Hitchin funkcionálok és összefonódottsági mértékek

7.1. Motiváció

Az előző fejezetekben a tíz téridődimenziós IIB húrelméletek X ≡T²×T²×T²-re történő toroidális kompaktifikációját tekintve olyan effektív négy dimenziós szupergravitációelméletet kaptunk (STU-modell) melyre a téridő geometriája összefonódott az extra dimenziók térfogatőrző deformációinak geometriájával. Ebben az igen speciális esetben az extra dimenziók deformációit egy alkalmasan választott (Hodge diagonális) bázisban felírtΓ∈H³(X,C)kohomológia elemhez asszociált |Γi hátom-qubit állapottal vettük figyelembe. Az effektív elmélet további (időszerű) dimenzióredukciója után a |Γi csavarodási számaiba kódolt összefonódottságot egy negyedik (EhlersSL(2,R)csoporttal kapcsolatos) qubittal egészítettük ki. A negyedik qubit|Γi-hoz való viszonyát¹implicit módon a (6.47)|Λiállapot fejezte ki.

Ebben a fejezetben megvizsgáljuk, hogy az összefonódottsággal kapcsolatos struktúrák ho-gyan jelennek meg abban az esetben amikor azXsokaság már lehet egy nem faktorizálódó tórusz (T⁶) sőt egy hat dimenziós Calabi-Yau sokaság is. Az Ehlers-qubit extra összefonódottságával kapcsolatos komplikációkkal ebben a dolgozatban nem foglalkozunk.

7.2. Calabi-Yau sokaságok

Ebben a fejezetben vázlatosan áttekintjük a Calabi-Yau (CY) sokaságokkal kapcsolatos szá-munkra releváns ismereteket [JHS07, CdlO91]. Mivel az itt tárgyalásra kerülő geometriai struktúrák a toroidális geometria kapcsán már felbukkantak, az Olvasónak javasoljuk az ebben a fejezetben elmondott anyag tételes összevetését a5.3. fejezetben tárgyaltakkal.

A CY sokaságok olyan n dimenziós komplex Kähler sokaságok melyek első Chern osztálya eltűnik: c₁= [R]/2π= 0ahol[R]a Kähler metrikából számolt Ricci-forma kohomológia osztálya.

Calabi sejtése nyomán Yau bebizonyította, hogy bármely kompakt Kähler sokaságra melyrec₁= 0megadható olyan Kähler metrika mely SU(n)holonómiával rendelkezik. Megmutatható, hogy egySU(n)holonómiával rendelkező sokaság Ricci lapos²azaz R= 0. Mindezek eredményeképp belátható, hogy azSU(n)holonómiával rendelkező sokaságok pontosan azok a Kähler sokaságok melyekre c1 = 0. Egy számunkra alapvető jelentőséggel bíró tétel szerint egy kompakt Kähler sokaságrac1= 0 akkor és csak akkor ha a sokaságon létezik egy seholsem eltűnő

Ω0=f(z¹, z², . . . , zⁿ)dz¹∧dz²∧ · · · ∧dzⁿ (7.1) holomorfn-forma.

1Nyilván nem eltűnő (k6= 0) NUT töltés esetén a|Γi helyett formálisan a (6.68)-ban definiált |Γ^(k)i ér-tendő. Azonban ennek az állapotnak az (extra dimenziók segítségével történő matematikai szempontból precíz) értelmezése a Szerző számára nem ismert.

2Ez a tétel csak kompakt sokaságokra érvényes. Ahhoz , hogy a tétel nemkompakt esetre is érvényes legyen speciális határfeltételeket kell kikötnünk.

165

Kähler sokaságokra a kohomológiát jellemző Betti számokat dekomponálhatjuk az úgyneve-zett Hodge számok szerint: b_k = Pk

p=0h^p,k−p. Mivel a Kähler sokaságok rendelkeznek metri-kával ezért van értelme az egyes kohomológia osztályok harmónikus reprezentánsairól beszélni³. Ebből fakadóan ah^p,k−p számok az egyes kohomológia osztályokba eső lineárisan független har-mónikus p-formák számát adják meg. CY sokaságokra a h^p,q számok összessége a sokaságot jellemző úgynevezettHodge gyémánt. CY sokaságokra a Hodge-gyémánt speciális szerkezetű. A dolgozatban bennünket csak az n = 3-as eset érdekel. Ebben az esetben kiderül, hogy a CY

"három"-sokaságokat csak két nemtriviális Hodge szám jellemzi: h^1,1 és h^2,1. A fennmaradó Hodge számokrah^0,0=h^3,0=h^0,3=h^3,3= 1a többi Hodge szám zérus.

Egy CY sokaságot a nemtriviális Hodge számok lerögzítése nem jellemez egyértelműen. Rög-zített Hodge számok esetén folytonosan változtatható paraméterekkel jellemzett CY sokaságok egész családja létezik. Ezek a folytonosan változtatható paraméterek a tórusz esetből már jól ismert, a CY sokaság alakjával és méretével kapcsolatos,modulus paraméterek. Ezek a deformá-ciós paraméterek a CY sokaság modulus terének lokális koordinátáit adják⁴. A CY sokaságok deformációival kapcsolatos modulustér szerkezetének feltárásához a Ricci laposság feltételének megőrzéséből indulnak ki: a metrika g 7→ g +δg alakú variálása során megkövetelik, hogy R(g) =R(g+δg) = 0. Ezek után megfelelő mértékválasztással eliminálják a metrika azon vari-ációit melyeket általános koordinátatranszformációk számlájára írhatunk. Azn= 3-as esetben a fennmaradó metrikus deformációk két fajtáját különböztetjük meg a

δg_mkdz^m∧dz^k (7.2)

és a

(Ω0)mklg^lrδgrsdz^m∧dz^k∧dz^s (7.3) típusú deformációkat aholk, l, m, r, s= 1,2,3. A (7.3) típusú deformációk a CY sokaság komp-lex struktúrájának deformációit adják. A tórusz esetben ezek felelnek meg a tórusz térfogatőrző deformációinak. A komplex struktúra modulusok száma: h^2,1. Ennek megfelelően a modulustér lokálisan a τ^a a = 1,2, . . . , h^2,1 koordinátákkal paraméterezhető. A Ricci lapos g metrika vál-tozásnak aH^2,1(X,C)kohomólógia osztályok bázisvektoraival való explicit kapcsolata az alábbi alakba írható [CdlO91]

χa =1

2(χa)klmdz^k∧dz^l∧dz^m, (χa)klm=−1

2(Ω0)kls∂gms

∂τ^a (7.4)

A (7.2) típusú deformációk a CY sokaság Kähler struktúrájának deformációi. A tórusz esetben ezek a tórusz térfogati fluktuációival kapcsolatos deformációknak felelnek meg. A húrel-méletek mindegyikében szerepel az úgynevezett B-tér. Ez Kalb-Ramond típusú olyan bozonikus tér melyek a dilaton és a graviton mellet a húr zéró módusaival kapcsolatos terek állandó szerep-lője. Kompaktifikáció során ez a tér a CY sokaságon egyB_mk index szerkezetű tér megjelenésére vezet. A B_mk teret a Kähler metrika hasonló (g_mk) index szerkezetű mátrixával kombinálva a komplexifikált H^1,1(X,C)Kähler kohomológia osztályt kapjuk. A Kähler modulusok száma:

h^1,1.

Az X CY sokaság M(X) modulusterén egy természetes metrikát definiálhatunk (Weil-Petersson metrika). Ez a fentiek értelmében két jól elkülöníthető tagból áll annak megfelelő-en, hogy (lokálisan) a modulustér egy Kähler (M^1,1(X)) és egy komplex struktúra (M^2,1(X))

3AH^p kohomológia osztály harmónikus reprezentánsai azok a p-formák melyekre 4pω = 0 ahol 4p a p-formákon ható Laplace-operátor.

4Létezhetnek olyan rögzített Hodge számokkal rendelkező CY sokaságok is melyek topológiai szempontból inekvivalensek azaz nem homeomorfak. A Hodge számok tehát a CY sokaságok topológiáját nem jellemzik egyértelműen.

modulustérre faktorizálódik

ahol V a CY sokaság térfogata. A továbbiakban részletesen kizárólag a komplex struktúra de-formációkkal kapcsolatos M^2,1(X)modulustér geometriáját tárgyaljuk. M^1,1(X) geometriáját illetően lásd Candelas és de la Ossa munkáját [CdlO91].

AzM^2,1(X)modulustér geometriájánaklokálisjellemzéséhez lokális koordinátákat vezetünk be. Legyen(A^I, BI)a H3(X,Z)egy kanonikus bázisa, és (αI, β^I)a duálisH³(X,Z)-beli bázis. a többi kombináció zérus. Tekintsük ekkor az Ω0 holomorf háromforma

X^I =

periódusait. Megmutatható [CdlO91], hogy lokálisan a modulustér szerkezetét azX^I periódusok határozzák meg. Ebből kovetkezik, hogy: F^J(X)s ígyΩ0 az

Ω0=X^IαI−FI(X)β^I (7.8)

alakba írható. Mivel azΩ0 csak egy nemzérus komplex konstans erejéig meghatározott ezért az X^I, I = 0,1,2, . . . , h^2,1 lokális koordinátákM^2,1(X)homogén projektív koordinátáiként fogha-tók fel. Inhomogén koordinátákat a

τ^a= X^a

X⁰ (7.9)

összefüggéssel definiálunk.

A komplex struktúra modulustér metrikáját úgy kapjuk meg, hogy a (7.5) kifejezésben csak a szögletes zárójelben álló első tagot tartjuk meg. Mint tudjuk a modulus paraméterek száma h^2,1 tehát

ds²_M2,1(X)= 2G_abdτ^adτ^b (7.10) ahol τ^a, a = 1,2, . . . h^2,1 a megfelelő modulus paraméterek. X = T² ×T²×T² esetén rö-vid számolás mutatja, hogy ezzel az eljárással az (5.108)-ból ismerős Poincaré metrikát kapjuk.

Megmutatható, hogy azazM^2,1(X)is Kähler ésK a megfelelő Kähler potenciál.

Egy további fontos megfigyelés [CdlO91] szerint az Ω0 holomorf háromforma modulusok szerinti deriváltjai a

∂_aΩ₀=k_aΩ₀+χ_a ∈H^3,0⊕H^2,1 (7.12) alakba írhatók. Ennek alapján könnyen belátható, hogyχa =DaΩ0 ahol Da a (5.35)-ban már használt kovariáns deriválás operátora⁵. Mindezek alapján ellenőrizhető, hogy

G_ab=−i

ahol (5.15)-hoz hasonlóanΩ =e^K/2Ω0. Figyeljük meg, hogy amennyiben lapos kovariáns derivál-takat használunk akkor (7.13)-ből a tórusz esetben használatos (5.40) összefüggéseket kapjuk⁶.

A (7.12) összefüggés miatt igaz, hogyR

XΩ0∧∂IΩ0= 0ezért 2FI = ∂

∂X_I(X^JFJ) (7.14)

tehátF_I(X)egy azX^I koordináták homogén másodfokúF fügvényének a gradienseként áll elő azaz

F_I(X) =∂_IF(X), F(λX) =λ²F(X) (7.15) ahol

F(X) = 1

2X^IFI (7.16)

Az F függvény neve holomorf prepotenciál. Könnyen belátható, hogy az STU modellre F = X¹X²X³/X⁰. Az X⁰ = 1 mértékválasztással azX^I periódusokra és a velük kapcsolatos kova-riáns deriváltakra a jólismert (6.41) összefüggéseket kapjuk. A (7.13) összefüggések másodikát felhasználva a Kähler potenciálra a

e^−K= 2=(X^IFI) (7.17)

összefüggést kapjuk. Ez az STU modellre a szokásos (5.34) K =−log(8y¹y²y³)összefüggésre vezet.

7.3. BPS Calabi-Yau attraktorok

7.3.1. Motiváció A IIB húrelméleti képben tárgyalt Calabi-Yau (CY) BPS fekete lyuk megoldások szerkezete az 5.3-5.5 fejezetekben tárgyalt toroidális BPS fekete lyuk megoldások szerkezetének mintázatát követi. Speciálisan az effektív négy dimenziós hatás továbbra is az (5.103) alakú ahol az (5.106)-(5.108) mennyiségek explicit alakja a CY sokaság geometriájának megfelelően módosul. Tudjuk már, hogy az effektív hatásban megjelenő Abeli-vektorterek a IIB elmélet önduális öt-formájából eredeztethetők melyet az (5.112)-(5.113) alakba írhatunk.

Ezekben a képletekben mostΓa CY-sokaság kohomológiájának egy elemét jelenti ahol⁷

Γ =p^IαI −qIβ^I (7.18)

ahol ap^I, q_I csavarodási számokat az effektív négy dimenziós képben ismét elektromos és mág-neses töltésekként interpretálhatjuk.

Az 5. fejezetben láttuk, hogy toroidális kompaktifikáció esetén aΓ kohomológia elemet egy igen speciális összefonódott állapotként interpretálhatjuk. Az STU modell esetén X = T²× T²×T² ekkorΓ egy három-qubit (lásd (5.27)),T⁶ esetén pedig egy hat egyrészecske állapottal rendelkező háromfermion állapot (lásd (5.71)) alakjában állt elő. CY-kompaktifikációk esetén nyilván ezt nem tudjuk megtenni, hiszen ekkor az összefonódott részrendszerekkel kapcsolatos tenzorszorzat illetve antiszimmetrizált tenzorszorzat struktúra hiányzik. Valóban, X = T²× T²×T² esetén a három részrendszert azonosíthattuk a három T²-vel, X = T⁶ esetén pedig h^3,0=h^0,3= 1 ésh^1,2=h^2,1= 9miattH³(X,C)dimenziója és∧³T^∗X egyaránt20ezért

Γ =p^Iα_I−q_Iβ^I = 1

3!γ_ijkfⁱ∧f^j∧f^k (7.19)

6Igazából az (5.40) összefügések és a (7.13) képletek lapos kovariáns deriváltas kifejezései egy előjelben kü-lönböznek. Az ok: kényelmi okokból tórusz esetén mi azXsokaság térfogatelemére az (5.9) konvenciót használtuk ami egy előjelben különbözik a megszokottól.

7Vessük össze ezt a definíciót a (5.49) definícióval. Láthatóan a (5.49) képletben használt qI csavarodási számok a mostaniak negatívjai. Ezt a választást a CY sokaságok elméletében használatos szimplektikus struktúrát kihangsúlyozó konvenciókkal való összhang indokolja.

ahol mindkét kifejtés egyaránt20tagból áll⁸. CY sokaságokra azonban általában2h^2,1+ 26= 20 s így Γösszefonódottság elméleti interpretációja nem lehetséges. Az alábbiakban megmutatjuk, hogy ennek ellenére ebben a sokkal általánosabb CY kontextusban a BPS attraktoroknak mégis létezik összefonódottság elméleti interpretációja.

7.3.2. Szimplektikus formalizmus A CY BPS attraktorok leírására Bates és Denef ele-gáns formalizmusát használjuk [BD11]. Tekintsük a CY sokaság harmonikus három formáinak 2h^2,1+ 2dimenziósV komplex vektorterét: V =H³(X,C). LegyenV ellátva egyh·,·i:V×V 7→

C szimplektikus formával olymódon, hogy az EA = (α^I, βI) kanonikus bázisvektorokra ahol A, B= 1,2, . . .2h^2,1+ 2teljesül, hogy

hEA, E_Bi= Z

X

E_A∧E_B =J_AB=

0 δIJ

−δ^KL 0

(7.20) ahol⁹I, J, K, L= 0,1, . . . h^2,1. Ekkor

Γ = Γ^AEA, ΓA=hEA,Γi, Γ^A=J^ABΓB (7.21) ahol J^AB a JAB inverze. Ezekkel a jelölésekkel Γ^A= (p^I,−qJ).

A CY sokaságot jellemzőΩ0 holomorf háromforma azM^2,1(X)modulustérM˜^2,1(X) fedő-terén¹⁰értelmezett egyértékű holomorf V-értékű függvény. Ekkor

Ω0= Ω^A₀(τ)EA, ΩA=hEA,Ω0i, Ω^A₀ =J^ABΩ0B (7.22) ahol Ω^A₀ = (X^I,−FJ). Célszerű még bevezetni az alábbi mennyiségeket

Ω =e^K/2Ω0, ZA=e^K/2XA (7.23)

ezek a mennyiségek nyilván már nem holomorf módon függenek a modulusoktól hiszen

K(τ, τ) =−logihΩ₀,Ω₀i=−log(iX_AJ^ABX_B) (7.24) Érdemes még megjegyezni, hogy a

hΩ,Ωi=−i, hDaΩ, D_bΩi=iG_ab, hΩ, DaΩi=hΩ, DaΩi= 0 (7.25) relációk a szimplektikus formalizmusban a három-qubit formalizmus (5.46) bázisvektoraira vo-natkozó ortogonalitási relációinak felelnek meg.

A szimplektikus formalizmusban a 3-bránok CY homológia ciklusokra történő csavarodási konfigurációit leíró (5.115) tag azR

PhΓ, Aialakba írható ahol a definíciókat illetően lásd az (5.96), (5.100) képleteket. Továbbá az (5.116) Dirac-Born-Infeld tag jelentése most is a CY homológia ciklusokra csavarodott bránok térfogatával kapcsolatos. Amennyiben az (5.118) és (5.123) fel-tételek teljesülnek akkor az adott homológia osztályon belül olyan szuperszimmetrikus ciklusok (speciális Lagrange-féle részsokaságok) léteznek melyekre a 3-bránok térfogata minimális. Ezzel a minimális térfogattal kapcsolatos (5.124) tag azR

P|Z(Γ)|dsmennyiséggel lesz arányos ahol

Z(Γ) =hΓ,Ωi= Γ^AZ_A (7.26)

Mint tudjuk ez a mennyiség a IIB elmélet N = 2 szuperszimmetriájának centrális töltésével kapcsolatos, s mely az (5.220) reláción keresztül a BPS állapotok tömegét adja.

Végezetül az önduális öt-formával kapcsolatos (5.128) tag most is a fekete lyuk potenci-ál megjelenésére vezet. Ezt a mennyiséget felírhatjuk az (5.131) szimplektikus alakban ahol a

8A jelöléseket illetően lásd az (5.68) és az (5.72) képleteket.

9Lásd (7.6) illetve az (5.3) összefüggésX-re történő általánosítását.

10Például: azX=T²tórusz egy CY sokaság. Ekkor aτmodulus paraméter a tóruszT Teichmüller terének (komplex felső félsík) koordinátája. Ez a tér a tórusz komplex struktúra terének (M=T/P SL(2,Z)= "moduláris tartomány") fedőtere. AzΩ0(τ) =dz =du+τ dvholomorf egy-forma tehát e fedőtéren értelmezett egyértékű holomorfV =H¹(X,C)értékű függvény.

megfelelő <N és=N mátrixokat a CY speciális geometria alapján a periódusok függvényében explicit módon megadhatjuk [CDF96]. Fontos azt is megjegyezni, hogyΓ(5.53) alakú, a Hodge diagonális bázisban történő kifejtése a CY esetben is érvényes. Ebben a képben a h·,·i szimp-lektikus forma helyett a tórusz esetben megismert de CY sokaságra is használható (5.22) h·|·i Hermitikus skalárszorzatot is használhatjuk. Ekkor a fekete lyuk potenciál az (5.130) alakban egy2h^2,1+ 2dimenziós Hilbert térben helyet foglaló speciális valóssági feltételnek eleget tevő|Γi állapotvektor normanégyzetével fejezhető ki. Ekkor azonban az előző alfejezetben tárgyalt okok miatt|Γi nem rendelkezik nyilvánvalóan értelmezhető összefonódottsággal. Ahhoz, hogy meg-értsük azt, hogy az összefonódottsággal kapcsolatos struktúrák milyen kontextusban bukkannak mégis fel meg kell vizsgálnunk alaposabban a CY BPS attraktorok általános szerkezetét.

7.3.3. Calabi-Yau attraktorok Az elmondottak alapján nyilvánvaló, hogy amennyiben a CY sokaságra kompaktifikált IIB szupergravitációból származtatott (5.103) effektív hatás stati-kus, extremális, gömbszimmetrikus aszimptotikusan Minkowski fekete lyuk megoldásait szeret-nénk vizsgálni csupán a toroidális esetből megismert formalizmust kell újragondolnunk. Neveze-tesen, a CY esetben az effektív dinamikai rendszert ismét az (5.137) hatás és az (5.136) kényszer fogja leírni. A képletekben a CY sokaság geometriájára vonatkozó adatok a modulustérG_ab met-rikájában és aVBH fekete lyuk potenciál szerkezetében jelennek meg. Az (5.138) képlet miatt a fekete lyuk potenciálban alapvető fontosságú mennyiség a (7.26) centrális töltés abszolútértéke:

|Z(Γ)|. Az (5.140) teljes négyzetté alakításon alapuló trükk segítségével kapott BPS egyenletek ismét az (5.141) alakúak. Az egyenletek analízisét azonban most a toroidális esettel ellentétben célszerű az elegánsabb szimplektikus formalizmusban elvégezni. A toroidális eset (5.163) egyen-lete és az (5.46) definíció alapján azonnal látható, hogy a modulusok és a gyűrési faktor radiális függését meghatározó egyenleteket most a

2=(CΩ) =−H, C=e^−Ue^iα (7.27)

kifejezés foglalja össze ahol a megfelelő mennyiségek explicit radiális függését most nem írtuk ki¹¹. Ez az egyenlet azt fejezi ki, hogy a BPS attraktorokra a jobb oldalon állóH mennyiségnek (az (5.53) alakú kifejtéseket tartalmazó Hodge diagonális bázisban) csak a H^3,0 illetve H^0,3 osztályokba eső részei lesznek zérustól különbözőek. Az STU modell esetén ezek (5.163) alapján pont a megfelelő három-qubit állapot GHZ komponensei voltak.

A (7.27) egyenletből (7.21) és (7.23) felhasználásával kapjuk, hogy 2=(CZ_A) =−J_ABH^B, H^B =

√G_N

r Γ^B+ Γ^0B (7.28)

Ezek az egyenletek2h^2,1+ 2valós egyenletet adnak melyek adotH^Aesetén (adottΓésΓ⁰esetén) meghatározzák ah^2,1+ 1darab komplex C_∗(H)ésτ_∗^a(H)függvényeket¹².

A (7.27) kifejezés bal és jobb oldalát azhΩ,·iéshD_aΩ,·ioperációk hatására nézve kiértékelve kapjuk, hogy

C∗(H) =H^AZA|τ_∗(H), H^ADaZA|τ_∗(H)= 0 (7.29) ahol felhasználtuk a (7.25) formulákat. A (7.29) összefüggések másodikát az (5.139) típusú identitások alkalmazásával a

∂_a|H^AZ_A|τ∗(H)= 0 (7.30)

alakra hozhatjuk. Itt felhasználtuk azt, hogy aH^A mennyiség modulusfüggetlen¹³.

11U az (5.142) gyűrési faktor, α a (7.26) centrális töltés fázisa, Ω a (7.23)-ben definiált nem holomorf háromforma, ésH az (5.163)-ből ismert harmónikus kombináció. Az egyenlőség jel most azt jelenti, hogy a jobb és baloldalon álló mennyiségek ugyanabba a kohomológia osztályba esnek.

12Lásd a (7.23) és (7.9) formulákat.

13Ez abból következik, hogy aΓésΓ⁰kohomológia elemek modulusfüggetlenek.

Vezessük most be a

Σ(H)≡ |C∗(H)|²=|H^AZA|²_τ∗(H) (7.31) mennyiséget! Ez explicit és aτ_∗(H)modulusok által aZAmennyiségen keresztül implicit módon is függ az előre rögzítettH^Amennyiségektől. Számoljuk ki a∂Σ(H)/∂H^Aparciális deriváltat! A modulusokon keresztül jelenlévő implicit H^A függés (7.30)-nak köszönhetően nem ad járulékot.

Az explicitH^A függés tehát a teljes járulékot adja mely így a

∂Σ(H)

∂H^A = 2<(C_∗(H)Z_A|_τ∗(H)) (7.32) alakot ölti. Ehhez vegyük még hozzá a (7.28)-ból adódó

−J_ABH^B = 2=(C∗(H)Z_A|τ∗(H)) (7.33) összefüggést melyeket kombinálva a (7.23) és a (7.9) definíciókkal a modulusokra a

τA= XA

X₀ =∂AΣ(H)−iJABH^B

∂₀Σ(H)−iJ_0BH^B (7.34)

explicit megoldást adja. A (7.8) összefüggés miatt azXA = −(FI, X^I) periódusok s így a τA

koordináták nem mindegyike független. AzX⁰= 1 mértékben a független modulusok τ^a= H^a+i^∂Σ(H)_∂H

a

H⁰+i^∂_∂H^Σ(H)

0

(7.35) ahola= 1,2, . . . , h^2,1. ACmennyiség (7.27) kifejezését és a (7.31) képletet alkalmazva a gyűrési faktor és a centrális töltés fázisának explicit alakja is megadható

e^−2U = Σ(H), tanα= H⁰

∂Σ(H)

∂H0

(7.36) Láthatóan a modulusok, a gyűrési faktor és a centrális töltés fázisa egyetlen alapvető mennyi-ség a Σ(H)függvény segítségével fejezhető ki¹⁴. Könnyen belátható, hogy Σ(H) homogén má-sodfokú fügvény¹⁵azazΣ(λH) =λ²Σ(H). Ebből és az ívelemnégyzet szokásos (5.142) alakjából (7.28) második formulájának kihasználásával következik, hogy a BPS fekete lyuk megoldás ese-ményhorizontjának területe

A= 4πlim

r→0r²e^−2U = 4πlim

r→0r²Σ(p

GNΓ/r+ Γ⁰) = 4πGNΣ(Γ) (7.37) Tehát a BPS fekete lyuk Bekenstein-Hawking entrópiája

SBH = A 4GN

=πΣ(Γ) (7.38)

Természetesen (7.26) és (7.29) értelmébenΣ(Γ) =|Z(Γ)∗|²s így CY fekete lyukakra is a toroidális esetből már jólismert (5.150) entrópiaformulát kapjuk.

A most áttekintett [BD11] formalizmus világosan kidomborítja aΣ mennyiség és azS_BH entrópia központi jelentőségét. Nevezetesen: amennyiben S_BH funkcionális alakja ismert ak-kor a Σ argumentumában történő Γ 7→H elfolytatás segítségével a (7.34) és a (7.36) képletek felhasználával a gyűrési faktor a modulusok és a centrális töltés fázisának explicit funkcionális alakját a horizonton kívül is megkaphatjuk. Megjegyezzük, hogy a Σ homogenitását ismétel-ten kihasználva a modulusok és a centrális töltés fázisának r→0 limeszben kapott horizonton felvett értékeit a (7.34) és (7.36) képletekben történő H 7→Γ helyettesítéssel kaphatjuk. Ez a

14Könnyen látható, hogy ez igaz a modulustérKKähler potenciáljára és így aG_abKähler metrikájára is.

15H^A∂AΣ = 2CH^AZA= 2|H^AZA|²= 2Σ.

limesz az attraktor mechanizmus ideájának megfelelően független a modulusokr→ ∞limeszbeli aszimptotikus értékeitől.

A (7.28) egyenletből azr→0limeszben a

<(CXA)_∗= ΓA, C= 2ie^KW , W = Γ^AXA (7.39) attraktor egyenletek CY esetre is érvényes explicit alakját kapjuk¹⁶. A∗ jelölés arra utal, hogy az egyenlet baloldalán aC_∗ésX_∗^Amennyiségeknek aΓAtöltésekkel kifejezett a horizonton felvett attraktor értékei jelennek meg. Mivel azXAkoordináták a holomorf háromforma periódusai ezért a fenti mennyiségek az (5.12) Kähler transzformációk hatására az (5.11) szabály következtében az alábbi módon transzformálódnak

K_∗7→ K_∗−f−f , X_∗^A7→e^fX_∗^A, C_∗7→e^−fC_∗ (7.40) ahol tekintettel arra, hogy most az attraktor pontban vagyunk az e^f egy nem zérus komplex szám. Írjuk most a (7.31) kifejezés alapján (7.23) felhasználásával aΣ(Γ)alapmennyiséget a

Σ(Γ) = e^K|Γ^AX_A|

∗= e^K|W|²

∗= 1

4 e^−K|C|²

∗ (7.41)

alakba! Ez a formula invariáns a (7.40) Kähler transzformációkra nézve. Megfelelő mérték választással elérhető, hogyC⁰= 1és ekkor

Σ(Γ) = 1

4e^−K0∗= i 4

Z

X

Ω⁰₀∧Ω⁰₀ (7.42)

ahol Ω⁰₀ = C_∗Ω_0∗. A (7.39) attraktor egyenlet alapján ez a választás azt jelenti, hogy a CY sokaság az attraktor mechanizmusnak köszönhetően az eseményhorizonton olyan speciális komp-lex struktúrával rendelkezik melyre nézve a (csak konstans szorzó erejéig specifikált) holomorf háromforma által definiált CY térfogat a fekete lyuk entrópiával arányos. Továbbá (7.39) miatt, ezen választás esetén a holomorf háromforma periódusainak valós része épp a töltéseket adja.

Jóllehet CY sokaságokra SBH egy univerzális mennyiség, azonban funkcionális alakjának explicit meghatározása meglehetősen bonyolult [Shm97]. Az STU modell fontos speciális ese-tében mint tudjukSBH-ra a Cayley hiperdeterminánsával kifejezett (5.171) alakot kapjuk. Ezt felhasználva a modulusok radiális függésére a (7.34) formulából visszakapjuk a más módszerekkel számolt (5.185) formulát. A horizonton stabilizált modulus és centrális töltés fázisának értékeit természetesen az ismerős (5.181) és (5.184) formulák szolgáltatják.

S_BHmeghatározására léteznek mikroszkópikus módszerek is [AS96]. Ezek a makroszkópikus [Shm97] módszerekkel együtt elvileg lehetővé teszik hogy egy az eseményhorizonttal kapcsolatos mennyiség elfolytatásával a teljes horizonton kívüli szupergravitációs megoldást megkonstruál-juk [BD11]. A következő fejezetben megmutatmegkonstruál-juk, hogyS_BH egy összefonódottsági mértékkel kapcsolatos funkcionál kritikus pontjával kapcsolatos.

7.4. Hitchin funkcionál

7.4.1. A Hitchin invariáns mint összefonódottsági mérték [15]. Tekintsünk egy hat dimenziós zárt irányítottX sokaságot és egyvalós P háromformát! Egy lokális koordinátakör-nyezetben írható, hogy

P = 1

3!Pi₁i₂i₃(x)dxⁱ¹∧dxⁱ²∧dxⁱ³∈ ∧³T^∗X (7.43) ahol P-t egy (3.63) alakúvalós fermionikus állapot xlokális koordinátákkal parametrizált csa-ládjának is tekinthetjük. A P háromformából képezhetjük a (3.65) KP mennyiséget mely a (3.66) szabály lokális verziója szerint transzformálódik. Tekintsük a (3.67)-ből már jólismert

16AW mennyiség a (4.53) alakban a Freudenthal rendszereknél már feltűnt. Explicit alakját a toroidális esetre lásd (5.54).

D(P) = TrK_P²/6 mennyiség esetünkre vett általánosítását. Ekkor aVH[P] Hitchin funkcionált

Figyeljük meg, hogy a funkcionált definiáló mennyiség a (3.70) összefonódottsági mérték négy-zetgyökével kapcsolatos.

AD(P)6= 0tulajdonsággal rendelkezőP formákat a következőkbennemdegenerált formák-nak fogjuk hívni. Legyenx∈X a sokaság egy tetszőleges pontja és V a hatdimenziós érintőtér ebben a pontban. Ekkor a háromformák¹⁷tere ebben a pontban a20dimenziósW ≡ ∧³V^∗ tér.

Tekintsük a G ≡ GL(V) = GL(6,R) csoport hatását V-n. Ez a hatás W-n a (3.64) SLOCC hatás által adottRábrázolást indukálja. EgyP ∈W háromformát azxpontbanstabilnak neve-zünk ha az aGcsoportRábrázolás szerinti hatására a Zariski topológiában vettsűrű pályájához tartozik. Általában a(G, W,R)hármastprehomogén vektortér-nek nevezzük ha aG-nek létezik W-ben sűrű pályája. Egy P ∈ ∧³T^∗X háromformát stabilnak nevezünk ha a fenti tulajdonság X minten pontjára teljesül. Más szavakkal egy P-forma stabil ha P tetszőleges nyílt környe-zetében találhatók vele G (SLOCC) ekvivalens formák. A prehomogén vektortereket Sato és Kimura osztályozta [SK77]. Az osztályozásból kiderül, hogy a Hitchin funkcionállal kapcsolatos W vektortér prehomogén amennyibenP nemdegenerált. A valós esetben két sűrű pályánk van aszerint, hogy D(P) pozitív vagy negatív. A sűrű pályákkal kapcsolatos stabilitás kritériumá-nak köszönhetően a Hitchin funkcionál variációs problémája matematikai szempontból értelmes [Hit00, Hit03].

Idézzük most fel a (3.72) definíciót, és definiáljuk a D(P) 6= 0 tulajdonsággal rendelkező nemdegenerált háromformákra a (3.76) Pˆ(P) duális háromformát. Ez a duálás mint tudjuk a (4.92) Freudenthal duálás speciális esetének tekinthető és kielégíti a fontos (4.93) relációkat.

Ekkor a Hitchin funkciónál a (3.166) összefüggés segítségével a VH[P] = 1

2 Z

X

P∧Pˆ (7.45)

alternatív alakba is írható. A (3.91)-(3.92) dekompozíció kapcsán tárgyaltak értelmében egy nemdegenerált P a P = (Ω++ Ω₋)/2 alakba írható ahol az Ω_± GHZ-komponensek teljesen szeparálható háromformák ésΩ_±=P±iPˆ. Mindezek ismeretében funkcionálunk új alakja

VH[P] = i 4

Z

X

Ω+∧Ω₋ (7.46)

Tekintsük most azt a fontos speciális esetet amikor D(P)<0. Ekkor amennyiben Ω⁰₀≡Ω+

akkor (3.76) és (3.91) miatt Ω−= Ω⁰₀ tehát

Variáljuk most a V_H[P] funkcionált azon P háromformák szerint melyek egy rögzített koho-mológia osztályba esnek. Legyen ez a rögzített kohokoho-mológia osztály a Γ ∈ [P] ∈ H³(X,R) reprezentáns osztálya. Ekkor a (3.109) formulát használva aholdΓ = 0ésΓ =˙ dϕkapjuk

δV_H[ ˙Γ] =−

ebből pedig δVH[ ˙Γ] = 0 és∂X = 0 figyelembe vételével a Stokes tétel folyományaként kapjuk, hogy

dΓ = 0ˆ (7.49)

17Valós háromfermion állapotok hat egyrészecske állapottal.

azaz a duális forma is zárt. Ebből következően azΩ⁰₀= Γ +iΓˆkomplex szeparálható háromforma is zárt tehátΩ⁰₀∈H³(X,C).

Emlékeztetünk most arra, hogy aKP mennyiség egy olyan tenzormezőt definiálX-en mely

Emlékeztetünk most arra, hogy aKP mennyiség egy olyan tenzormezőt definiálX-en mely

In document Egyszerű összefonódott rendszerek geometriája és a fekete lyuk-qubit megfelelés (Pldal 175-197)