Kvantumkriptográfia

Amint részletesen tárgyaltuk a Shor algoritmusnál, a klasszikus (jelenleg is általánosan használt) kriptográfia nagyon sebezhetővé válik a kvantumszámítógépek számítási kapacitásának növekedésével. Ezzel szemben a kvantuminformatika nemcsak gondot jelent azoknak, akik titokban szeretnék tartani kommunikációjuk tárgyát.

Ebben a részben magát a kvantuminformatikát használjuk az adatok titkos (biztonságos) továbbítására.

Tegyük fel, hogy Alíz és Bálint szeretnének kommunikálni egymással. Ehhez első lépésben Alíz odaadja egy személyes találkozó keretében Bálintnak a kulcsot (egy bitsorozatot), amihez így más nem férhet hozzá.

A kommunikáció maga kubitekkel történik, amiket pl. fotonokkal valósítanak meg. Legyen adva két ortonormált bázis:

(pl. a polarizált foton rezgési irányainak megfelelően), ahol

Alíz és Bálint megegyeztek, hogy a és kubitek az 1, míg a és kubitek a 0 értéknek felelnek meg majd az elküldött üzenetekben. Ekkor Alíz az üzenetét a

Bálintnak adott kulcs szerint a következőképpen kódolja: ha a kulcsban az . helyen a bit található, akkor az első ( ) bázis szerint kódolja az üzenet . bitjét, míg ha bit van a kulcs . helyén, akkor a másik (

) bázis szerint. Világos, hogy Bálint megkapva az üzenetet, annak minden egyes kubitjét a megkapott kulcs szerinti bázis szerint méri, így helyesen dekódolva az üzenetet. Ezzel szemben, ha egy támadó megkapja az Alíz üzenetét, akkor minden egyes kubiten, amire mérést végez (a kulcs hiányában) 50% esélye van, hogy helyes bázisban méri (és ekkor helyesen dekódolja a kubit megváltoztatása nélkül, hiszen az adott bázisban a kubit sajátállapotban volt, amit a mérés 1 valószínűséggel jól ad meg és nem változtat meg). Viszont minden ilyen elolvasott kubitnél 50% az esélye, hogy nem a helyes bázisban próbálja meg elolvasni, amikor is az eredeti kubit megváltozik, és 50% eséllyel az egyik, 50% eséllyel a másik sajátállapotba áll be a mérésnél használt bázis szerint. Ekkor viszont ezt az elrontott kubitet Bálint 50% eséllyel rosszul fogja dekódolni, ami hibaként jelentkezik. Minél több bitet próbáltak lehallgatni, annál nagyobb lesz a hibás bitek száma, aminek segítségével azonnal kiderül, hogy a csatornát lehallgatják.

A következőkben azt mutatjuk be, hogy a kvantummechanika EPR jelenségét is kihasználhatjuk az üzenettovábbítás biztonságosságára. Tekintsünk a következő áramkört, amely segítségével összefonódott kubitpárt tudunk létrehozni. Legyen a két input kubit mindkettő állapotú, az elsőn végezzünk egy Hadamard-transzformációt, majd ezt az első szálat használjuk arra, hogy vezéreljen egy kaput, ami a másik kubitet összefonja ezzel (lásd a 13.4. ábrát).

13.4. ábra - Összefonódott kubitek előállítása (pl. kriptográfiai alkalmazáshoz).

Ekkor a kezdeti állapotból a rendszer az első kubitre a Hadamard kapu alkalmazásával az

állapotba kerül, majd a kapu alkalmazásával ez az állapotba megy át. Alíz elküldi Bálintnak egy ilyen összefonódott kubitpár egyik példányát Bármelyikük is méri meg előbb a nála levő kubitet, 50% valószínűséggel fog -t, illetve -et mérni. Tegyük fel, hogy Alíz megméri a nála levő kubitet, és a mérés eredménye. Ezzel az összefonódott állapot összeomlik, a Bálintnál levő példány állapota is módosul, értéke így ennek is csak lehet. Hasonlóan alakul a jelenség, ha Alíz kubitje -et ad a mérésre. Így a párok segítségével kommunikálhatnak, ahogy pl. a következő részben látni fogjuk.

2.4. Kvantumteleportáció

A teleportáció, vagyis objektumok átvitele a térben távoli helyre az objektumok „szokásos mozgási sebességét jelentősen meghaladó módon”, sok tudományos fantasztikus műben megjelenik. Tulajdonképpen egy három fázisból álló műveletről van szó, melynek részei: elkülönítés, információ-átvitel, rekonstrukció. A fax működése is hasonló, de a fax esetén az eredeti megmarad a küldő félnél és csak egy (az eredetihez közel álló) másolat jön létre a célhelyen. Ezzel szemben a teleportáció esetén az eredeti objektum megsemmisül, miután elég információt szereztünk róla, az anyaga nem utazik semmilyen formában a küldő és a célhely között, viszont egy, az eredetivel megegyező példány jön létre a célhelyen a művelet végére.

A kvantumteleportáció segítségével kvantuminformációt tudunk távoli helyre eljuttatni. A cél, hogy egy részecske kvantumállapotát eljuttassunk a célhelyre klasszikus bitek segítségével létrehozva az eredeti kvantumállapotot a célhelyen, vagyis, hogy kubitek küldése nélkül vigyük át a kubit tartalmát (állapotát) egyik helyről a másikra.

Emlékezzünk, hogy a csere kapuval, a kapuval éppen két kubit értékének cseréjét valósítottuk meg.

Célunk most is hasonló, csak két egymástól távol elhelyezkedő kubitre, amelyek egyike Alíznél, a másik pedig Bálintnál van...

Tehát, Alíz szeretne Bálinthoz eljuttatni egy kubitet (illetve a benne tárolt információt), aminek állapota . Tehát klasszikus kommunikációs csatorna áll rendelkezésre, amin klasszikus biteket tudunk küldeni. A küldendő kubit tetszőleges, Alíz által ismeretlen állapotú lehet, így Alíz nem mérheti meg, hiszen

ezzel a kubit értéke megváltozhatna; amint tudjuk, a kubit nem is klónozható. Úgy tűnhet, hogy az egyetlen mód a kubit elküldésére annak fizikai eljuttatása lehet Bálinthoz, vagy egy másik kvantumrendszerbe bekódolva annak tartalmát, e másik rendszer fizikai eljuttatása...

Alíz és Bálint egy összefonódott értékű kubitpár segítségével fog kommunikálni, aminek első tagja Alíznél, másik tagja Bálintnál van. A teleportáció megvalósítását a 13.5. ábra szemlélteti.

13.5. ábra - A kvantumteleportáció elve.

Legyen tehát az input állapota a rendszernek a

ami a műveleteket elvégezve, a

alakba írható. Az első két kubit Alíznél van, míg a harmadik Bálintnál. Most Alíz a transzformációt alkalmazza (vagyis a vezérelt nem transzformációt az első két kubitre), így előáll az

állapot. Ekkor Alíz alkalmazza erre a transzformációt (vagyis Hadamard-transzformációt az első kubitre):

Átcsoportosítással ez a következő formába írható:

Ekkor Alíz 25% valószínűséggel mérheti a négy lehetséges kvantumállapot ( , illetve ) mindegyikét. A mérés eredményétől függően a Bálintnál levő kubit értéke az , illetve az eredményt veszi fel. Ekkor Alíz a mérésének eredményét két klasszikus bitként elküldi Bálintnak. Ezek alapján Bálint visszaállíthatja a nála levő kubit értékét egy dekódoló transzformációval. Ez a dekódoló operátor pl. a bitpár esetén az identikus alkalmazottat harmadik Pauli mátrixnak hívjuk. Az eset mátrixa a második Pauli mátrix szerese, ami előáll a harmadik és első mátrixok szorzatának -szereseként is. A Pauli mátrixokat tehát, mint kvantumkapukat is alkalmazhatjuk, bit- és fázis-eltolásra.

A kvantumteleportációval tehát nem objektumot, hanem annak kvantumállapotát teleportálhatjuk (juttathatjuk el távoli helyre, annak elküldése nélkül): egy kubitnyi információ elküldéséhez két klasszikus bit elküldése és egy EPR párra van szükség. Ez a jelenség a gyakorlatban is működik, először Bennett és csoportja teleportált egy kubitet 1993-ban. 2012-ben viszont már makroszkopikus objektumot (kb. darab Rubídium atom alkotta kvantum-memóriaegység kvantuminformációját) is sikerült, fotonokat felhasználva, optikai kábelen 150 m távolságra teleportálni.

Habár elvileg a kvantumtechnika segítségével lehetséges teljesen biztonságos kommunikáció megvalósítása, ezt a gyakorlatban nem feltétlenül egyszerűen megoldható, hiszen több eszköz összekötésekor bármelyik

„klasszikus” berendezés, vagy az emberi butaság lehet a gyenge láncszem, amin keresztül a rendszer feltörhető.