1. Bevezetés
1.2. Hosszú távon korrelált folyamatok
A globális éghajlatváltozással kapcsolatos egyik dönt® kérdés az emberi tevé-kenység esetleges hatásainak feltárása. Minthogy a csatolt óceáni-légköri folya-matok komplexitása rendkívüli mértékben nehézzé teszi a részletek tudományos szint¶ megértését, a kézenfekv® megközelítés els® lépése a globális klíma termé-szetes változékonyságának vizsgálata lehet. Az 1.2 ábra görbéi világosan mu-tatják, hogy még az olyan egyszer¶nek t¶n® változó is, mint amilyen a globális átlagh®mérséklet, id®ben meglehet®sen komplex viselkedést tükröz: lassú deter-minisztikus (vagy annak t¶n®) trendek mellett er®s véletlenszer¶ ingadozások lépnek fel minden id®skálán.
Az id®járás vagy éghajlati változások id®beli jellemzésére bevezetett hasznos fogalom a memória [7]. Egy dinamikai rendszer rövid távú memóriája végestcor integrált korrelációs id®vel kapcsolatos, amely a C(τ) autokorrelációs függvény exponenciális lecsengése esetén mindig megadható:
tcor =
itt szokásos módon τ jelöli az id®eltolást, τ∗ normálási tényez®. Ezzel szemben hosszú távú memória esetén tcor divergál, az integrálási tartomány b®vülésével végtelenhez tart. Szerencsés esetben az ilyen folyamatok autokorrelációs függvé-nye egyszer¶ hatvány alakban közelíthet®:
C(τ)∼
τ τ∗
−α
, 0< α <1 , (1.2) ahol az α exponens korlátozott értékkészlete a stacionaritási feltétel következ-ménye1.
Miel®tt az analitikai módszerek összefoglalására térnénk, érdemes szemléltet-ni a hosszú távú korreláltság jelentését. A korrelálatlan folyamatok alapesete, a véletlen bolyongás során a lépések nagysága és el®jele egmástól teljesen füg-getlen, a folyamatnak nincsen memóriája. Véges memória esetén az esedékes lépés függ néhány megel®z® elmozdulástól. Hatványfüggvény alakú korrelációs függvény esetén a rendszer memóriája matematikai értelemben végtelen, elvileg minden megel®z® lépés befolyást gyakorolhat az éppen következ®re. A gyakor-latban egyszer¶bb inkább egy olyan kép, hogy egy adott elmozdulás el®jelének statisztikai értelemben vett élettartama anomálisan hosszú lehet, melyet nem lehet egy adott számmal jellemezni. Ötletes szemléltetést mutat az 1.6 ábra (Bunde és Kantelhardt nyomán): egy hosszú távon korrelált stacionárius folya-mat természetes módon képes az 1.1 ábrához hasonló globális felmelegedést
1 Minthogy a sztochasztikus folyamatok kiértékelésének matematikai módszerei nagymértékben ki-használják a stacionaritás meglétét, a gyakorlatban az id®sorok feldolgozásának els® lépése a hosszú távú trendek eltávolítása, és ezután következik a maradék uktuációk kvantitatív jellemzése. Ezért ahol kimondottan nem utalunk az ellenkez®jére, id®sorokon mindig stacionárius uktuációkat ér-tünk.
1.2 Hosszú távon korrelált folyamatok 9
produkálni véges intervallumon, melyhez nem feltétlenül szükséges emberi hát-tértevékenységet feltételezni. Itt azonnal hangsúlyozni szeretnénk, hogy az áb-ra puszta szemléltetés, az adott probléma komoly statisztikai elemzése aráb-ra az eredményre jutott, hogy az 1.1 görbe menetét nem lehet reprodukálni tisztán statisztikai alapon, a mért korrelációs tulajdonságok alapján [9].
1.6. ábra. 190 pontból álló mesterséges adatsor, hosszú távú korrelált sztochasztikus folyamat [α = 0.4 (1.2)-ben] szimulációjából [8]. Ha a vízszintes tengely éveknek felel meg, a függ®leges pedig éves átlagh®mérsékleti anomáliának, a görbe nagyon hasonlít az 1.1 ábrához.
A hosszú távú memória jellemzésének minden gyakorlati módszere lényegében az (1.2) egyenletαexponensének becslését célozza. Kézenfekv®nek t¶nik egyx(t) id®sor autokorrelációs függvényének
C(τ) = hx(t)x(t+τ)i (1.3)
deníció szerinti kiszámítása, de jól ismert tény, hogy ez a gyakorlatban kevéssé m¶ködik nagy τ értékekre, az eljárás er®s zajérzékenysége miatt. Ezért sokkal elterjedtebb a Fourier analízis, azaz az S(f) teljesítménys¶r¶ség spektrum szá-mítása, amely (1.2) fennállása esetén maga is hatványfüggvény alakban írható fel, és az exponensek között egyszer¶ reláció adható:
S(f)∼f−β , β = 1−α . (1.4)
(Itt a normálhatóság nem zárja ki β >1 teljesülését, csak ekkor nem beszélünk klasszikus értelemben hosszú távú korreláltságról.) A Fourier analízis önmagá-ban is egy gazdag módszergy¶jtemény sok érdekes részlettel [10, 11], de ezekbe itt nem mennénk be, minthogy számos monográa és számtalan technikai pub-likáció foglalkozik vele. Mesteri alkalmazásának egy új eredményét illusztrálja az 1.7 ábra (Huybers és Curry nyomán), melyen instrumentális és paleoklimato-lógiai módszerekkel rekonstruált h®mérsékleti id®sorok megfelel®en normált és
1.7. ábra. Összefésült teljesítménys¶r¶ség spektrum egy magas szélességi körön mért (legfels® görbese-reg) és egy trópusi (alatta) h®mérséklet id®sor-halmazra egy hónaptól egymillió évig terjed® id®skálán.
Legalul a 65◦ északi szélességen mérhet® bees® napsugárzás intenzátásának spektruma, a vékony feke-te vonal a fundamentális Milankovitch periodicitásnak megfelel® 41 ezer éves csúcsot jelöli. Részlefeke-tek [12]-ben.
összefésült spektrumai jól láthatatóan folytonos eloszlást mutatnak majdnem 7 (!) nagyságrenden keresztül.
Az 1.7 ábra spektrumai érdekes összefüggéseket tárnak fel a bees® napsugár-zás, mint közvetlen gerjesztés, és a h®mérsékleti ingadozások, mint atmoszferi-kus válasz korrelációs tulajdonságai között. Az 1-100 éves frekvenciatartomány er®s korrelációi (β = 0.37 északon illetve β = 0.56 az egyenlít® környékén) meredekebb hatványfüggvény viselkedést mutatnak hosszabb id®skálákon, egyre nagyobb amplitúdójú ingadozásokra utalva az egyre hosszabb id®skálákon. (A legkisebb frekvenciájú, mintegy százezer éves csúcs az utolsó egymillió év jég-korszakainak periodikus felléptéhez tartozik.) A száz év körüli meredekségváltás arra utal, hogy két különböz® zikai mechanizmus lehet felel®s az éghajlat in-gadozásainak alakításában. Potenciális jelöltek az óceáni áramlások, illetve a jégtakaró hosszú idej¶ dinamikája [12].
A spektrális módszerek mellett hosszú távon korrelált id®sorok viszgálatára egy sor eljárást fejlesztettek ki az önhasonlóság, önanitás, azaz a fraktál