Differenci´ alhat´ os´ ag
6.6. K¨ oz´ ep´ ert´ ekt´ etelek
6.32. Defin´ıci´o Azt mondjuk, hogy f differenci´alhat´o azA ⊂ D(f) halmazon (jele f ∈ D(A)), ha ∀a ∈A eset´en f differenci´alhat´o a-ban.
A fenti jel¨ol´essel anal´og m´odon jelentse f ∈ C(A), hogy f folytonos a-ban minden a ∈A eset´en.
6.33. T´etel (Rolle-t´etel) Ha f ∈ C[a, b], f ∈ D(a, b), ´es f(a) = f(b), akkor ∃c ∈ (a, b) olyan, hogy f0(c) = 0.
Bizony´ıt´as. Ha ∀x ∈ [a, b] eset´en f(x) = f(a) = f(b), azaz f konstansf¨uggv´eny, akkor b´armely c∈(a, b) megfelel.
Ha ∃x0 ∈ (a, b), hogy f(x0) 6= f(a), akkor az f ∈ C[a, b] miatt a Weierstrass-t´etel szerint van minimuma ´es van maximuma is azf-nek, ´es legal´abb az egyiket nem az [a, b]
intervallum v´egpontj´aban veszi fel, hanem az intervallum belsej´eben. Legyen ez a pont c. Ekkor c lok´alis sz´els˝o´ert´ekhely, ´ıgy a 6.30.T´etel szerint f0(c) = 0.
6.34. T´etel (Lagrange-f´ele k¨oz´ep´ert´ekt´etel) Legyen f ∈ C[a, b], f ∈ D(a, b). Ek-kor ∃c∈(a, b) olyan, hogy
f(b)−f(a)
b−a =f0(c) Bizony´ıt´as. Tekints¨uk a
h: [a, b]→R, h(x) := f(x)−
f(b)−f(a)
b−a ·(x−a) +f(a)
f¨uggv´enyt! K¨onny˝u ellen˝orizni, hogyh(a) =h(b) = 0.Tov´abb´ah∈C[a, b] ´esh∈D(a, b).
´Igy a Rolle-t´etel szerint ∃c∈(a, b) olyan, hogy h0(c) = 0. Mivel h0(x) =f0(x)− f(b)−fb−a(a) (x∈(a, b)), ez´ert
0 = h0(c) = f0(c)−f(b)−f(a) b−a ,
amib˝ol
f(b)−f(a)
b−a =f0(c).
k¨ovetkezik.
a b
f(a) f(b)
f
c
6.7. ´abra. Lagrange-f´ele k¨oz´ep´ert´ekt´etel
6.35. Megjegyz´es A6.7. ´abra alapj´an j´ol l´athat´o a t´etel szeml´eletes jelent´ese. Az f(b)−f(a)b−a h´anyados az (a, f(a)´es(b, f(b))pontokat ¨osszek¨ot˝o h´ur meredeks´ege. A t´etel azt mondja, hogy van olyan c ∈ (a, b) pont, ahol a f¨uggv´eny grafikonj´anak az ´erint˝oje p´arhuzamos a h´ur egyenes´evel. A bizony´ıt´asban szerepl˝o h f¨uggv´eny ´eppen az f ´es a h´ur egyenes´enek egyenlete k¨ul¨onbs´ege. Ahol ennek ´ert´eke a legnagyobb, ott h deriv´altja 0, ´es ´eppen ez a keresett c pont.
A Lagrange-f´ele k¨oz´ep´ert´ekt´etel k¨ovetkezm´enye az is, hogy intervallumon
differenci-´
alhat´o f¨uggv´eny pontosan akkor konstans, ha deriv´alja 0.
6.36. ´All´ıt´as Legyen I ⊂R ny´ılt intervallum, f ∈D(I). Ekkor ekvivalenesek:
1. L´etezik c∗ ∈R olyan, hogy ∀x∈I eset´en f(x) =c∗ azaz f konstans az I interval-lumon.
2. Minden x∈I eset´en f0(x) = 0.
Bizony´ıt´as. 1.⇒2.: Trivi´alis. 2.⇒1.: Legyenx1, x2 ∈I, x1 < x2. A6.34.Lagrange-f´ele k¨oz´ep´ert´ekt´etel szerint ∃c∈(x1, x2) olyan, hogy
f(x2)−f(x1) x2−x1
=f0(c) = 0, azaz f(x1) =f(x2).
6.37. Megjegyz´es A t´etel intervallumon differenci´alhat´o f¨uggv´enyr˝ol sz´ol. P´eld´aul az f : (0,1)∪(2,3)→R
f(x) :=
(1, ha 0< x < 1, 2, ha 2< x < 3
f¨uggv´enyre ∀x∈(0,1)∪(2,3)eset´en f0(x) = 0, de a f¨uggv´eny m´egsem konstansf¨uggv´eny.
6.38. Megjegyz´es Ha f : R → R tetsz˝oleges differenci´alhat´o f¨uggv´eny, akkor a 6.34.
Lagrange-f´ele k¨oz´ep´ert´ekt´etel alapj´an minden x, y ∈ D(f), x < y eset´en l´etezik olyan c=c(x, y)∈[x, y], melyre
f(y)−f(x) =f0(c)·(y−x).
Igy´
|f(y)−f(x)| ≤sup|f0| · |y−x|, x, y ∈ D(f),
amit szok´as Lagrange-egyenl˝otlens´egnek is nevezni. Legyen most f : R → R f¨uggv´eny folytonosan differenci´alhat´o,[a, b]⊂intD(f). Ekkor azf0folytonoss´aga (´es a4.50.T´etel) miatt ebb˝ol kapjuk, hogy x, y ∈[a, b] eset´en
|f(y)−f(x)| ≤max
[a,b] |f0| · |y−x|,
vagyis f |[a,b] Lipschitz-tulajdons´ag´u L:= max[a,b]|f0| ∈R konstanssal.
A k¨ovetkez˝o t´etel a Lagrange-f´ele k¨oz´ep´ert´ekt´etel ´altal´anos´ıt´as´anak tekinthet˝o, azon-ban nem rendelkezik hasonl´oan szeml´eletes jelent´essel.
6.39. T´etel (Cauchy-f´ele k¨oz´ep´ert´ekt´etel) Legyen f, g ∈ C[a, b], f, g ∈ D(a, b), ´es tegy¨uk fel, hogy ∀x∈(a, b) eset´en g0(x)6= 0. Ekkor ∃c∈(a, b) olyan, hogy
f(b)−f(a)
g(b)−g(a) = f0(c) g0(c).
Bizony´ıt´as. Ha g(b) =g(a) lenne, akkor Rolle t´etele miatt g0 az (a, b) intervallum vala-melyik pontj´aban 0 lenne, de ezt kiz´artuk. ´Igy besz´elhet¨unk az f(b)−f(a)g(b)−g(a) h´anyadosr´ol.
Tekints¨uk most a
h: [a, b]→R, h(x) :=f(x)−
f(b)−f(a)
g(b)−g(a) ·(g(x)−g(a)) +f(a)
f¨uggv´enyt! (Ez a Lagrange-f´ele k¨oz´ep´ert´ekt´etel bizony´ıt´as´aban szerepl˝ohf¨uggv´eny ´altal´ a-nos´ıt´asa.) K¨onny˝u ellen˝orizni, hogyh(a) = h(b) = 0. Tov´abb´ah∈C[a, b] ´esh∈D(a, b).
´Igy a Rolle-t´etel szerint∃c∈(a, b) olyan, hogyh0(c) = 0.Mivelh0(x) =f0(x)−f(b)−fg(b)−g(a)(a)· g0(x) (x∈(a, b)), ez´ert
0 =h0(c) =f0(c)− f(b)−f(a)
g(b)−g(a) ·g0(c), amib˝ol g0(c)6= 0 miatt
f(b)−f(a)
g(b)−g(a) = f0(c) g0(c). k¨ovetkezik.
Az al´abbi ´all´ıt´as arr´ol sz´ol, hogy egy intervallumon ´ertelmezett f¨uggv´eny deriv´altf¨ ugg-v´eny´enek ´ert´ekk´eszlete nem
”hagy ki” intervallumot. ´Igy p´eld´aul az f(x) = [x] eg´eszr´esz f¨uggv´eny nem deriv´altf¨uggv´eny R-en.
6.40. T´etel (Darboux-t´etel) Legyen I ny´ılt intervallum, f ∈D(I). Ekkor az f0 deri-v´alf¨uggv´eny Darboux-tulajdons´ag´u, vagyis b´armely a, b∈I, a < b eset´en ha
f0(a)< u < f0(b) (vagy f0(b)< u < f0(a)), akkor l´etezik c∈(a, b), melyre f0(c) = u.
Bizony´ıt´as. Legyen [a, b]⊂I. Tegy¨uk fel, hogy f0(a)< u < f0(b). Tekints¨uk a g :I →R, g(x) =f(x)−u·x
f¨uggv´enyt! Nyilv´an g ∈ C[a, b], ez´ert a Weierstrass-t´etel szerint a g-nek van minimuma
´
es van maximuma is az [a, b] intervallumon. Megmutatjuk, hogyg-nek sem az a-ban, sem b-ben nincs minimuma. Ugyanis g0(x) = f0(x)−u,´es
g0(a) =f0(a)−u <0, ez´ert g szigor´uan lok´alisan fogy´o a-ban, g0(b) =f0(b)−u >0, ez´ert g szigor´uan lok´alisan n˝ob-ben.
Ez azt jelenti, hogy g-nek az [a, b] intervallum belsej´eben van a minimuma, azaz ∃c ∈ (a, b), hogy g-nek c-ben lok´alis sz´els˝o´ert´eke van. Ekkor a 6.30. T´etel szerint g0(c) = f0(c)−u= 0, azaz f0(c) =u.
6.7. A monotonit´ as sz¨ uks´ eges ´ es el´ egs´ eges felt´ etelei
A f¨uggv´enyek monotonit´asa
”glob´alis” fogalom, ld. a 2.7. Defin´ıci´ot. Ebben a szakasz-ban azt vizsg´aljuk, hogy (ny´ılt) intervallumon ´ertelmezett differenci´alhat´o f¨uggv´enyek monotonit´asa hogyan f¨ugg ¨ossze a deriv´alt tulajdons´agaival.
6.41. T´etel Legyen I ⊂ R ny´ılt intervallum, f ∈ D(I), ´es ∀x ∈ I eset´en f0(x) > 0 (f0(x)<0). Ekkor f szigor´uan monoton n¨ov˝o (fogy´o) az I intervallumon.
Bizony´ıt´as. Legyen x1, x2 ∈ I, x1 < x2. A 6.34. Lagrange-f´ele k¨oz´ep´ert´ekt´etel szerint
∃c∈(x1, x2) olyan, hogy
f(x2)−f(x1)
x2 −x1 =f0(c).
Ha f0(c)>0,akkor x2−x1 >0 miatt f(x2)−f(x1)>0, azazf(x1)< f(x2).
(Ha f0(c)<0, akkor x2−x1 >0 miattf(x2)−f(x1)<0, azazf(x1)> f(x2).)
A fenti t´etel csak el´egs´eges felt´etelt ad differenci´alhat´o f¨uggv´eny szigor´u monotonit´ a-s´ara.
6.42. P´elda Tekints¨uk ism´et az f(x) = x3 hozz´arendel´essel adott f¨uggv´enyt! Vil´agos, hogy f szigor´uan monoton n¨ov˝o R-en, m´egis f0(0) = 0.
F¨uggv´eny (nem felt´etlen¨ul szigor´u) monotonit´as´ara az al´abbi sz¨uks´eges ´es el´egs´eges felt´etel adhat´o.
6.43. T´etel Legyen I ⊂ R ny´ılt intervallum, f ∈ D(I). Ekkor az al´abbi ´all´ıt´asok ekvi-valensek:
1. f monoton n¨ov˝o (fogy´o) I-n;
2. minden x∈I eset´en f0(x)≥0 (f0(x)≤0).
Bizony´ıt´as. 1.⇒2.: Ha f monoton n¨ov˝o I-n, akkor tetsz˝olegest, x ∈I,t 6=x eset´en f(t)−f(x)
t−x ≥0.
Ez´ert b´armely x∈I pontra
f0(x) = lim
t→x
f(t)−f(x) t−x ≥0.
A monoton fogy´o eset hasonl´oan l´athat´o.
2. ⇒ 1. : Az el˝oz˝o t´etel bizony´ıt´as´aval anal´og m´odon igazolhat´o a 6.34. Lagrange-f´ele k¨oz´ep´ert´ekt´etel seg´ıts´eg´evel.
A 6.43. T´etel ´es a kor´abban bizony´ıtott 6.36. All´ıt´´ as alapj´an a f¨uggv´eny szigor´u monotonit´as´ara is adhat´o sz¨uks´eges ´es el´egs´eges felt´etel.
6.44. T´etel Legyen I ⊂ R ny´ılt intervallum, f ∈ D(I). Ekkor az al´abbi ´all´ıt´asok ekvi-valensek:
1. f szigor´uan monoton n¨ov˝o (fogy´o) I-n;
2. minden x∈I eset´en f0(x)≥0 (f0(x)≤0) ´es nincs olyan r´eszintervalluma I-nek, melyen f0 = 0 lenne.
Bizony´ıt´as. A 6.43. T´etelb˝ol ´es a 6.36. All´ıt´´ asb´ol k¨ovetkezik, a r´eszleteket az olvas´ora b´ızzuk.
6.45. Defin´ıci´o Legyen a ∈ intD(g). Ha l´etezik δ > 0, hogy g(a) = 0, g|(a−δ,a) ≥ 0 ´es g|(a,a+δ) ≤0 vagy ford´ıtva, akkor azt mondjuk, hogy g el˝ojelet v´alt a-ban. Ekvivalensen:
g el˝ojelet v´alt a-ban, ha g(a) = 0 ´es g lok´alisan n¨ov˝o vagy fogy´o a 0-ban.
6.46. ´All´ıt´as Legyen I ⊂ R ny´ılt intervallum, f ∈ D(I) ´es a ∈ I. Ha f0 el˝ojelet v´alt a-ban, akkor f-nek lok´alis sz´els˝o´ert´eke van a-ban. M´egpedig, ha l´etezik δ > 0, hogy f0|(a−δ,a) ≥0 ´es f0|(a,a+δ) ≤0, akkor az a pont lok´alis maximumhely, ha f0|(a−δ,a) ≤0 ´es f0|(a,a+δ) ≥0, akkor aza pont lok´alis minimumhely.
Bizony´ıt´as. A 6.43. T´etelb˝ol ad´odik.
Az ut´obbi ´all´ıt´ashoz hasonl´o m´odon fogalmazhat´o meg intervallumon differenci´alhat´o f¨uggv´eny szigor´u lok´alis sz´els˝o´ert´ekhely´ere vonatkoz´o sz¨uks´eges ´es el´egs´eges felt´etel – ezt az olvas´ora b´ızzuk.