ad (4OT-4-i)-tum cum puncto (1) coincidens est, fiunt intervalla numero
468 CONSPECTUS ARITHMETICAE GENERÁLIS.
cuius dimidium est numerus punctorum ubi T=oy et alterum dimidium est numerus punctorum ubi U=o.
Sed neque plura quam 2/n puncta sünt in peripheria eadem, ubi 7 ' = o fit, nec plura, ubi Cf=o est.
Denotentur enim puncta, ubi T aut C/fiunt = 0 , per numeros absque parenthesi; nempe punctum, ubi 7 " = o fit, inter (%m — n et íii, dicatur punctum o; ubi U~o fit inter fi) et (3^, dicatur punctum 1; ubi T=o fit inter \y et (51, dicatur punctum 2; porro ubi (7=o fit inter 151 et (7), dicatur punctum 3, et ita porro. Patet punctum quodvis numero pari signatum esse linese primse, impari signatum linece secundse; dica-tur íllud brevitatis gratia punctum par, hoc verő punctum impar, et dicantur puncta similia quae in diversis circuüs eodem numero paren-thesi clauso gaudent, ita quse numero parenparen-thesi destituto denotantur.
Si iam in eadem peripheria plura quam 2tn puncta darentur, ubi T=o, tum alicubi, ubi punctum par est, in arcú inter prascedentem et sequentem numerum imparem parenthesi clausum comprehenso ad minimum duo puncta esse deberent, ubi T=O] quod fieri nequít. Con-cipiantur enim ordinatae T ab extremitate crescentís arcus z ex. gr. a puncto (3) usque ad (51, fiatque prima vice T=ot pro z in puncto t>
terminato; erít, si ante (51 detur adhuc punctum ubi 7"—o est, aut post b aliquamdiu T=o, aut in aliquo puncto e érit post b prima vice T=o; neutrum verő esse potest; nam statim patebit post b non esse contínuo aliquamdiu 7 ^ = 0 ; crescet igitur aliquamdiu T a o, et deinum decrescet, dum ad e item 7 " = o fiet; cogitetur nempe punctum in arcú be porro motum, secuni ferre perpendiculum, in quo punctum ex b inci-piendo semper in extremitatem ordinatas T veniat, usquequo in c desi-nat; punctum hoc in perpendiculo moto prius ex b porro, tum eundo ad c retrorsum movebitur; in puncto perpendiculi eodem manere nus-quam potest, ut statim patebit. Itaque si ubi prima vice incipiet retror-sum moveri, abinde usque ad e semper retrorretror-sum eat, ibi T maximum habét, ubi punctum retrorsum moveri ccepit; si verő revertatur, prius-quam in e pervenit, ubi prima vice revertitur, ibi T minimo gaudet.
Ut verő hoc fieri possit, aut ut T aliquamdiu idem maneat, deberet
SECTIO TERTIA. 4 6 9
esse el7 = o (pag. 345.}; quod pro z inter puncta dicta terminato fieri nequit. Nam pro quovis v est d sin. rz = r i cos. vz, et dún.vz (quoad ?*) est cos.7^, at Wsin.yz {quoad z) est ^COS.KS; itaque dT (quoad #) pro quovis ^? constante, érit, si in expressione ipsius T superiore pro ter-mino primo intra parenthesim ponatur mR cos. mz, pro secundo autem
itaque m tanquam factor communis extra parenthesim poni poterit, eruntque
—j^—y — j ^ - y fractiones verae; adeoque ubique inter (81*4-3} e t
(8/4-5) v al °r negativus érit, nam ibi cos. mz est negativus et > | / | ; ita inter puncta (8/4-7) et (8/4-9) valor positivus est, ut supra, quum cos. mz ibi positivus et *> y \ sit. Itaque «17* in his intervallis nequit
= 0 esse, adeoque in quovis intervallorum eorundem unum etquidem soíum punctum datur, ubi T=Q.
Idem de U eodem modo patet; nempe el£7pro z inter (8/4-1} et (8/4-3) terminato ubique negatívum et inter (8/4-5) e t (8*-1-7) ubique positivum est; quum el cos. mz (quoad z) sít = — m sin. mz, quod in prioré intervallo negatívum, in posteriore verő positivum, et in utroque est
5. Patet in peripheriis omnium R puncta (1) in recta centrum pe-tente esse, uti puncta qusevis eodem numero impari parenthesi clauso signata. Ita rectam ab utrinque infinitam ramum unum linea? primae pro quovis m esse manifestum est; nam pro # = 0 aut ,g= 4 O T y fit
sin. z = o = sin. 2z = sin. (m — l)z — sin. mz = £3*;
adeoque pro quovis valore ipsius r (a o in 00) ad puncta (o) et {4/») fit T=o; estque punctum 0 cum (0} coincidens inter impares ( 8 / + 7 ) et ( 8 Í - H 9 \ punctum {<\m) verő cum puncto 2m coincidit, ca-ditque inter impares (81 + 3) et (81H-5) pro m impari = 2« — 1 et i = n — 1, pro m pari =21/ autem et i=^v — 1 cadit inter impares (8r-+-7) et <8iH-9); nempe 4W —1 est impar 2m-tus, et pro w=2«—1, ex
47O CONSPECTUS ARITHMETICAE GENERÁLIS.
— r = 8** -f- 3, 8« — 4 — 4 = 81 fit, adeoque t = n — 1; ita pro m = 2v, ex
— 1 = 8« H- 7, 87/ — 8 = 8«
fit, adeoque i=v — 1. Estque post secundum numerum imparem nempe inter (3) et (5) punctum lineEe primse numero 2 fabsque paranthesi) sig-natum: ita post 2ff/-tum imparem sequitur punctum 2m lineas primas.
6. Sed etiam quivis circulus A sit radio R maiore tam ipso quam ipso 1, centro c descriptus, sí complexus omnis puncti numero parenthesi clauso eodem signati, numero eodem romano denotetur, reprsesentent (3) et 15) quosvis numeros impares proximos, inter quos T=o fit; inter rectas III et V ramus unus linese primse ex infinito veniens, circulum A ingredietur, atque ex eo via continua alibi, adeoque in puncto pari, quum T non alibi = 0 esse queat, egrediens abit item in infinitum. Nam in quovis arcú centri c inter III et V comprehenso datur punctum lineEe primse ; dicatur y complexus omnis eiusmodi puncti;
manifesto etiam intra peripheríam A manebit aliquamdiu . / ? [ > £ / 2 et simul £>i, adeoque inter I I I et V etiam y intra peripheriam A pro-tendetur.
Sed consideretur in cuiusvis A peripheria 7* puncti (31, quod dica-tur i, et T puncti (5), quod dicadica-tur f; érit illud T positivum, hoc verő negatívum. Itaque í et E in plagas diversas superficiei primse cadunt;
consequenter ex t nulla via puncti usque ad f datur, nisi quae per super-ficiem primam transeat. Atque hinc non y solum interruptum esse nequit;
sed etiam f, piano P et superficiei prímás communi continuo, circulum A post 131 ingrediente, atque post (51 alicubi exeunte, seclusuin ab t esse necesse est; namque secus punctum in piano P ex t in P, ex una plaga superficiei primas quaquaversum infinitae in alteram venire posset, absque eo, ut per eam transeat. Exire autem continuum dictuin ex A nonnisi per punctum par peripherise A potest, quia T nonnisi ibi o fit; atque si punctum illud par 2v dicatur, de y dictum et ad complexura omnis puncti
SECTIO TERTIA. 471 2v applicari poterit; at sufficit ad scopum, quodvis punctum par cum aliquo puncto pari peripherias eiusdem iunctum esse; atque etiam demonstra-tione eadem ad U applicata, quodvis punctum impar cum numero aliquo impari peripheria? eiusdem iunctum esse.
Nimirum tum linese primae cum secunda intersectionem aliquam dari pluribus modis evincitur. Ex. gr. suppositio nullám intersectionem dari necessario dari aliquam ponit; quod simul constare nequit. Consequen-ter nullám dari falsum est, id est dari aliquam constat. Si nimirum sup-ponatur nullám dari, punctum I cum nullo puncto ultra axem ab sito iunctum est; nam I est punctum lineas secundae, recta ab autem est pars lineEe primse, itaque si i in peripheria radii ac, pro ac ^>SV 2 posíto, cum puncto rí iunctum sit, nempe cum aliquo puncto impari iunctum esse debet; érit numerus rí<C2m, nempe ad b est numerus par 2tn, et rí impar ante 2m inter 2 et 27« cadere debet; inter o et 1 ac 1 et 2 enim numerus nec par, nec impar datur, 2 verő est par, atque si rí ultra 2tn esset, ab per I#K', id est ramura qui ab 1 usque ad rí est, secaretur. Dicatur porro «" punctum par, cum quo punctum 2 iunctum est; érit pariter rí' <C rí, nempe punctum par «" cadet post 3 et ante rí; quia si retrorsum Ín o caderet, o#2 et 1,«' se mutuo se-carent, ita si post rí caderet, I„K' et 2»«" se invicem secarent. Sit porro rí" punctum impar cum quo 3 iunctum est; cadet rí" ultra 4 et ante
«"; nam cum impari quod antea fűit (modo cum 1) iungi 3 nequit, quia tum 2#«" et 3#i secarent se invicem, ita si rí" ultra «" caderet, 2»w"
et 3»»"' secarent se invicem. Sit porro «IV punctum par cum 4 iunctum ; cadet niV ultra 5 et ante rí" ob eandem rationem. Sit item KV punctum impar cum 5 iunctum; cadet «v ultra 6 et ante «1V; quia si retrorsum iungeretur cum aliquo impari, sive 1 sive 3, 5*1 vei 5,3 et 4,«l v seca-rent se invicem y. Continuandoque hoc, usquequo trés numeri h} A-hi, h-i-2 supersint ante proximum «, versus a, quod cum accentorum nu-mero certo prodiit, punctum illud / , cum quo h iunctum érit, ultra dictum n cadere non poterit; nam tum h%p et ramus, qui ab n usque ad punctum anterius est, cum quo iungitur, secarent se invicem ; itaque h necessario cum h-\-2 iungetur; atque h1tk-\-2 et ramus qui a h-hí
4 72 CONSPECTUS ARITHMETICAE GENERÁLIS.