BEVEZETÉS
IV. FEJEZET RÉSZECSKE MOZGÁSA KÜLSő TÉRBEN
4.99. egyenlet - (40,16)
Megjegyezhetjük még, hogy a (40,10) normafeltétel kifejezhető a vektor segítségével,
4.100. egyenlet - (40,17)
IV. FEJEZET RÉSZECSKE MOZGÁSA KÜLSő TÉRBEN
[a (40,10) képlet (40,17)-re valóátalakítását legegyszerűbb a fentebb már használt speciális vonatkoztatási rendszerben elvégeznip].
10. 41.§. Spin mozgása külső térben
A Dirac-egyenlet esetében a kváziklasszikus közelítésre való áttérést ugyanúgy végezzük el, mint a nemrelativisztikus elméletben. A (32,7a) másodrendű egyenletben -t a
alakban helyettesítjük be30 (ahol skalár, lassan változó bispinor). Eközben feltételezzük, hogy a kváziklasszikusság feltétele teljesül: a részecske impulzusa a hullámhossz-nagyságrendű távolságon csak lassan változhat.
A szerinti sorfejtésben nulladik közelítésben a szokásos klasszikus, relativisztikus Hamilton–Jacobi-egyenletet kapjuk az hatásra. Ekkor az összes spint tartalmazó (és -sal arányos) tag kiesik a mozgásegyenletből. Más szavakkal, az elektron mágneses momentumának az elektron mozgására gyakorolt hatása mindig a kvantumos korrekciók nagyságrendjébe esik. Ez teljesen természetes a spin tisztán kvantumos természete miatt, melynek nagysága -sal arányos.
Ezzel a helyzettel kapcsolatban nyer értelmet az a kérdés, amely a külső térben meghatározott kváziklasszikus mozgást végző elektron spinjének viselkedésére vonatkozik. Ennek a feladatnak a megoldását a Dirac-egyenlet megoldása következő, szerinti közelítésének megadása jelenti. Ehelyett azonban egy szemléletesebb és a Dirac-egyenlethez közvetlenül nem kapcsolódó megoldást mutatunk be. Ennek előnye, hogy tetszőleges részecske mozgására alkalmazható, többek között az anomális giromágneses hányadossal rendelkezőkére is, melyeket a Dirac-egyenlet nem ír le.
Célunk a részecske spinje mozgásegyenletének felírása a részecske tetszőleges, előre megadott mozgása esetén.
Kezdjük a nemrelativisztikus esettel.
A külső térben elhelyezett részecske Hamilton-operátora
4.101. egyenlet - (41,1)
ahol -ben a spint nem tartalmazóösszes tagot összefoglaltuk (l. III. 111. §), a részecske mágneses momentuma. Ez az alak független a részecske fajtájától. Elektronokra (az elektron töltése
!), nukleonokra -be még egy anomális részt is befoglaltunk,31
4.102. egyenlet - (41,2)
A kvantummechanika általános szabályainak megfelelően a spinre vonatkozó operátor-mozgásegyenletet az
4.103. egyenlet - (41,3)
alakban írhatjuk. Ebbe (41,1)-et behelyettesítve,
30 Egyelőre a szokásos egységrendszert használjuk.
31 Figyelembe véve a sugárzási korrekciókat, az elektron mágneses momentuma is tartalmaz egy igen kicsiny anomális részt.
IV. FEJEZET RÉSZECSKE MOZGÁSA KÜLSő TÉRBEN
4.104. egyenlet - (41,4)
Átlagoljuk ezt az operátorkifejezést egy adott pálya mentén haladó hullámcsomagra. Ez a művelet a spinnek az átlagértékkel, a vektornak a függvénnyel (amely a mágneses tér változását írja le pontról pontra a részecske pályamenti mozgása során) való helyettesítését jelenti. Nemrelativisztikus közelítésben (azaz a Pauli-egyenlet keretei között) a részecske nyulgami rendszerében a spin operátora, melynek középértékét a 29. §-ban -vel jelöltük. Így a
4.105. egyenlet - (41,5)
egyenletre jutunk. Ebben a formájában az egyenlet tisztán klasszikus jellegű. A mágneses momentum vektorának a mágneses tér iránya körüli, szögsebességgel történő precesszióját írja le, miközben a momentum nagysága változatlan marad.32
Ugyanebben a nemrelativisztikus esetben a részecske sebessége a
egyenlet szerint változik, azaz a vektor iránya körül sebességgel forog. Ha , akkor , és a szögsebesség egybeesik a vektor forgásának szögsebességével; más szavakkal, a polarizáció vektora állandó szöget zár be a mozgás irányával (alább meglátjuk, hogy ez az eredmény relativisztikus esetben is érvényben marad).
Végezzük most el (41,5) relativisztikus általánosítását. A polarizáció kovariáns leírására a 29. §-ban bevezetett négyesvektort használjuk, a spin mozgásegyenletének a spinnek a részecske sajátideje szerinti deriváltját,
kell meghatároznia.33
A keresett egyenlet alakját már a relativisztikus invariancia követelménye meghatározza, ha figyelembe vesszük, hogy a jobb oldalnak lineárisan és homogén módon kell tartalmaznia az elektromágneses térerősség négyestenzorát -t, az vektort, és mellettük még tartalmazhatja az négyes sebességvektort.
Ezekkel a feltételekkel az egyenlet alakja csak a következő lehet:
4.106. egyenlet - (41,6)
ahol állandó együtthatók. Könnyű belátni, hogy az feltétel és az tenzor antiszimmetrikussága (azaz ) nem teszi lehetővé a fenti követelményeknek megfelelő egyéb alak felírását.
32 Klasszikusan a (41,5) egyenletet közvetlenül a egyenletből kaphatjuk, ahol a rendszer impulzusmomentuma, a mágneses momentuma; a rendszerre ható forgatónyomaték. behelyettesítésével (41,5)-öt kapjuk.
33 Az alábbiakban újra a egységrendszert használjuk.
IV. FEJEZET RÉSZECSKE MOZGÁSA KÜLSő TÉRBEN
A határátmenetben ennek az egyenletnek (41,5)-tel kell megegyeznie. Ez esetben
behelyettesítésével
adódik. Ezt (41,5)-tel összehasonlítva: .
meghatározásához vegyük figyelembe, hogy . Ezt az egyenlőséget szerint deriválva és a töltés külső térbeli klasszikus mozgásegyenletét,
(l. II. 23. §) felhasználva, kapjuk az
egyenlőséget. Ezért (41,6)-ot mindkét oldalról -vel szorozva és az egyenlőséget figyelembe véve, majd az közös szorzótényezővel egyszerűsítve,
adódik.
Ezzel a spin mozgásának relativisztikus egyenletére adódó végső alak:
4.107. egyenlet - (41,7)
V. Bargmann , L. Michel , V. Telegdi , 1959).34
Térjünk át az négyesvektorról -ra, amely a részecske polarizációját közvetlenül jellemzi annak
„pillanatnyi” nyugalmi rendszerében; és között (29,7)…(29,9) ad kapcsolatot. Azonnal megjegyezzük:
(41,7)-ből automatikusan következik, hogy , tehát . Minthogy ,
így ennek természetes jelentése: a részecske mozgása során a polarizáció abszolút nagysága változatlan marad.
A polarizáció változását meghatározó egyenletet (41,7)-ből háromdimenziós jelölésekre áttérve kapjuk meg.
Ennek térszerű komponenseit írjuk ki:
Ebbe behelyettesítjük (29,9)-et, figyelembe véve a differenciálásnál a egyenlőségeket
és a
4.108. egyenlet - (41,8)
34 Hasonló egyenletet, más alakban elsőként Ja. I. Frenkel vezetett be (1926).
IV. FEJEZET RÉSZECSKE MOZGÁSA KÜLSő TÉRBEN
mozgásegyenleteket. Elemi, bár elég hosszú számítás a következő egyenletre vezet:35
4.109. egyenlet - (41,9)
A polarizáció térbeli irányának abszolút változása kevésbé érdekes, mint a mozgás irányához viszonyított változás. Ezért -t a
4.110. egyenlet - (41,10)
alakban írjuk (ahol , és a vetületre írjuk fel a mozgásegyenletet. A számítást (41,8)—(41,9) segítségével elvégezve, a következő eredményre jutunk:36
4.111. egyenlet - (41,11)
Példák sorát mutatjuk be a szakasz feladatai között a kapott egyenletek alkalmazására. Itt csak azt jegyezzük meg, hogy a tisztán mágneses térben lejátszódó mozgás során az anomális mágneses momentum nélküli részecske polarizációja állandó szöget zár be a sebességgel ( ). Így ez az eredmény, melyet fentebb a nemrelativisztikus esetre vezettünk le, teljesen általános jellegű.
Határoljuk jobban körül a kapott egyenletek érvényességi tartományát. A szakasz elején említett feltétel, amely a részecske impulzusának elegendően lassú változását követeli, az és térerősségek nagyságára vonatkozó meghatározott feltétellé alakítható; például a Larmor-sugárnak mágneses térben ( ) elég nagynak kell lennie a részecske hullámhosszához viszonyítva. Emellett, szigorúan véve, a térerősségek nem túl gyors térbeli változásának követelményét is teljesíteni kell: a térnek a kváziklasszikus hullámcsomag méretein belül lassan kell változnia. Így a térerősség lassan változik a részecske hullámhossza ( ), sőt a Compton-hullámhossz37 nagyságrendjébe eső távolságokon.
Egyébként a makroszkopikus terekben való mozgás esetében a terek lassú változásának feltétele nyilvánvalóan teljesül, így csak elegendő kicsiny voltukat kell megkövetelnünk.
A 33. §-ban megadtuk a külső térben mozgó elektron Hamilton-operátorának első relativisztikus korrekcióit.
Elektronra, amely elektromos térben mozog, a közelítő Hamilton-operátor a következő alakú (l. (33,12)]:
4.112. egyenlet - (41,12)
35 Ha bevezetjük, mint gyakran teszik, a töltött részek giromágneses együtthatóját (Landé-faktor) a definíció
szerint, akkor az egyenlet a következő alakot ölti:
36 Valamivel rövidebben megkapható ez az egyenlet, ha (41,7) időkomponensét írjuk ki.
37 Ez utóbbi követelmény annak következménye, hogy a sebességdiszperziónak a hullámcsomagon belül, annak nyugalmi rendszerében -hez képest kicsinynek kell lennie; ellenkező esetben ebben a rendszerben nem lehetne a nemrelativisztikus képleteket használni. Ha a tér túl gyorsan változik, az egyenletekben lényeges kiegészítő tagok léphetnek fel, melyek a tereknek térkoordináták szerinti deriváltjait tartalmazzák.
IV. FEJEZET RÉSZECSKE MOZGÁSA KÜLSő TÉRBEN
ahol -ben gyűjtöttük össze a spint nem tartalmazó tagokat. Esetünkben a tér lassú változása miatt -ben az deriváltjaitól függő tagokat (így pl. -t) el lehet hagyni, hasonlóan a -nel arányos tagot is, amelynek nincs köze a bennünket itt érdeklő effektusokhoz, így (mágneses tér távollétében) a következő
nemrelativisztikus Hamilton-operátorrá redukálódik: .
A (41,12) képletet (41,9)-ből kiindulva is megkaphatjuk, nem utalva közvetlenül a Dirac-egyenletre.
Általánosítása ugyanígy végezhető el a kváziklasszikus esetben anomális mágneses momentummal rendelkező részecskékre is.
A sebességben elsőrendű tagokat megtartva (41,9)-ből az elektromos térben mozgó részecske mozgásegyenlete a következőnek adódik:
Ha megköveteljük, hogy ez az egyenlet kvantummechanikailag a spinoperátornak a Hamilton-operátorral való [((41,3) szerinti] felcseréléséből következzék, akkor könnyen ellenőrizhető, hogy
4.113. egyenlet - (41,13)
írandó Hamilton-operátorként. Ez éppen a keresett összefüggés. esetén visz-szakapjuk (41,12)-t.
Felhívjuk a figyelmet arra, hogy az „normális” mágneses momentum az anomálishoz képest egy felesleges szorzóval jelenik meg (41,13)-ban.38