1. Bevezetés
1.5. Globális energiafelhasználás, alternatív források
táb-lázata. u és v a szélvektor nyugati és déli komponenseit, gp1000 a geopotenciált (egységnyi tömeg¶
leveg® helyzeti energiája a tengerszinthez viszonyítva az 1000 hPa nyomásszint magasságában), mígT a h®mérsékletet jelöli. A nagyfelbontású adatokkal lefedett terület lényegében az európai földrészre, a h®mérsékleti adatok a teljes hosszúsági kört lefed® sávra vonatkoznak.
változó magassági szint felbontás lefedett terület u[m/s] felszín 1◦×1◦ 35-75◦N, 20-40◦E v[m/s] felszín 1◦×1◦ 35-75◦N, 20-40◦E u[m/s] 1000 hPa 1◦×1◦ 35-75◦N, 20-40◦E v[m/s] 1000 hPa 1◦×1◦ 35-75◦N, 20-40◦E gp1000[m2/s2] 1000 hPa 1◦×1◦ 35-75◦N, 20-40◦E T [K] 1000 hPa 2.5◦×2.5◦ 60◦S-60◦N T [K] 850 hPa 2.5◦×2.5◦ 60◦S-60◦N T [K] 600 hPa 2.5◦×2.5◦ 60◦S-60◦N T [K] 400 hPa 2.5◦×2.5◦ 60◦S-60◦N T [K] 200 hPa 2.5◦×2.5◦ 60◦S-60◦N T [K] 100 hPa 2.5◦×2.5◦ 60◦S-60◦N
1.5. Globális energiafelhasználás, alternatív források
Az el®z® szakasz 1.1 táblázatából is látszik, hogy az utóbbi id®ben elkezdtünk a szélenergia potenciál klimatológiai kérdéseivel foglalkozni, el®zetes eredményein-ket az 5. fejezetben ismertetjük. Ennek bevezetéséhez talán nem árt az alternatív (megújuló) energiaforrásokkal kapcsolatos alapvet® tényeket egy kissé szélesebb képbe elhelyezni a kérdéskör jelent®ségének jobb megértéséhez.
A jelenlegi globális energiamérleg alapján talán nem túlzás olaj civilizációról beszélni: ma a világ energiaszükségletének nagyjából 40 %-át fedezi az összes, nem olaj vagy gáz alapú forrás (szén, atommaghasadás, biomassza, víz, közvetett vagy közvetlen napenergia, és a föld bels® h®je). Az ásványi olaj iparszer¶ ki-termelése az 1850-es évek végén kezd®dött. Az USA szövetségi adóhatósága már 1866-ban sürgette szintetikus üzemanyagok el®állítását, mely az 1890-es évekre teljes mértékben kiaknázottnak vélt petróleumot lett volna hivatott kiváltani [33]. A hasonlóan rövid távú katasztrofális hiány jóslatok évtizedenként újra és újra felbukkantak, a tény viszont az, hogy a kitermelés és felhasználás az el®z®
évszázad során egyre gyorsuló ütemben növekedett. A fejlett ipari országokban a szinte kizárólag szén alapú energiatermelést a XX. század második felére jórészt felváltotta az olaj és földgáz széleskör¶ használata. Ezen fokozódó egyoldalú-ság kockázatára gyelmeztetett az 1973-as els® és 1979-es második olajválegyoldalú-ság, azonban a globális fogyasztási adatokat szemlélve ennek sem látható komolyabb hatása, talán a növekedés sebessége esett valamelyest (1.10 ábra).
Az elmúlt három évtizedben a világ népessége szinte pontosan a duplájára n®tt (1.10 ábra, jobbra). Annak ellenére, hogy ezt a kett®z®dést lényegében a kevésbé fejlett gazdaságú országok produkálták, tény, hogy az energiafogyasztás ennél nagyobb mértékben b®vült. Ez a tendencia azzal magyarázható, hogy id®-közben az általános jólét, szokásos módon az egy f®re jutó nemzeti össztermék
1.10. ábra. Balra: A globális energiafogyasztás jelenlegi és várható alakulása 2030-ig, fajtánként, Millió tonna olaj ekvivalens (Mtoe) egységekben mérve. A: víz és egyéb megújuló források, B: nukleáris energia, C: biomassza, D: földgáz, E: szén, F: k®olaj. (Adatok: IEA World Energy Outlook 2006, [34]).
Jobbra: A világ népességének növekedése 1950-2005 között (milliárd f® egységekben), és a demográai becslés a következ® néhány évtizedre. Az alsó sáv a fejlett országok népességére vonatkozik. (Adatok:
ENSZ, World Population Prospects [35]).
(GDP) egységekben kifejezve, is növekedett (persze óriási egyenl®tlenségekkel).
Az empirikus elemzések pedig egyértelm¶en azt mutatják, hogy egy országon be-lül növekv® életszínvonal a lakosság számához viszonyítva aránytalanul nagyobb mérték¶ energiafogyasztással jár együtt. Az el®rejelzések szerint tizenöt év múl-va a nagyjából 8 milliárdnyi világnépesség mintegy 60 %-a városlakó lesz. Ennél is fontosabb azonban, hogy kb. a lakosság háromnegyede fejl®d® országokban él majd, ami kiindulva Délkelet-Ázsia közelmúltjából vagy Kína és India jelenéb®l, óriási többlet energiaéhséggel párosul majd. Ezért a különböz® becslések egy-öntet¶en azzal számolnak, hogy két-három évtizeden belül a jelenlegi globális fogyasztási szint minimum 50 %-kal emelkedni fog (1.10 ábra, balra).
Figyelemre méltó az a tény, hogy egyetlen mértékadó el®rejelzés sem számol az energiahordozók részarányának jelent®s átrendez®désével. Persze a hasonló becslések nem tudnak megjósolni hirtelen, lökésszer¶ változásokat, mint amilyen például az 1986-os csernobili baleset volt. A fejlett országokban ezt követ®en kialakult nukleáris technika ellenesség nem vezetett éppen tömeges er®m¶ bezá-rásokhoz, de a kapacitásfejlesztések ezekben a régiókban lényegében leálltak, új beruházások nemigen történtek. Az alternatív, megújuló energiaforrásokról ma-napság egyre többet hallani, de az el®rejelzések szerint ezek szerepe a következ®
évtizedekben a jelenlegi szinten marad, részarányuk nemigen haladja meg az 1
%-ot.
A 1.10 ábrán is látható, hogy a fosszilis energiahordozókon kívül minden más részaránya nagyjából 20 %, ezen belül az atomer®m¶vek képviselnek 6 %-ot, a maradék 14 % az úgynevezett megújuló forrás. Érdemes az elején tisztázni, hogy ez az elnevezés kissé félrevezet®. A valóban megújuló, azaz az id®szakos fogyasztást a Napból érkez® energiából teljes mértékben pótló hordozók rész-aránya kevesebb mint 1 %, a fennmaradó rész a klasszikus biomassza és f®leg
1.5 Globális energiafelhasználás, alternatív források 23
a fejlett országokban jellemz® hulladék égetésére jut. Könnyen belátható azon-ban, hogy pl. az erd®kb®l származó t¶zifa csak húsz-harminc év alatt újul meg, a háztartási hulladék pedig nem is nettó energiaforrás, ugyanis az abban lév®
termékek el®állítása több energiát fogyaszt, mint amit az égetésb®l vissza lehet nyerni.
Vegyük sorra, hogy a közeljöv®ben miért nem várható a jelenleg ismert leg-fontosabb alternatív energiahordozók javára jelent®s átrendez®dés.
Nukleáris energiatermelés
A jelenleg m¶köd® 443 energiatermel® rektor a globális villamosenergia szükség-let mintegy 16 %-át biztosítja (kb. 3700 GW), ez a kapacitás 2030-ra nagyjából 50 %-kal fog b®vülni [36]. A fejlesztések nem az OECD országok területén zaj-lanak, f®leg a már említett társadalmi elfogadottság hiánya miatt. Kétségtelen tény, hogy a lassan bomló, er®sen sugárzó hulladék feldolgozása vagy végleges tárolása sehol sem megoldott probléma, a kiégett f¶t®elemek legnagyobb részét mindenhol az er®m¶vek mellé telepített átmeneti tárolókban raktározzák. Talán kevésbé ismert adat, hogy a nagyobb arányú elterjesztés igazi korlátja itt is az üzemanyag: a gazdaságosan kitermelhet® uránérc (235U) tartalékai még a jelen-legi felhasználási ütem mellett sem tartanak tovább, mint kb. 30-40 év. Léteznek elképzelések az urán helyettesítésére, pl. a sokkal gyakoribb tóriummal (232Th), de a reaktorok ezen új generációja egyel®re csak tervez®asztalokon létezik.
Magfúzió
Érdekes néz®pontból üdvözölte a Nature szerkeszt®ségi cikke [37] az ITER (In-ternational Thermonuclear Experimental Reactor [38]) 2006. november 21-én aláírt alapító szerz®dését. Nem igazán a tudományos jelent®ségét emelte ki (a Nap energiatermelésének megvalósítása a Földön), nem a fejlesztés méretein lel-kendezett (34 ország, több mint 10 milliárd euró), hanem azt hangsúlyozta, hogy ez a kutatási projekt harminc év óta az els®, ami egyáltalán a globális energia-gondok megoldását célozza. A baj ezzel is csak az, hogy optimális esetben sem várható a módszer gyakorlati hasznosítása fél évszázadnál hamarabb, nem is beszélve a bizonytalansági tényez®r®l, amit egy esetleges kudarc jelentene.
Közvetlen napenergia
A Napból érkez® energia közvetlen hasznosítására két f® eljárás ismeretes, a direkt elektromos áram termelés (napelem), illetve a beérkez® sugárzás h®vé ala-kítása (napcsapda). Mindkét módszer egyre népszer¶bb, f®leg a kisfogyasztók körében, pl. egy családi ház energiaellátásában már ma is sokat jelenthet egy megfelel® berendezés telepítése. A ma ismert technológiákkal a világ elektro-mos áram igényét fedezné egy kb. 220000 km2-es terület lefedése napelemekkel [39], ez bizony nem csak az országunk méretéhez képest t¶nik nagynak (kb. 470 km oldalú négyzet). Megjegyeznénk, hogy a napelemek iparszer¶ gyártása óta
(nyolcvanas évek eleje) a mai napig el®állított összes cella becsült területe kb.
30 km2, amellett, hogy 2006-ban már piaci hiány mutatkozott a legfontosabb alapanyag, az egykristály szilícium terén [40]. A napenergia közvetlen haszno-sításának másik akadálya annak id®szakos jellege (pl. éjszaka nem m¶ködik).
Ennek gazdaságos megoldása jelenleg elképzelhetetlen. Vagy óriási tárolókapa-citásokat kéne kiépíteni, vagy az egész földgolyón átível® elektromos hálózattal kéne összekötni a sötét és napos féltekét.
Közvetett napenergia
Ide nagyjából három, jól kidolgozott technológia tartozik. Jelenleg még a leg-fontosabb a vízenergia hasznosítása (az össz mérlegen belül mintegy 0.3 %), de óriási területi egyenetlenségekkel. Norvégia pl. lényegében teljes elektromos áram fogyasztását vízer®m¶vekkel termeli, míg a szárazabb területeken fel sem merül a vízi energiatermelés lehet®sége. Ezen a téren nem várható ugrásszer¶ fejl®dés két ok miatt. Az egyik a közismert környezeti károk elrettent® hatása, a másik az óriási beruházási költség.
Sokkal több szó esik manapság a szélenergia hasznosításáról. Ezen a területen Európa élen jár: a telepített kapacitások nagysága négyszer nagyobb, mint pl.
az USA-ban, a legnagyobb szélturbina gyártó cégek is európaiak, és jelent®s te-lepítési projektek vannak folyamatban [41]. Az el®z® évtizedekben komoly tudás halmozódott fel a szélenergia integrálásával kapcsolatban, az összkép azonban nem teljesen egyértelm¶. A mindennapi tapasztalatok is azt sugallják, hogy a szél eléggé megbízhatatlan energiaforrás, hol fúj, hol meg nem. Ez különösen igaz a kontinensek belsejében, pl. hazánk területén. A tengerpartok ilyen szem-pontból sokkal ígéretesebbek, nem csoda, hogy az új telepítések zömét ilyen területekre tervezik. Az talán kevéssé ismert, hogy egy adott helyen, állandónak t¶n® szél esetén is a légáramlás turbulens természete miatt egy szélgenerátor energiatermelése elképeszt® mértékben ingadozik. A mérések szerint még egy több tucat generátorból álló, optimális széljárású helyen felépített er®m¶ átla-gos teljesítménye sem haladja meg a névérték ötödét, ami jelent®s beruházási többletköltséggel jár. Ráadásul a hagyományos elektromos elosztó hálózatokat stabil üzem¶ er®m¶vekre tervezték, ezért sok helyen komoly gondot jelent a szél-turbinákhoz hasonló, er®sen ingadozó források integrálása.
A harmadik f® technológiacsalád a fotoszintézis kihasználásán alapul. A nö-vényzet a napenergia mintegy 0.5 %-át képes tárolni, ami nem túl jó hatásfok (pl. a jelenlegi legkorszer¶bb napelemek 40 % feletti hatásfokkal m¶ködnek).
Mindemellett különleges el®nynek tekinthet®, hogy a fotoszintézis során a lég-köri széndioxid egy része a növényekbe épül. A növények energetikai haszno-sítására többféle lehet®ség adódik, a legegyszer¶bb a h®er®m¶vi égetés. Ennél komplikáltabb, de a jelenlegi közlekedési technika csekély módosítását kívánó eljárás a bio-üzemanyagok (etanol és biodízel) el®állítása, amiben például Brazí-lia világviszonylatban élen jár. Valóban jó ötletnek t¶nik a fölös mez®gazdasági
1.5 Globális energiafelhasználás, alternatív források 25
kapacitások ilyetén felhasználása, azzal a megjegyzéssel, hogy a bioenergia je-lenleg semmiképpen sem tekinthet® a fosszilis források globális alternatívájának.
Ha az emberiség teljes szükségletét energetikai jelleg¶ növénytermesztés fedez-né, egyszer¶en nem maradna hely élelmiszerek el®állítására, ugyanis a becsült szükséges területnagyság nagyjából megegyezik a világon jelenleg m¶velés alatt álló területtel (ez a szárazföldek 10 %-a). A bio-üzemanyag amúgy is csak akkor jelentene valódi energiaforrást, ha az el®állításához valódi megújuló forrásokat használnának. Ez ma még nem így van, emiatt a földm¶velésnél, m¶trágyák és gyomirtók gyártásánál, a lepárlásnál és nomításnál, valamint a szállításnál több fosszilis energia fogy, mint ami a bio-üzemanyagok égetéskor keletkezik.
Hasonló okok miatt pl. a hidrogén sem tekinthet® valódi energiaforrásnak, bár mint hordozó, a kés®bbiekben fontos szerepe lehet. Jelenleg azonban jobbára földgázból vagy elektrolízissel állítják el® ipari méretekben, mindkett® sokkal több energiába kerül, mint ami az égetéskor nyerhet®.
Egzotikus források
A Föld bels® h®jének hasznosítására kidolgozott technológiák léteznek, fejleszté-sek is folynak több helyen, de mégsem várható, hogy ez lenne a jöv® meghatározó forrása. Ezen a területen is az USA jár élen, elektromos energia igényének 0.34
%-át fedezik geotermikus er®m¶vek, a világ teljes jelenlegi kapacitása 9 GW kö-rüli. A legjobban kidolgozott módszer szerint vastag csöveken keresztül sóoldatot pumpálnak a földkéreg mélyére, ahol felmelegszik kb. 100-150 ◦C-ra, ami kiszi-vattyúzás után g®zturbinákban használható áramfejlesztésre. Az eljárás korlátja, hogy túl nagy mennyiség¶ bepumpált folyadék egyszer¶en leh¶ti a k®zetet, és a visszamelegedésre akár éveket is várni kell. Kisméret¶ generátorok azonban stabilan üzemelnek, ez pl. a szélenergiával összehasonlítva nagy el®ny.
A magfúzió kiaknázásának nem az egyetlen módja lehet a már említett ITER berendezés, ahol a forró plazmát egy óriási tórusz alakú mágneses csapdában igyekeznek elegend®en magas h®mérsékletre felf¶teni. Egy alternatív kísérletben a hidrogénbomba robbanását szeretnék mikroszkopikus méretben leutánozni, eh-hez 2 mm átmér®j¶ fagyasztott trícium-deutérium golyócskákat ejtenek gigan-tikus erej¶ lézernyalábok fókuszpontjába. Ez a NIF (National Ignition Facility [42]) nev¶ amerikai projekt többszöri halasztást követ®en igen lassan halad, és annyira távol áll egy esetleges gyakorlati alkalmazástól, hogy erre még jóslatokat sem lehet olvasni.
A tervez®k fantáziája egyébként kifogyhatatlan különböz® er®m¶-ötletek te-rén is. Hely hiányában még felsorolni sem tudjuk a tengerek hullámait, a dagály-apály áramlásokat, a tengervíz h®jét, vagy az igazán széls®séges a zika ismert törvényeit azonban nem sért® források kiaknázását ígér® módszereket (pl. ¶rbe telepítend® naper®m¶vek, különféle termoelektromos cellák, ozmózis motorok, stb.12). A nagy áttörés még várat magára.
2
H®mérsékleti id®sorok korrelációs tulajdonságai
Az atmoszféra zikai állpotának egyik alapvet® paramétere a h®mérséklet. Nyil-vánvaló okok miatt ez a változó az emberi érdekl®dés fókuszában áll, ezért rend-szeres m¶rend-szeres meggyelése szolgáltatja a leghosszabb múltra visszatekint® és legjobb térbeli lefedettség¶, (közel) folytonos meteorológiai adatsorokat. Amikor szóba kerül a globális klímaváltozás fogalma, szinte mindenki automatikusan ezt globális felmelegedésre fordítja, holott az éghajlat változása sokkal több paraméterrel leírható, sokkal komplexebb jelenség.
A globális csatolt atmoszféra-óceán numerikus modellek mostanában érik el azt a felbontást, amely lehet®vé teszi a nagyfrekvenciás (napi) észlelésekkel való összehasonlítást [43]. A légkör viselkedésének minél pontosabb reprodukciója alapvet® fontosságú abból a szempontból is, hogy mennyire hihetünk a klíma hosszú távú változását el®rejelz® számításoknak. A reprodukciós vizsgálatokhoz a mért adatok lehet® legteljesebb statisztikai jellemzése szükséges, kapcsolódó munkáinkban ehhez szeretnénk hozzájárulni.
2.1. H®mérsékleti uktuációk
Az egyenlít®t®l kissé eltávolodva szembeszök® módon jelenik meg az évszakok váltakozása, melynek triviális jellemz®je pl. a napi átlagh®mérséklet. Ezt leg-gyakrabban a nap során mért maximális és minimális érték aritmetikai közepé-vel deniálják. Ugyanakkor az is nyilvánvaló, hogy egy adott napon mért átlag-h®mérséklet jelent®s, véletlennek t¶n® komponenssel is rendelkezik, ami er®sen lesz¶kíti a pontos el®rejelezhet®séget. Ez a látszólag véletlen komponens egy sor dinamikai folyamat következménye, melyek közt legfontosabbak a lokális hatások (a felh®zett®l függ® besugárzást követ® felmelegedés, hatérrétegbeli konvekció, látens-h® áram, stb.), illetve a nagyskálájú áramlások (ciklonok, anticiklonok) hatására bekövetkez® advekció.
Els® közelítésként egy h®mérsékleti id®sort célszer¶en leírhatunk egy deter-minisztikus (évszakos változás) és egy véletlenszer¶ komponens összegeként. A determinisztikus rész leválasztására több elemi eljárás is m¶ködik. Felszíni
h®-mérsékleti id®sorok egyszer¶ szemrevételezése (2.1 ábra) adhatja az ötletet, hogy az évszakos változás leírható egy harmonikus függvény segítségével [44]:
T(d) = T +Tacos
2π 365d+φ
, (2.1)
ahol d = 1. . .365 jelöli egy év naptári napjainak sorszámát (az egyszer¶ség kedvéért a szök®napokat az id®sorokból rutinszer¶en eltávolítják), T a hosszú idej¶ klimatológiai átlagh®mérséklet, Ta és φ pedig az amplitúdó és fázisfaktor.
(A paraméterek mindegyike természetesen helyfügg®.) Tipikus magyarországi értékek [44]: T = 10.06±0.59◦C, Ta= 11.1±0.7,φ = 2.88±0.02.
-10 -5 0 5 10 15 20 25 30
<T>d [o C]
0 365 730 1095
nap 5
10 15 20 25
<T>d [o C]
(a)
(b)
1958/01/01
2.1. ábra. Három év napi középh®mérsékleti adatai (a) Szombathely és (b) Sydney meteorológiai állomá-soknál. A kék görbék egyszer¶ harmonikus illesztéssel (2.1), a pirosak naptári napokra vett átlagolással (2.2) készültek.
Van azonban számos olyan hely, ahol egy egyszer¶ harmonikus függvény nem teljesen kielégít®, egy példát mutat erre a 2.1b ábra. Bár az ábrázolt fekete és kék görbék összehasonlításából nem nyilvánvaló, az átlagos viselkedésben meg-jelenik egy határozott féléves harmonikus komponens, amely klimatológiailag is jól értett okok miatt következik be (déli-sarki áramlások). Persze újabb há-rom paraméter segítségével ez is beépíthet® a determinisztikus komponensbe, de nincs arra semmi biztosíték, hogy más földrajzi területeken nem jelennek meg újabb felharmonikusok. Ezért célszer¶bb az éves periodicitást egy adott napra vonatkoztatott klimatológiai átlagolással leírni:
2.1 H®mérsékleti uktuációk 29
Az így kapott átlagokat piros görbék jelölik a 2.1 ábrán (ezzel már jól látható, miért m¶ködik a harmonikus illesztés Szombathelyen, és miért nem Sydney-ben).
A h®mérsékleti uktuációk vagy h®mérsékleti anomáliák az eredeti adatok és a klimatológiai átlagok különbségeként adódnak. Lényeges hangsúlyozni, hogy a periodikus háttér eltávolításának egyik szokásos módszere sem érinti az alap-vonalban történ® lassú eltolódást. (Egy lassú trend nem feltétlenül a globális felmelegedést jelenti, sokkal gyakoribb a városi h®sziget jelenség bekövetkezése, mikor a kezdetben városon kívül elhelyezett mér®állomást benövi a város.)
A determinisztikus komponens eltávolítása után következ® lépés annak el-len®rzése, vajon mennyire tekinthet®ek véletlenszer¶nek a maradék uktuációk.
Tényleges véletlen ingadozások esetén az amplitúdók eloszlásfüggvényét Gauss alakúra várjuk, lényegében zéró korrelációk mellett.
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15
2.2. ábra. Balra: h®mérséklet uktuációk valószín¶ség s¶r¶ség függvénye logaritmikus skálán (16 ma-gyarországi állomás átlaga), és a legjobb Gauss illesztés. Jobbra: Egy adatsor autokorrelációs függvénye (Szombathely). A piros szaggatott vonal a 95%-os kondencia intervallumot jelöli. [44]
A 2.2 ábrán látszik, hogy egyik feltétel sem teljesül maradéktalanul a h®-mérsékleti anomáliákra. Bár a hisztogramok középs® része jól illeszthet® Gauss függvénnyel, az ett®l való eltérés általánosnak tekinthet®. Ennek szemléltetésére mutatjuk be a 2.3 térképeket, melyen a GDCN adatbázis id®soraira színkódolás-sal ábrázoltuk a Gauss eloszlástól való eltérés jellemzésére szolgáló hagyományos mér®számok földrajzi eloszlását, ezek a ferdeség (harmadik centrális momen-tum, skewness) és a lapultság (negyedik centrális momenmomen-tum, kurtosis). Ami az autokorrelációt illeti, a mindennapi meggyelésekkel megegyez®en szignikáns korrelációk léteznek több napos id®tartamokra (id®járási perzisztencia).
2.3. ábra. Felül: h®mérsékleti uktuációk eloszlásának ferdesége (skewness) a GDCN adatbázis id®so-raira. Alul: lapultsági paraméter (kurtosis). (Bartos Imre)
2.2. H®mérsékleti uktuációk lineáris modellezése
Számos meteorológiai paraméter uktuációi jól modellezhet®ek alacsony rend¶
autoregresszív (AR) folyamatokkal [7]. Ezek a modellek széles körben haszná-latosak egyrészt az észlelési eredmények leírásához, másrészt nagytömeg¶, szto-chasztikus jellemz®iben hasonló mesterséges adatsorok generálásához [45]. Egy AR modell az ingadozó jelet néhány korábbi értékének lineáris függvényeként reprezentálja, kiegészítve egy korrelálatlan zaj-taggal. Az irodalomban sok pél-da demonstrálja, hogy pl. napi h®mérsékleti uktuációk szimulálásához ritkán szükséges másodrend¶nél bonyolultabb AR illesztés, a legtöbb esetben a legegy-szer¶bb, els®rend¶ AR1 modell kielégít® leírást nyújt.
Tegyük fel, hogy a dinamika eleget tesz egy els®rend¶ közönséges dierenci-álegyenletnek:
k1
dx(t)
dt +k0x(t) = ξ(t) , (2.3)
ahol ξ(t) egy korrelálatlan standard Gauss zaj (átlaga nulla, szórása egységnyi), k0 és k1 konstans együtthatók. Standard diszkretizációs eljárással (dt ≡ 1))
2.2 H®mérsékleti uktuációk lineáris modellezése 31
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 t [nap]
-5 0 5 10
a(t) [o C]
adatok AR1 fit
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 τ [nap]
0.01 0.1 1
C(τ)=<∆Ti+τ∆Ti>
adatok illesztett AR1
2.4. ábra. Balra: mért h®mérsékleti uktuációk (anomáliák) és (2.4) AR1 illesztésük (Szombathely, A= 0.8051691,= 2.10). Jobbra: az adatsor és az illesztés autokorrelációs függvényei.
automatikusan egy AR1 folyamathoz jutunk:
xi+1 =Axi+ξi , (2.4)
az együtthatók közötti keresztrelációk:
A = k1
k0+k1 , = 1
k0+k1 . (2.5)
Egy ilyen folyamat C(τ) = hxi+τxii autokorrelációs függvénye exponenciális le-csengés¶:
CAR1(τ) = Aτ , (2.6)
ahol a stacionaritási feltétel megkívánja a 0< A <1 reláció teljesülését.
A 2.4 ábra illusztrálja, hogy els® közelítésként az AR1 modell valóban hasz-nálható egy h®mérsékleti anomáliasor leírására. Viszonylag jól követi a uktu-ációkat, és reprodukálja a néhány napos távon tapasztalható korrelációs tulaj-donságokat. Ugyanakkor az is világos, hogy a mérési adatokban hosszabb idej¶
szignikáns korrelációk léteznek, ennek jellemzésére visszatérünk.
Természetesen az AR1 modell könnyen kiterjeszthet® további tagok gyelem-be vételével, általános esetgyelem-ben egy ARp modell alakja
xi+1 =
p−1
X
j=0
Ajxi−j +ξi . (2.7)
Az együtthatók illesztésével nem foglalkozunk, mert minden standard statiszti-kai szoftvercsomagban benne van, irodalma könyvtárnyi. Az illesztés jóságát az ún. átlagos el®rejelzési hibával adják meg (vegyük észre, hogy a (2.4) vagy (2.7) egyben predikcióra is alkalmas formulák), amely az i-dik mért adat és az el®z®
értékekb®l számolt becslés négyzetes eltéréséb®l átlagolással adódik. Illusztrá-landó, hogy az AR1 modell valóban elegend® a legtöbb h®mérsékleti anomália
sor közelít® modellezéséhez, a 2.1 táblázatban megadjuk a 2.2 ábrán is látha-tó Szombathelyi adatsor különböz® rend¶ illesztéseinek hibáját. Mint láthalátha-tó, a rend emelkedésével az átlagos el®rejelzési hiba elhanyagolható mértékben javul.
2.1. táblázat. A Szombathelyen mért h®mérsékleti anomáliasor különböz® rend¶ AR illesztésének átla-gos el®rejelzési hibája.
AR modell rendje AR1 AR2 AR3 AR4 AR5 AR10
átlagos el®rejelzési hiba [◦C] 2.059453 2.039093 2.036969 2.035818 2.035705 2.035631
Csak a teljesség kedvéért jegyezzük meg, hogy az autoregresszív folyamatok
Csak a teljesség kedvéért jegyezzük meg, hogy az autoregresszív folyamatok