országos rendezésének nézünk elébe, kifejezést i akarok adni azon szerény óhajtásomnak v a j h a |
a k ü s z ö b ö n á l l ó o r s z á g o s t a n i t ó i g y ű l é s e n a n é p i p a r k é r d é s e i s — a m e n n y i b e n a z a n é p i s k o l a i o k t a t á s k ö r é b e t a r t o z i k , — a t a n á c s k o z á s o k t á r g y á v á t é t e t n é k . RoBONYl GÉZA.
Számvetés a népiskola felső osztá-lyaiban.
45. V e g y í t é s - f e l a d a t o k , a) A k ö z é p é r t é k m e g h a t á r o z á s a .
I. Halottátok-e már, mit teszen a z : elegybuza ? . . . Hát tiszta buza ? . . . Melyik drágább ? — A tiszta. — Miért ? — Mert abban a buzaszemek nincsenek össze-elegyítve más szemekkel, melyek kevesebbet érnek, mint a buzaszemek. — Látliatjuk-e az elegybuzában azokat a szemeket, melyek más növényektől származ-nak V —- Láthatjuk. — Ha valaki búzát összevegyitene rozszsal, meg lehet-e azután külömböztetni a buza és rozsszemeket'? — IMeg. — Miért? — Mert mindegyik más kinézésű. — Hát kiszemelhetnők-e újra a búzasze-m e k e t ? — Ki. — Hanebúzasze-m ha például valaki borába vizet t ö l t , megkülömböztethetjük-e aztán a bort és a vi-zet ? — Nem. — Miért nem. — Mert a bor ugy össze-keveredik a vizzel, hogy egyiket sem láthatjuk kü-lön. — Elválaszthatnók-e a bort a viztől ? — Nem. — Ki mondhatna nekem még oly vegyítést, melynél a ve-gyítés után az összevegyitett anyagokat egymástól meg lehet külömböztetni ? . . . . Hát oly vegyítést, melynél az összevegyitett anyagokat többé meg nem külömböz-t e külömböz-t h e külömböz-t j ü k egymáskülömböz-tól ? . . . Hányféle e szerinkülömböz-t a vegyi-tés ? — Kétféle; oly vegyívegyi-tés, melyben az összevegyi-t e összevegyi-t összevegyi-t anyagokaösszevegyi-t meg leheösszevegyi-t külömbözösszevegyi-teösszevegyi-tni; s oly vegyíösszevegyi-tés, melyben nem lehet azt megkülömböztetni. Ha az összeve-gyitett anyagokat meglehet külömböztetni a vegyítés után, akkor a származott vegyületet e l e g y n e k ne-vezzük ; ha nem lehet megkülömböztetni a,kkor a szár-mazott vegyületet k e v e r é k n e k nevezzük. Nevezze-tek elegyet! . . . keveréket! . . . Mi külömbség van elegy és keverék között ? . . . Mit kapunk, ha borszesz-hez vizet öntünk ? Mit, ha vizre olajat öntünk ? Mit, ha almát és körtét egy kosárba teszünk ? . . . Vájjon ki készit elegyeket és keverékeket ? . . . Hát a keres-kedő kever-e össze vagy elegyit-e? . . . Pékl. van neki két f a j t a kávéja; egyiket sem veszik, mert az első igen drága, a második igen olcsó. Hogyan segíthetne a bajon ? — Ugy, hogy összeelegyítené a két fajta ká-vét ; k a p egy uj f a j t a káká-vét, mely sem igen drága, sem igen olcsó. — Miért nem ? — A kávéelegynek tehát k ö z ép á r a lesz. Milyen ára lesz az elegynek ? . . . Ma ily vegyítéssel foglalkozó feladatokat fogunk megfej-teni, nevezetesen ki fogjuk számítani az elegy vagy keverék árát vagy értékét, az úgynevezett k ö z é p -é r t -é k e t .
II. a) Tegyük fel, hogy az a kereskedő, kiről az imént szólottunk, összeelegyít 1 mmázsa finom kávét, melynek ára 175 frt. 1 mázsa kevésbé finom kávéval, melynek ára 153 frt. Mennyiért adhat el az elegy kávéból 1 mmá-zsát? . . . Mondd el a példát! . . . Fejtsed m e g ! — Minthogy a finom kávéból és a kevésbbé finomból is 1 mázsát vett, azért 2 mázsa elegykávét kap. Ez a 2 mázsa kerül 175 f r t -f- 153 frt = 328 f r t b a ; 1 mázsa ára tehát 328 frtnak fele = 164 frt. — Mit számított ki Károly legelébb ? — Azt, hogy hány mmázsa az elegy. — Aztán ? — Mennyit ér az elegy. — Végre ? — Mennyit ér 1 mmázsa elegy.
b) Egy gazda elegyít 4 hl. árpát 6 hl. zabbal. Meny-nyibe kerül az elegyből 1 hl., ha 1 hl. árpa 7.50 frtba, 1 hl. zab 5.30 frtba kerül ? Ismételd a feladatot! . . . Hogy kiszámíthassad, mennyibe kerül 1 hl. elegy, mit.
kell ismerned ? — Azt, hogy hány hl. az elegy és meny-nyit ér összesen. Számítsd ki, hány hl. az elegy? — hl. 6 hl. anny mint 10 hl. Számitsd ki mennyit ér a 10 hl. elegy! 4 hl. árpa 7.50 frtjával ér 30 frtot, 0 hl', zab 5.30
129 l e -írtjával úr 3180 f r t o t , az elegy ér 30 f r t + 31.80 frt
= tíl'80 frtot. — Mennyit ér 1 hl. ? — Ha 10 hl. ér ül'80 frtot, akkor 1 hl. éri a 61.80 frtnak 10-ed részét, azaz 6 frt 18 kzt. — Mondd el mégegyszer az egész megfejtést! . . .
c) Egy borkereskedő háromféle bort kever össze;
1-ső fajból vesz 3 Hl-t. 8'76 írtjával, a 2-ik fajból 8 Hl-t. 7;52 írtjával, a 3-ik fajból 10 Hl-t. 6*12 írtjával.
Mennyiért adhatja el a keverék 1 Hl-ét ? — Kiszámít-juk, hány hl. a keverék; 8 + 8 + 10 = 21 Hl. Azu-tán kiszámítjuk, mennyit ér a keverék; erre nézve kiszámítjuk a keverékhez vett borok értékeit s ezeket összeadjuk.
Az 1. fajta borból vett 3 Hl. ér 3 X 8'76 = 26'28 frtot;
a 2. „ „ „ 8 „ „ 8 X 7-52 = 6 0 - 1 6 „ a 3. „ „ „ 10 „ „ 10 X 6-12 = 61-20 „ az elegyből 21 111. ér 147'64 fitot.
Tehát 1 Hl. ér 147'64 f r t : 21 = 7"03 frtot.
III. A tanult példák megfejtéseinek összehasonlítá-sából a következő szabályhoz jutunk :
IV. E g y e n k é n t k i s z á m í t j u k a z e l e g y í t e t t a n y a g o k é r t é k é t ; e z e k e t ö s s z e a d j u k , a z ö s s z e g l e s z a z e l e g y é r t é k e . A z u
-t á n ö s s z e a d j u k a z e l e g y í -t e -t -t a n y a g o k m e n n y i s é g e i t , í g y m e g t a l á l j u k a z e l e g y m e n y n y i s é g é t . A z t á n az e l e g y é r t é k é t o s z t j u k a z e l e g y m e n n y i s é g é v e l , s i g y m e g t a l á l j u k a z e l e g y e g y s é g é n e k á r á t , a k ö z é p s z á m o t .
V. a) Egy kereskedő összekever 2 kg. dohányt 1'50 írtjával, 3 kg. dohánnyal 2T5 írtjával; mennyibekerül a keverék kg.-ja ?
b) Egy boros gazdának 2-féle bora v a n ; olyan melynek l.-je 35 krba, s olyan, melyből 27 krba kerül.
IIa az elsőből 22 1.-t összekever a második bornak 34 literével, s ehez még 6 1. vizet ö n t ; mennyiért adhatja el a keverék literét? Mennyit nyer, ha 1 1.-t 32 krért ad e l ?
c) Egy borkereskedő kever bort; 25 1.-t 1 írtjával, 30 1.-t 95 krjával, 45 1.-t 88 krjával. Nyerni akar 12°/o-et.
Mennyiért adhatja el a keverék 1.-t? Mennyit nyer az egész keveréken ?
d) Egy vendéglős vesz 4 hordó sört; egy hordóban van 100 1. Fizet összesen 22 frtot: A sörhöz vizet tölt, még pedig minden 4 1. sörhöz l'/a 1. vizet. Mennyit nyer a sörön, ha 1 1. keveréket 8 kron ad el ? Hány
u/o-et n y e r ?
Ide tartoznak még a b o r s z e s z r e vonatkozó számitások. A borszesz vagy spiritus fokok szerint be-csültetik ; 32 fokú borszesz oly borszesz, melynek 100 literében van 32 1. tiszta borszesz (úgynevezett a l k o -h o l ) és 68 1. víz.
e) Hány fokú borszeszt kapunk, ha 5 liter 45 fokú borszeszt összekeverünk 3 1. 30 fokú borszeszszel ? 5 1. 45 fokú borszeszben van 5 X 0"45 1. = 2 25 1. alkohol;
31.30 „ „ „ 3 X 0-301. = 0 901. „ 8 liter keverék borszeszben van 3*15 1. alkohol, tehát 1 literben van 3 1 5 1. : 8 = 0'393 1. alkohol;
a keverékborszesz tehát 39'3 foku.
f) Hány foku borszeszt kapunk, ha 8 1. 34 foku borszeszhez 2 1. vizet keverünk ?
8 1. 34 foku borszeszben van 8 X 0"34 1. = 2'72 1. alkohol; ha 2 1. vizet töltünk hozzá, akkor annyi alkohol lesz 10 1. borszeszben; a keletkező borszesz 1 literében lesz tehát 2 72 1. : 10 = 0'272 1. alkohol, vagyis a kerék 27'2 foku.
46. V e g y i t é s - f e l a d a t o k ; b) A v e g y í t é s s z a b á l y a .
1. A múltkor oly feladatokat fejtettünk meg, melyek ben külömböző értékű anyagok vegyítéséből bizonyo
középértékű any agokat kellett előállítani. Mi volt adv azon feladatokban, mit kerestünk? — Adva volt a összekeverendő anyagok mennyisége és értéke ; kiszá-mítottuk a keverék értékét. — Mondj példát! — Péld.
a kereskedő elegyít kétféle kávét, 3 kgot 2 frtjával és 5 kgot 1'80 f r t j á v a l ; mennyibe kerül a keverék kg.-ja.
— Számítsad k i ! — 3 kg. 2 frtjával ér 6 frtot, 5 kg.
1"80 frtjával ér 9 f r t ; a 8 kg. elegykávé ér tehát 15 frtot, s igy 1 kg. ér 15 frt : 8 = 1'875 frtot. — Helyes ! Lássuk ezt a feladatot kissé megváltoztatva. Ha a ke-reskedő a drágább kávéból 3, és az olcsóbból 5 kgot vesz az elegyhez, akkor az elegynek 1 kgja 1'875 f r t o t ér. Többet vagy kevesebbet érne-e 1 kg. elegy, h a a drágább kávéból kevesebbet, az olcsóbból többet venne ?
— Akkor az elegynek minden kg.-ja kevesebbet érne.
— Ha ellenben azt akarná a kereskedő, hogy az elegy-nek minden kg.-ja többet érjen mint 1'875 frt, melyik kávéból kell többet kevernie az elegybe ? — A drágáb-ból. — Mennyit kellene venni a kereskedőnek a d r á g a és az olcsó kávéból, hogy az elegynek kg.-ja éppen l'Ü frtba kerüljön ? . . . E kérdésre nem tudtok felelni;
nem is oly könnyű erre a felelet, mert azt ki kell szá-mitani. Ennek a feladatnak és hozzá hasonlóknak kiszá-mítását fogjuk ma megtanulni.
II. a) Mondd el a feladatot, melyet ma meg aka-runk fejteni! — A kereskedő drágább és olcsóbb kávé-ból oly elegykávét akar készíteni, melyből egy kg. 1'9 frtba kerüljön. Mennyit kell venni a drágább, mennyit az olcsóbb kávéból ? — Mondd el még azt is, hogy mi a drágább és mi az olcsóbb kávé ára ? — A drágábból 1 kg. kerül 2 frtba, az olcsóbból 1'8 frtba. — Hogy e feladatot kiszámíthassuk, tegyünk p r ó b á k a t ; ha 1 kg.
2 frtos kávét teszünk az elegyhez, az mennyivel drá-gább mint az elegy kg.-ja ? — 10 k r r a l ; mert az elegy kg.-ja 1-9 frtba kerül, 2 frt — 1'9 f r t = 10 kr. — Ha 1 kg. 1'8 frtos kávét teszünk az elegyhez, az mennyi-vel olcsóbb mint az elegy kg.-ja? — 10 krral, m o r t l-9 frt — 1-8 f r t = 10 kr. - Látjátok, ha 1 kg. 2 frtos kávét teszek az elegyhez 10 krral többet tettem oda ; ha 1 kg. 1'8 frtos kávét teszek hozzá, akkor 10 krral kevesebbet teszek oda, mint a mennyibe az elegynek kg.-ja kerülhet. Ha tehát 1 kg. 2 frtos és 1 kg. 1'8 frtos kávét veszek, akkor először annyival többet vet-tem, mint a mennyivel másodszor kevesebbet, t. i. 10 k r r a l ; lesz-e ekkor az elegynek kgja 1'9 f r t ? — Lesz.
— Próbáld meg! — Ha 1 kg. 2 frtos és 1 kg. 1"8 frtos kávét elegyítünk, oly kávét kapunk, melynek 2 kg.-ja 3'8 frtba kerül; t e h á t 1 kg. kerül 3'8 f r t : 2 = 1"9 frtba, a mint kívántatott. — Ha tehát a kereskedő 2 frtos és 1'8 frtos kávéból 1'9 frtos kávét akar elegyí-teni, mennyit kell vennie minden fajból ? — 1 kgot.
— Hát ha minden fajból 2 kgot venne, milyen kávét k a p n a ? — Akkor is 1 9 frtos kávét. — M i é r t ? — M e r t akkor is 1 kg. drágább kávéra vesz 1 kg. olcsóbb kávét, de ezt kétszer teszi. — Hát lia a 2 í'rtos kávéból 4 kgot venne, mennyit kellene venni az l-8 frtosból, hogy l-9 frtost k a p j o n ? — Az 1*8 frtosból is 4 kgot kellene vonni. — Egy szóval, milyen mennyiségekben kell ezon esetben a két kávéfajt elegyíteni? — Egyenlő mennyi-ségekben.
b) Az előbbi példában könnyen megtaláltuk a fele-tet. Lássunk most egy kissé nehezebb példát. Valakinek van két fajta dohánya; olyan, melynek kg.-ja 1 frtba, és olyan, melynek kgja 1*8 frtba kerül. Ezekből elegy -dohányt akar készíteni, melynek kg-ja 1'6 frtba kerül-jön. Mennyit kell venni minden egyes fajból ? Ismételd a példát! . . . Hogy felelhessünk, próbáljunk. Ha a rosszabb dohányból 1 kgot veszünk, mennyivel ér az ke-vesebbet mint a készítendő elegy kg.-ja? — 1'6 frt — 1 frt = 60 k r ; 60 krral ér kevesebbet. Ha a jobb do-hányból veszünk 1 kgot, az mennyivel ér többet mint a készítendő elegy kg.-ja? — 1-8 frt 1 kgot a rosszabS fajból, az 60 krral ér kevesebbet; ha veszünk l'G frt = 20 kr.; 20 krral ér többet. -— Ha tehát az elegyhez veszünk 1 kgot a jobb fajból, az 20 krral ér többet mint a készítendő elegy kg.-ja. Mennyivel ér többet a rosszabb faj kg .ja, ha 1 kg. jobbat teszünk hozzá ? — Ha 1 kg.
jobbat teszünk hozzá, akkor 20 krral többet ér. — Az-előtt 1 kg. 60 krral kevesebbet é r t ; ha most 1 kg.
jobb dohányt teszünk hozzá, 20 krral többet ér.
Meny-- • E X 1 3 0 <3®—
nyivel ér tehát most kevesebbet? — 60 kr. — 20 kr.
= 40 k r . ; most már csak 40 krajczárral ér keve-sebbet, mint a készítendő elegy kg.-ja. — Hogy ezt a 40 lcrnyi külömbséget is megszüntessük, melyik fajta dohányból kell még az elegyhez tennünk ? •—-A jobb fajta dohányból. — Helyes ; vettünk 1 kg. rosszabb és 1 kg. jobb dohányt, s ekkor oly elegyet kaptunk, mely-nek kg.-ja 40 krral kevesebbet ér mint a készitendő elegy kg.ja. Teszünk tehát hozzá még 1 kgot a jobb fajtából; mennyivel javul most az elegy? — 20 krral.
— Mennyivel marad még rosszabb mint a készitendő dohány ? - Még 2o krral, mert 40 kr. — 20 kr. = 20 kr. — Hány kgot vettünk már a rosszabból, hányat a jobb fajtából? A rosszabb fajtából vettünk 1 kgot, a jobb fajtából 2 kgot. — Mennyivel ér az elegy még kevesebbet mint a készitendő dohány ? — Még 20 krral.
— Hogy ezt a külömbséget is megszüntessük, melyik miután még 1 kgot a jobb fajtából hozzátettünk, javult 20 k r r a l ; most tehát annyival javult, a mennyivel az-előtt még rosszabb volt. — Hány kgot vettünk tehát a rosszabb, hányad a jobb fajtából ? — A rosszabb fajtá-ból vettünk tehát 1 kgot, a johb fajtáfajtá-ból 3 kgot. — Tegyünk próba-számitást, vájjon akkor valóban oly dohányt kapunk-e, melynek kg.-ja T6 frtba kerül ? —
1 kg. ä 1 f r t ér 1 f r t o t ; 3 kg. ä 1"8 f r t és 5'4 f r t o t ; a 3 kg. elegy ér tehát 1 f r t -(- 5'4 frt = 6 4 f r t o t ; s igy 1 kg. elegy ér 6"4 f r t : 4 = T6 frtot. — Tehát ha 1 kg. rosszabb dohányhoz teszünk 3 kg. jobb dohányt, valóban 1'6 frtos dohányt kapunk-e? — Valóban T6 frtos dohányt kapunk. — Miből látjuk azt ? — A pró-baszámításból. — Ismételd még egyszer azt az eljárást, melynek segitségével megtudtuk, hogy 1 kg. 1 frtos dohányhoz 3 kg. 1'8 frtos dohányt kell vegyíteni, hogy 1 6 frtos dohányt kapjunk ! . . .
c) Még egy példa! Egy borkereskedőnek van két-féle bora; olyan, melyből 1 1. 50 krba, és olyan, mely-ből 35 krba kerül. Mennyit kell venni mindegyikmely-ből, hogy oly keveréket kapjon, melyből 1 1. 40 krba ke-rül ? — (A fejtegetés rövid vázlata : A rosszabb bor litere 5 krral ér kevesebbet mint a készitendő keverék litere; a jobb bor litere 10 krral ér többet mint a a készitendő keverék litere. Ha 1 1. rosszabb bortkeve-rünk 1 1. jobb borral, a keverék 5 krral többet fog érni mint a készitendő keverék. Hogy a helyes keveré-ket nyerjük, még a rosszabb borból adunk hozzá 1 1.-t, mi által 5 krral rosszabb lesz; de azelőtt meg 5 krral jobb volt; most tehát a helyes keveréket nyertük.
Venni keli tehát a rosszabb borból 2 1.-t s a jobb bor-ból 1 1.-t, s ekkor a keverék l.-e 40 k r t fog érni.
Próba : 2 1. á 35 kr. = 70 kr., 1 1. a 50 kr. = 50 kr., 70 kr. -j- 50 kr. = 120 kr., 120 kr. : 3 = 40 kr.)
d) Azonban az eddig használt próbálgató számítás igen soká tart. Lássuk, nem találliatunk-e egy egy oly szerű szabályt, mely szerint gyorsan kiszámíthatnék, hogy mindenikfajból mennyi veendő a végből, hogy bizonyos adott középfajt kapjunk. Péld. 3 frtos és 8 frtos áruból valaki 5 frtos árut akar vegyíteni; mennyit kell venni mindegyik fajból? A rosszabb faj 2 frttal ér kevesebbet mint a középfaj ; a jobb faj meg 3 frttal ér többet mint a középfaj. Ha próbálni akarnók, mindegyik fajból elő-ször csak 1 kgot kellene vennünk s megnéznünk, meny-nyivel jobb vagy rosszabb ekkor az elegy, m i n t a készi-tendő elegy. Mi azonban nem akarunk próbálni, hanem egyszerre annyit akarunk venni mindegyik fajból, hogy az elegy s e m r o s s z a b b s e m j o b b ne legyen mint a készitendő középfaj. Azt pedig akként érjük el, hogy a r o s s z a b b f a j b ó l a n n y i t v e s z ü n k , a m e n y -n y i v e l j o b b a j o b b f a j ; s a j o b b f a j b ó l a n n y i t , a m e n n y i v e l r o s s z a b b a r o s s z f a j . A mi esetünkben a jobb faj 3 frttal jobb mint a kö-zépfaj ; veszünk tehát a rosszabb fajból 3 k g o t ; a rosz-szabb faj 2 frttal rosszab mint a középfaj, veszünk tehát a jobb fajból 2 kgot. Ha a rosszabb fajból 3 kgot ve-szünk az elegyhez, ezek 3 X 2 frttal érnek kevesebbet;
ha a jobb fajból 2 kgot veszünk az elegyhez, ezek
2 X 3 frttal érnek t ö b b e t ; de 3 X 2 f r t = 2 X 3 egyes fajból ? Megnézzük, mennyivel jobb a jobb faj, mennyivel rosszabb a rosz faj, mint a középfaj. A rosz faj rosszabb 20 kr. — 16 kr. = 4 k r r a l ; a jó faj jobb
Tehát 1'5 hl. árpához venni kell 1 hl. zabot s ekkor az elegy hl.-e 6'8 f r t b a kerül.
Itt az jön ki, hogy 150 hl. árpához vegyíteni kell 1U0 hl. zabot. Ez az eredmény az előbbitől csak annyi-ban külömbözik, hogy a veendő mennyiségek 100-szor nagyobbak; ha igy vegyitünk, 100-szor annyi elegyet kapunk, mint az elébb, do ugyanoly értékűt, mert mégis minden 15 hl. árpára 1 hl. zab j u t .
Látjuk e példából, hogy a talált számokat, 1"5 és 1-et lehetne ugyanazon számmal sokszorozni; vagy vi-szont, a 150 és 100-at ugyanazon számmal osztani ; a vegyités azáltal helyes marad.
c) Mennyi 36 fokú és 52 fokú borszeszből keverhet valaki45 fokú borszeszt?
-eDI 131 l o
-ci) Mily arányban kell 35 fokú borszeszt vízzel ke-verni, hogy 20 fokú borszeszt kapjunk ? — A vizet ugy tekinthetjük, mint 0 fokú borszeszt; lesz tehát :
35 20
0
2 0 — 0 35 — 20
20 15
Azaz 15 1. vizet kell tölteni 20 1. 35 fokú borszesz-hez, hogy 20 fokú borszeszt kapjunk.
Próba mint fenn.