4 ° 4 CONSPECTUS ARITHMETICAE GBNBRAUI

ultimo multiplicandi, prodeant, nempe superior per tx inferior per -multiplicando, in utroque casu, sivc ~ sive 4: occurrat in facto ultiina vice, a termino seriéi superioris ad ultimuin inferioris unus transitus érit, in casu primo a negativo ad positivmn, in altcro casu a positivo ad ne-gatívum. Consequenter semper ubi per sequationem siinplicem positivam multiplicatur, factum ad miniinum unum transitum acquirit.

Quod b) attinet, qualiacunque signa multiplicandi se in vicc m excipiant, multiplicando per aequationem siinplicem negativam, ex. gr.

* + 2 = o, erunt signa multiplicatoris -+- -*-, adeoque ex. gr. sebema sequens erít:

Nempe series signorum mulliplicandi ipsa est series facti tam superior qaam inferior, tenninis huius uno ad dextram protrusis.

Ubi in facto ~ aut l}l est, in casu primo coefficiens negativus, in al-tero positivus est; ita termini ultiini inferioris, qui solus coefficiens ipsius x^a est, signuin quod ibidem est inanet; ubi aulem ^ aut ± est, a inagnitudine coefficientium pendet, quodnam signuin terminus is nancis-catur.

Sed uti Segne/ ingeniose animadvertit, signum in facto raanet id, quod in serié superiore est, donec post ~ tale ± aut post ;£ tale =f, aut post =F tale ± aut post ± tale =F sequatur, ut si pro casu primo in ± , pro secundo in =F, pro tertio in ±, pro quarto in ^ coefficiens inferior sit inaior superiore, atque pro casu tertio in =F, quod ante ± est, et pro casu quarto in ± , qu o d a n t e + ^{c s t}- koefficiens superior sit inaior inferiore ; manifesto enim in his solis casibus fit Jescensus a signo seriéi superioris ad sequentem inferioris, uti se he mai a h«c exhibenL

_ \ _ -t-XH- -H^— — X

"t-Patet verő in omnibus his casibos descensum aucceasionem parere, a - ad - , vei a -t- ad •+• eundo.

SKCT1O TERTIA. 405

Post signum autetn, ad quod descensuin est, series signorum inferius pláne illa sequitur, qiue superius post signum, a quo descensum est; ad-hucdum itaque numerus successionum uno auctus est; inanet verő ín facto signum seriéi inferioris abinde, donec post H tale ±, aut post _+_ tale ^F, aut post =F tale ± vei inverse sequatur, nt pro casu primo in ± ) pro secundo in + , pro tertio in + , pro quarto in T coefficiens superior maior sit inferiore, etquidem ita ut pro casu tertio in =P, pro quarto in ± coefficiens inferior sit maior superiore; in his enhn casibus fiet ascensus a Segnero dictus, nempe a signo seriéi inferioris ad

sig-nuin superioris ascendendum érit; uti schemata híec exhibent:

Ubi item patet in duobus casibus prioribus unam successionem, quae in inferiore, adeoque in inultiplicando quoque est, destrui; quum in casu primo pro — — fiat — -h, in secundo pro -h -+- veniat -+- —;

in duobus posterioribus verő transitum mutari Ín successionem.

Itaque si prius accesserit una successio, hic una quse in multipli-cando adfuit, destrui potest, usque ad signum, ad quod accensum est.

Post ascensum eadem signorum series, qu£e in multiplicando a signo respondenti est, sequitur; atque dicta denuo repetuntur; patetque quot-vis descensus fuerint, totidem successiones oriri tales, quae in inultipli-cando non erant, at verő per quemvis ascensum posse successionem aliquam, quae in multiplicando adest, destrui.

Interim descensuum numerus in omni casu numerum ascensuum uno superat; nam aut ascensus nullus est, aut dalur ultimus; si nullus sit, tum si alius descensus non detur, saltem ab ultimo signo superioris ad ultimum inferioris illi íequale descendendo una successio nova producitur, quse in multiplicando non fűit; si detur ascensus, sive unus sive plures fuerint, érit ultimus, nempe ultra quem alius non datur; atque tum is aut ad signum ultimum seriéi superioris ascendet, aut ad aliquem ante ultimum ; in casu posteriore manebunt signa seriéi superioris sequentia usque ad ultimum, et in utroque casu accedet nova successio, descen-dendo ab ultimo signo superioris ad ultimum inferioris illi asquale.

CONSPECTUS ARITHMETICAE GENERÁLIS.

Unde si in multiplicando fuerint successiones numero N> et in facto descensuum numerus sit ft, ascensuum numerus érit fi—i; atque etsi quovis ascensu TV uno minor fieret, adeoque ex N fieret N— f/3 —i),

idem per numerum descensuum fieret N— (/? — i)-h/? = JV-hi. Itaque semper ubi nova radix negativa infertur, multiplicatione per Eequationem simplicem negatívum factum ad minimum unam successionem acquirit.

Atque hinc per superius dicta assertum patet.

Ex. gr. x³-hx* — ioar-t- 8 unam successionem et duos transitus, atque duas radices positivas, i et 2, ac unam negativam, —4 habét;

y³— y² — iqy — 8 verő uno transitu et duabus successionibus gaudens, unam positivam radicem, 4 et duas negativas, — 1 et —2 habét. Nempe radices posterioFÍs sünt radicibus prioris pláne oppositae; quum substi-tuto (pag. 393) —y ipsi x, fiat

et dividendo per —i, ut potentia suprema a signo — liberetur, érit yl yt— lOy — 8 = 0.

cuius radix y est opposita radici prioris, nempe y= — x. Si exponens potentise supremse par sit, tum termini ad exponentes pares manifesto manent, et tantum termini, in quibus exponentes impares sünt, mutantur in opposita; ubi verő exponens supremus impar est, tantum termini in quibus exponens par est, haud excepto o, mutantur in opposita, ut radices novae aequationis priorum oppositae reddantur. Ex. gr.

— $x* — habét radices 1,2—4,-5, ^{e t} radices ipsius

x* _ 6#³ — $x^x H- 42^ H- 40

sünt — i^f — 2, 4 ac 5« .

Per príecedentia igitur si radices omnes reales sint, quot sínt posi-tivae et negativa?, dignoscitur; observando interim, quod si quis ter-minus desit, o tam + quam - accipi possit; et si per hoc numerus

SECTIO TERTIA. 407 radicum positivarum et negativarum diverso modo indicaretur, radicem imaginariam adesse constet.

11. Si radix commensurabilis sit, illáin numerum integrum (per pag.

400), et factorem termini ultimi (per pag. 401) esse constat. Itaque inter factores termini ultimi quaerendus est, qui functionem f(x) = o reddat, si is in ea ipsi x ubique substituatur; uti in exemplo proximo, terminus ultimus est 40, et radices, quum omnes commensurabiles sint, e factori-bus integris ipsius 40 sünt.

Si taraen terminus ultimus t nimis magnus sít, multisque factoribus gaudeat, facile poterit íper pag. 394) Eequatio, substituto y~\-a ipsi x in f{x), in talem transformarí, cuius radici y addendum a est, ut * prodeat;

adeoque e factoribus ipsius t üli tantum tentandi erunt, num radices ipsius f[x) sint, qui subtracto a factores termini ultimi aequationis novae sünt. Saepius sufficit, a = -\-i vei —1 accipere; et si asquationum pro x=y-ha, et x=y'—a transformatarum ultimi dicantur U et u, patet fáctorem k ipsius t radicem ipsius f\x) nonnisi tunc esse posse, si detur ipsius U factor talis y et factor talis y ipsius a, ut k=y-t-a-=y'-~a sit.

Ex. gr. Pro

x* — 4O#³ -+- 595** — 390CW H- 9504 = o,

fit substituendo y-hic ipsi x, sequationis novas terminus ultimus = 4 , cuius i, 2, —i, —2 factores; atque ioH-i, 10-1-2, 10—1 10 — 2 radices Eequationis prioris sünt.

12. Si verő radix reális quidem, sed non sit cum 1 commensura-bilis ; tum qucerantur talia a et b, inter quse radicem cadere oportet;

atque ipsis a et b quanto propius ad se invicem latis, radix inter ea cadens modo dicendo approximetur. Si fia) positivum et f[b) negatívum sit, demonstrabitur paulo inferius, f(x) = o radice reali inter a et b cadenti gaudere; itaque talia a et b a se invicem quo minus differentia reperienda sünt. Substituendo nempe ipsi x pro radice positiva numeros o, 1, 2, . . . et pro radice negativa 0, —i, —2, . . . si ex. gr. sit

f(x) = x

ⁱ

— 3*' —

CONSPECTUS ARITHMETICAE GENERÁLIS.

si sub quemque ponatur valor ipsius /(*) substituto illő numero ipsi * érit

- ^{4 t} - 3 , - 2 , - i , o, i, ², 3, ⁴, ^{S f}

—h 40, 57, 56, 43, 24, 5, - 8 , - 9 , 8,

itaque unam radicem positivam inter 2 et 3, alteram inter 4 et 5, ter-tiam verő negativam inter —3 et —4 cadere constat.

Est autem etiam, ut substituendo numeros ipsi x decrescat aliquamdiu f[x\ et tum item crescat manente signo eodem : ex. gr. sit

f(x) = xi — 2x^z — 21x4-55;

erunt

numeri . . . —2, — 1 , o, 1, 2, 3, 4, . . . valores ipsius /{*) . . . 81, 73, $$, 33, 13, 1, 3, . . .

atque radix positiva érit, si quidem reális fuerit, inter 2 et 3, aut inter 3 et 4; tentandum in tali casu est, addendo ± « < J i in hoc casu ipsi 3, nuin _/"f3 4if<íJ^~o; quo in casu 3 ± w eo propius radici érit, quo minus / Í 3 ± w ) érit. Si vero/(3±w) neutiquam tendat ad o, tum radices omnes imaginarise erunt, siquidem/"(,*) abindesigno eodem utrinque crescat sem-per, ab illő termino seriéi tam ad dextram quam ad laevam eundo. In hoc quidem casu, pro & = Y ^{e s}*

^ (

³

"

^h

y )

⁼

~ T

^;

adeoque radix inter 3 + y et ^-^\±-^ ^{e s t t}

Omnía haec autem illustrantur, si x tanquam abscissa et f{x\=y ordinata abscissse x respondens consideretur, et quseratur tale c ut

f(c)=y = o

sit; atque ad ductum linea; per extremitates ordinatarum descnptae reflectatur, nempe si a fine abscissse a puncto in linea abscissarum lato, donec ex a fiat h ; posito interea /(*) semper reale finituin esse^r tran-sibit linea ex una plaga in alteram per partém abscissse inter fines ipsarum a et b, si fia) positivum et f[b) negatívum sit.

SECT1O TERTIA. 409 13. Ut tamen molestia tot numeros tentandi minuatur; e re est cer-tos nosse, intra quos tentare sufficiat; nec de aliis nisi positivis radi-cibus agere necesse est, quuin aequatio facile -pag. 3931 in talem mute-tur, cuius radtces positivse per —1 multiplicatse, radices negativas prio-ris prsebeant; dicuntur autem limites radicum positivarum duo valores eiusmodi, quoruin unus maior quavis radice íllius aequationis positiva, altér verő ininor quavis radice positiva eiusdem sit.

Si quaevis radix positiva < i fuerit, tum 1 est unus limes. Considere-tur itaque radix positiva unitate maior pro aequatione gradus n.

Sit — M coefficiens negativus maximus, et —JVsit coerBciens termini negativi primi, terminorum omnium ffi-ti, haud numerato primo: érit ter-minus wi-tus = —N xⁿ~^m; et si

accipiatur, pro x positiva et unitate maiore valor ipsius/(x) certo positivus érit.

Nam tum summa terminorum ab m-xo usque ad illum, in quo x° est, etsi omnes Mix 1) _ coefficientes seorsim =—M essent, esset -, si —Mx^{n m}

' x — 1 '

primus, et x exponens ponatur per {pag. 151;; quo si xⁿ maius sit, f\x\ posi-tivum érit, nempe si ipsi x tale a posiposi-tivum substituatur. Fiet verő hoc, si

sit; nam tum pro a > i érit et a —

t^a — atque

{a — \)a^m-'>M\

an—m+i et hinc multiplicando utrinque per — ^ ^ — , ent

a — l quod si fuerit, tanto fortius fiet

BOLYAI. Tenlamen. I.

4 1 0 CONSPECTUS ARITHMETICAE GENERÁLIS.

" ' a — í '

In document x—V-t] ARITHMETICAE GENERÁLIS. (Pldal 33-39)