I. Feladatok 5
7. Teljesen unimoduláris mátrixok 105
8.6. Hálózati szimplex módszer
Egy digráfgyengén összefüggő, ha az irányítást elfelejtve összefüggő gráfot kapunk. A hálózati szimplex módszer egy
%x(v)−δx(v) =bv ∀v∈V −v0 bv egész, akkor van egész optimális megoldás (miért ?).
Bázisnak az élek egy olyan részhalmazát nevezzük, ami irányítatlan ér-telemben feszítő fa. Az egyenletrendszer mátrixának azt a nemszinguláris részmátrixát, amit a fa éleihez tartozó oszlopok adnak, szintén B-vel jelöl-jük. Az ¯xvektort úgy kapjuk, hogy a B−1bvektort kiegészítjük 0 értékekkel a fához nem tartozó éleken. Ha ¯x ≥ 0, akkor a bázis primál megengedett, és ¯xa hozzá tartozó bázismegoldás. Amint az az előadásjegyzetben szerepel, mind ¯x, mind ¯y =cBB−1 könnyen kiszámolható a feszítő fán fölfele illetve lefele lépkedve.
666. Adott egyG= (V1, V2;E) összefüggő páros gráf. Tudjuk, hogy a gráf A incidencia-mátrixa TU (lásd 594. feladat), tehát az Ax=1, x ≥0 rend-szer pontosan akkor megoldható, ha G-nek van teljes párosítása. Mi az A mátrix rangja ? Ha teljes sorrangúvá tesszük, mi egy bázis ? Mikor primál megengedett egy bázis ? (Megoldás)
667. LegyenD= (V, E) gyengén összefüggő irányított gráf,v0∈V, legyen Aaz a mátrix, amit az incidencia-mátrixból kapunk av0-hoz tartozó sor tör-lésével. Tekintsünk egy max{cx: Ax=b, x≥0}alakú feladatot. Nevezzünk egy primál megengedett bázisterősen megengedettnek, ha a feszítő fa összes olyanuvélére, amire xuv = 0,v közelebb van a fában v0-hoz mintu. Van-e mindig erősen megengedett bázis, ha a feladat megoldható ? (Megoldás) 668. A 667. feladatban definiáltuk az erősen megengedett bázist. Mutassuk meg, hogy ha adott egy erősen megengedett bázis, akkor a szimplex-módszer egy lépésében a kilépő élt lehet úgy választani, hogy a következő bázis is erősen megengedett legyen. Mutassuk meg, hogy ezzel a módszerrel egy de-generált báziscserénél (tehát amikor a bázismegoldás nem változik)P
v∈V yv szigorúan csökken. (Megoldás)
8.6. Hálózati szimplex módszer 121 669. A 667. feladatban szereplő hálózati feladatban azx≥0 feltételt cse-réljük le arra, hogyle≤xe≤ueminden eélre, aholle≤ue egész korlátok.
Mutassuk meg, hogy egy bázis tekinthető úgy, mint egyF feszítő fa plusz az E\F éleinek két részre osztása. Mikor primál megengedett egy bázis ? Hogy definiálhatjuk a bázishoz tartozó duális vektort ? Mikor duál megengedett a bázis ? Mi a feltétele annak, hogy megoldható legyen a feladat ?
670. LegyenV ={v1, v2, v3, v4, v5}, és legyenD= (V, E) a teljes irányított gráf V-n, amiben minden él mindkét irányban szerepel. Legyen bv1 = −1, bv5 = 1, ésbv2 =bv3 =bv4 = 0. Az éleken a súlyfüggvény
c(vivj) =−
|i−j|
2
. Az ezekre vonatkozó hálózati feladatot tekintjük, azaz
max{cx: x≥0, %x(v)−δx(v) =bv ∀v∈V}.
a) Tegyünk meg 2 lépést a primál hálózati szimplex módszerrel a {v1v2, v1v3, v1v4, v1v5}
kiindulási bázisból. (A Bland szabálynál az élek lexigrafikus sorrend-ben vannak, azazv1v2, v1v3, v1v4, v1v5, v2v1, stb.)
b) Tegyünk meg 2 lépést a primál hálózati szimplex módszerrel a {v2v1, v3v1, v4v1, v1v5}
kiindulási bázisból, a Bland szabály alkalmazásával.
c) Tegyünk meg 2 lépést a duál hálózati szimplex módszerrel a {v1v2, v5v4, v4v3, v3v2}
kiindulási bázisból.
9. fejezet
Egészértékű programozás
9.1. IP felírás és vágások
671. Fogalmazzuk meg IP feladatként egy gráfban a független pontok maximális számát ! Mi az LP relaxáció duálisa ? (Megoldás)
672. Fogalmazzuk meg IP feladatként egy gráfban a maximális párosítás méretét ! Mi az LP relaxáció duálisa ? (Megoldás)
673. (Halmazfedési feladat) Legyen S egy nemüres alaphalmaz és H egy hipergráfS-en. Legyenρ= min{k: létezikH0 ⊆ Hami fediS-et, és|H0|= k}. Fogalmazzuk megρ-t egy IP feladat optimumaként ! Mi az LP relaxáció duálisa ? (Megoldás)
674. Legyen S egy nemüres alaphalmaz és H egy hipergráf S-en. ρ2 :=
min{k : létezikH0 ⊆ H ami kétszeresen fediS-et és|H0|=k (multiplicitás-sal)}. Fogalmazzuk megρ2-t egy IP feladat optimumaként ! Mi az LP relaxá-ció duálisa ? (A kétszeres fedés azt jelenti, hogy mindens∈S eseténsbenne vanH0 legalább 2 elemében.) (Megoldás)
675.(Halmazpakolási feladat) Legyen S egy nemüres alaphalmaz és Hegy hipergráfS-en. Legyen ν = max{k : létezikH0 ⊆ HmelyreH0 elemei disz-junktak és|H0| = k}. Fogalmazzuk meg ν-t egy IP feladat optimumaként ! Mi az LP relaxáció duálisa ? (Megoldás)
123
124 9. Egészértékű programozás 676. LegyenR⊆Rnegy rács, amit ag1, . . . , gklineárisan független vektorok generálnak, azaz R ezek egész együtthatós kombinációiból áll. Írjuk fel a max{cx: Ax≤b, x∈R}feladatot egészértékű programozási feladatként.
(Megoldás)
677.(Szimmetrikus utazó ügynök feladat) LegyenG = (V, E) irányítatlan gráf, és c : E → R+ költségfüggvény. Írjuk fel egészértékű programozási feladatként a minimális költségű Hamilton-kör megkeresését. (Megoldás) 678.* Írjuk fel a szimmetrikus utazó ügynök feladatot (lásd 677. feladat) a gráf méretében polinomiális méretű egészértékű programozási feladatként.
(Megoldás)
679.* (Díjgyűjtõ utazó ügynök feladat) A szimmetrikus utazó ügynök fel-adat általánosítása a Díjgyűjtő Utazó Ügynök felfel-adat. Adottncsúcs, minden (i, j) csúcspárnak adott a c(i, j) utiköltsége (feltesszük, hogy erre teljesül a háromszög-egyenlőtlenség), és minden i csúcsnak adott egy pi értéke. Az ügynök az 1. csúcsból indul, és egy kört tesz meg, de nem feltétlenül kell az összes csúcsot érintenie. Az ügynök bevétele a körön lévő csúcsok értékeinek az összege, kiadása pedig a bejárt élek utiköltségeinek összege. A cél a pro-fit maximalizálása. Írjuk fel ezt a feladatot egészértékű lineáris programozási feladatként ! (Megoldás)
680. Legyenek P1 ={x ∈ Rn : A1x ≤b1}, P2 ={x ∈ Rn : A2x ≤b2}, . . .,Pk ={x∈Rn :Akx≤bk} korlátos poliéderek. Írjuk fel vegyes lineáris programozási feladatként a következőt :
max{cx:x∈P1∪P2∪ · · · ∪Pk}.
(Megoldás)
681.* Írjuk fel vegyes programozási feladatként a következőt : max
n
X
j=1
fj(xj)
lj≤xj≤uj (j = 1, . . . , n) Ax≤b,
aholfj szakaszonként lineáris függvény (j= 1, . . . , n). (Megoldás)
9.1. IP felírás és vágások 125 682.* Adottmgép ésnmunka. Minden munkát egy gépen kell megszakítás nélkül végezni, de mindegy hogy melyiken. Minden gép egyszerre csak egy munkát tud végezni. Aj-edik munkát legkorábban az sj időpontban kezd-hetjük, legkésőbb a tj időpontban be kell fejeznünk, és elvégzési ideje aj. Tegyük fel, hogy azsj, tj, aj értékek egészek. Írjuk fel a feladatot egészértékű programozási feladatként, ha célunk minél előbb végezni az összes munkával.
(Megoldás)
683.* Írjuk fel egészértékű lineáris programozási modellel a következő fel-adatot. Adottntárgy, mindegyiket 3 gépen kell megmunkálni : először az első gépen, utána a másodikon, utána a harmadikon. Azi-edik tárgy megmunká-lása aj-edik gépentij időt vesz igénybe, és nem lehet megszakítani. Minden gép egyszerre csak egy tárgyat tud megmunkálni. A cél a minél hamarabbi befejezése az összes munkának. (Megoldás)
684. Egy befektető m különböző befektetési lehetőség közül választhat n egymás utáni időperiódusban. Az i-edik befektetésbe a j-edik periódusban beszállnidijforintba kerül (minden befektetési lehetőségbe legfeljebb egyszer lehet beszállni). Adottak mégaij (i∈ {1, . . . , m}, j∈ {1, . . . , n}) számok ; ha azi-edik befektetésbe a t-edik periódusban szállunk be, akkor mindenj > t periódus elején van aij bevételünk ebből a befektetésből. Kezdetben a be-fektetőnekB forintja van ; természetesen a későbbi bevételeit is befektetheti.
Írjuk fel az egészértékű lineáris programozási modellt, ha a cél a nettó jelen-értékének maximalizálása, és a kamatlábr. A nettó jelenérték kiszámolása :
n
X
j=1
Cj
(1 +r)j−1
aholCj a pénzmozgás (bevétel mínusz kiadás) azj-edik időszakban.
685. Írjuk fel egészértékű lineáris programozási modellel a következő fel-adatot. Egy vállalatnak van müzlete (u1, . . . , um), ezekhez akar raktárakat létesíteni. A raktáraknlehetséges helyen épülhetnek :v1, . . . , vn. Ha avj he-lyen épül raktár, az kétféle lehet : vagy 10 egység kapacitású (építési költség fj1) vagy vagy 20 egység kapacitású (építési költségfj2). Azuiüzlet igényedi egység, ezt akár több raktárból is kielégíthetjük (de csak egész egységenként).
Ha azonban azui üzletbe több mint 1 raktárból szállítunk, azgi extra költ-séget jelent (az mindegy, hogy mennyivel több mint 1 raktárból). Egységnyi áru szállítási költségevj-bőlui-becij. A cél az összköltség minimalizálása.
686. A http://www.cs.elte.hu/~tkiraly/students/pk1.mps linken el-érhető fájl egy vegyes programozási feladatot tartalmaz. Oldjuk meg ezt a
126 9. Egészértékű programozás feladatot valamilyen szoftverrel. Mi az optimumérték ? Mi az optimumérték, ha az x8, x9, . . . , x49 változókra követelünk egészértékűséget ? Mi az LP re-laxált optimumértéke ? Mi az LP rere-laxált optimumértéke, ha a célfüggvényt x1+x6+x8+x52+x53-ra módosítjuk ?
Az MPS formátumról ismertető :http://lpsolve.sourceforge.net/5.
5/mps-format.htm. (Megoldás)
687. Költözéskor szeretnénk n darab tárgyat, amiknek a mérete rendre ai, . . . , an, egy Qkapacitású teherautóval elszállítani. A tárgyakat azonban először dobozokba kell pakolni (egy dobozba több tárgyat is lehet). Ren-dendelkezésre áll m darab doboz, a méreteik rendre b1, . . . , bm. Egy adott dobozba bepakolt tárgyak méreteinek összege legfeljebb annyi lehet, mint a doboz mérete. Természetesen nem muszáj az összes dobozt felhasználni.
Hányat kell fordulnunk a teherautóval ? Írjuk fel egészértékű modellt a fel-adatra a GNU MathProg nyelven (http://lpsolve.sourceforge.net/5.
5/MathProg.htm), és oldjuk meg GLPK-val (Windows : http://glpklabw.
sourceforge.net) a következő adatokra :
Q= 20, dobozméretek : 3,5,7,12, mindegyikből 4 db van, tárgy méretek : 1 (4db), 2 (4db), 3 (3db), 6 (3db), 10 (2db). (Megoldás)
688. Tekintsük páratlann-re a következő feladatot : max −xn+1
2x1+· · ·+ 2xn+xn+1=n x∈ {0,1}n+1
Mutassuk meg, hogy az előadáson látott korlátozás és szétválasztás algorit-mus ennél a feladatnál mindenképpen exponenciálisan sok részfeladatot néz meg. (Megoldás)
Mutassuk meg, hogy két optimális bázismegoldás van. Mik azok ? Mik a két optimális bázisnál a Gomory-vágások ? (Megoldás)
690. A 689. feladat mindkét optimális bázisánál minden egyes 1≤j ≤ 6-ra számoljuk ki, hogy milyen értékek között változtathatjuk cj-t (c többi komponensét nem változtatva) úgy, hogy az adott bázis optimális maradjon.
9.2. Dinamikus programozás 127 691. Tekintsük a következő egészértékű programozási feladatot :
maxx1+x2+x3
2x1+x2+ 2x3≤6 2x1+ 6x2+ 6x3≤21
x1, x2, x3≥0 x1, x2, x3∈Z
Oldjuk meg az LP relaxáltat szimplex módszerrel, és az optimális megol-dáshoz tartozó szimplex táblából generáljunk Gomory-vágást. Írjuk fel a Gomory-vágással kiegészített szimplex táblát. (Megoldás)
9.2. Dinamikus programozás
692. Adott egy fa, és minden csúcsának egy nemnegatív súlya. Adjunk dina-mikus programozási algoritmust maximális súlyú stabil csúcshalmaz megta-lálására. (Egy csúcshalmaz stabil, ha nem tartalmaz szomszédos csúcsokat.)
(Megoldás)
693. Adott egyT = (V, E) fa, egy kijelöltr∈V gyökér, és mindenv∈V-re egy cv ∈ R súly. Egygyökeres részfa egy olyan részfájaT-nek, ami tartal-mazza r-et. Egy V0 csúcshalmazú gyökeres részfa súlya P
v∈V0cv. Adjunk dinamikus programozási algoritmust, amiO(|V|) lépésben megtalálja a ma-ximális súlyú gyökeres részfát (összeadás és kivonás 1 lépésnek számít).
694. Az n pontú összefüggő gráf a szomszédsági mátrixával adott. A gráf élei kétféle színűek, minden élhez adott, hogy a színe kék vagy zöld. Adott még egy s csúcs a gráfban és egy K egész szám. Adjunk algoritmust, ami O(Kn2) lépésben eldönti, hogy azs csúcsból mely gráfbeli csúcsokba vezet olyan élsorozat (nem feltétlenül út), mely pontosan K élből áll és melyben nincsen két egyforma színű él közvetlenül egymás után !
695. Egy szövegszerkesztő program egy dokumentumot oldalakra akar osz-tani. A dokumentum n darab egymás utáni elemből (szavakból, ábrákból) áll. Minden 1≤i≤j≤n-re adott hogy azi-edik elemmel kezdődő ésj-edik elemmel végződő oldal mennyire szép :cij. A dokumentum szépségét úgy kap-juk, hogy összeadjuk az oldalak szépségét. Adjunk dinamikus programozási algoritmust, ami meghatározza a legszebb beosztást. (Megoldás)
128 9. Egészértékű programozás 696. Adott két DNS szekvencia, S1 és S2, amik nem feltétlenül egyforma hosszúak. Mindkét szekvencia az{A, C, G, T}halmazból vett betűk sorozata.
Arra vagyunk kíváncsiak, hogy mennyire nehéz azS1szekvenciát átalakítani azS2 szekvenciává. A megengedett műveletek a következők :
– A szekvenciába valahova beszúrunk egy elemet. Ennek nehézségeα.
– A szekvenciából valamelyik elemet töröljük. Ennek nehézségeβ.
– A szekvenciaj-edik elemét átalakítjukx-rőly-ra, aholx, y∈ {A, C, G, T}. Ennek nehézségecxy, tehát a betűktől függ.
Az átalakítás nehézsége a műveletek nehézségének összege. Adjunk dinamikus programozási algoritmust, ami kiszámolja a legkönnyebb átalakítást.
(Megoldás)
697. (Erőforrás-korlátos legolcsóbb út) Adott egy D = (V, A) irányított gráf, s, t ∈ V csúcsok, minden e ∈ A élre egy ce ∈ Z költség és egy re ∈ Z+ erőforrás-igény, valamint egy B ∈ Z+ erőforrás-korlát. A cél minimális költségű olyans−tút megtalálása, amin az élek erőforrás-igényének összege legfeljebb B. Mutassuk meg, hogy aciklikus digráfban van O(Bn2) futási idejű algoritmus a feladatra.
9.3. Közelítő algoritmusok
698. A minimális lefogó csúcshalmaz feladatra amohó algoritmus a követ-kező : válasszunk ki egy maximális fokú csúcsot, tegyük beU-ba, és töröljük a rá illeszkedő élekkel együtt. Ismételjük ezt amíg van él.
Most tekintsük a következő,fordított mohó algoritmust: válasszunk ki egy minimális fokú csúcsot, tegyük be az összes szomszédjátU-ba, és töröljük őt és a szomszédait is a gráfból.
a) Mutassunk példát, ahol a fordított mohó jobb mint a mohó, és olyat is, ahol a mohó a jobb.
b) Mutassuk meg, hogy se a mohó, se a fordított mohó algoritmus nem 2-közelítő. (Megoldás)
699. Mutassuk meg, hogy a 3-reguláris gráfok osztályában a (698. feladatban definiált) mohó algoritmus is és a fordított mohó algoritmus is 2-nél jobb közelítést ad a minimális lefogó csúcshalmaz feladatra, azaz létezik α < 2, hogy az algoritmusα-közelítő. (Megoldás)
9.4. Lagrange-relaxáció 129 700. Adott egy G = (V, E) gráf. Készítsünk belőle egy G0 = (V1, V2, E0) páros gráfot a következőképpen. Mindenv∈V csúcsnak megfelel egyv1∈V1
csúcs és egyv2∈V2csúcs. Mindenuv∈Eélnek két él felel meg az új gráfban : u1v2 ésv1u2.
a) Mit tudunk mondaniG0-ben a minimális súlyú csúcsfedés feladat LP relaxáltjának bázismegoldásairól ?
b) Mi következik ebből a G-re vonatkozó minimális súlyú csúcsfedés fel-adat LP relaxáltjának bázismegoldásaira ? (Megoldás)
701.(Metrikus Steiner fa) Aznpontú teljes gráf élein adott egyc nemnega-tív költségfüggvény, ami kielégíti a háromszög-egyenlőtlenséget. Adott továb-bá a csúcsoknak egyU részhalmaza. Steiner fának nevezünk egy olyan fát, aminek csúcshalmaza tartalmazza U-t. Mutassunk polinom idejű 2-közelítő algoritmust minimális költségű Steiner fa megtalálására. (Megoldás) 702.* Szeretnénkndarab munkát elvégeznimdarab azonos típusú, párhu-zamosan működő gépen. Minden munkához adott a pj megmunkálási idő.
Minden munkát egy gépen, megszakítás nélkül kell végezni. A cél a legkésőbbi befejezési idő minimalizálása. Adjunk 2-közelítő algoritmust a feladatra.
(Megoldás)
703.* Adott egy G = (V, E) irányítatlan gráf, és egy w : E → R+ súly-függvény. Adjunk a maximális súlyú vágás feladatra 2-approximáló mohó algoritmust ! (Megoldás)
9.4. Lagrange-relaxáció
704. Tekintsük az alábbi feladatot : Qx≤p Ax=b z= mincx Ennek Lagrange-relaxáltja :
Qx≤p
L(λ) = min(cx+λ(Ax−b))
130 9. Egészértékű programozás a) Mi a kapcsolatz ésL(λ) között ?
b) Valamelyλ-ra egyxoptimális megoldás az eredeti feladatnak is meg-oldása. Mi mondható mégx-ről ?
c) Most az eredeti feladatban cseréljük ki Ax=b-t Ax≤b-re. Hogyan kell még módosítani a feladatot, hogy továbbra is alsó becslést kap-junk ? Mi a helyzet a b) résszel ?
705. Tekintsük az alábbi hátizsákfeladatot : 3 tárgyunk van, ezek súlyai 2, 3, 1 és értékei rendre 10, 12, 3. A hátizsák teherbírása 4. Írjuk fel a feladatot IP-ként és vegyük a hátizsák teherbírásához tartozó feltétel Lagrange-relaxáltját (vigyázat : a változók egészértékűségét ne relaxáljuk). Oldjuk meg a Lagrange-feladatot (azaz keressük meg a legjobbλ-t).
706. Adott egy G = (V, E) összefüggő irányítatlan gráf c élköltségekkel, valamint egyw kijelölt csúcs. Olyan minimális költségű feszítőfát keresünk, melynekw-beli foka pontosan k. Tegyük fel, hogy a feszítőfák poliéderének ismerjük a leírását :Ax≤b, aholx∈R|E|.
a) Fogalmazzuk meg a feladatot LP feladatként, b) alkalmazzunk Lagrange relaxációt,
c) adjunk kombinatorikus algoritmust olyanλegyüttható megtalálására, melyreL(λ) éppen a keresett optimum. (Megoldás)
707. Tekintsük az előadáson szereplő hosszkorlátos út problémát, és a rela-xált alábbi alakját :
(y, λ)∈R2 λ≥0
∀P:y≤c(P) +λ(d(P)−∆) maxy
Mit csinál a vágósíkos algoritmus ezen a példán ?
10. fejezet
Konvex programozás
Egy C ⊆ Rn halmaz konvex, ha tetszőleges x, y ∈ C és 0 ≤ λ ≤ 1-re λx+ (1−λ)y ∈ C. Azaz : ha egy szakasz két végpontja benne van C-ben, akkor a teljes szakasz benne van.
Azx1, . . . , xk ∈Rnvektorok egykonvex kombinációjaegy olyan vektor, ami előállPk
i=1λixi alakban, ahol 0≤λi≤1 (i= 1, . . . , k) ésPk
i=1λi= 1.
EgyX ⊆ Rn halmaz konvex burkaaz összes olyan vektorból áll, ami X véges sok elemének konvex kombinációja. Jelölése : conv(X). AC halmaz pontosan akkor konvex, haC= conv(C).
Konvex kúpalattRn olyan részhalmazát értjük, ami zárt a nemnegatív számmal való szorzásra és az összeadásra. Egy konvex kúp csúcsos, ha a 0 extremális pontja, ami ekvivalens azzal, hogy nem tartalmaz 0-n átmenő egyenest. Egy K ⊆ Rn konvex kúp polárisa a Kp = {x ∈ Rn : xTy ≤ 0∀y∈K} halmaz.
10.1. Konvex halmazok
708. Konvexek-e az alábbi halmazok :
a) {(x, y)∈R2: 0≤x≤2,(x−3)2+ (y−2)2≤2,2y+x≥6}
b) {(x, y)∈R2: 0≤x≤2π, y≥0, y−sinx≤0, y+ (x−1)2≤2}
c) {(x, y, z)∈R3 : 2x−y+ 3z ≥4, x2+ 4z2 ≤4, x3+ 2x2+y2+y ≤ 7, x, y, z≥0}? (Megoldás)
709.(Carathéodory tétel) Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges X ⊆Rn esetén tetszőlegesx∈conv(X) előáll legfeljebbn+ 1X-beli pont konvex kombiná-ciójaként.
131
132 10. Konvex programozás
710. Mutassuk meg, hogy konvex halmaz belseje és lezártja is konvex.
711. Mutassuk meg, hogy a szimmetrikus valós n ×n-es mátrixok n(n+ 1)/2 dimenziós terében a pozitív szemidefinit mátrixok konvex kúpot alkotnak. (Megoldás)
712. Mutassuk meg, hogy adottA1, . . . , Am, Bszimmetrikus valósn×n-es mátrixokra az{x∈Rm:x1A1+x2A2+· · ·+xmAmB}halmaz konvex.
(AB azt jelenti, hogyB−Apozitív szemidefinit.) (Megoldás)
713. LegyenD ={x∈Rn+1: xn+1 >0}, és definiáljunk egy f :D →Rn függvényt :z ∈ Rn ést > 0-raf(z, t) = zt. Mutassuk meg, hogy tetszőleges C ⊆ D konvex halmazra f(C) is konvex, és tetszőleges C ⊆ Rn konvex halmazraf−1(C) is konvex. (Megoldás)
714.* Mutassuk meg, hogy ha C ⊆ Rn zárt konvex halmaz, és x∗ ∈/ C, akkor létezikw∈Rn, hogywx > wx∗ mindenx∈C-re. (Megoldás) 715. Mutassuk meg, hogy haC⊆Rn konvex halmaz, ésx∗∈/ C, akkor léte-zikw∈Rn nemnulla vektor, hogywx≥wx∗minden x∈C-re. (Megoldás) 716. Mutassuk meg, hogy haC1 ésC2 diszjunkt konvex halmazokRn-ben, akkor létezikw∈Rnnemnulla vektor, hogywx≥wymindenx∈C1, y∈C2 -re. (Megoldás)
717. Mutassuk meg, hogy konvex kúp polárisa is konvex kúp. Igaz-e, hogy (Kp)p=K? (Megoldás)
718. A szimmetrikusn×n-es mátrixok terében definiáljuk a skalárszorzatot a két mátrix szorzatának nyomaként, azazhA, Bi=Pn
i=1
Pn
j=1aijbij. Mi a polárisa a pozitív szemidefinit mátrixok konvex kúpjának (lásd 711. feladat) ?
(Megoldás)
719.* Bizonyítsuk be, hogy haK1, K2, . . . , Km⊆Rn konvex csúcsos kúpok amikreK1∩ · · · ∩Km={0}, akkor léteznekvi ∈Kip vektorok (i= 1, . . . , m), amik nem mind 0-k, dePm
i=1vi= 0. (Megoldás)
10.2. Konvex függvények 133
10.2. Konvex függvények
720. (Jensen egyenlőtlenség) LegyenCkonvex halmaz,f :C→Rkonvex függvény, ésx1, . . . , xk∈C. Mutassuk meg, hogy tetszőlegesλ1, . . . , λk∈R+,
721. Mutassuk meg, hogyRn-ben tetszőleges norma konvex függvény.
722. Mutassuk meg, hogy ha A ∈ Rn×n szimmetrikus mátrix, akkor az f(x) =xTAxfüggvény pontosan akkor konvex, haApozitív szemidefinit.
723. Mutassuk meg, hogy haf1, . . . , fkkonvex függvények aC⊆Rnkonvex halmazon,gkonvex függvényRk-n, ésx≤y eseténg(x)≤g(y), akkor aC-n definiáltx7→g(f1(x), f2(x), . . . , fk(x)) függvény is konvex. (Megoldás) 724. Legyenf konvex függvényRn-en. Mutassuk meg, hogy ha valamilyen β ∈ R esetén az {x ∈ Rn : f(x) ≤β} halmaz nemüres és korlátos, akkor mindenβ esetén korlátos.
725. Adott 0< k < negészekre ésx∈Rn vektorra legyenfk(x) azxvektor k legnagyobb koordinátájának az összege. Mutassuk meg, hogy fk konvex függvény. (Megoldás)
726. Mutassuk meg, hogy a szimmetrikus valósn×n-es mátrixokn(n+ 1)/2 dimenziós terében a maximális sajátérték függvény, azaz f(A) = λmax(A) konvex. (Megoldás)
727. Igazoljuk, hogy mindenntermészetes számra
1 + e
134 10. Konvex programozás
728. Legyenek α, β, γegy háromszög szögei ! Igazoljuk a sinα+ sinβ+ sinγ≤ 3√
732. Bizonyítsuk be, hogy ha g konvex függvény aC konvex halmazon, és g(x)<0 mindenx∈C-re, akkor tetszőlegesp≥1-re az mi az értéke az (1,2,3) pontban. Mi a Hesse-mátrix ? Lehet-e valahol pozitív vagy negatív definit ? (Megoldás)
10.3. Feltételes optimalizálás
EgyC ⊆Rn konvex halmaznak egyx∈C pontban az s∈Rn vektor meg-engedett iránya, ha létezik >0, amire az [x, x+s] szakaszC-ben van.
10.3. Feltételes optimalizálás 135 734. Mik a megengedett irányai
a) az U ={(x, y) ∈ R2 : 2x+y ≤ 4, x+y ≤1} halmaznak a (3,−2) illetve a (2,−3) pontokban ?
b) az U = {(x, y) ∈ R2 : x−y+ 3 ≥ 0,−x2 +y−1 ≥ 0, x, y ≥ 0}
halmaznak a (2,5) illetve az (1,2) pontokban ? (Megoldás) 735. Milyen pparaméter mellett lesz az
y2−px−4y→min x2+y2−4y≤5
x2+y≤5 x+y≥3 x, y≥0
feladatnak a (2,1) pontban optimumpontja ? Használjuk a Karush–Kuhn–
Tucker tételt. (Megoldás)
736. Ellenőrizzük, hogy az alábbi feladatokra teljesül-e a Karush–Kuhn–
Tucker-féle szükséges optimalitási kritérium a megadott pontokban.
a) (x∗, y∗) = (0,−3),
x2+y→min x2+y2≤9
x+y≤1.
b) (x∗, y∗) = (0,0),
x+y→min x2−y≤0 2y+x≤4.
(Megoldás)
737. Mutassuk meg, hogy az alábbi feladat egy Slater-reguláris konvex prog-ramozási feladat. Határozzuk meg az optimális megoldását a Karush–Kuhn–
Tucker optimalitási feltételek segítségével.
y→min, x2+y2≤1, −x+y2≤0, x+y≥0.
(Megoldás)
136 10. Konvex programozás 738. Írjuk fel a Karush–Kuhn–Tucker optimalitási feltételeket, és oldjuk meg a feladatot.
3x+z2→min
−x+y+z≤0
−x−2y+z2≤0 (Megoldás)
739. Ellenőrizzük a Slater regularitást és a Karush–Kuhn–Tucker feltétel teljesülését.
a) y→max, x2+y≤1, x+y≤1 és (x∗, y∗) = (0,1).
b) −x+y→min, x2+y2+2x≤1, |x| ≤1, |y| ≤1 és (x∗, y∗) = (0,−1).
c) y→max, x2+ 3y≤3, 2x+ 3y≤4, x, y≥0 és (x∗, y∗) = (0,1).
(Megoldás)
740. Lehet-e a (0,1) illetve az (1,0) pont optimális a Karush–Kuhn–Tucker-féle szükséges feltétel alapján az alábbi feladatban :
x2+y2−20x−20y→min y≤(x−1)2 x≥0 y≥0?
(Megoldás)
741. A Karush–Kuhn–Tucker tételt használva keressük meg az alábbi hal-maznak a (3,4) ponthoz eső legközelebbi pontját :
U =
(x, y)∈R2:x+y≤5, x+ 2y≤6, x, y≥0 (Megoldás)
742. A Karush–Kuhn–Tucker tételt használva keressük meg az alábbi hal-maznak azu0= (2,4) ponthoz eső legközelebbi pontját :
U =
(x, y)∈R2:x+y≤4, 2x+y≤6, x, y≥0 (Megoldás)
10.3. Feltételes optimalizálás 137 743. Döntsük el, hogy az alábbi feladat Slater-reguláris konvex programozási feladat-e, majd oldjuk meg :
−x−y→min x2+y≤3 x+ 2y≥0 x≥0.
(Megoldás)
744. Döntsük el, hogy az alábbi feladat Slater-reguláris konvex programozási feladat-e, majd oldjuk meg :
x−y→min x+y2≤3 2x+y≥0 y≥0.
(Megoldás)
745. Megengedett irányok módszerével oldjuk meg az alábbi feladatot az u1= (1,1) pontból kiindulva.
x2+y2−6x−10y→min x+y≤6 x2−y≤0 x≥1.
II. rész
Megoldások
139
1. fejezet
Bevezető feladatok
1.1. Skatulya-elv
1.Indirekt tegyük fel, hogy nincs ilyen hónap. Ekkor minden hónapban leg-feljebb 8 ember születhetett. Mivel 12 hónap van, ez összesen maximum 8·12 = 96 embert jelent, ellentmondva a 100 fős létszámnak.
2. Egy erősebb állítást látunk be : azt fogjuk igazolni, hogy a kiválasztott számok közt létezik kettő, melyek összege pontosan 2013.
Állítsuk párba a számokat 1-től 2012-ig a következőképpen : 1−2012,
2−2011, ... 1006−1007.
Ekkor 1006db párt kapunk, és minden párban a szereplő számok összege 2013. Mivel 1007db számot választunk ki, biztos, hogy azok közt szerepel valamelyik pár mindkét tagja.
3.Nem, hiszen 3·7 = 21, 3·9 = 27, vagyis 7 különböző összeget keverhetünk ki hármat véve ezen három számból, de nekünk 8 különböző értékre lenne szükség (3 sor, 3 oszlop, 2 átló).
4. Osszuk fel a sakktábla mezőit 8 skatulyába a következő módon : az első részbe kerülnek a főátló mezői, a következőbe a főátló alatti mezők plusz a bal felső sarok, stb. Ekkor 8 skatulyát kapunk, így bárhogy helyezzük el a 33 bástyát, biztosan lesz olyan skatulya, amelyikbe legalább 5 bástya kerül.
Ezen bástyák pedig nem ütik egymást.
141
142 1. Bevezető feladatok 5.Készítsük el a következő részösszegeket :
s1=a1, s2=a1+a2, ... si=a1+. . .+ai,
... s100=a1+. . .+a100.
Ha valamelyiksiosztható 100-zal, akkor készen vagyunk, így tegyük fel, hogy nem ez a helyzet. Ekkor viszont biztosan van olyan 1≤i < j≤100, melyre si éssj ugyanazt a maradékot adják 100-zal osztva. Ekkor sj−si osztható 100-zal, és ez a különbség könnyen láthatóan néhányak összegeként áll elő.
6. Az említett bejárás nem lehetséges. A ló sötét mezőről mindig világosra lép, és fordítva, így a bejárásnak mindenképpen szükséges feltétele, hogy a
6. Az említett bejárás nem lehetséges. A ló sötét mezőről mindig világosra lép, és fordítva, így a bejárásnak mindenképpen szükséges feltétele, hogy a