Detrendált uktuáció analízis

cepció alapján. Ennek jól ismert példái a Hurst analízis [13], fraktális Brown-mozgás leírás [14], multifraktális spektrum számítás [14], stb. Ezen módszerek koncepcionálisan új megközelítést jelentettek az ingadozási jelenségek tanulmá-nyozására és leírására, ám praktikus szempontból egyenrangúnak tekinthet®k az autokorrelációs függvény vizsgálatával. Például a H Hurst exponens R/S skálázás révén [13] nyert értéke egyszer¶ módon köt®dik a teljesítménys¶r¶ség spektrum exponenséhez:

β= 2H−1 , 1< β <3 . (1.5) Ezen módszerek mindegyikében közös, hogy a stacionaritástól való eltérés hamis eredményekre vezethet. A gyakorlatban bármelyik módszert használjuk is a uk-tuációk korrelációinak kiértékelésére, az els® szükségszer¶ lépés minden esetben az esetleges trendek eltávolítása. Ez bizonyos esetekben egyszer¶ (pl. az éves peri-odicitás kivonása meteorológiai adatsorokból), más esetekben problémás (az 1.6 ábra egy stacinárius id®sor véges szakaszát illusztrálja). Ebben jelentett el®relé-pést a detrendált uktuácó analízis kifejlesztése, melyet a következ® szakaszban kissé részletesebben ismertetünk.

Igen jelent®s módszercsalád n®tt ki a dinamikai rendszerek, a káosz tanulmá-nyozásából is [15]. Ennek részleteibe itt azért nem megyünk bele, mert a fázistér-beágyzás koncepciója nagyon er®sen kihasználja az adott dinamikai rendszer ala-csony dimenziós jellegét. Az általunk vizsgált atmoszférikus dinamika azonban praktikusan végtelen sok szabadságfokkal rendelkezik, ezért a kaotikus dinamikai leírás csak korlátozottan nyújt használható eredményeket a gyakorlatban.

1.3. Detrendált uktuáció analízis

A detrendált uktuáció analízis (DFA²) alapötlete a véletlen bolyongások el-méletéhez kapcsolódik. Eredetileg DNS szekvenciák illetve ziológiai id®sorok korrelációs tulajdonságainak vizsgálatára fejlesztették ki Peng és munkatársai [16, 17], de jól használhatósága miatt 2004-ig közel félezer publikációban bukkan fel [18] a legkülönböz®bb adatok kiértékelésére.

Egy bolyongási folyamat során a stacionaritás, mint feltétel, ritkán merül fel, ennek ellenére egy sor tulajdonság kvantitatívan kiértékelhet® problémák nélkül, lényegében ez a DFA alapötlete. Tekintsünk tehát egy adott id®sort valamely bolyongási folyamat lépéseinek azonos ∆t id®közönként mintavételezve. A bo-lyongás trajektóriáját, vagy más néven prol-ját könnyen el®állíthatjuk az

y(j) =

j

X

i=1

x_i (j = 1, . . . , N) (1.6)

2Az elnevezés az angol detrended uctuation analysis kifejezés tükörfordítása, sajnos ezidáig jobbat nem sikerült találnunk.

összegzéssel, célunk lényegében ezen görbe fraktál tulajdonságainak kiértéke-lése.

A prolt egymással nem-átfed® azonos n hosszúságú szakaszokra (szegmen-sekre) osztjuk, a különböz® szakaszokat a k = 1, . . . ,[N/n] index jelöli (a szög-letes zárójel az egészrész képzésre utal). Minden szegmensben meghatározzuk a lokális trendet egy p−edrend¶ f_k^(p)(j) polinom illesztésével (1.8a ábra), majd a prolt detrendáljuk ezen polinom kivonásával:

z^(p)(j) = y(j)−f_k^(p)(j) (j = 1, . . . , N) (1.7)

6600 6700 6800 6900 7000

j [nap]

1.8. ábra. (a) Példa egyyj integrált adatsor [l. (1.6)]n= 100szegmensmérethez tartozó felosztására, és lokális lineáris trend (p= 1) illesztésekre. (b) DFA görbék lineáris (DFA1), másodrend¶ (DFA2) illetve harmadrend¶ (DFA3) lokális polinom detrendálással. A szürke szakaszok meredeksége 0.75 körüli érték, a korrelálatlan folyamatokra jellemz® 0.5-ös meredekség¶ egyenes (lásd a szövegben) ett®l jól elkülöníthet®.

A z^(p)(j) reziduális id®sor uktuációinak jellemzésére szokásos mennyiség az n szegmensméretre jellemz® átlagos szórás:

F^(p)(n) = a jelölések a fentiekkel megegyeznek.

Kezdetben empirikus meggyelések [16, 17, 18], kés®bb szigorúbb matema-tikai elemzések [19, 20] is arra az ereményre jutottak, hogy hosszú távú korre-láltság, azaz az autokorrelációs függvény (1.2) egyenletnek megfelel® hatvány-függvény viselkedése esetén F^(p)(n) és n között is hatványfüggvény kapcsolat (önhasonlóság) áll fönn:

F^(p)(n)∼n^δ . (1.9)

1.3 Detrendált uktuáció analízis 13

Ez a hatványfüggvény kapcsolat szokásos módon egyenest ad, ha a fenti relációt kett®s logaritmikus skálán ábrázoljuk (1.8b ábra). Az említett elméleti vizsgá-latok [19, 20] fontos eredménye az exponensek közötti keresztrelációk feltárása, mely szerint

δ = 1− α

2 = 1 +β

2 , (1.10)

ahol α és β az (1.2) autokorrelációs függvény és az (1.4) teljesítménys¶r¶ség spektrum exponensei. Fontos hangsúlyozni, hogy a DFA exponens által nyúj-tott információ azonos bármelyik másik exponensével, azaz a lineáris kétpont korrelációk egy jellemz®je. A módszer gyakorlati haszna abban rejlik, hogy egy p−edrend¶ lokális trendlevonás ekvivalens az eredeti id®sorban esetlegesen talál-ható (p−1)−edrend¶ gyenge trend eltávolításával, amely az adatok ábrázolása esetén nem szembet¶n®, viszont α vagy β közvetlen meghatározásánál hamis eredményre vezet. Ha léteznek trendek az adatokban, ez általában az egyre ma-gasabb rend¶ DFA görbék meredekségváltozásában tükröz®dnek, azaz az (1.9) skálázási reláció akkor vehet® komolyan, ha az exponens értékek nem függenek p−t®l (ez lényegében teljesül az 1.8b ábra adatainál).

Az (1.10) keresztrelációk alapján egy adott folyamat az alábbi egyszer¶ osz-tályokba sorolható:

• Teljesen korrelálatlan folyamat (fehérzaj) esetén δ≡0.5.

• Véges memóriájú folyamat (azaz exponenciálisan lecseng® autokorreláció) ese-tén a DFA görbék kezdeti meredeksége bármekkora lehet, de a görbe aszimp-totikusan a δ= 0.5 értékhez tart (hasonlóan az 1.8b ábra görbéihez, melyek kezdeti meredeksége nagyobb).

• Hosszú távú korrelációk esetén0.5< δ <1, a folyamatot perzisztensek hívjuk.

• Az ún. antiperzisztens folyamatokat jellemzi δ < 0.5, ebben az esetben egy adott el®jel¶ uktuációt követ®en nagyobb a valószín¶sége egy ellenkez® el®-jel¶ lépésnek.

• Ha δ >1, korrelációk létezhetnek, de α értéke nem meghatározható. Általá-ban ez arra utal, hogy az adatsorból még a DFA eljárás sem távolította el a trendeket, kés®bb erre az esetre is konkrét példákat mutatunk.

A H.E. Stanley (Boston University) által vezetett csoport nem csak a mód-szer kifejlesztésében [16, 17], hanem egy sor, f®leg ziológiai adatokra történ®

alkalmazásban is élen járt/jár [18]. Igen fontos eredményeket tudhatnak ma-guknak szintetikus adatsorok kiterjedt elemzéséb®l kiindulva, melynek során különböz® trendek, illetve empirikus adatokban gyakran el®forduló anomáliák (adathiány, szakadás, téves outlierek, stb.) hatásait vizsgálták a DFA módszerre [21, 22, 23, 24]. Itt most azokat az eredményeket emelnénk ki, melyek az általunk elemzett adatok szempontjából igen hasznosnak bizonyultak.

Az egyik legfontosabb eredmény az ún. variancia szuperpozícióval kapcsolatos.

Legyen két korreláltalan jelünk,f ésg (pl. egy periodikus háttér és mondjuk vé-letlen uktuációk), melyekre különkülön meghatározhatók az (1.8) egyenlettel

adott DFA szórási függvények F_f^(p)(n) ésF_g^(p)(n), az n szegmeshossz függvényé-ben. A két jel szuperpozíciójával keletkezettf+g kompozit id®sor DFA görbéire fennáll [21, 22]:

F_f+g^(p) (n)² =F_f^(p)(n)²+F_g^(p)(n)² . (1.11) A kés®bbiekben példákat fogunk mutatni ezen összefüggés alkalmazására, amely szerencsés esetben el®segítheti adott id®sorok dekompozícióját olyan esetben, mikor ez magából a jelalakból egyáltalán nem triviális (pl. kváziperiodikus háttér oszcillációk).

Az adatbankok egyik leggyakoribb hibája az ilyen-olyan okokból bekövetke-zett adathiány, amely lehet pontszer¶, vagy kiterjedhet hosszabb intervallumokra is. Mint Chen és munkatársai megmutatták [22], hosszú távú korreláltság esetén (0.5 < δ < 1) az adatsor akár 50 %-a eltávolítható, úgy, hogy a maradék ada-tok összeragasztásával nyert id®sor az eredetivel megegyez® DFA viselkedést mutat.

Kantelhardt és munkatársai [25] részletesen megvizsgálták a DFA skálázás tulajdonságait a görbék kezdeti szakaszán is. Szintetikus adatsorokon végzett empirikus észlelések sora mutatta ugyanis, hogy rövid id®skálákon (n kicsi) elté-rés mutatkozik a DFA módszerben eredményül kapott uktuációs függvény és a várt viselkedés között. Ez a DFA módszer bels® tulajdonsága, mivelF^(p)(n)csak aszimptotikusan éri el a skála-törvényt. (Szemléletesen szólva, a kevés számú pontra történ® lokális trendillesztések túl jó eredményt adnak, azaz a varian-cia értéke lefelé tolódik.) Fontos meggyelésük, hogy az anomália elhanyagolható mértékben függ az aszimptotikus skálázási tulajdonságoktól [25].

Ez utóbbi eredmény alapján bevezethetünk egy univerzális korrekciós függ-vényt oly módon, hogy ismert korrelációs tulajdonságú (δ el®re adott) adatso-rokból kiszámoljuk a uktuációs függvényt, majd az adottp−ed rend¶ DFA-hoz és adottδ-hoz tartozóK_δ^(p)(n)korrekciós függvényt:

K_δ^(p)(n) = n^0δ

D[F^(p)(n⁰)]^2E1/2

h

F^(p)(n)ⁱ²

1/2

n^δ , (1.12)

aholn⁰ 1egy rögzített szegmens méret, ésh. . .ia különböz® realizációkra vett átlagolást jelöl (minden egyes mesterséges adatsorból külön készítünk uktuáci-ós függvényt). A korrekciuktuáci-ós függvény gyakorlatilag a várt skálázástól (n^δ) vett eltérést adja meg. Az arányossági tényez®t olyan n⁰-nél becsülhetjük helyesen, ahol az eltérés már nem számottev®. Fontosn⁰jó megválasztása, hiszen elegend®-en nagynak kell lelegend®-ennie (mondjuk n⁰ > 50), másrészr®l az id®sor hosszánál csak szignikánsan rövidebb lehet (ahol a szegmensekre vett átlagolás statisztikája még kielégít®). Tapasztalatok szerint n≈N/20 nagyjából megfelel®.

Mint említettük, a korrekciós függvény csekély mértékben függ δ−tól, ezzel szemben a lokális illesztés rendjére (p) érzékeny [25]. Ezért a gyakorlatban cél-szer¶ minden egyes rendre el®állítani a korrekciót könnyen el®állítható fehér zaj