BEVEZETÉS
III. FEJEZET FERMIONOK
2. Mutassuk meg, hogy
ahol
Megoldás. A vizsgált mennyiségek skalárok a négyesforgatásokra nézve, de a térbeli tükrözésre nézve nincs meghatározott paritásuk. A fenti egyenlőség legegyszerűbben spinorreprezentációban kapható meg. Észrevéve, hogy
és
látjuk, hogy a „skalár” kifejezhető a
másodrendű spinorok segítségével, és ezért
alakúnak kell lennie.
A és indexeket felcserélve, és figyelembe véve, hogy
a kívánt eredményt kapjuk.
III. FEJEZET FERMIONOK
13. 29.§. A polarizációs sűrűségmátrix
Egy impulzusú részecske szabad mozgását leíró hullámfüggvény (síkhullám) koordinátafüggését az szorzótényező tartalmazza, az amplitúdó a spin-hullámfüggvény szerepét játssza. Ilyen (tiszta) állapotban a részecske teljesen polarizált (l. 59. §). A nemrelativisztikus elméletben ez azt jelenti, hogy a részecske spinjének meghatározott iránya van a térben (pontosabban, létezik olyan irány, amelyre vonatkoztatva a spinvetület határozott értéket vesz fel). A relativisztikus elméletben, tetszőleges vonatkoztatási rendszerben nem lehet így jellemezni az állapotokat, mivel (mint azt a 23. §-ban már megjegyeztük) a spin vektora nem marad meg. Az állapot tisztasága csak annyit jelent, hogy a részecske nyugalmi rendszerében a spinnek határozott iránya van.
Részlegesen polarizált állapothoz nem tartozik meghatározott amplitúdó; csak a bispinor indexek) polarizációs sűrűségmátrix . Úgy definiáljuk ezt a mátrixot, hogy tiszta állapotban a
3.193. egyenlet - (29,1)
szorzattá egyszerűsödjék. Ennek megfelelően a mátrixot a
3.194. egyenlet - (29,2)
feltétellel normáljuk [l. (23,4)].
Tiszta állapotban a spin átlagértékét az
3.195. egyenlet - (29,3)
kifejezés határozza meg. Részlegesen polarizált állapotban a megfelelő kifejezés:
3.196. egyenlet - (29,4)
Az , amplitúdók a és algebrai egyenletrendszereknek tesznek eleget.
Ezért a (29,1) mátrix kielégíti a
3.197. egyenlet - (29,5)
egyenleteket. Ugyanezeket a lineáris egyenleteket kell kielégítenie a sűrűségmátrixnakáltalános esetben (spin szerint) kevert állapot esetén is (lásd a hasonló levezetést III. 14. §-ban).
Ha a szabad részecskét nyugalmi rendszerében tekintjük, akkor alkalmazhatjuk rá a nemrelativisztikus elméletet. Viszont ebben az elméletben egy részlegesen polarizált állapot teljesen meghatározható három paraméter, a spinvektor átlagértékének három komponense segítségével (l. III. 59. §). Így nyilvánvaló, hogy ugyanezek a paraméterek határozzák meg a részlegesen polarizált állapotot tetszőleges Lorentz-transzformáció elvégzése után, tehát mozgó részecske esetén is.
Jelöljük a nyugalmi rendszerbeli spinvektor kétszeresét -val (tiszta állapotban , kevertben ).
A polarizációs állapot négydimenziós leírásához célszerű bevezetni az négyesvektort, amely a nyugalmi rendszerben egybeesik a háromdimenziós vektorral; mivel axiális vektor, így négyes pszeudovektor.
III. FEJEZET FERMIONOK
Ez a négyesvektor a nyugalmi rendszerben merőleges a négyesimpulzusra [itt , ], így
tetszőleges vonatkoztatási rendszerben
3.198. egyenlet - (29,6)
Ugyancsak tetszőleges rendszerben igaz, hogy
3.199. egyenlet - (29,7)
Az négyesvektor komponenseit egy olyan vonatkoztatási rendszerben, amelyben a részecske sebességgel mozog, a nyugalmi rendszerből való Lorentz-transzformációval kaphatjuk meg:
3.200. egyenlet - (29,8)
ahol a és indexek a és vektoroknak a iránnyal párhuzamos és arra merőleges komponenseit jelölik.36 A fenti képleteket vektoralakban is felírhatjuk:
3.201. egyenlet - (29,9)
Tekintsünk kezdetben egy polarizálatlan állapotot . A sűrűségmátrix ekkor csak a négyesimpulzust tartalmazhatja paraméterként. Egy ilyen mátrix, ha a (29,5) egyenleteket is kielégíti, csak
3.202. egyenlet - (29,10)
alakú lehet (I. E. Tamm , 1930, H. B. G. Casimir , 1933). Az együtthatót úgy választottuk meg, hogy a (29,2) normálási feltétel is teljesüljön.
Ha az állapot részlegesen polarizált ( ), a sűrűségmátrixot
3.203. egyenlet - (29,11)
alakban keressük, amely automatikusan kielégíti a (29,5) egyenleteket. esetén a mátrixnak az
egységmátrixba kell átmennie; mivel , (29,11) ekkor megegyezik (29,10)-zel.
Továbbá a mátrixnak lineárisan kell tartalmaznia az négyesvektort, azaz
36 A spinvektor átlagértékének (mint minden impulzusmomentum jellegű mennyiségnek) a komponensei, transzformációs tulajdonságaikat tekintve, a relativisztikus mechanikában egy antiszimmetrikus tenzor térkomponenseiként írhatók fel. Az
négyesvektor szerint fejezhető ki ezzel a tenzorral. Aláhúzzuk, hogy az
négyesvektor térbeli része egy tetszőleges koordináta-rendszerben egyáltalán nem egyezik meg a vektorral. Könnyű belátni, hogy .
III. FEJEZET FERMIONOK
3.204. egyenlet - (29,12)
alakúnak kell lennie (a második tagban az pszeudovektor és a „mátrixértékű
négyespszeudovektor”„skalárszorzata” szerepel). Az együttható meghatározásához írjuk fel a sűrűségmátrixot a nyugalmi rendszerben:
és számítsuk ki (29,4) alapján a spin átlagértékét. A 22. §-ban felsorolt szabályokat felhasználva, könnyen látható, hogy a mátrix keresett nyomában az egyetlen, zérustól különböző tag:
Ezt a kifejezést -val egyenlővé téve, azt kapjuk, hogy . A végleges alakját úgy kapjuk meg, hogy (29,12)-t (29,11)-be helyettesítjük, majd a és tényezőket felcseréljük; és merőlegesek, így antikommutál -val:
és emiatt kommutál -pal.
Tehát a részlegesen polarizált elektron sűrűségmátrixa:
3.205. egyenlet - (29,13)
(L. Michel , A. S. Wightman , 1955). Ha a sűrűségmátrix ismert, akkor az állapotot jellemző négyesvektort (és vele együtt a vektort) az
3.206. egyenlet - (29,14)
képlet segítségével határozhatjuk meg.
A pozitron sűrűségmátrixára vonatkozó képletek hasonlóak az elektronra levezetett képletekhez. Ha a pozitront (amelynek négyesimpulzusa ) pozitronamplitúdóval írnánk le, és a mátrixot ennek megfelelően vezetnénk be, minden ugyanaz lenne, mint az elektron esetében, és a mátrixot a (29,13) képlet adná meg. A tényleges számításokban azonban, amikor pozitronok részvételével végbemenő szórási folyamatok hatáskeresztmetszeteit határozzuk meg, nem az , hanem (mint azt a későbbiekben látni fogjuk) az „negatív frekvenciás” amplitúdó jelenik meg. Az ennek megfelelő polarizációs sűrűségmátrixot (jelöljük -szal) úgy kell meghatározni, hogy tiszta állapot esetén az
kifejezéssel egyezzék meg.
(26,1) szerint a pozitronamplitúdó . Fordítva:
[l. (28,3)]. Ha
III. FEJEZET FERMIONOK
a fenti képletek segítségével azt kapjuk, hogy
3.207. egyenlet - (29,15)
helyébe a (29,13) kifejezést írva és [(26,3), (26,21) segítségével] egyszerűátalakításokat végezve, a következő eredmény adódik:
3.208. egyenlet - (29,16)
Speciális esetben, polarizálatlan állapotra
3.209. egyenlet - (29,17)
A továbbiakban, ha a pozitron sűrűségmátrixáról beszélünk, a mátrixotértjük majd ezen, és a indexet elhagyjuk a ( mátrixra gyakorlatilag nem lesz szükségünk).
A különböző számításokban gyakran kell spinállapotok szerint átlagolni alakú
kifejezéseket, ahol valamilyen ( -es) mátrix, pedig egy adott négyesimpulzushoz tartozó bispinor amplitúdó. Az ilyen átlagolás ekvivalens azzal, hogy az szorzatot a részlegesen polarizált állapot sűrűségmátrixával helyettesítjük.
Speciális esetben, ha teljesen átlagolunk a két független spinállapotra, ez ekvivalens azzal, hogy polarizálatlan állapotot tekintünk; ekkor (29,10) szerint
3.210. egyenlet - (29,18)
A negatív frekvenciás hullámfüggvényekre ehhez hasonlóan
3.211. egyenlet - (29,19)
Ha nem átlagolnunk, hanem összegeznünk kell a spinállapotok szerint, akkor az eredmény a fentieknek kétszerese lesz.
Kövessük nyomon, hogy határesetben hogyan megy át a (29,13) sűrűségmátrix a megfelelő nemrelativisztikus kifejezésbe. Térjünk át ezért az elektron nyugalmi rendszerére. A hullámfüggvények standard reprezentációja esetén ebben a rendszerben az amplitúdók kétkomponensűekké válnak; velük együtt a sűrűségmátrixnak is egy -es mátrixba kell átmennie. Valóban, a nyugalmi rendszerben
és a mátrixokra vonatkozó (21,20) és (22,18) kifejezésekkel azt kapjuk, hogy
III. FEJEZET FERMIONOK
3.212. egyenlet - (29,20)
(a nullák -es nullamátrixokat jelölnek). Ha a nemrelativisztikus elméletben helyett – a szokásos módon – egységre normáljuk a sűrűségmátrixot ( ), akkor a fenti kifejezést -mel osztani kell; tehát a nemrelativisztikus sűrűségmátrix
ami megegyezik a III. (59,4), (59,5) képletekkel.
Hasonlóképpen a pozitron sűrűségmátrixának nemrelativisztikus határesete:
Végül nézzük meg, hogyan egyszerűsödik a sűrűségmátrix ultrarelativisztikus esetben . Ha (29,8)-ban -t írunk [ezzel elhanyagoljuk az relatív nagyságrendű mennyiségeket], majd ezeket a kifejezéseket (29,13)-ba vagy (19,16)-ba helyettesítjük, és az -tengelyt irányában vesszük fel, azt kapjuk, hogy
ahol a felső előjel az elektron, az alsó a pozitron esetére vonatkozik. A szorzat felbontása után a vezető tagok kiesnek, a következő nagyságrendű tagok pedig a
kifejezést eredményezik. Ha helyett ismét -ot írunk, akkor
3.213. egyenlet - (29,21)
Ez a sűrűségmátrix keresett kifejezése az ultrarelativisztikus esetben. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a képletben a polarizációs vektor mindhárom komponense azonos nagyságrendű. Itt a vektornak azt a komponensét jelenti, amely paralel (ha ) vagy antiparalel (ha ) a részecske impulzusával.
Speciális esetben, ha a részecske helicitás-sajátállapotban van, ; ekkor a sűrűségmátrix különösen egyszerű alakot kap:37
3.214. egyenlet - (29,22)
14. 30.§. A neutrino
Az a tény, hogy egy spinű részecske leírásához két spinort ( és ) kell használni, amint azt a 20. §-ban láttuk, a részecske tömegével áll kapcsolatban. Ez az ok elesik, ha a részecske tömege nulla. Egy ilyen
37 Ez megegyezik, amint annak lennie kell, a neutrinó vagy az antineutrinó sűrűségmátrixával – ezek nulla tömegű és adott helicitású részecskék (lásd alább, 30. §).
III. FEJEZET FERMIONOK
részecskét leíró hullámegyenletet már egyetlen spinor (például egy pontozott spinor, ) segítségével is fel lehet írni:
3.215. egyenlet - (30,1)
vagy ugyanez más alakban:
3.216. egyenlet - (30,2)
A 20. §-ban azt is megjegyeztük, hogy az -et tartalmazó hullámegyenlet automatikusan szimmetrikus a térbeli tükrözésre nézve ( transzformáció). Ha a részecskét egyetlen spinorral írjuk le, ez a szimmetria elvész. Azonban nincs is rá szükség, mert a tükrözéssel szembeni szimmetria a természetnek nem univerzális tulajdonsága.
Egy tömegű részecske energiája és impulzusa között fennáll az összefüggés. Így síkhullám ( ) esetén a (30,2) egyenletből azt kapjuk, hogy
3.217. egyenlet - (30,3)
ahol a irányú egységvektor. Ugyanilyen egyenletnek tesz eleget a „negatív frekvenciás” hullámfüggvény ,
( ) is:
3.218. egyenlet - (30,4)
A másodkvantált téroperátor:
3.219. egyenlet - (30,5)
Innen következik, mint általában, hogy az antirészecske hullámfüggvénye.
A operátorok (20,1) definíciójából látható, hogy . Így a komplex konjugált spinor kielégíti a egyenletet, vagy ami ugyanaz,
Vezessük be az jelölést, azt a tényt fejezve ki ezzel, hogy a komplex konjugálás pontozott spinorból pontozatlant csinál. Tehát az antirészecske hullámfüggvénye eleget tesz a
3.220. egyenlet - (30,6)
III. FEJEZET FERMIONOK
vagy a
3.221. egyenlet - (30,7)
egyenletnek. Innen síkhullámra
3.222. egyenlet - (30,8)
Viszont a spin mozgásirányú vetületének operátora. Ezért a (30,3)és (30,8) egyenletek azt jelentik, hogy adott impulzusúállapotok automatikusan helicitás-sajátállapotok – a spin mozgásirányú vetületének határozott értéke van. Ha a részecske spinje az impulzussal ellentétes irányú ( helicitás), akkor az antirészecske spinje az impulzus irányába mutat ( helicitás).
Úgy tűnik, hogy ilyen tulajdonságú részecskék a természetben létező neutrinók. Megállapodás szerint a helicitású részecskét neutrinónak, a helicitású, részecskét antineutrinónak nevezzük.38
Azzal kapcsolatban, hogy a neutrinoállapotok a spin iránya szerint nem degeneráltak, emlékeztetünk a 8. §-ban tett megjegyzésre, amely szerint egy tömegű részecskére csak az impulzus irányára vonatkozó axiális szimmetria jellemző. Valódi semleges részecske – a foton – esetén ez a szimmetria tartalmazza a tengely körüli elforgatásokat és a tengelyen átmenő síkokban történő tükrözéseket. Neutrino esetén a tükrözési szimmetria hiányzik, csak a tengely körüli elforgatások csoportja marad meg, amely megőrzi az impulzusmomentum tengelyirányú vetületét, és az előjelét sem változtatja meg. A tükrözési szimmetria csak akkor létezik, ha egyidejűleg a részecskét antirészecskére cseréljük.
Azt is meg kell jegyeznünk, hogy a kötelezően longitudinális polarizáció azt jelenti, hogy a neutrino spinje egyáltalán nem választható szét a pálya-impulzusmomentumtól (akárcsak a foton esetében, ahol a polarizáció feltétlenül transzverzális, l. 6. §).
Egyetlen egy (vagy ) spinorral mindössze négy bilineáris kombináció képezhető. Ezek együtt négyesvektort alkotnak:
3.223. egyenlet - (30,9)
Könnyű belátni, hogy a
egyenletek miatt teljesül a kontinuitási egyenlet, azaz a részecskék áramsűrűségének négyesvektorát jelenti.
A neutrinót leíró síkhullámokat célszerű úgy normálni, ahogy azt a 23. §-ban a tömeggel rendelkező részecskékkel tettük:
3.224. egyenlet - (30,10)
ahol a spinoramplitúdók az
38 A neutrino létezését Pauli jósolta meg elméleti alapon, a -bomlás tulajdonságainak magyarázatára (1931). A (30,1) egyenletet először H. Weyl vizsgálta (1929). A neutrino elméletét a fenti egyenletek alapján L. D. Landau , T. D. Lee és C. N. Yang , A. Salam fogalmazták meg (1957).
III. FEJEZET FERMIONOK
3.225. egyenlet - (30,11)
invariáns feltétel segítségével vannak normálva. Ekkor a részecskék sűrűsége és áramsűrűsége: , .
Mivel egy adott impulzusú, szabad neutrino mindig teljesen polarizált, ebben az esetben értelmetlen (spin szerinti) kevert állapotról beszélni. Ennek ellenére néha célszerű lehet a -es polarizációs
„sűrűségmátrixot” használni, amelyen egyszerűen a
3.226. egyenlet - (30,12)
másodrendű spinort értjük (ekkor ). Vegyük észre, hogy ennek a mátrixnak ki kell elégítenie az
egyenleteket. Innen látszik, hogy
3.227. egyenlet - (30,13)
Mikor különböző kölcsönhatási folyamatokat vizsgálunk, a neutrinók más, tömeggel rendelkező ( spinű) részecskékkel együtt léphetnek fel. Az utóbbiakat négykomponensű hullámfüggvényekkel kell leírni. Az ilyen esetekben az egységes jelölésmód céljából a neutrinóra is érdemes formálisan bevezetni egy „bispinor”
hullámfüggvényt, amelynek két komponense nulla: . Azonban -nek ez az alakja általában véve nem marad meg, ha más (nem spinor) reprezentációra térünk át. Ezt a nehézséget megkerülhetjük, ha észrevesszük, hogy a spinorreprezentációban azonosan igaz, hogy
ahol tetszőleges „ballaszt” spinor, amely az eredményekből kiesik [a mátrixot (22,18)-ból vettük]. Így a neutrino valódi „kétkomponensű jellege” minden reprezentációban fennáll, ha az őt leíró hullámfüggvény a Dirac-egyenlet megoldása esetén:
3.228. egyenlet - (30,14)
amely ezenkívül az , vagyis a
3.229. egyenlet - (30,15)
kiegészítő feltételnek is eleget tesz.
Ezt a feltételt figyelembe vehetjük, ha mindenütt, ahol -nek és -nak szerepelnie kell, helyettük a következő kifejezéseket írjuk:
3.230. egyenlet - (30,16)
III. FEJEZET FERMIONOK
Így az áramsűrűség négyesvektora a következő alakot ölti [a kifejezésben a (30,16) helyettesítéssel]:
3.231. egyenlet - (30,17)
Hasonlóképpen a neutrino -es sűrűségmátrixa:
3.232. egyenlet - (30,18)
Spinorreprezentációban, amint azt várható, ez a (30,13) -es mátrixra redukálódik:
Az antineutrinóra vonatkozó megfelelő képletek előjelében különböznek.
A neutrino elektromosan semleges részecske. A fenti tulajdonságú neutrino azonban nem valódi semleges részecske. Ezzel kapcsolatban megjegyezzük, hogy a kétkomponensű spinor segítségével leírt „neutrinotér” a számára lehetséges részecskeállapotokat tekintve (de természetesen nem a többi fizikai tulajdonságában) ekvivalens egy négykomponensű bispinorral leírt valódi semleges térrel. Adott helicitású részecskék és antirészecskék helyett egy részecskénk lenne, két lehetséges helicitásállapotban, és a tükrözési szimmetria automatikusan fennállna. Megjegyzendő azonban, hogy a „négykomponensű” neutrino zérus tömege „véletlen”
jellegű volna, mivel ez nem lenne kapcsolatban a részecskét leíró hullámegyenlet szimmetriatulajdonságaival (amely nemzérus tömeget is megengedne). Ezért egy ilyen részecske esetén a különböző kölcsönhatások figyelembevétele automatikusan ahhoz vezetne, hogy a részecskének kicsi, de mégsem szigorúan zérus nyugalmi tömege jelenne meg.
15. 31.§. A 3/2 spinű részecskék hullámegyenlete
Egy spinű részecskét nyugalmi rendszerében egy háromdimenziós, harmadrendű szimmetrikus spinor (amelynek független komponense van) ír le. Ennek megfelelően, tetszőleges vonatkoztatási rendszerben a részecske leírásában a , és a , négyesspinorok szerepelhetnek, amelyek szimmetrikusak az egyforma (pontozott vagy pontozatlan) indexeikben; tükrözéskor az első és a második párban levő spinorok egymásba mennek át.
Ahhoz, hogy a nyugalmi rendszerben a és négyesspinorok mindhárom indexükben szimmetrikus hármasspinorokba menjenek át, eleget kell tenniük a
3.233. egyenlet - (31,1)
feltételeknek. Valóban, a nyugalmi rendszerben
[amint ez (20,1)-ből látható]. Ezért a (31,1) feltételek a
III. FEJEZET FERMIONOK
egyenlőségekhez vezetnek, ahol a vesszős mennyiségek a megfelelő háromdimenziós spinorokat jelentik; más szóval, ezek a spinorok az indexeket összeejtve nullát adnak, ez pedig azt jelenti, hogy szimmetrikusak ezekben az indexeikben, tehát mindhárom indexükben is.
A és spinorok között differenciális kapcsolatot létesítenek a következő összefüggések:
3.234. egyenlet - (31,2)
A fenti egyenletek bal oldalainak szimmetrikus voltát (a , vagy az , indexekben) a (31,1) feltételek biztosítják – ezeket az indexeket összeejtve, nullát kapunk. A (31,2) egyenletek miatt a nyugalmi rendszerben a és háromdimenziós spinorok, amint az várható is, egybeesnek. A (31,2) egyenletekből -t vagy -t kiküszöbölve, azt találjuk, hogy a és spinorok mindegyik komponense kielégíti a
3.235. egyenlet - (31,3)
másodrendű egyenletet.
A (31,1), (31,2) egyenletek egy spinű részecske hullámegyenleteinek teljes rendszerét alkotják.39 A és spinorok hozzávétele semmi újat nem hozna. Ezek a következőképpen adhatók meg:
A spinű részecskékre vonatkozó egyenleteket olyan alakban is megfogalmazhatjuk, amely a spinorok vektortulajdonságait használja fel (W. Rarita , J. Schwinger , 1941; A. Sz. Davidov , I. E. Tamm , 1942).Az spinorindexeknek egy négydimenziós vektorindex feleltethető meg. Így a harmadrendű spinor helyettesíthető a „kevert” mennyiséggel, amelynek egy vektor- és egy spinorindexe van. Az spinornak is megfeleltetünk egy mennyiséget, a két spinor együttesének pedig a „vektor”-bispinort (a bispinorindexet nem írjuk ki). A hullámegyenlet ekkor az egyes vektorkomponensekre felírt „Dirac-egyenlet”
lesz:
3.236. egyenlet - (31,4)
és teljesülnie kell még a következő kiegészítő feltételnek is:
3.237. egyenlet - (31,5)
A mátrixok spinorreprezentációban felírt kifejezését, valamint a spinorok és vektorok komponensei közti kapcsolatot leíró (18,6), (18,7) képleteket felhasználva, könnyen meggyőződhetünk arról, hogy (31,4) tartalmazza a (31,2) egyenleteket, és a (31,5) feltétel ekvivalens azzal a követelménnyel, hogy a és spinorok szimmetrikusak legyenek a , ill. a indexekben. A (31,4) egyenletet -vel szorozva,(31,5) miatt azt kapjuk, hogy
39 A fenti egyenletek Lagrange-függvényes megfogalmazásáról lásd Fierz és Pauli II. fejezet, 19. lábjegyzetben idézett cikkét.
III. FEJEZET FERMIONOK
vagy a mátrixok felcserélési szabályát felhasználva,
3.238. egyenlet - (31,6)
A második tag (31,5) miatt zérus, tehát az elsőből
3.239. egyenlet - (31,7)
Könnyen látható, hogy ez a feltétel, amely automatikusan következik (31,4)-bőlés (31,5)-ből, ekvivalens a (31,1) feltételekkel.
Végül, a hullámegyenletet úgy is meg lehet fogalmazni, hogy bevezetjük a három bispinorindexszel rendelkező,
mindhárom indexében szimmetrikus mennyiséget (V. Bargmann , E. P. Wigner ,
1948). A komponensek összessége ekvivalens a , , , spinorok komponenseinek összességével. A hullámegyenlet „Dirac-egyenletek” rendszereként írható fel:
3.240. egyenlet - (31,8)
Könnyű belátni, hogy ezek az egyenletek már a szükséges számú (négy független) komponenst eredményezik, így nem kell kiegészítő feltételeket kiróni. Valóban, a nyugalmi rendszerben (31,8) a
egyenlőségekre vezet, amelyek következtében (standard reprezentációban) az összes komponens eltűnik, azaz háromdimenziós harmadrendű spinorba megy át.
A fentebb tárgyalt eredmények nyilvánvaló módon általánosíthatók tetszőleges félegész spinű részecskére.
A (31,4) és (31,5) képlethez hasonló leírásban a hullámfüggvény rendű szimmetrikus négyestenzor lesz, egy bispinorindexszel. A (31,8) alakú egyenletek használata esetén a hullámfüggvénynek bispinorindexe van, és ezekben szimmetrikus.