6.1. Motiváció
Az előző fejezetekben láttuk, hogy az STU modellel kapcsolatos eredmények összefonódottság elméleti tárgyalásához alapvető fontosságú a Hodge diagonális bázisban felírt (5.53)-(5.63) |Γi három-qubit állapot. Mint tudjuk a |Γi állapot az extra dimenziókat reprezentáló T2×T2× T2 tórusz geometriájával kapcsolatos. Az általunk vizsgált fekete lyuk megoldások azonban összekapcsolják az extra dimenziók geometriáját a téridő geometriájával. Felmerül a kérdés:
vajon összefonódottság elméleti formalizmusunkat lehet-e úgy általánosítani, hogy az a|Γiállapot téridő geometriával való kapcsolatáról is számot adjon?
Extremális statikus gömbszimmetrikus fekete lyuk megoldásokra |Γiamplitúdói a csavaro-dási számokkal kapcsolatos töltésektől és a modulusokon keresztül az r radiális koordinátától függenek. A koordináták függvényében előálló viselkedést az (5.222) dinamikai rendszer írja le.
Ezek az egyenletek azonban tartalmazzák a téridő geometriájával kapcsolatos (5.109), (5.142) U(r) gyűrési faktort is melyről a |Γir-függő amplitúdói nem adnak számot. A legegyszerűbb lehetőség arra, hogy a gyűrési faktort is figyelembe vegyük az, hogy a|Γiállapot helyett azeU|Γi állapotot tekintjük. Ezzel az (5.161) hatásban az integrandus kizárólag egy háromqubit állapot normájaként állna elő továbbá az (5.156)-(5.157) egyenletek is esztétikusabb alakot öltenének.
Ez a naív próbálkozás azt is sugallja, hogy aze2U faktort egy extra modulus képzetes részével azonosítsuk1. Valóban, az (5.30) egyenlet jobb oldalán álló második mátrix szerkezete azt a lehetőséget is magába rejti, hogyx= 0, q= 0választással azeU|Γiállapotban szereplő√
y=eU faktort egy extra qubiten ható újSL(2,R)mátrix részeként lássuk viszont. Sőt, amennyiben az (5.30) egyenlet jobb oldalán álló első mátrixot is figyelembe vesszük akkor láthatjuk, hogy a|Γi állapot helyett helyesebb lenne a
|ψi= −i
√2eU|Γi (6.1)
állapotot tekintenünk. Az újonnan bevezetett|ψinorma négyzete
||ψ||2=e2UVBH (6.2)
s így az (5.130) kifejezésben jelenlevő zavaró 1/2-es faktortól is megszabadulnánk. Mindebből az az érdekes lehetőség adódik, hogy a téridő geometriáját egy a |Γi három-qubit állapothoz
"hozzáfont" extra negyedik qubittal vehetjük figyelembe. A következő fejezetekben megmutatjuk, hogy ez az extra rejtett qubit az STU modellstacionárius megoldásainak szerkezetéből valóban kiadódik.
6.2. D= 3 dimenzió redukció
A negyedik qubit megtalálásához az STU modellstatikus megoldásainak vizsgálata helyett az általánosabbstacionáriusmegoldások vizsgálatát kell elvégeznünk. Kiindulópontunk az STU
1A megszokottτa=xa−iyamodulus képzetes részét gyakranya=eφaalakba írják. Azxaésφatereket az irodalomban axion illetve dilaton tereknek is hívják.
151
modell (5.103) hatásfunkcionálja. Ezen a funkcionálon időszerű irányban dimenzióredukciót haj-tunk végre. Ez azt jelenti hogy a funkcionálban lévő tereknek megadjuk azon3⊕1 alakú de-kompozícióját mely abból adódik, hogy a stacionaritás miatt létezik egy időszerű Killing vektor mező majd az időszerű irányt jellemző koordináta szerint kiintegrálunk. A metrikára a fentiek azt jelentik, hogy használhatjuk a
ds2=−e2U(dt+ω)2+e−2Uhijdxidxj, (6.3) stacionárius ansatz-ot aholω=ωidxi, a hatásban szereplőFI =dAI térerősségekkel kapcsolatos AI mértéktereket pedig szimmetrikus tereknek választjuk. Ez azt jelenti, hogy a mértékterek Killing vektormező irányú Lie deriváltja egyU(1)mértéktranszformáció erejéig zérus. Amennyi-ben olyan koordinátákat választunk melyAmennyi-ben a Killing vektor egy egyszerű időeltolás ezekből a feltételekből következik, hogy a térerősségekre az
FI =dAI =d(ξI(dt+ω) +AI), I, J= 0,1,2,3 i, j= 1,2,3 (6.4) ansatz választható. Itt az U, ξI, AIi, ωi and hij mennyiségek olyan3 dimenziós terek melyek csak azxi térszerű koordinátáktól függenek2.
A dimenzióredukció végrehajtása az alábbi Lagrange sűrűségre vezet [BMG88]
L=L1+L2+L3, (6.5)
ahol
L1=−1 2
√
hR[h] +dU∧ ∗dU+1
4e−4U(dσ+ ˜ξIdξI−ξIdξ˜I)∧ ∗(dσ+ ˜ξJdξJ−ξJdξ˜J) (6.6)
L2=Gabdτa∧ ∗dτb (6.7)
L3=1
2e−2UIJ KdξJ∧ ∗dξK+1
2e−2UIJ K(dξ˜J−RJ LdξL)∧ ∗(dξ˜K−RKNdξN) (6.8) aholI==N ésR=<N lásd (5.106)-(5.107), továbbá
dξ˜J≡RJ KdξK−e2UIJ K∗(dAK+ξKdω) (6.9) dσ≡e4U∗dω+ξJdξ˜J−ξ˜JdξJ (6.10) A fenti bonyolult Lagrange sűrűséget az alábbi kompakt formába írhatjuk [BMG88,GLP07, BMP10]
L=−1 2
√
hR[h] +gmn∂aΦm∂aΦn (6.11) ahol az U, σ, ξI,ξ˜I, τa, τb (I = 0,1,2,3 és a, b = 1,2,3) skalártereket a Φm, m = 1,2, . . .16 mennyiséggel jelöltük. Megmutatható [BMG88, GLP07], hogy ez a 16 mennyiség lokálisan a 16dimenziósM3=SO(4,4)/SL(2,R)×4 faktorteret azM3 modulusteret paraméterezi. Ennek az új modulustérnek a gmn metrikája pszeudo-Riemann. A ds2M
3 = gmnΦmΦn ívelemnégyzet explicit alakja
1
4ds2M3 = Gab(τ, τ)dτadτb+dU2+1
4e−4U(dσ+ ˜ξJdξJ−ξJdξ˜J)2 + e−2U
2 h
IJ KdξJdξK+IJ K(dξ˜J−RJ LdξL)(dξ˜K−RKMdξM)i
. (6.12) A metrika pszeudoriemann jellege azzal kapcsolatos, hogy az (5.107) mátrix negatív definit. Ezt gyorsan beláthatjuk ha felismerjük, hogy a (6.12) második sorában szereplő kifejezés második
2Jelölésünk ezen a ponton félrevezető hiszen a háromxi koordinátát könnyen összekeverhetjük a modulu-sokban szereplőτa=xa−iya valós részével. A kétfajtaxközött csak az eltérő indexelés tesz különbséget. Az xi-ket azonban csak ebben az alfejezetben használjuk, egyébként a megszokott jelölések érvényesek.
része az (5.131) fekete lyuk potenciál szerkezetét mutatja, ez pedig egy norma négyzet negatív-jaként áll elő3.
A (6.11) kompakt alak azt mutatja, hogy az eredeti modell stacionárius fekete lyuk megoldá-sainak vizsgálata átfogalmazható egy pszeudo-Riemann target terű nemlineáris szigma modellhez csatolt 3 dimenziós gravitáció megoldásainak vizsgálatává. Az STU modellre azonban a nemli-neáris szigma modell target tere: M3=SO(4,4)/SL(2,R)×4. A 2.6.2. fejezetben a négy-qubit rendszerek geometriájának megértéséhez pontosan ennek a térnek a komplexifikáltját használtuk.
Ebből következően az STU modell stacionárius fekete lyuk megoldásainak osztályozása vélhetően kapcsolatban áll a négy-qubit összefonódott állapotok SLOCC klasszifikációjával4.
Figyeljük meg, hogy a3 dimenzós leírásban az STU modell dualitási csoportján kívül a be-vezetésben megsejtett extraSL(2,R) szimmetriacsoport is kiadódik. Ezt a téridő geometriával kapcsolatos rejtett szimmetriacsoportot az általános relativitáselmélet szakértői régóta ismerik.
A csoportot az irodalomban Ehlers-féleSL(2,R)csoportnak nevezik [Ehl57,Ger71]. Ismeretes, hogy az Ehlers csoporttal szemben az U gyűrési faktor és a (6.10)-ben bevezetett σ úgyneve-zett NUT potenciál [NTU63] egy dubletként transzformálódik. Statikus megoldásokra a NUT potenciál zérus s így azt várjuk, hogy egy alkalmas négy-qubit állapotok használatán alapuló formalizmusbanσ= 0 esetén a bevezetőben megsejtett (6.1) kifejezésen alapuló effektív három-qubit leírást kapjuk vissza. A következő fejezetekben egy ilyen extra "Ehlers" három-qubit bevezetésén alapuló formalizmust építünk fel.
6.3. Négy-qubit formalizmus
6.3.1. Négy-qubit Iwasawa parametrizáció [8]. Kiindulópontunk a háromdimenziós szigma modellSO(4,4)/SO(2,2)×SO(2,2)'SO(4,4)/SL(2,R))⊗4modulusterének négy-qubit geometriát tükröző parametrizációjának megtalálása. Ehhez a fenti 16 dimenziós faktorteret lokálisan a (6.6)-(6.8) Lagrange sűrűségben előfordulóxa, ya,φ≡2U, σ, ξI andξ˜I terekkel fogjuk jellemezni. Legyen
ζI ≡√
2ξI, ζ˜I =√
2 ˜ξI. (6.13)
Ezekkel a jelölésekkel a faktortér Iwasawa coset reprezentánsa [BMP10]
V ≡e−12φH0
3
Y
a=1
e−12logyaHae−xaEa
!
e−ζIEqI−ζ˜IEpIe−σE0 (6.14) ahol a négySL(2,R)csoport generátoraiHα, Eα, Fα,α= 0,1,2,3kielégítik a
[Eα, Fα] =Hα, [Hα, Eα] = 2Eα, [Hα, Fα] =−2Fα, (6.15) relációkat. Az so(4,4) azon generátorait melyek nem tartoznak az sl(2)⊕sl(2)⊕sl(2)⊕sl(2) részalgebrába azEpI, EqI, FpI, FgI,I= 0,1,2,3módon jelöltük. Az algebra generátorainak ezen cimkézése a (2.179)-ből már ismert
so(4,4) = [sl(2,R)]4⊕(2,2,2,2) =h⊕m, (6.16) dekompozíciónak felel meg.
3Lásd még az (5.136) egyenlet szerkezetét.
4Természetesen az M3 =SO(4,4)/SL(2,R)×4 modulustérben csak az SL(2,R)×4 valós SLOCC csoport jelenik meg, míg a négy qubit klasszifikáció megfelelő csoportja a komplex SL(2,C)×4 csoport. Ezért ezen a szinten még egyáltalán nem világos miben is áll pontosan a fent vázolt kapcsolat.
A fenti dekompozícióban szereplő28darab8×8-as mátrix explicit alakját a (2.180)-(2.185) egyenletek négy qubites nyelvezetében már részletesen kidolgoztuk. Ezen eredmények felhaszná-lásával kapjuk, hogy
Figyeljük meg, hogy a modulusokat tartalmazó Nα mátrixok az (5.30) jobb oldalán megjelenő S mátrix inverz transzponáltjának szerkezetét mutatják. Az Iwasawa dekompozíció fennmaradó részének alakja
és felhasználtuk az (5.182) definíciót ahol a három-qubit rész speciális qubitja az első qubit5. Mindezeket felhasználva a coset reprezentánsra kapjuk, hogy6
V =
Figyeljük meg, hogy a kitüntetett i0 "Ehlers"-qubiton túl a (6.23) alak az i1 qubitot is kitünteti. Az i3i2i1 hármasból azonban bármelyiket kitüntethetjük. Ennek eredményeképpen három különböző coset reprezentánst kaphatunk, melyek csak ai3i2i1qubitek ciklikus permutá-ciójában különböznek. A permutációs szimmetria így összekapcsolódik azso(8)algebra trialitási szimmetriájával7.
5A qubitokat jobbról balra számozzuk: α= 0,1,2,3. Tehát például a4×4-esζmátrixnak megfelelő négy-qubit állapot indexszerkezete: ζi3i2i1i0. A0-dik qubit a speciális "Ehlers"-qubit. Ennek megfelelően a (6.22) mátrix egy négy qubit állapotba beágyazott három-qubit állapot szerkezetét mutatja ahol csak azi0 = 0-val jellemzett amplitúdók különböznek zérustól. A megszolott háromqubit indexek: i3i2i1. Ennek megfelelően az (5.182) definícióban azi1indexes qubit is speciális qubit.
6A (6.22) mátrix speciális szerkezete miattex0E0e−ζIEqI−ζ˜IEpIe−x0E0=e−ζIEqI−ζ˜IEpI.
7A trialitási szimmetria összekapcsolaja azso(8)algebra nyolc dimenziós vektor, spinor és konjugált spinor ábrázolásait.
6.3.2. A modulus tér ívelem négyzete [8]. A (2.179) kommutátorok szerkezete azt mutatja, hogy az SO(4,4)/SO(2,2)×SO(2,2)'SO(4,4)/SL(2,R))⊗4 modulus tér egy szim-metrikus tér [Gil12]. Ag=h⊕m dekompozíción alapuló szimmetrikus terekre a félegyszerűg Lie-algebra Cartan-Killing formája a faktortéren egy metrikát indukál melynek alakja
ds2= Tr(P)2 (6.24)
ahol
P ≡ 1
2(dV V−1+η(dV V−1)Tη) (6.25) és a szimmetrikus tereknél használatos involúció alakja most
η=
I⊗I 0 0 −I⊗I
. (6.26)
A (6.23) coset reprezentáns explicit alakját véve megmutatható, hogy P = 1 Ezeket az eredményeket a (6.24) formulában felhasználva kapjuk
ds2M Ez a formula explicit módon mutatja a háromdimenziós modulus tér pszeudo-Riemann szer-kezetét illetve azt is, hogy a bevezetőben megsejtett Ehlers-qubit hogyan járul hozzá a (6.29) négy-qubit állapotba beágyazott három-qubit állapot megjelenéséhez. Könnyű ellenőrizni azt is, hogy a (6.32) ívelemnégyzet pontosan a (6.12) explicit alakot szolgáltatja. A (2.163) kifejezés azt mutatja, hogy hΨ|Ψifelírhatú úgy is mint a speciális szerkezetű (6.28) négy-qubit állapot kvadratikus polinominvariánsa.
6.3.3. Hadamard transzformált kép [8]. Hasznos a fenti négy qubit állapotokat át-transzformálni a dolgozatban (5.195)-ben már használt diszkrét Fourier transzformált bázisba.
LegyenU az (5.30)-(5.31) -ben bevezetett 2×2-es mátrix komplex konjugáltja és U≡
A transzformált állapot transzformáltPˆ=UPU† mátrixra vezetnek melynek alakja
Pˆ= 1
Itt a négy komplexEαmennyiség8a szokásos négy független (5.57)-(5.58) háromqubit amplitú-dóhoz hasonló szerkezetű melyeket most a szupergravitációs irodalomban használatos
E0=√
Ezeknek akomplex mennyiségeknek a segítségével az ívelemnégyzet most a ds2M3=
6.3.4. Az ívelemnégyzet mint négy-qubit invariáns [8]. Az előző fejezetben a Pˆ mennyiség16komplex komponensét egy8×8-as mátrixba rendeztük. Láthatóan a komponensek kapott (6.39) elrendezése igen speciális mintázatot követ. Ez a megfigyelés adja azt az ötletet, hogy Pˆ komponenseit egy speciális valóssági feltételeknek eleget tevő új négy qubit állapotba szervezzük.
Címkézzük a8×8-as mátrixunkat sorait és oszlopait a0,1,2,3,4,5,6,7 módon, de bináris jelölésben: 000,001,010,011,100,1010,110,111. Permutáljuk a sorokat és oszlopokat a
(0,1,2,3,4,5,6,7)7→(7,1,2,4,3,5,6,0) (6.43) vagy
(000,001,010,011,100,101,110,111)7→(111,001,010,100,011,101,110,000) (6.44)
8Ezek akárcsak azeαmennyiségek azM3 modulustérrel kapcsolatos egy-formák.
leképezésnek megfelelően9. Könnyen ellenőrizhetjük, hogy a fenti permutáció hatására azso(4,4) szerkezetért felelős (2.180) algebrai reláció (2.181) mátrixa invariáns.
A fentiΠpermutációt a Pˆ mátrixra alkalmazva kapjuk, hogy PˆΠ=1 Azonnal látható, hogy az újonnan bevezetett állapotunk a
|Λi= (σ1⊗σ1⊗σ1⊗σ1)|Λi, σ1= 0 1
1 0
(6.48) valóssági feltételnek tesz eleget. A (2.186) formulából az is látható, hogy tetszőleges G ∈ SL(2,C)×4(2.185)PˆΠ7→GPˆΠG−1adjungált hatása a|ΛiállapotonGszokásos SLOCC hatását indukálja. Könnyen belátható az is, hogy ennek a SLOCC hatásnak azon részcsoportja mely a (6.48) valóssági feltételt tiszteletben tartja : SU(1,1)×4.
Tisztázzuk a kapott transzformációk és az újonnan bevezetett állapot fizikai jelentését! Ehhez számoljuk ki a|Λiállapotra a (2.163)I1 kvadratikus négy-qubit invariánst! Kapjuk, hogy
I1(Λ) =−ds2M3 (6.49)
azaz a háromdimenziós modulustér pszeudo-Riemann ívelemnégyzete a |Λi állapotra számolt kvadratikus négy-qubit invariáns negatívja. Az irodalomból ismeretes, hogyM3 egy kvaterniós Kähler sokaság [FS90,BMP10,GNPW07]. A fenti ívelemnégyzettel kapcsolatos metrikaM3 minden pontjában a megfelelő érintőtéren ható bilineáris formát ad. A (6.34) és (6.44) transzfor-mációk után a metrikára már mint a komplexifikált érintőtéreken ható bilineáris formák símán változó seregére tekinthetünk. A metrikát tehát az általános relativitás megszokott szemléleté-nek megfelelően egy símán változó "mozgó bázis" (n-bein) szerint dekomponálhatjuk. Ebben a képben a transzformációink fizikai jelentése az, hogy segítségükkel a komplexifikált érintőtéren egy olyan bázist választhatunk mely kovariáns konstans a spin konnexióra nézve. Megmutatha-tó, hogy a konnexió holonómiája olyan, hogy segítségével a 16dimenziós érintőnyaláb lokálisan egy8és egy2 dimenziós vektornyaláb tenzorszorzataként áll elő [FS90,BMP10,GNPW07].
Esetünkben a8 dimenziós rész felel meg azi3i2i1 három-qubit résznek a2dimenziós rész pedig a kitüntetetti0qubitnak. Figyeljük meg, hogy a kitüntetet qubittal kapcsolatosI3⊗I2⊗I1⊗S0
lokális SLOCC transzformációk kapcsolatba hozzák a (6.46) mátrix első oszlopát a másodikkal illetve a harmadikat a negyedikkel. Ezek a transzformációk összekapcsolják azE0ése0illetve az Ea ésea mennyiségeket10.
9Azaz alkalmazzuk aΠ≡(07)(34)permutációt. A bináris jelölésben láthatóan ez azt jelenti, hogy a permu-táció után két négyes blokkot kapunk. Az elsőben páratlan a másodikban páros számú egyessel.
10Ezek a transzformációk tehát egy fontos konjugálástól eltekintve azazonos indexű Eαéseαmennyiségeket kapcsolják össze.
6.4. Fekete lyuk megoldások mint geodetikusok
6.4.1. Extremális megoldások mint fényszerű geodetikusok Láttuk, hogy az STU modell stacionárius fekete lyuk megoldásainak vizsgálatához a (6.11) Lagrange sűrűségen alapu-ló háromdimenziós gravitációhoz csatolt olyan nemlineáris szigma modellt kell tanulmányoznunk melynek target tereM3. Az egyszerűség kedvéért célszerű olyan stacionárius megoldásokra szo-rítkozni melyekre a (6.3)-ban szereplő térszerű metszetek hij metrikája lapos11. Az általunk tanulmányozni kívánt gömbszimmetrikus egycentrum megoldások ehhez a típushoz tartoznak.
Ebben az esetben az M3 modulustérrel kapcsolatos 16 skalártér dinamikája lecsatolódik a há-romdimenziós gravitáció dinamikájától és a téridő (6.3ívelem négyzete a
ds2=−e2U(dt+ω)2+e−2U(dr2+r2(dr2+r2(dθ2+ sin2θdϕ2)) (6.50) alakot ölti ahol a gyűrési faktor és a skalárterek is csak azr koordinátától függenek. Célszerű ismét bevezetni a%= 1/rkoordinátát mely szerinti deriválást továbbra is ponttal fogunk jelölni.
Ekkor a lecsatolódott skalárterek dinamikáját az Seff=1
4 Z
d%gmnΦ˙mΦ˙n (6.51)
effektív hatás írja le ahol a metrika (6.12) explicit alakját felhasználva kapjuk Seff=
A (6.52) hatás Lagrange függvényében σ ciklikus koordináta ezért a hozzá kanonikusan konjugált impulzus megmaradó mennyiség
pσ≡k= ∂L
∂σ˙ (6.53)
mely az úgynevezett NUT-töltés [NTU63]. Definiáljuk aZpotenciálokhoz kanonikusan konju-gált impulzusokat
P≡ ∂L
∂Z˙ (6.54)
Ezekkel a jelölésekkel a hatás a Seff=
Látható, hogy statikus megoldásokra a NUT töltés zérus (k = 0) ekkor a Pmennyiség, s így a Qis megmarad. HaQmegfelelő nyolc komponensét a pI, qI töltésekkel azonosítjuk akkor az utolsó tag a fekete lyuk potenciálnegatívját szolgáltatja. Ezért a (6.55)-beli Lagrange függvény a statikus esetből ismert (5.136) kényszert adja13.
Mivel ez a Lagrange függvény a (6.51) hatásból származik melynek extremálisai az M3
geodetikusai ezért az (5.136) kényszer c = 0-nak megfelelő esete fényszerű geodetikusokat ad.
Tekintettel arra, hogy ez a feltétel a statikus esetben az extremális fekete lyukakat jellemzi
11Az ilyen megoldásokat gyengén extremális megoldásoknak is nevezik [BMP10].
12ACmátrix azSp(8,R)szimplektikus csoport szimplektikus struktúramátrixa. Az STU modellSL(2,R)×3 dualitási csoportja természetes módon beágyazható ebbe a csoportba [BKR+96]. Általában is igaz, hogy a húrelméleti kompaktifikációknál felbukkanó effektívN= 2szupergravitációknál az elektromos-mágneses dualitás egy természetes szimplektikus struktúra megjelenésével írható le [CDF96].
13Emlékeztetünk arra, hogy ebben a fejezetben kényelmi okokbólGN= 1.
ezért azt a fontos a stacionárius esetben is érvényes eredményt kaptuk, hogy: a háromdimenziós képben az extremális fekete lyuk megoldások a pszeudo-RiemannM3modulustér%segítségével affin módon paraméterezett fényszerű geodetikusaiként állnak elő. Az előző fejezetből azt is látjuk, hogy ezeket a fekete lyukakat a négy-qubit képben a (6.49) kényszer miatt az jellemzi, hogy a nekik megfelelő|Λiállapotra a kvadratikus négy qubit invariáns zérus.
6.4.2. Megmaradó mennyiségek [8]. Az előző fejezet alapján a stacionárius gyengén extremális fekete lyuk megoldások a (6.51) hatás geodetikusai lesznek. Ezen megoldások speciális esetei az extremális megoldások melyek fényszerű geodetikusoknak felelnek meg. A fekete lyuk megoldásokat leíró geodetikus mozgás a G/H ' M3 modulustéren zajlik ahol G = SO(4,4) és H = SL(2,R)×4. Tudjuk, hogy M3 egy szimmetrikus tér melyet a (6.26) által definiált (6.16) Cartan dekompozícióval jellemezhetünk. Ag∈Gésh∈H csoportelemek a (6.14) coset reprezentánson aV 7→gV hmódon hatnak. Vezessük be az új
L=V ηVTη (6.57)
Hinvariáns coset reprezentánst! Ekkor megmutatható [CRR11], hogy a (6.51) hatás variálásával kapható geodetikus egyenletek az egyszerű
d d%
L−1L˙
= 0 (6.58)
alakot öltik. Az egyenletek megoldása
L(%) =L(0)eQ% (6.59)
Belátható [CRR11], hogy aQmátrix mozgásállandó (Noether töltés) melynek alakja Q= 2V−1PV =
Q11 −gQ12
gQT12 Q22
, g=ε⊗ε (6.60)
ahol a definíciókat illetően lásd a (6.23) és (6.27) kifejezéseket. AQmegmaradó töltés láthatóan egy 8×8-as mátrix alakját ölti mely négy 4×4-es blokkból áll. A Q12 offdiagonális blokk a (6.22) mátrix szerkezetét mutatja melyet egy|Q12inégy-qubit állapotba szervezhetünk
|Q12i=e−2U(N3⊗N2⊗N1⊗I)|ζi −˙ 2k(ε⊗ε⊗ε⊗I)|ζi, (6.61) ahol
Na≡MaTMa, a= 1,2,3 (6.62)
k a (6.53) NUT töltés és M definícióját illetően lásd (6.18). AQ12-ben rejlő nyolc megmaradó mennyiséget a
Q12= 1
√2
p0 0 −p1 0
−p2 0 q3 0
−p3 0 q2 0 q1 0 q0 0
(6.63) alakba írva látjuk, hogy
√1
2|γi ⊗ |0i= (σ3⊗σ3⊗σ3⊗I)|Q12i (6.64) ahol |γia már jól ismert (5.60)-(5.61) három-qubit töltésállapot14.
Tekintsük most a (6.34)-(6.36) állapotnak megfelelő
|Ψiˆ = (U ⊗ U ⊗ U ⊗ U)(M3⊗M2⊗M1⊗M0)|ζi˙ (6.65)
14A|Q12i állapot és a (6.56)-ban definiált töltéshez asszociált |Qi állapot hasonló szerkezetűek mégsem azonosak. A két mennyiség közötti kapcsolatot illetően lásd [BMP10, 8]. A (6.63)-ben megjelenő √1
2 faktor eredete a kényelmi okokból bevezetett (6.13) ujranormált potenciál használatára vezethető vissza.
állapotot! Fejezzük ki (6.61)-ból|ζi-ot és használjuk ki a (6.63)-(6.64) és a˙
UMT−1=USσ3 (6.66)
összefüggéseket15. Mindezeket felhasználva kapjuk, hogy
|Ψiˆ = i
√2eU|Γ(k)i ⊗ 1
√2(|0i+|1i) (6.67)
ahol
|Γ(k)i= (US3⊗ US2⊗ US1) (|γi+ 2k(σ1⊗σ1⊗σ1)|Zi) (6.68) és a|Zihárom-qubit állapot a (6.13)-ban szereplő nyolc darabξI, ξI potenciálból épül fel a (6.22) minta szerint16. Figyeljük meg, hogyk= 0esetén
|Γ(k=0)i=|Γi (6.69)
és ekkor|Ψiˆ =−|ψiahol|ψia (6.1)-ben megsejtett állapot. Továbbá mivel ekkor
||Ψ||ˆ 2=e2UVBH (6.70)
a megmaradó töltésekkel paraméterezett négy-qubit állapotunk tudja a (6.2) feltételt is. A (6.68) három-qubit állapot a jólismert (5.61) állapot stacionárius megoldásokra is érvényes formális általánosításának tekinthető.
6.4.3. BPS megoldások és szeparabilitás Tekintsük most a (6.47)|Λinégy-qubit álla-potot. Ez az állapot a (6.45) és a (6.60) öszefüggéseken keresztül konjugált kapcsolatban áll aQ megmaradó mennyiségekkel, ezek pedig a fekete lyuk megoldásokat generáló (6.59) geodetikusok-kal. Mivel a négy qubit állapotok klasszifikációjának alapjául szolgáló (2.186)RΛ mátrix (6.45) miatt éppen2 ˆPΠ és ez a mátrix a geodetikusokat mint fekete lyuk megoldásokat generáló (6.60) Qmátrixszal konjugált kapcsolatban áll ezért azt a fontos eredményt kaptuk, hogy a (6.48) va-lóssági feltételeknek eleget tevő négy-qubit állapotok és az stu-modell fekete lyuk megoldásainak osztályai között kapcsolat áll fenn.
Ennek a kapcsolatnak az illusztrálására tekintsünk egy olyan esetet amikor a négy-qubit közül az egyik szeparálható. Mint tudjuk a|Λinegyedik qubitja speciális szerepet játszik. Ez az i0-val indexelt negyedik qubit akkor és csak akkor szeparálható haΛi3i2i10=λΛi3i2i11. A (6.48) valóssági feltétel miatt|λ|= 1, tehát a (6.46) definícióból következik, hogy
E0=λe0, Ej =λej, |λ|= 1 (6.71)
Legyen mostΩ≡ΛTgΛgekkor (2.172)-(2.174) alapján az algebrailag független négy-qubit inva-riánsok mindegyike zérus és (2.173) miattΩ4= 0. Ezért a (2.186)RΛ mátrix nilpotens. A 2.6.3 fejezet értelmében tehát a szeparálható speciális qubittal rendelkező |Λi állapot egy nilpotens pályához tartozik. Ennek a pályának megfelelő stu fekete-lyuk osztályt könnyen beazonosíthat-juk.
Szorítkozzunk a statikus, gömbszimmetrikus extremális17 megoldásosztályra melyrex0 = 0 ése0=−yy˙0
0 = ˙φ, azaze0=e0és legyen λ=−i
rZ
Z =−ieiα (6.72)
15Lásd az (5.30)-(5.31) definíciókat.
16|Ziqubit jelölésben a (6.52)-ben szereplő nyolc komponensűZvektornak felel meg.
17Mivel nilpotens pályákra minden négy-qubit invariáns eltűnik, ezért speciálisanI1= 0is fennáll. Ez pedig (6.49) miatt extremális megoldásokra (fényszerű geodetikusok) vezet.
ahol αa centrális töltés fázisa. Ekkor a (6.37)-(6.38), (6.40) definíciók felhasználásával könnyen belátható, hogy a (6.71) szeparabilitási feltételek pontosan az (5.141) elsőrendű BPS mozgás-egyenleteket szolgáltatják (GN = 1). Megjegyezzük, hogy szeparabilitási feltételünket a
Λi3i2i1i0i0 = 0, a0 = 1
λ
, (6.73)
alakba is írhatjuk, mely a nemtriviálisi0 Killing spinor létezésének szokásos feltétele [BMP10, CRR11]. Ez a felismerés az 5.6.5 fejezet eredményei alapján állapotunk szeparabilitását össze-kapcsolja a szuperszimmetriával.
6.4.4. Nem-BPS megoldások eltűnő centrális töltéssel, szeparábilis eset Az előző fejezetben elmondottakat könnyű általánosítani arra az esetre amikor a fennmaradó (i1, i2, i3 -vel indexelt) qubitok szeparálhatóságát kötjük ki. Például az i3-val indexelt qubit esetén a szeparabilitás kritériuma választással élünk ahol Z3 az (5.241)-ben definiált hamis szuperpotenciálok egyike akkor az (5.141) BPS egyenletekhez hasonló
U˙ =−eU|Z3|, z˙j=−2eUGjk∂k|Z3|. (6.76) egyenleteket kapjuk. Ezek pedig pontosan az eltűnő centrális töltéssel rendelkező nem-BPS attraktorok elsőrendű egyenletei [BCP+09, BMP10]. Természetesen ez a megoldásosztály is egy nilpotens pályának felel meg. A fennmaradó qubitek szeparálhatóságának problémája, a megfelelő indexek ciklikus permutálásával, hasonló alakban fogalmazható meg.
6.4.5. Nem-BPS megoldások, összefonódott eset Az előző extremális esetekből vilá-gos, hogy azI1= 0-ból következő
extremalitási feltételt sokféleképpen kielégíthetjük. Statikus megoldásokra e0 = e0, BPS meg-oldásokra Eα =λeα ahol λ egységnyi abszolútértékű fázisfaktor. Ez azt mutatja, hogyEα egy fázisfaktorokat tartalmazó diagonálisU(4)mátrixon keresztül áll kapcsolatban eα-val. Az előző alfejezet nem-BPS megoldására a megfelelőU(4)mátrix a
kifejezésből olvasható le aholλ-t (6.75) definiálja.
A BPS eset, és a eltűnő centrális töltéssel rendelkező három nem-BPS eset az i3i2i1i0-val indexelt valamennyi qubit szeparálhatóságának problémáját felöleli. Ezen esetek mindegyikében a megfelelő U(4) mátrix szerkezete igen egyszerű: a szuperpotenciál illetve a hamis szuperpo-tenciálok fázisaival kapcsolatos (6.75)-szerű fázisfaktorokat tartalmaz. A szeparabilitást kifejező egyenletek azzal kapcsolatosak, hogy a (6.46) mátrix bizonyos sorai vagy oszlopai egymás λ szorosai.
Az STU modell olyan fekete lyuk megoldásaira melyeknek megfelelő (6.46) mátrix által definiált |Λi állapot egyik qubitje sem szeparálható jó példa az 5.7.2 fejezetben tárgyalt nem-BPS alapmegoldás. Megmutatható [8], hogy ebben az esetben
Figyeljük meg, hogy a megjelenő4×4-es mátrix ismétU(4)eleme s így az extremalitást kifejező (6.77) feltétel ismét teljesül. Az algebrailag független invariánsok ezúttal is zérusok, tehát a megfelelő állapot megint nilpotens. A fontos újdonság az előző esetekhez képest az, hogy ezúttal az i3i2i1i0-val indexelt qubitok egyike sem szeparálható. Ez legegyszerűbben onnan látható, hogy a megfelelő qubit szeparálhatóságával kapcsolatos sorok illetve oszlopok nem arányosak egymással.
6.5. Négy-qubit SLOCC osztályok és fekete lyuk megoldások
Az előző fejezetekben láttuk, hogy az STU modell négydimenziós stacionárius fekete lyuk megoldásainak osztályozásának problémája kapcsolatba hozható egy háromdimenziós gravitáció-hoz csatoltM3modulusterű nemlineáris szigma modell geodetikusainak osztályozásának
Az előző fejezetekben láttuk, hogy az STU modell négydimenziós stacionárius fekete lyuk megoldásainak osztályozásának problémája kapcsolatba hozható egy háromdimenziós gravitáció-hoz csatoltM3modulusterű nemlineáris szigma modell geodetikusainak osztályozásának