De usu tabularum et certis applicationibus pag. 512—20 et 569—81 dicetur: at de logarithmis Gaussianis, etiam aliquid dicendum foret, siqui-dem ad nos pervenissent; ex omnibus summi viri operibus desideratis, non-nisi (pag. 384 et 461) citata, et Theoria motus corporum coeíestium adsunt; primae linese theoriae imaginariorum quoque sero pervenerunt, quum iam theoria, quse in hoc tomo habetur, talis qualem concipere poteram, impressa erat.
IV. Coronidis instar (quoad pag. 33) addatur numeratio, cuius
pro-xima origó quidem arabica est, sed a scriptoribus Arabicis quoque
Indis attribuitur; non de signis o, i, . . . , sed de lege ingeniosa
quae-492 CONSPECTUS ARITHMETICAE GENERÁLIS.
ritnr, qua per 10 signa quivis integri / et /, imo et l describi possmit Utcunque vocatus Auctor et sine nomine viget, vigebitque in omnibus calculis.
Romanormn et facere et páti fortia fűit: sed minim est, Graiortint quibus Musa ingenium dederat methodum tani coinplicatam, imperfec-tíimque fuisse ; nempe qui 37 signis, ab 1 incipiendo continuative, non-nisi usque ad 99 999 999 (decadice intelligendo) scribere potcrant • quamvis eorum modo quoque levi additamento, quivis numerus describi potuisset. Nempe i, 2 . . . 9, per literas a, fi . . . , ita 10, 20 . . . 90, 100, 200 . . . , 900, 1000, 2000 . . . . 9000, per literas, et quum non sufficerent, accentis suppositis, aliaque signa denotabant; atque demum 10 000 nempe myrias per M denotabatur; regula verő haec erat, quod post M eorum quae signa particularia denotabant summa, ante M verő (ad laevam) factum in M accipiebatur summse eorum, quse signa particu-laria ante M denotabant; ex gr. (JMa denotabat 20001; at per MM denotari 10000.10000 = 100 000 000, ac post jí/Af adhuc id quod MM — \ M*—\ denotabat, seribi potuisset.
Potuissent quoque et hoc modo, posita lege sequenti, nuraerum quemvis deseribere, et omnia peragere : nempe ubi plura M se invicem exeipiunt, productum eorum intelligatur, et qucevis imago sive ab initio usque ad proximuin M, sive inter duo proxima M fuerit, ut factor proximi M ad dextram reputetur; alioquin autem summa omnium intel-ligatur. M ulta ob defectum cifrarum breviter exprimuntur; ex gr.
MMMaMMfiMa = billioni -+- 100 millionibus-H 20001, =Mi-hMz + -sr2M-\-\.
Simplex et elegáns /ex Indica est sequens :
1. Detur numero cuivis a o incipiendo signum proprium, usque quo libuerit; atque
2. ponatur aliquorsum comma in lineam horizontalem; et
3. quodvis signorum dictorum ponatur ante comma ad laevain, deno-tet id illud, cuius signum est; at
4. si numerus signorum datorum simul cum o fuerit n, qusecunque eorum aequalia se invicem in linea dicta excipiant, valor illius quod ad
SECTIO QUARTA. 493 lsevam est, sit valoris illius quod ad dextram est w-tuplus; valoremque eum quodvis retineat, etsi in quemvis alium locum aliud signum pona-tur; denique
5. tota imago denotet summám omnium eorum, quse per signa parti-cularia, valores a locis (ut saepe et in mundo fit) sortita, denotantur.
Patet hinc
. . . i n , i n . . .
denotare
nempe in i, i denotatur i per notam ante comma, et simul w-ies plus, quam in loco sequenti, ita in 11, denotat nóta prior M-ies plus, quam 1;
ita valor ipsius 2, 2, adeoque ipsius 1, 2 & patet. Est etiam manifesto 1, n i . . . series infinita, cuius summa (pag.
Quod hoc pacto numerus quivis a o incipiendoy post quemvis ul-terius sequens, exprimi possit, patet sic. Denotetur n—1 per m; si in loco ultimo ad dextram ante comma sit signum particulare k, aut zero aut integrum ipso m minorem denotans, poterit in locum ipsius k sig-num sig-numerum uno maiorem denotans poni; si verő m fuerit in eo loco tum ad laevam eundo, aut aliquamdiu signa m se invicem excipient, aut post prius m quod ante comma est, statim aliud sequetur ad laevam;
sit k signum illud quod prima vice non excipit signum rn, et si nullum tale sit, reputetur o pro k. Accedente 1 ad m, fiet n, quod cum ad lsevam prsecedenti m, denotante m.n, facit «2, adeoque id quod 1 loco ad lsevam sequenti denotat, et hoc si et ibi m fuerit, deno-tans m,nz efficit cum eo (« —14-i)«a = «3; et ita porro donec ad k deventum fuerit, et tum augebitur k uno, denotabiturque prseter valorem ipsius k, etiam potentia nova ipsius n quae prodiit, relictis cifris in locis omnibus ad dextram.
Quod etiam ad legem numerationis Grsecorum, quje tam facile ex-tendi potuisset, applicari manifestum est; dummodo pro potentiis ipsius 10 potentia ipsius M ponantur, subibit nempe ipsius n— 1 vicém M— I, etsi plura loca occupet. Ex. gr. yro y=M—i, exyM'yJMyMy, (per quod yM3~\-yMz-+yM-i-y intelligendum), accedente I fiet aM*f id est M\
494 CONSPBCTUS ARITHMETICAE GKNKRALIS.
Patet etiam, ipsuin i postpositis quotvis cifris esse > LM», quod in locuin cuiusvis cifrx* ;// posito, per ista m denotatur; atque quivis nu-merus non >;;/ ponatur in locuin ipsius i, ad iiumeros abinde uno crescentes denotandos, imagines praecedentes eodein ordine quo antea prodierunt, sequi.
In nostra nuineratione n deeem est; sed n quidcunque denotare potcst, nempe integrmn quenivís (imo et ad fractos extcudi pussct).
Elegáns est Leibnitii ingeniosa similitudo in Xeniis ad Principem missis, a Dyadica nuineratione nonnisi per duo signa nempe l et o petita:
quod nimirum sic Deus unus ex nihilo infinitum composuerit; ac veluti imagines dyadicíe imperito confusae videntur, clara; peritis, ita confusio mundi mortalibus apparens, spiritibus superioribus sapientissimus ordo est.
Certe dyadica ista, nisi ad numeros inaiores expriinendos, plures notas requireret, se quoad omnes operationes valde commendaret; nempe nullius tabulíe PythagoricEe egeremus, et operationes omnes perfaciles essent, si prius dua; tantum, tum summa harum cura tertia linea, et semper nova summa sequenti linese adderetur, ut omnis molestia evite-tur in additione plurium línearum.
Si verő n ex. gr. viginti esset: tum omnino ingentes numeri breviter describerentur; tanto fortius, si « = 37 esset, (nempe 37 signa ut apud Greecos assumerentur); at pro n = 20 tabulam Pythagoricain pauci ad-discerent, quum pro hodiernis 36 productis 171 addiscenda essent. No-tandum, tabulam per diagonalem in duas partes Eequales dispesci.
In decadica verő qua utimur, 10 dicitur dccem, io1 autem centum et io3 dicitur tnille, et io6 nempe io3. ioJ id est millies mille dicitur millió, patetque 1 cum b1 cifris, millionis j'-tam potentiam denotare.
Si comma ad dextram pláne ad finem sit, omitti íuti H- in initio) sólet, parshnonise gratia; si verő comma non ad finem fuerit, expressio fractio decimális dici sólet. Est nempe Eequalis fractioni cominuní, cuius numerator est ipsa imago decadica commate ad finem posito, aut deleto, denominator autem est 1 tot cifris postpositis, quot notEe post comma erant, quas etiam notae dectmales audiunt. Nam ex. gr.
SECTIO QUARTA. 4 9 5
63
(Si = -
3- +
J- + -
i- = -
3--h-5°- + - I - = ^ 5 '
! S = 6,
+J L
J> J 1 10 100 100 100 100 100 ó 100
Conversim quoque quaevis fractio, cuius numerator integer et deno-minator est 1 cum cifrarum numero JV, est numeratori, factis in eo numero TV notis decimalibus, aequalis; nam hoc tali fractioni sequalis est.
Patet etiam, fractionis decimalis valorem non mutari, quotcunque cifrae ad dextram postponantur: nam numero notarum decimalium aucto, tot cífras accedent numeratori quam denominatori, adeoque per idem multiplicabuntur.
Si verő comma mutet locum, promotum ad dextram, vei Icevam, locorum numero /* : in casu prioré multiplicabitur valor, in posteriore dividetur, per 10''. Nam si comma ad dextram migret ju locis, totidem notis decimalibus pauciores manebunt, adeoque in denominatore post 1 tot nempe ju cifris pauciores erunt, manente numeratore; itaque valor io"-ies maior evadet. Si autem comma ad lsevam fi locis mígret, toti-dem notis decimalibus plures erunt, adeoque denominatori accedent fi cifras; quapropter valor io''-ies minor érit. Ex. gr. ex 2 = 2, =0002, pro (« = 3 fiet 0,002 = p , et ex 2,3 fiet duobus locis promoto com-mate
230, = 2,3.100 = -4.100 = 230.
CONSPECTUS ARITHMETICAE GENERÁLIS.
c.
DE OPERATIONIBUS VULGARIBUS DECADICIS.