A táblázatok listája
2. Logikai műveletek kételemű halmazokkal
2.2. nand (nemés) kapu
A következő művelet az ún. nemés vagy nand, már jól mutatja, hogy milyen szerkesztési elveket alkalmazhatunk a digitális technikában. A művelet tulajdonképpen egy és művelet kimenetének negálása (invertálása, jelfordítása) (lásd ).
Tehát a nand kapu (művelet) akkor és csak akkor ad igaz kimenetet, ha a bemenetei közül legalább az egyik negált (hamis, vagyis 0 értékű). Mondhatjuk úgy is, hogy a kimenet akkor és csak akkor lesz hamis, ha bemenetei azonosan ponáltak (igaz, vagyis 1-es értékűek).
Amikor a jeleket egy számítógép áramkörein vizsgáljuk, szokás a ponált, illetve negált kifejezés mellett az alacsony illetve a magas jelszintekről beszélni ugyanebben az értelemben, arra utalva, hogy a feszültség szint 5 volt, illetve kisebb, mint 2,8 volt.
Kis kreativitással (mely a digitális technikában gyakran használt mindennapi munkaeszköz) a készen kapható integrált áramköri megvalósítás helyett a már eddig ismert 2 műveletünk „összeépítésével” is megvalósíthatnánk a kívánt műveletet. Használjuk frissen szerzett tudásunkat, és állítsunk össze egy nand műveletet az eddig megismert 2 kapu felhasználásával. Vagyis vegyünk egy and kaput és a kimenetéhez kapcsoljunk egy not kaput, ahogy a mutatja.
42. ábra
-Most már minden túlzás nélkül és büszkén digitális szakembernek tekinthetjük magunkat, hiszen megvalósítottunk egy ún. „összetett logikai funkcionalitást” elemi kapukból, melyet a célként előzetesen létrehozott igazságtábla alapján építettünk. A későbbiekben sem fogunk mást csinálni, csak esetleg az igazságtábla és a kapcsolás lesz egy kicsit bonyolultabb.
A nand kapu még egy érdekes felhasználásáról kell szót ejtenünk. Képzeljük el, hogy a kapu mindkét bemenetére ugyanazt a bemeneti jelet kötjük, vagy másképp fogalmazva, egy nand kapu bemeneteit összekötjük a szerint.
43. ábra
-Ekkor a nand kapu kimenete 0-t ad, ha a bemenet 1, és 1-et, ha a bemenet 0, hiszen az igazságtáblának csak azon sorai érvényesülhetnek, ahol mindkét jel egyezik. Ez az eredmény tehát azzal jár, hogy a bemenet tulajdonképpen egy jelfordításon esik át (lásd ).
A B Y
0 0
0 1
1 0
1 1
Vegyük fel az egyes eseteket és kövessük végig a kapcsoláson a jel terjedését.
Legyen A’ az A bemenetű nand kapu kimenete, B’ a B bemenetű nand kapu kimenete. Ha A=0 és B=0, akkor a jelfordítás miatt a harmadik nand bemeneteire az A’=1 és a B’=1 érkezik. Ha a harmadik nand (ahol a kimeneti jel legyen Y) kapu bemenetein 2 db 1-es van, akkor a kimenete 0, tehát az igazságtáblába beírhatjuk az első sorba a 0-t (lásd 1. sor).
A B Y
0 0 0
0 1
1 0
1 1
Ugyanígy, ha A=0 és B=1, akkor A’=1 és B’=0, ekkor Y=1 (lásd 2. sor).
A B Y
0 0 0
0 1 1
1 0
1 1
Ugyanígy, ha A=1 és B=0, akkor A’=0 és B’=1, ekkor Y=1 (lásd 3. sor).
A B Y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1
Ugyanígy, ha A=1 és B=1, akkor A’=0 és B’=0, ekkor Y=1 (lásd 4. sor).
A B Y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Figyeljük meg, hogy a részekre bontás (dekompozició) és a jelterjedés vizsgálata alatt az új kapcsolásban egy szabályt követtünk. Ez az ún. De Morgan-azonosság. Mit is csináltunk? Egy diszjunkciót (vagy kapcsolatot) helyettesítettünk a jelek egyedi fordítása és kapcsolatának invertálásával.
Az első De Morgan-azonosság így szól:
¬(A ∨ B)= ¬A ∧ ¬B
Ennek felhasználásával adódik, hogy:
A ∨ B=¬(¬A ∧ ¬B)
ami éppen az általunk használt szabály:
2 jel vagy kapcsolata azonos a negált jelek és kapcsolatának tagadásával.
Vajon ha a vagy kapcsolat leírható és kapcsolatokkal és negálásokkal, akkor az és kapcsolat is leírható-e vagy kapcsolatok negálásával? Hát persze! optimalizálásánál. Nem mindegy ugyanis, hogy egy logikai áramkör hányféle kaput tartalmaz.
Technológiai szabály, hogy annál egyszerűbb és főleg olcsóbb kivitelezni egy kapcsolást, és esetleg több milliót legyártani belőle, minél kevesebb típusú kapuval lehet megvalósítani. A De Morgan-szabályokat általánosan jegyezzük meg úgy a gyakorlat számára, hogy az és kapcsolat és a vagy kapcsolat mindig helyettesíthető három negáció és a másik művelet kompozíciójával. Ezek alapján tehát a korábban tárgyalt és kapcsolat helyettesítő kapcsolása egyszerű formális szerkesztéssel az szerint alakul.
45. ábra
-Mivel egy általános logikai kapcsolásnak az egyszerűsítése a fentiek miatt igen fontos, törekednünk kell arra, hogy az egyes jel elemek (A, B, C, D, ..., Y stb.) csak közvetlenül essenek negáció alá (ezt úgy mondjuk, hogy a negáció csak atomi kötésekben legyen), és az így zárójelekkel összetett kifejezések egymással csak egyfajta logikai kapcsolatban legyenek.
Ha a zárójelek között csak vagy, illetve csak és kapcsolat van, és teljesül a negáció atomi kötésének feltétele, akkor ún. normál formában adott a logikai kapcsolás. Ha a zárójelek között csak vagy kapcsolat van, akkor diszjunktív normál formának nevezzük, ha a zárójelek között csak és kapcsolat van, akkor konjunktív normál formának nevezzük a kifejezést. Például egy diszjunktív normál formájú logikai kifejezés a
X=(¬A ∧ ¬B) ∨ (C ∧ B) ∨ (¬D ∧ E) logikai egyenlettel megadott formula.
Az alábbi egyenlet pedig nem normál formában adott, mert a negáció nem atomi kötésben van, hanem összetett részkifejezést negál (pirossal):
Y=(¬A ∧ ¬B) ∨ ¬(C ∧ B) ∨ (¬D ∧ E)
Egy kis átalakítással persze ezt is normál formára hozhatjuk, ha alkalmazzuk a De Morgan-azonosságot:
¬(C ∧ B) = ¬C ∨ ¬B ezért:
Y=(¬A ∧ ¬B) ∨ ¬C ∨ ¬B ∨ (¬D ∧ E)
Mint a hagyományos matematikai egyenletek körében, a matematikai logikában is vannak olyan azonosságok, melyekkel a normál formára történő alakítás elvégezhető. Ezek az implikáció, a 2 De Morgan-azonosság, a disztributivitás, a kettős tagadás, az idempotencia, illetve az ún. adszorbciós szabályok.
Mivel már értjük az alapvető logikai műveletek működését, nincs akadálya annak, hogy sorra vegyük ezeket:
Ekvivalencia: A ⇔ B = (A ⇒ B) ∨ (B ⇒ A)
Jelentése: A akkor és csak akkor, ha B = (Ha A, akkor B) vagy (Ha B, akkor A) Implikáció: A ⇒ B = ¬A ∨ B
Jelentése: Ha A, akkor B = NemA vagy B I. De Morgan-törvény: ¬ (A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B, ami ekvivalens azzal, hogy A ∨ B=¬(¬A ∧ ¬B)
Jelentése: A és B vagy kapcsolata = a tagok negációjának és kapcsolatán végrehajtott invertálással.
II. De Morgan-törvény: ¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B ami átalakítva: A ∧ B = ¬(¬A ∨ ¬B)
Jelentése: A és B és kapcsolata = a tagok negációjának vagy kapcsolatán végrehajtott invertálással.
Disztributivitás szabálya: (A ∧ B) ∨ C = (A ∨ C) ∧ (B ∨ C)
Jelentése: A és B és kapcsolatának vagy kapcsolata C-vel = A-nak és B-nek C-vel vett vagy kapcsolata és kapcsolatával.
Kettős tagadás: ¬(¬A) = A
Jelentése: A kétszeres negálása = A-val Idempotencia: A ∨ A = A ∧ A = A
Jelentése: A-nak önmagával vett és, valamint vagy kapcsolata egymással és A-val is azonos.
Adszorbciós szabályok: (A ∧ B) ∨ A = A, valamint (A ∧ B) ∧ A = A
Jelentésük: Két tag és kapcsolatának vagy kapcsolata az egyik taggal azonos a taggal, illetve két tag és kapcsolatának és kapcsolata az egyik taggal azonos a taggal.