8.1. Motiváció
A hatdimenziósX sokaságokkal kapcsolatos Hitchin funkcionálok mindegyike a4.1 táblázat-ban szereplő valamelyik Freudenthal rendszerrel kapcsolatos. Ezek a funkcionálok a Freudenthal rendszerek kvartikus invariánsának négyzetgyökeként állnak elő (Hitchin invariáns), s a velük kapcsolatos variációs probléma matematikai konzisztenciáját az garantálja, hogy ezen rendsze-rek mindegyike egy prehomogén vektorteret alkot s így a megfelelő SLOCC hatásra nézve léteznek sűrű pályáik.
A fenti Hitchin funkcionálok alapjául szolgáló Freudenthal rendszerek klasszikus mechanikai rendszerek. Valóban, mindegyik rendszer el van látva egy szimplektikus formával, egy kitünte-tett megfigyelhető mennyiséggel (Hamilton függvény) mely a Hitchin invariánssal, egy Hamiltoni vektormezővel mely a (4.92) Freudenthal duálttal, és egy momentum leképezéssel (Kϕ) mely az általánosított majdnem komplex struktúrával kapcsolatos. Ezt a klasszikus mechanikai struktú-rát a4.1táblázat negyedik sorában megjelenő Freudenthal rendszerre a (3.105)-(3.109) egyenletek illusztrálják.
A funkcionálok kritikus pontjai integrálható általánosított komplex stuktúrákat adnak. Ha ezeket a funkcionálokat a húrelméleti fekete lyuk megoldások kontextusában tekintjük és a kri-tikus pontban kiértékeljük akkor a (7.79) képlet alapján a szemiklasszikus fekete lyuk entrópiát kapjuk. A speciális toroidális esetben a Freudenthal vektortér közvetlen összefonódottságelméleti interpretációval rendelkezik. A FLYQM kontextusában azX= (T2×T2×T2)diag,T2×T2×T2, Tszimpl6 ,Tkomplex6 ,Tgen.kompex6 esetek a három bozonikus qubit, három qubit, három szimplektikus fermion hat módus, három fermion hat módus, páros vagy páratlan számú fermion hat módus esetének felelnek meg. Ekkor a fekete lyuk entrópia 4,8,14,20,32 valós amplitúdó (töltések) segítségével felírt állapotok összefonódottsági mértéke.
A4.1táblázat utolsó sorában szereplő októniós Jordan algebrákon alapuló Freudenthal rend-szer is egy prehomogén vektorteret alkot ezt az esetet azonban az összefonódottsággal kapcsolatos szép képbe még nem sikerült beillesztenünk. Formálisan használhatjuk a fenti struktúrákat egy funkcionál felírására, melynek variációs feladata ismét értelmes. A megfelelő funkcionál kritikus pontjainak vizsgálata az általánosított komplex struktúrák elméletének további általánosítására vezet. Ezt a húrelméleti irodalomban általánosított kivételes geometriának nevezik1 mely ak-tív kutatási terület [Hul07, GLSW09, GO11]. Ebben az utolsó fejezetben az általánosított kivételes geometriával való kapcsolat tárgyalásától eltekintünk. Célunk csupán az alapvető húrel-méleti kapcsolódási pontok és a funkcionál alapjául szolgáló kvartikus invariáns összefonódottság elméleti szerkezetének vizsgálata.
8.2. Az E7 szimmetrikus entrópia formula
A korábbi vizsgálatainkból tudjuk, hogy a IIA elméletT6-ra történő kompakitifikációja során az N = 8 szupergravitációt [CJ79, CJ78] kapjuk. Ennek az elméletnek is lehet tekinteni az
1A "kivételes" szó mint látni fogjuk azE7kivételes Lie csoporttal kapcsolatos.
187
extremális gömbszimmetrikus fekete lyuk megoldásait melyeket 28 elektromos és 28 mágneses töltéssel jelemezhetünk. AzE7(7) invarianciával2rendelkező entrópiaformula [CJ79,KK96]
S=πp
|J4| (8.1)
ahol
J4=−Tr(xy)2+1
4(Trxy)2−4 (Pfx+ Pfy) (8.2) és x, y 8×8-as antiszimmetrikus mátrixok melyek a 28 elektromos és a 28 mágneses töltést tartalmazzák. AJ4 Cartan invariáns egy alternativ (Cremmer-Julia) alakja
J4= Tr(ZZ)2−1
4(TrZZ)2+ 4(PfZ+ PfZ) (8.3) ahol a felülhúzás komplex konjugálást jelent
PfZ= 1
24·4!ABCDEF GHZABZCDZEFZGH (8.4) és a komplex8×8-asZ mátrix azN= 8centrális töltés mátrix. AJ4invariáns két alakja között a
ZAB=− 1 4√
2(xIJ+iyIJ)(ΓIJ)AB (8.5)
reláció teremt kapcsolatot. Itt összegzés csak azI < J esetben értendő, és (ΓIJ)AB az SO(8) algebra algebra generátorai I, J = 0,1, . . . ,7 vektor és A, B = 0,1, . . . ,7 spinor indexekkel.
AzSO(8)trialitás miatt a vektor és spinor indexek közötti konverzió segítségével a fenti reláció invertálható. Az entrópiaformula Cartan-féle alakja azonnal látható SO(8) a Cremmer-Julia alak pedigSU(8)szimmetriával rendelkezik, az azonban nem triviális, hogy a tagok (8.2) illetve (8.3) kombinációja a bővebb azN = 8szupergravitációt jellemző E7(7) szimmetriával is rendelkezik.
Legyen
x01+iy01=−ψ7−iψ0, x34+iy34=ψ1+iψ6 (8.6) x26+iy26=ψ2+iψ5, x57+iy57=ψ4+iψ3 (8.7) és azx,y fennmaradó komponensei zérusok. Ekkor rövid számolás mutatja, hogyJ4=−D(ψ) aholD(ψ)a (2.92)-ből ismerős Cayley hiperdetermináns3. Ez az eredmény [KL06] azt mutatja, hogy valószínüleg azN = 2 STU modell8 töltéses esete az N = 8 modell56töltéses esetének konzisztens csonkítása által kapható.
Figyeljük meg azt is, hogy ezt az eredményt azonnal igazolhatjuk amennyiben megfigyeljük hogy az56töltéses eset természetes módon beágyazható [BDD+09c] a4.1táblázat utolsó sorá-nak megfelelő Freudenthal rendszerbe amennyiben az ott szereplő komplexifikált októniós Jordan algebrába a valós októniók úgynevezett split változatát ágyazzuk be4. A (8.2)E7(7) invariáns ebben a képben épp a (4.85)E7(C)invariáns split októniókra történő leszűkítésének negatívja.
Mivel ebbe a Freudenthal rendszerbe a három-qubit Freudenthal rendszere természetes módon beágyazódik ezért a fenti eredmény azonnal adódik. Felmerül a kérdés: megérthető-e ez az 56 töltéses Freudenthal rendszer mint egy speciális összefonódottsággal rendelkező qubit-rendszer?
2A nemkompaktE7(7) csoport Lie-algebrájának133 a maximális kompakt alcsoportnak megfelelűSU(8) algebrájának63generátora van. A fennmaradó nemkompakt generátorok száma tehát70. A nemkompakt mi-nusz kompakt generátorok száma7. Ez magyarázza azE7(7)jelölést. Az E7(7)csoport a komplex E7 csoport nemkompakt valós alakja.
3(8.6) decimális indexekeit a (2.92) bináris indexeivé kell konvertálni.
4A split kompozíciós algebrákat illetően lásd 2.fejezet a 6. lábjegyzet.
8.3. Az októniós Freudenthal rendszer ciklikus realizációja
Az E7 csoport fundamentális ábrázolása56 dimenziós. Tekintettel azonban arra, hogy 56 nem áll elő2 hatványaként ezért az októniós Freudenthal rendszert qubit állapotterek (C2) ten-zorszorzataként biztos nem tudjuk előállítani. Azonban mivel 8×7 = 56 ezért elképzelhető, hogy az 56 dimenziós ábrázolási teret hét darab8 dimenziós három-qubit altér direkt összege-ként már fel tudjuk építeni. Továbbá, mivel E7 rangja hét és az egy rangú SL(2,C) SLOCC részcsoport hét kópiája beágyazható ebbe a csoportba ezért azt várjuk, hogy az E7 csoport SL(2,C)×7 részcsoport szerinti dekompozíciója megadja a kívánt struktúrát. Ez a konstrukció valóban keresztülvihető [DF07b,5].
Tekintsük először a Duff és Ferrara által javasolt [DF07b] úgynevezett ciklikus konstrukciót!
Az56dimenziós fundamentálisE7 ábrázolás releváns dekompozíciója
56→(2,2,1,2,1,1,1) + (1,2,2,1,2,1,1) + (1,1,2,2,1,2,1) + (1,1,1,2,2,1,2)
+(2,1,1,1,2,2,1) + (1,2,1,1,1,2,2) + (2,1,2,1,1,1,2) (8.8) A dekompozícióban szereplő1 és2számok helyiértékeit jelöljükA, B, C, D, E, F, G-vel. Jelöljék ezek a számok rendre a hét SL(2,C)csoport szinglet illetve dublet ábrázolásait. Ebben a kép-ben tehát hét (A, B, C, D, E, F, G) qubit három részrendszeres összefonódottságáról beszélhetünk [DF07b]. A direkt összegek és a szingletek megjelenése zavaró. A konvenciónális összefonódott-ságelméletben ilyen struktúrával ezidáig nem találkoztunk. A fenti struktúra lehetséges fizikai interpretációjának kérdésére még visszatérünk, egyenlőre beérjük igen érdekes geometriájának a tanulmányozásával.
Írjunk a szingletek helyére0-t a dubletek helyére1-t! A direkt összegben szereplő tényezőket (háromqubit rendszerek) jeöljük(a, b, c, d, e, f, g)-vel! Tekintsük most az alábbi mátrixon alapuló megfelelést [7] ábrázolási teret az alábbi alakba írhatjuk
H=VABD⊕VBCE⊕VCDF ⊕VDEG⊕VEF A⊕VF GB⊕VGAC (8.10) ahol a tenzorszorzatban szereplő tényezők cimkézését az 1101 kombináció ciklikus eltolására alapoztuk.
Könnyen belátható, hogy amennyiben a (8.9)-ban megjelenő mátrixot egy gráf incidencia mátrixának tekintjük akkor a kapott alakzat a 3.4.2fejezetben már definiált úgynevezett Fano sík [5]. A Fanó sík egy hét pontból (A, B, C, D, E, F, G) és hét egyenesből (a, b, c, d, e, f, g) álló elrendezés. Az egyeneseket az egymással illeszkedő (incidenciában lévő) pontok definiálják.
Ezeket az8.1ábrán összekötöttük. Láthatóan minden egyenesen három pont található, és minden pont három egyeneshez tartozik. Nyilvánvaló, hogy a Fano sík kompakt módon összefoglalja az E7 dekompozíciójának geometriáját.
A (8.2) képletben megjelenő28elektromos (x) és28mágneses (y) töltés és a hét darab 3-qubit rendszer56amplitúdója közötti kapcsolatot a Borsten és társai [BDD+09c] által meghatározott
E
összefüggések adják meg. Megmutatható, hogy a fenti elrendezés szerkezete a8.1ábrán látható duális Fano sík szerkezetébe van kódolva[5, 7], mely az októniószorzás stuktúra konstansaival kapcsolatos [BDD+09c]. Látható az is, hogy a (8.6) választás annak felel meg, hogy a (8.11)-(8.12) mátrixokban csak az "a"-val jelöltaABD három-qubit rendszert tartjuk meg. A fentiekből az is kiderül, hogy hét darab három-qubit szektorunk van melyek az N = 8 szupergravitáció hétN = 2csonkításának, ezek pedig hét lehetséges STU modellnek felelnek meg. Ennek alap-ján, a jóval bonyolultabb N = 8 szupergravitáció felfogható úgyis, mint hét speciális módon
"összevarrt" STU szupergravitáció.
8.4. U-dualitási szimmetria és kvantum kapuk.
Mint tudjuk a klasszikus N = 8 szupergravitáció Lagrange függvényéből [CJ78, CJ79]
származtatott Euler-Lagrange egyenletekE7(7) szimmetriával rendelkeznek. Ezen a klasszikus szinten a töltések valós számok. A kvantálás után a töltések már egész számok és a megfelelő