csak néhány kritikus esetben kíván fokozott figyelmet:

 Nullával osztás és szorzás nem alkalmazható.

 Negatív számmal osztás és szorzás során az egyenlőtlenség iránya megfordul.

Ezért ismeretlent tartalmazó kifejezéssel ne osszunk vagy szorozzunk. Ha mégis erre szükség van, akkor ellenőrizzük, hogy az értéke nem nulla. Az egyenlőtlenségnél tudnunk kell, hogy az iránya megfordul-e.

Sokszor nullára rendezés utáni szorzattá alakítás lehet szükséges vagy új változó bevezetése. Mindig vizsgáljuk meg a kifejezések értelmezési tartományát, de az értékkészlet is fontos lehet.

Nézzünk példát egyenlet hibás és helyes megoldására:

Hibás Helyes |

| ( )

|

A hibás megoldásnál elveszítettük az egyik megoldást, mert az ismeretlennel osztottunk. A továbbiakban nem fogjuk jelölni az algebrai átalakítás műveletét az egyenlet mellett.

Gyakran hibás megoldás adódik négyzetgyök-vonást igénylő átalakításkor. Most csak a helyes megoldás lépéseit nézzük meg részletesen egy egyszerű példán:

√ √

| |

Szokásos röviden csak rögtön a végeredményt leírni a közbülső lépések nélkül.

Fontos viszont a pontos értelmezés. Tehát √ , mert a gyökvonás, mint függvény, csak egy eredményt adhat: √ . Viszont √ | |.

4.1.1. Másodrendű egyenletek, egyenlőtlenségek A másodrendű egyenletek általános alakja:

( ) A megoldáskor alkalmazható a másodfokú megoldó képlet:

√

Ha a diszkriminánsnak nevezett gyök alatti kifejezés értéke negatív, akkor nincs valós megoldása az egyenletnek. Amikor hiányos ( vagy ) a másodfokú egyenlet, akkor egyszerűbb megoldást célszerű választani.

hogy áttérünk egyenlet megoldására. Ennek eredményét pedig felhasználjuk az egyenlőtlenség megoldásának felírására. Célszerű grafikus megoldást alkalmazni, ahol a függvény grafikonjából egyszerűen leolvasható a megoldás.

4.1.2. Gyököt tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek

Mivel páros-gyökvonás nem értelmezhető negatív számon, és az eredménye sem lehet negatív, ezért elsőként értelmezési tartományt és értékkészletet kell meghatározni. Ha ezt nem tennénk meg, akkor hamis eredményeket is kaphatunk, mert négyzetre emeléskor olyan egyenlethez jutunk, melynek több megoldása lehet, mint az eredeti egyenletnek. Egy ilyen egyenlet általános alakja és az alkalmazandó kikötések:

√ ( ) ( ) ( ) ( )

Csak olyan x érték lehet megoldás, mely mindkét feltételnek eleget tesz. Nézzünk egy példát!

√ (√ ) ( )

√

Egyenlőtlenség megoldására alkalmazzunk grafikus megoldási technikát.

4.1.3. Exponenciális egyenletek, egyenlőtlenségek

Exponenciális kifejezést tartalmazó egyenletek megoldásakor algebrai átalakításokkal a következő alakot kell elérni:

( ) ^{( )} ( ) Egyenlőtlenség esetén is ezek az átalakítások szükségesek.

Ekkor az egyenlet megoldása az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt folytatható a kitevők egyenlőségének vizsgálatával:

( ) ( )

A szigorú monotonitás biztosítja, hogy azonos alapok mellett az eltérő kitevők nem eredményezhetik a hatványok egyenlőségét, hiszen csak szigorúan kisebb vagy nagyobb érték adódhat az alap értékétől függően. Így egyenletek megoldása során még az sem fontos, hogy szigorúan monoton csökkenő ( ) vagy növekvő ( ) függvények szerepelnek benne. Viszont ez már fontos lesz egyenlőtlenségeknél, mert megfordulhat az egyenlőtlenség iránya:

( ) ^{( )} ( ) ( )

( ) ^{( )} ( ) ( )

Ha az alap 0 és 1 közötti, akkor kisebb érték adódik nagyobb kitevő eseten a szigorúan monoton csökkenő függvény miatt.

Az eddig tárgyalt átalakításokkal olyan egyenletet, egyenlőtlenséget kapunk, mely már nem exponenciális

4.1.4. Logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek

Elsőként értelmezési tartományt kell vizsgálni, mivel csak pozitív szám logaritmusa képezhető. Algebrai átalakításokkal a következő alakot kell elérni:

( ) ( ) ( ) Egyenlőtlenség esetén is ezek az átalakítások szükségesek.

Ekkor az egyenlet megoldása a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt folytatható azon kifejezések egyenlőségének vizsgálatával, melyeknek logaritmusa megegyezik:

( ) ( )

Az exponenciális egyenletnél, egyenlőtlenségnél elmondottak érvényesek most is:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Az eddig tárgyalt átalakításokkal olyan egyenletet, egyenlőtlenséget kapunk, mely már nem tartalmaz logaritmust.

4.2. Grafikus megoldás

Az egyenlet, illetve egyenlőtlenség általános alakjában két függvény között áll egy reláció ( ):

( ) ( ) { }

Egyenlőtlenség esetén a megoldás első lépésében áttérünk egyenlőségre:

( ) ( )

Az egyenlet grafikus megoldásához ábrázoljuk közös koordinátarendszerben a függvényeket. Ekkor a megoldás(ok) a metszéspont(ok) abszcisszája (x koordináta). Mivel pontatlan lehet az ábráról leolvasott érték, ezért törekedjünk az egyenletek algebrai megoldására. Az egyenlet megoldását ismerve az ábrából leolvasható az egyenlőtlenség megoldása. Azok az x értékek tartoznak az ( ) ( ) egyenlőtlenség megoldásába, ahol az ( ) függvény grafikonja a ( ) grafikonja alatt halad. Mivel a megoldásba tartozó értékek intervallumának határa az egyenlet megoldása, így a pontosság csak az egyenlet megoldásának pontosságán múlik.

4.3. Ellenőrző kérdések, feladatok

Oldja meg az alábbi egyenlőtlenségeket!

5. TRIGONOMETRIA

Ez a fejezet az egyetemi tananyag témakörei közül szorosan kapcsolódik az alábbiakhoz:

 komplex számok,

 határozatlan integrál,

 határozott integrál,

 többváltozós függvények.

A szögfüggvények értelmezését, használatukat a geometriában elsőként hegyesszög esetén tekintjük át egy derékszögű háromszögben. Ekkor az egymásra merőleges oldalakat nevezzük a háromszög befogóinak, míg átfogónak a harmadik oldalt.

16. ábra Derékszögű háromszög

A háromszögben (16. ábra) az szög szempontjából az oldalak elnevezése:

 Szöggel szemközti befogó:

 Szög melletti befogó:

 Átfogó:

A négy szögfüggvény az ábra jelölései alapján a következők:

A szinusz és koszinusz függvényeknél az átfogó egységnyi hossza ( ) esetén a következő adódik:

Tehát ekkor a szöggel szemközti befogó nagysága a szög szinuszának értéke, míg a szög melletti befogóé pedig a szög koszinusza. Tetszőleges nagyságú szög szinuszát és koszinuszát egységnyi sugarú, origó középpontú kör alapján értelmezhetjük a következő ábra szerint.

17. ábra Szinusz és koszinusz értelmezése

Az ábrán a szög értéke az A ponthoz tartozó sugárnak az x tengely pozitív felével bezárt szöge, az óramutató járásával ellentétes forgásirányt tekintve pozitívnak. Az A pont x koordinátája (abszcisszája) a szög melletti befogó, de ez épp a szög koszinusza miatt. Míg a pont y koordinátája a szöggel szemközti befogó, vagyis a szög szinusza. Így a szög tetszőleges értéke mellett megkapható szinusza és koszinusza, mint az A pont koordinátái. A periódus 360° a szinusz és koszinusz függvényeknél.

( )

A következő ábrán a tangens és kotangens érték olvasható le a B és C pontok koordinátájaként:

( ) ( )

18. ábra Tangens és kotangens értelmezése

Az ábrán kék és piros színnel jelölt tengelyekről a és a értéke olvasható le. Az szöget tartalmazó, ̅̅̅̅ átfogójú derékszögű háromszögben a szöggel szemközti befogó , mert a szög melletti befogó egységnyi nagyságú. Az ̅̅̅̅ szakszt tekintve átfogónak a szög melletti befogó , mert a másik befogó egységnyi.

Az ábrán az is látható, hogy esetén a B pont nem keletkezik. Ezért a nem értelmezhető. Ehhez hasonlóan sem értelmezhető. A tangens és kotangens függvények periódusa 180°, mivel ennyivel növelve az egyenes elforgatását, ugyanehhez az egyeneshez jutunk.

5.1. Nevezetes szögek szögfüggvény értékei

A hegyesszögek között nevezetesnek tekintjük az alábbiakat:

 30°

 45°

 60°

Ezek szögfüggvény-értékeit speciális derékszögű háromszögekből kaphatjuk meg.

Ilyenek az egységnyi oldalú háromszög szimmetria tengelyénél megfelezett, és az egységnyi befogókkal rendelkező derékszögű háromszögek. Az ismeretlen hosszúságú harmadik oldaluk a Pitagorasz tétellel adódnak.

√ √ √

√ ( )

19. ábra Nevezetes hegyesszögek

Az eddigi hegyesszögeket kiegészítve a 0°-kal és 90°-kal, egyszerűen adódnak a szinusz és koszinusz értékek.

1. táblázat Nevezetes szögek szögfüggvényei

0° 30° 45° 60° 90°

√ √

√ √

A szögek értékét radián mértékegységben is használjuk, 180°=π. A fok (°) mértékegység kiírása kötelező, mert különben radiánban értjük a szög nagyságát.

Szimmetria miatt a 17. ábra alapján a hegyesszög szinuszának és koszinuszának ismeretében a többi három síknegyedben is adódnak az értékek:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5.2. Trigonometrikus azonosságok

Szögfüggvényeket tartalmazó kifejezések átalakítása szükséges ahhoz, hogy további műveleteket hajthassunk végre rajtuk. Az átalakítások során trigonometrikus azonosságokat alkalmazunk. Ezek közül most a sűrűbben alkalmazott, szinusz koszinusz függvényekre vonatkozókat tekintjük át, mivel a tangens és kotangens ezekre visszavezethető:

A fontosabb további azonosságok:



 ( )

 ( )

Az első két azonosságból adódnak a linearizáló formulák:

( )

( )

5.3. Ellenőrző kérdések, feladatok Adja meg értékét 5.3.1.

(megoldás)

5.3.2.

(megoldás)) 5.3.3.

(megoldás))

5.3.4.

(megoldás)

6. MEGOLDÁSOK

1.5.7.

(vissza)

1.5.12.

√ √ √

√ √

( )

( )

(vissza)

Az 2.5. feladat megoldásai:

(( )( )

( )( )) ( ( ) ( )( )

( )

( )( )) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( )( )

( ) ( ) (vissza)

A 3.5. feladat megoldásai:

3.5.1.

( )

(vissza) 3.5.2.

( )

(vissza) 3.5.3.

( ) √

(vissza) 3.5.4.

( )

(vissza) 3.5.5.

( ) ( )

(vissza)

3.5.6.

( )

(vissza) 3.5.7.

( ) ( )

( ) ( ( )) ( ) (vissza)

3.5.8.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( )

( ) ( ( )) ( ) (vissza)

3.5.9.

( )

( ) ( ( ))

( ( )) ( ( )) ( ) ( ) (vissza)

3.5.10.

( ) ( ) ( ) ( )

^{( )}

Két megoldás van az f függvény értelmezési tartománya alapján:

( ) √ [ [

(vissza) 3.5.15.

( ) ( )

( ( )) ( ( )) ^{( )}

( ( )) ( ( )) ( ) (vissza)

3.5.16.

( ) √ ( )

( ( )) √ | | ( ( )) √√ √ ( ( )) √ [ [ ( ( )) ( ) (vissza)

A 4.3. feladat megoldásai:

Ami valóban megoldás, mert a kikötésnek eleget tesz.

(vissza)

( )

Amik valóban megoldások, mert a kikötésnek eleget tesznek.

(vissza) 4.3.5.

( )

(vissza) 4.3.6.

( )

(vissza)

4.3.7.

( )

(vissza) 4.3.8.

( )

(vissza)

4.3.9.

√

Ki kell kötnünk a páros gyök miatt, hogy , azaz hogy és, hogy , azaz hogy

( )

( )( )

Ezek közül, csak az 1 a megoldás a 9 nem fér bele a kikötött intervallumba (vissza)

4.3.10.

√

Ki kell kötnünk a páros gyök miatt, hogy , azaz hogy , tehát √ és √ és, hogy , azaz hogy

( )

( )

És ez megfelel a kikötésnek, tehát valóban megoldás (vissza)

4.3.11.

( )

Az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt

√( )

√ √

(vissza)

4.3.12.

√ √

Páros gyök miatt ki kell kötni, hogy , ez viszont mindig igaz, és hogy

√ , de ez is mindig igaz

( ) ( ) ( ) ( )

Az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt:

(

) ( ) ( )

(vissza)

4.3.13.

( ) Kikötés a logaritmus miatt: , tehát

( ) A logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt

Megfelel a feltételnek, tehát jó megoldás.

(vissza) 4.3.14.

( ) ( )

Kikötés a logaritmus miatt: , tehát , tehát Kikötés a logaritmus miatt: , tehát

Összegezve feltételnek kell teljesülnie.

( ) ( ) a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt

( )

, nem felel meg a feltételnek, tehát nem megoldás.

, megfelel a feltételnek, tehát jó megoldás.

(vissza) 4.3.15.

(vissza)

4.3.16.

(vissza)

4.3.17.

√( ) √ √( ) √

( )( ) Megoldás:

(vissza) 4.3.18.

( ) Megoldás:

(vissza) 4.3.19.

√( )

√ √( ) √

( ) ( ) Megoldás:

(vissza) 4.3.20.

( )

Megoldás: Négyzetszám mindig pozitív, ezért nincs megoldás (vissza)

4.3.21.

√ Kikötés:

Ha kikötésnek megfelel, akkor a páros gyök értéke pozitív, ezért Megoldás:

(vissza) 4.3.22.

√ Kikötés:

Megoldás:

(vissza) 4.3.23.

Az exponenciális függvény szigorú monoton NÖVEKEDÉSE miatt

(vissza)

4.3.24.

( )

Az exponenciális függvény szigorú monoton NÖVEKEDÉSE miatt

, ami mindig igaz

Megoldás:

(vissza) 4.3.25.

( ) Kikötés logaritmus miatt:

( )

A logaritmus függvény szigorú monoton NÖVEKEDÉSE miatt

Megoldás:

(vissza) 4.3.26.

( ) ( ) Kikötés logaritmus miatt:

és

( ) ( )

A logaritmus függvény szigorú monoton CSÖKKENÉSE miatt

Megoldás:

(vissza)

Az 5.3. feladat megoldásai:

5.3.1.

√

√ √ (vissza)

5.3.2.

√

√

√ (vissza)

5.3.3.

(vissza)

5.3.4.

√ √

(vissza)

IRODALOMJEGYZÉK

Obádovics J. Gyula (2012): Matematika. Középiskolai tanulók, főiskolai és egyetemi hallgatók, valamint műszaki és gazdasági szakemberek számára, gyakorlati alkalmazásokkal. Tizenkettedik, bővített kiadás, Scolar Kiadó, Budapest.

In document MÉRNÖKKÉPZÉS MATEMATIKAI ALAPJAI (Pldal 43-0)