I. Feladatok 5
5. Lineáris algebra és poliéderek 57
5.4. Bázismegoldások
be, hogy
{x∈Rn :∀λ >0 eseténx0+λx∈P}={x∈Rn :Ax≤0}.
413. Legyenx0∈R={x:A0x=b0, A1x≤b1},A= A0
A1
. Igazoljuk, hogy
{x: minden λ∈Reseténx0+λx∈R}=V⊥, aholV azAsortere. (Megoldás)
414. Legyenx0∈R={x:A0x=b0, A1x≤b1},A:=
A0 A1
. Igazoljuk, hogy
{x: létezikλ >0 hogyx0+λx∈Résx0−λx∈R}=U⊥, aholU azA=x0 sortere.
415. Tekintsük az alábbi 20 feladatot. Melyek triviálisak, melyek nehezek ? a) x∈poliéder/politóp/metszetkúp/generált kúp ?
b) Poliéder/politóp/metszetkúp/generált kúp üres-e ?
c) Poliéder/politóp/metszetkúp/generált kúpon korlátos-e egy célfügg-vény ?
d) Poliéder/politóp/metszetkúp/generált kúp⊆féltér ?
e) Optimális-e egy célfüggvény poliéder/politóp/metszetkúp/generált kúp adottxpontjában ?
5.4. Bázismegoldások
416. Tekintsük az R={x: Qx≤b}poliédert. Valamelyq6= 0 vektorra a következők ekvivalensek :
(i) Qq= 0.
(ii) qeltolási vektora R-nek.
(iii) R-nek van olyanzpontja, amelyrez+λqminden valósλ-raR-ben van.
76 5. Lineáris algebra és poliéderek
(Megoldás)
417. AzR:={x∈Rn :Qx≤b}poliéder eltolási altere aQmátrix nulltere.
(Megoldás)
418. AzRpoliéder egyz pontját tartalmazó legbővebb, R-ben fekvő affin altér azReltolási alterénekz-vel való eltoltja.
419. EgyR:={x:Qx≤b} ⊆Rn poliéder dimenziójan−r(Q).
420. Tegyük fel, hogy azR poliéder nemüres ésR={x:Qx≤b} ={x: Q0x≤b0}. Ekkor QésQ0 sortere megegyezik. Tetszőlegesz∈R eseténQ=z ésQ0=z sortere megegyezik. (Megoldás)
Az R = {x : Qx ≤ b} poliéder egy z elemének szintjén a σ(z) :=
r(Q)−r(Q=z) számot értjük. Egy z ∈ R elemet bázismegoldásnak neve-zünk, ha az-aktívQ=z részmátrix rangja r(Q), más szóval a 0 szintű elemek a bázismegoldások. Egy bázismegoldáserős bázismegoldás, ha a nem nulla komponenseihez tartozóQ-beli oszlopok lineárisan függetlenek.
421. AzRpoliéder egyz elemének szintje csak a poliédertől függ és nem a poliédert meghatározó egyenlőtlenség-rendszer konkrét alakjától. Speciálisan, a bázismegoldás fogalma is csak a poliédertől függ. (Megoldás)
422. Minden nemüres poliédernek létezik bázismegoldása, nevezetesen bár-mely minimális szintű elem bázismegoldás. (Megoldás)
423. Igazoljuk a következő állításokat : a) EgyM =
P Q
nem-nulla mátrix esetén a P x=b0, Qx≤b1
lineáris rendszernek egyzmegoldása akkor bázismegoldás, har(M) = r(Mz=).
b) Az{Ax=b, x≥0}egy zmegoldása akkor és csak akkor bázismegol-dás, ha a pozitív elemekhez tartozó A-beli oszlopok lineárisan függet-lenek.
c) Az{yA≥0, yb=−1}rendszer egyy0 megoldása akkor és csak akkor bázismegoldás, ha azA-ból lineárisan függetlenül kiválasztható, azy0 -ra merőleges oszlopok maximális száma r(A, b)−1, aholr(A, b) jelöli
5.4. Bázismegoldások 77 az Amátrixb oszloppal történő bővítésével kapott mátrix rangját.
(Megoldás)
424. Igazoljuk, hogy a 423. feladat (a) részében zszintjer(M)−r(Mz=).
425. Igazoljuk, hogy a P x0+Ax1 = b, x1 ≥ 0 rendszer egy megoldása akkor és csak akkor bázismegoldás, ha az x1 nem-nulla elemeihez tartozó P-beli oszlopokat azA-ból kiválasztott maximálisan sok lineárisan független oszloppal kiegészítve még mindig lineárisan független rendszert kapunk.
426. Igazoljuk, hogy a {Bx≤ b, x≥ 0} rendszer egy z megoldása akkor és csak akkor bázismegoldás, ha a B valamely B0 nemszinguláris négyzetes részmátrixáraz aB0x0 =b0 egyértelmű megoldásából áll elő nullák hozzávé-telével.
427. AzR={x:Qx≤b}poliéder egyzelemére a következők ekvivalensek : (i) Qoszlopai lineárisan függetlenek észbázismegoldás (azazQ=z oszlopai lineárisan függetlenek, vagyisQ-nak van n darab lineárisan független z-aktív sora).
(ii) z csúcs.
(iii) z extrém pont.
(Megoldás)
428. Egy poliédernek véges sok csúcsa van. (Megoldás)
429. EgyR={x:Qx≤b} nemüres poliéderre a következők ekvivalensek : (i) Qoszlopai lineárisan függetlenek.
(ii) Regyenes-mentes.
(iii) Reltolási altere triviális.
(iv) Rcsúcsos.
(Megoldás)
430. Minden R={x:Qx ≤b} nemüres poliéder előáll, mint egyA altér és egyR0 csúcsos poliéder összege. Nevezetesen,A azR eltolási altere(azaz Q nulltere), míg R0 = R∩A⊥, ahol A⊥ az A altér ortogonális kiegészítője (vagyisQ sortere). (Megoldás)
78 5. Lineáris algebra és poliéderek 431. Egy R:= {x:M x ≤0} metszetkúp az A :={x: M x= 0} eltolási altér (ami speciális metszetkúp) és az R0 := R∩A⊥ csúcsos metszetkúp vektor-összege. (Megoldás)
432. Tekintsük az R = {x : Qx ≤ b} poliédert. Valamely nemnulla q vektorra a következők ekvivalensek :
(i) Qq≤0.
(ii) ~qa poliéder iránya.
(iii) R-nek van olyanzpontja, amelyre a{z+λq:λ≥0}félegyenesR-ben van.
(Megoldás)
433. Az R :={x∈ Rn : Qx≤b} poliéder iránykúpja a QmátrixMQ = {x:Qx≤0}metszetkúpja.
434. Igazoljuk, hogy egy {x :P x =b0, Qx≤b1} alakban adott nemüres poliéder iránykúpja{x:P x= 0, Qx≤0}.
435. Egy poliédernek és iránykúpjának extrém irányai ugyanazok.
436. EgyR={x:Qx≤b} nemüres poliéderre a következők ekvivalensek : (i) Rnem tartalmaz félegyenest.
(ii) R-nek véges sok csúcsa van, melyek konvex burkaR.
(iii) Rkorlátos.
(iv) Riránykúpja triviális.
(Megoldás)
437.* Minden R 6=∅ egyenes-mentes (azaz csúcsos) poliéder előáll, mint a csúcsai által feszítettRK politóp valamint a poliéder C iránykúpjának a vektor-összege.
438.* Legyen aC:={x:Qx≤0}nemtriviális kúp egyenes-mentes (=csú-csos), és legyenZ:={x:Qx≤0, cx=−1}poliéder, aholca Qsorainak az összege. Ekkor tetszőlegesz∈Z esetén~za kúp iránya, és a kúp tetszőleges~q iránya egyetlenzpontban metsziZ-t. TovábbáZ korlátos és egyz∈Z pont akkor és csak akkor csúcsaZ-nek, ha~z extrém irányaC-nek.
5.4. Bázismegoldások 79 439. Cegyenes-mentes nemtriviális metszetkúpnak véges sok extrém iránya van, ésC ezen irányok generált kúpja.
440. A C = {x : Qx ≤ 0} egyenes-mentes kúp egy z nemnulla eleme által meghatározott~z irány akkor és csak akkor extrém iránya C-nek, ha z merőleges aQmátrixr(Q)−1(=n−1) lineárisan független sorára, azaz ha r(Q=z) =n−2.
441. Legyen A ∈ Rk×n, b ∈ Rk, valamint legyen f : Rn → Rn+k a kö-vetkező f(x) := (x, b−Ax). (Ekkor tudjuk, hogy minden x0 ∈ Rn esetén : x0 megoldása az Ax ≤ b, x ≥ 0, x ∈ Rn rendszernek ⇐⇒ f(x0) megoldá-sa az Ax+Iz =b,(x, z)≥ 0,(x, z) ∈ Rn+k rendszernek.) Lássuk be, hogy mindenx0 ∈Rn esetén :x0 bázismegoldása az Ax≤b, x≥0, x ∈Rn rend-szernek⇐⇒ f(x0) bázismegoldása azAx+Iz=b,(x, z)≥0,(x, z)∈Rn+k rendszernek.
442. Lehet-e azAx≤b poliéder erős bázismegoldásainak nemtriviális kon-vex kombinációja erős bázismegoldás ?
443.* Tegyük fel, hogyx1, . . . , xt∈ {−1,0,1}n vektorokhoz létezik olyan c, hogy mindeni-re cxi+1≤12cxi éscxt>0. Igazoljuk, hogyt=O(nlogn).
(Megoldás)
444. Legyen P = {x : A1x = b1, A2x ≤ b2} poliéder, x ∈ P, s(x) :=
r AA1
2
−r(A=), aholA=azon sorok alkotta mátrix, amelyeketxegyenlőséggel teljesít. Ha a P poliéder valamely xpontjára s(x) legalább 2, akkor létezik olyanz6= 0 vektor (irány), hogy {x+λz:λ∈R} ∩P korlátos. (Megoldás) 445. Az {x : Ax ≤ b} csúcsos poliéder egy x0 pontjának definiáljuk a szintjét a 444. feladat szerint.
a) Bizonyítsuk be, hogy has(x0)≥2, akkorx0rajta van egy olyan szaka-szon, amelynek minden belső pontja azonos szintű x0-lal, és mindkét végpontjának kisebb a szintje, mintx0-nak.
b) Mutassuk meg, hogy olyan szakasz is van, amire a fentieken túl az is teljesül, hogy mindkét végpont szintje pontosan eggyel kisebb x0
szintjénél.
446. Igazoljuk, hogy azA0x=b0, A1x≤b1rendszer bázismegoldásai csak a poliédertől függenek, a rendszertől nem. Sőt, a bázismegoldások halmaza független a koordinátarendszer választásától.
80 5. Lineáris algebra és poliéderek 447. Igazoljuk, hogy az A1x = b1, A2x ≤ b2 ill. az A1x ≤ b1,−A1x ≤
−b1, A2x≤b2 rendszerek bázismegoldásai ugyanazok.
448. Igazoljuk, hogy az Ax =b, x ≥ 0 rendszer egy megoldása akkor és csak akkor bázismegoldás, ha a pozitív elemekhez tartozó A-beli oszlopok lineárisan függetlenek.
449. Legyenf g, aholf, g∈Rn. Igazoljuk, hogy azAx=b, f ≤x≤g rendszer egy z megoldása pontosan akkor bázismegoldás, ha az A azon ai oszlopai, amelyekre f(i) < z(i) < g(i), lineárisan függetlenek. Mik lesznek az erős bázismegoldások ? Mik lesznek az (erős) bázismegoldások, haf g helyett csakf ≤g-t tesszük fel ? Rn : Ax ≤b} poliéder x∗ és z∗ bázismegoldásait összekötő nyílt szakaszon van harmadik bázismegoldás, akkor A=x∗ = A=z∗ (azaz x∗ ugyanazokat az egyenlőtlenségeket teljesíti egyenlőséggel, mintz∗).