A Riemann-integr´ al defin´ıci´ oja

A Riemann-integr´al l´enyege:

”a f¨uggv´eny grafikonja ´es a v´ızszintes tengely ´altal hat´arolt s´ıkidom ter¨ulete”. Szeml´eltethetj¨uk egy, a fizik´ab´ol vett p´eld´an is. Legyen egy aut´o se-bess´egf¨uggv´enye v(·)! K´erd´es, hogy mekkora utat tesz meg a t = a ´es t = b id˝opontok k¨oz¨ott. A megtett utat k¨ozel´ıthetj¨uk oly m´odon, hogy az [a, b] id˝ointervallumot r´ eszinter-vallumokra osztjuk fel ´es felt´etelezz¨uk, hogy ezeken a kis id˝ointervallumokon egyenletes a mozg´as, majd a feloszt´ast minden hat´aron t´ul finom´ıtjuk. N´ezz¨uk most mindezt prec´ızen!

7.1. Defin´ıci´o Legyen [a, b] korl´atos ´es z´art intervallum, ´es v´alasszunk valamely n ∈N eset´en x_i, i= 0, . . . , n oszt´opontokat az al´abbi m´odon:

a=x₀ < x₁ < x₂· · ·< x_n=b.

Az [a, b] intervallum egy feloszt´asa a Φ = {I₁, . . . , I_n} v´eges intervallumrendszer, ahol Ii = [xi−1, xi], i= 1, . . . , n. Az [a, b] intervallum feloszt´asainak halmaz´at jel¨olje F[a, b].

x₀ =a x₁ . . . xi−1

Ii

x_i . . . b=x_n 7.1. ´abra. Az [a, b] intervallum egy feloszt´asa

7.2. Defin´ıci´o Legyen a Φ ∈ F[a, b] ´es Ψ ∈ F[a, b] feloszt´asok egyes´ıt´ese (vagy k¨oz¨os finom´ıt´asa) az a Φ∨Ψ-vel jel¨olt feloszt´as, melyet ´ugy kapunk, hogy Φ oszt´opontjaihoz hozz´avessz¨uk a Ψ oszt´opontjait (vagy ford´ıtva), ´es az ´ıgy kapott ´uj oszt´oponthalmazhoz tartoz´o intervallumrendszert tekintj¨uk.

7.3. Defin´ıci´o Adott f : [a, b] → R korl´atos f¨uggv´eny ´es Φ = {I₁, . . . , I_n} ∈ F[a, b]

feloszt´as eset´en defini´alja a Φ feloszt´ashoz tartoz´o als´o k¨ozel´ıt˝o¨osszeget s_f(Φ) :=

n

X

i=1

infIi

f

· |I_i|,

fels˝o k¨ozel´ıt˝o¨osszeget

S_f(Φ) :=

n

X

i=1

sup

Ii

f

· |I_i|, ahol |I_i|:=x_i−xi−1 az I_i intervallum hossza.

x y

x₀x₁ x₂ x₃. . . xn−1x_n . . .

f

a b

7.2. ´abra. Fels˝o k¨ozel´ıt˝o¨osszeg

7.4. ´All´ıt´as Tetsz˝oleges f : [a, b]→R korl´atos f¨uggv´eny ´es Φ∈ F[a, b] eset´en S_f(Φ) =−s−f(Φ).

Bizony´ıt´as. sup_Iif =−inf_Ii(−f).

7.5. Megjegyz´es Vil´agos, hogy tetsz˝oleges f : [a, b] → R korl´atos f¨uggv´eny ´es Φ ∈ F[a, b] eset´en

sf(Φ)≤Sf(Φ), hiszen minden i eset´en inf_Iif ≤sup_I

if.

7.6. T´etel Legyen f : [a, b]→R korl´atos f¨uggv´eny. Ekkor b´armely Φ,Ψ∈ F[a, b] felosz-t´asok eset´en

s_f(Φ) ≤S_f(Ψ). (7.1)

Bizony´ıt´as. Megmutatjuk, hogy b´armely Φ,Ψ∈ F[a, b] feloszt´asok eset´en

s_f(Φ)≤s_f(Φ∨Ψ)≤S_f(Φ∨Ψ)≤S_f(Ψ), (7.2) amib˝ol (7.1) nyilv´an k¨ovetkezik. A m´asodik egyenl˝otlens´eg a 7.5. Megjegyz´es alapj´an nyilv´anval´o. A k¨ovetkez˝okben azt bizony´ıtjuk, hogy ha Θ∈ F[a, b] olyan feloszt´as, melyet Φ-b˝ol ´ugy nyer¨unk, hogy egy uj oszt´´ opontot hozz´avesz¨unk, akkor

sf(Φ)≤sf(Θ). (7.3)

Ebb˝ol az oszt´opontok sz´am´ara vonatkoz´o teljes indukci´oval k¨ovetkezik az els˝o egyenl˝

ot-x y

x₀ xi−1 x_iux_i+1 xn−1

f

x₁ x_n

. . .

. . .

a b

7.3. ´abra. ´Uj oszt´opont hozz´av´etele

lens´eg a (7.2) sorozatban. A harmadik egyenl˝otlens´eg bizony´ıt´as´ahoz pedig alkalmazzuk ezt f helyett a (−f) f¨uggv´enyre, ´es haszn´aljuk fel a 7.4. All´ıt´´ ast, amib˝ol

Sf(Φ∨Ψ)≤Sf(Ψ) ⇐⇒s−f(Φ∨Ψ) ≥s−f(Ψ).

Legyen teh´at Θ ∈ F[a, b] olyan feloszt´as, melyet Φ-b˝ol ´ugy nyer¨unk, hogy annak x_i ´es x_i+1 oszt´opontjai k¨oz´e felvesz¨unk m´eg egy uoszt´opontot, vagyis Θ oszt´opontjai

a=x₀ < x₁ <· · ·< x_i < u < x_i+1 <· · ·< x_n=b.

A (7.3) egyenl˝otlens´eg k´et oldal´ar´ol az azonos tagokat elhagyva azt kell bel´atnunk, hogy

inf

[xi,xi+1]f

·(x_i+1−x_i)≤

inf

[xi,u]f

·(u−x_i) +

inf

[u,xi+1]f

·(x_i+1−u).

Mivel inf_[xi,xi+1]f ≤ inf_[xi,u]f ´es inf_[xi,xi+1]f ≤ inf_[u,xi+1]f (sz˝ukebb halmazon vett infi-mum nagyobb vagy egyenl˝o, mint a b˝ovebb halmazon vett), ez´ert

7.7. K¨ovetkezm´eny Az

{s_f(Φ) : Φ∈ F[a, b]} ´es {S_f(Φ) : Φ∈ F[a, b]}

halmazok k¨oz¨ul a bal oldali halmaz minden elemekisebb vagy egyenl˝o a jobb oldali halmaz minden elem´en´el. Ebb˝ol az is k¨ovetkezik, hogy az els˝o halmaz fel¨ulr˝ol, a m´asodik alulr´ol korl´atos. Term´eszetesen, az els˝o halmaz alulr´ol, a m´asodik pedig fel¨ulr˝ol is korl´atos (teh´at mindkett˝o korl´atos), hiszen

(inf

es fels˝o Riemann-integr´alj´at Z b

a

f := inf{S_f(Φ) : Φ∈ F[a, b]}. (7.5) A 7.7. K¨ovetkezm´eny alapj´an

Z b

7.9. Defin´ıci´o Egy korl´atos f : [a, b] → R f¨uggv´enyt Riemann-integr´alhat´onak mon-dunk, ha

Ha f Riemann-integr´alhat´o, akkor az als´o ´es fels˝o Riemann-integr´alok k¨oz¨os ´ert´ek´et f Riemann-integr´alj´anak nevezz¨uk, ´es az al´abbi m´odon jel¨olj¨uk:

Z b

7.1. Feladat Igazoljuk, hogy a Dirichlet-f¨uggv´eny nem Riemann-integr´alhat´o [0,1]-en!

7.2. Feladat Igazoljuk, hogy az f(x) = x² f¨uggv´eny Riemann-integr´alhat´o [0,1]-en ´es Z 1

0

x²dx= 1 3.

Bizony´ıt´as. R¨ogz´ıtett n∈Neset´en legyen a Φ_n feloszt´as az az intervallumrendszer, amit

a

oszt´opontok hat´aroznak meg. Ekkor s_f(Φ_n) =

af, ´ıgy f Riemann-integr´alhat´o [0,1]-en ´es Riemann-integr´alja ¹₃. 7.3. Feladat Igazoljuk, hogy a c-vel jel¨olt konstans c f¨uggv´eny Riemann-integr´alhat´o tetsz˝oleges [a, b]-n, ´es

Vil´agos, hogy kev´es, csak nagyon speci´alis f¨uggv´enynek tudjuk a fenti m´odon kisz´ a-m´ıtani a Riemann-integr´alj´at. Ez´ert sz¨uks´eg¨unk lesz a Riemann-integr´alhat´os´ag egy j´ol haszn´alhat´o krit´erium´ara.

A tov´abbiakban jel¨olje

R[a, b] :={f : [a, b]→R:f Riemann-integr´alhat´o}.

A krit´erium megfogalmaz´as´ahoz vezess¨uk be egy f¨uggv´eny adott feloszt´ashoz tartoz´o oszcill´aci´os ¨osszeg´enek fogalm´at!

7.10. Defin´ıci´o Ha Φ∈ F[a, b], akkor az Ω_f(Φ) :=S_f(Φ)−s_f(Φ) =

n

X

i=1

sup

Ii

f −inf

Ii

f

· |I_i|

=

n

X

i=1

(sup{|f(x)−f(y)|:x, y ∈I_i})· |I_i|=

n

X

i=1

ω_f(I_i)· |I_i| sz´amot az f f¨uggv´eny Φ feloszt´ashoz tartoz´o oszcill´aci´os ¨osszeg´enek nevezz¨uk, ahol

ω_f(I_i) = sup

Ii

f−inf

Ii

f = sup{f(x)−f(y) :x, y ∈I_i} az f f¨uggv´eny oszcill´aci´oja az I_i intervallumon.

7.4. Feladat Az el˝oz˝o defin´ıci´oban felhaszn´altuk, hogy tetsz˝oleges f f¨uggv´eny ´es A ⊂ D(f) halmaz eset´en

sup

A

f −inf

A f = sup{|f(x)−f(y)|:x, y ∈A}. Ennek meggondol´as´at az olvas´ora b´ızzuk.

7.11. ´All´ıt´as Ha Φ,Ψ∈ F[a, b] tetsz˝oleges feloszt´asok, f : [a, b]→R korl´atos f¨uggv´eny, akkor

Ω_f(Φ∨Ψ)≤Ω_f(Φ).

Bizony´ıt´as. A (7.2) egyel˝otlens´egb˝ol k¨ovetkezik.

7.12. T´etel (Leghasznosabb krit´erium Riemann-integr´alhat´os´agra) Egy korl´atos f : [a, b] → R f¨uggv´eny pontosan akkor Riemann-integr´alhat´o, vagyis f ∈R[a, b] ponto-san akkor, ha minden ε > 0 sz´amhoz l´etezik olyan Φ = Φ(ε) ∈ F[a, b] feloszt´as, melyre Ωf(Φ) < ε.

Bizony´ıt´as. 1. ir´any: Tegy¨uk fel, hogyf Riemann-integr´alhat´o, ´es legyen ε >0 r¨ogz´ıtve.

A 7.9. Defin´ıci´o szerint tudjuk, hogy Z b Ezekb˝ol, a (7.2) felhaszn´al´as´aval kapjuk, hogy

Z b

2. ir´any: Tegy¨uk fel indirekt, hogy a t´etel ´all´ıt´as´aban szerepl˝o felt´etel teljes¨ul minden pozit´ıv ε-ra, de

Most n´ezz¨uk meg, mi volt Riemann eredeti defin´ıci´oja a fenti integr´alfogalomra! A defin´ıci´o bizonyos ´ertelemben hasonl´ıtani fog a fenti

”leghasznosabb krit´eriumhoz”.

Az integr´alhat´os´ag Riemann-f´ele eredeti defin´ıci´oja

7.13. Defin´ıci´o HaΦ = {I₁, . . . , I_n} ∈ F[a, b] egy feloszt´as, akkor defini´aljaΦ finoms´ a-g´at

|Φ|:= max{|I_i|:i= 1, . . . , n}.

7.14. Defin´ıci´o LegyenΦ∈ F[a, b], Φ = {I₁, . . . , I_n} feloszt´as, ´es ξ= (ξ₁, . . . , ξ_n)∈Rⁿ tetsz˝oleges, aΦ feloszt´asra illeszked˝o vektor, vagyis

ξ_i ∈I_i, i= 1, . . . , n, jel¨ol´esben: ξ∝Φ. Ekkor a

x₀ =a ξ1

x₁ . . . xi−1

ξi

x_i. . .xn−1

ξn

b=x_n 7.4. ´abra. Feloszt´asra illeszked˝o vektor

σ_f(Φ, ξ) :=

n

X

i=1

f(ξ_i)· |I_i|

sz´amot az f f¨uggv´eny (Φ, ξ) p´arhoz tartoz´o Riemann-¨osszeg´enek nevezz¨uk.

x y

x₀ ξ₁

x₁ ξ₂

x₂ ξ₃

x₃. . .xn−1= ξ_n

x_n . . .

f

a b

7.5. ´abra. Riemann-¨osszeg

7.15. Megjegyz´es Tetsz˝oleges Φ∈ F[a, b] ´es ξ∝Φ vektor eset´en s_f(Φ) ≤σ_f(Φ, ξ)≤S_f(Φ).

7.16. Defin´ıci´o (Az integr´alhat´os´ag Riemann-f´ele krit´eriuma) Legyenf : [a, b]→ R. Ekkor azt mondjuk, hogy f Riemann-integr´alhat´o [a, b]-n ´es Rb

a f = A, ha minden ε >0 sz´amhoz l´etezik olyan δ >0, hogy mindenΦ∈ F[a, b], |Φ|< δ feloszt´as, ´es minden ξ ∝Φ eset´en

|σ_f(Φ, ξ)−A|< ε.

7.17. Megjegyz´es A defin´ıci´ob´ol k¨ovetkezik f korl´atoss´aga. [a, b]-n.

Gondoljuk meg a k¨ovetkez˝okben, hogy a mi (eredetileg Darboux-t´ol sz´armaz´o) integr´ al-defin´ıci´onk ekvivalens a Riemann-f´el´evel!

Legyen f ∈R[a, b] a mi defin´ıci´onk alapj´an ´esRb

A bizony´ıt´as ´ugy fog t¨ort´enni, hogy bel´atjuk: tetsz˝oleges ε >0 eset´en

Legyenε >0 r¨ogz´ıtve. V´alasszunkε/2-h¨ozδ >0 sz´amot a Riemann-f´ele defin´ıci´o alapj´an,

´ Azt kaptuk teh´at, hogy

Z b a

f < A+ε.

Az A−ε <Rb

af egyenl˝otlens´eg anal´og m´odon bizony´ıthat´o.

7.18. Megjegyz´es N´eh´any tov´abbi, ekvivalens integr´alhat´os´agi krit´erium:

1. Minden ε > 0 sz´amhoz l´etezik olyan δ > 0, hogy minden Φ ∈ F[a, b], |Φ| < δ feloszt´as eset´en Ω_f(Φ)< ε.

2. Minden (Φ_n)⊂ F[a, b], |Φ_n| →0 feloszt´assorozatra Ω_f(Φ_n)→0.

3. L´etezik olyan (Φ_n)⊂ F[a, b] feloszt´assorozat, melyre Ω_f(Φ_n)→0.

A Heine-t´etel felhaszn´al´as´aval l´athat´o be, hogy minden folytonos f¨uggv´eny Riemann-integr´alhat´o.

7.19. T´etel C[a, b]⊂R[a, b], vagyis minden, az [a, b] intervallumon folytonos f¨uggv´eny Riemann-integr´alhat´o [a, b]-n.

Bizony´ıt´as. Legyenf ∈C[a, b]. A7.12.T´etel integr´alhat´os´agi felt´etel´et fogjuk haszn´alni, teh´at legyen ε > 0 r¨ogz´ıtett, ´es keres¨unk hozz´a olyan Φ ∈ F[a, b] feloszt´ast, melyre Ω_f(Φ) < ε. A 4.59. Heine-t´etel alapj´an f egyenletesen is folytonos [a, b]-n, teh´at az ε/(b −a) pozit´ıv sz´amhoz l´etezik olyan δ > 0, hogy ha t, s ∈ [a, b], |t −s| < δ, akkor

|f(t) − f(s)| < ε/(2(b − a)). V´alasszunk egy olyan Φ feloszt´ast, melynek finoms´aga kisebb, mintδ, vagyis|Φ|< δ.P´eld´aul, legyenn∈Nolyan, hogy ^b−a_n < δ´es a Φ feloszt´as oszt´opontjait defini´alja

x_i :=a+i· b−a

n , i= 0, . . . , n.

Ekkor az Ii = [xi−1, xi] intervallumban b´armely k´et sz´am k¨ul¨onbs´ege legfeljebb ^b−a_n < δ,

´ıgy itt a f¨uggv´eny oszcill´aci´oja

ω_f(I_i) = sup{|f(t)−f(s)|:t, s ∈I_i} ≤ ε 2·(b−a). Erre a feloszt´asra teh´at

Ω_f(Φ) =

n

X

i=1

ω_f(I_i)· |I_i| ≤ ε 2·(b−a)·

n

X

i=1

|I_i|= ε 2 < ε, amivel az ´all´ıt´ast bel´attuk.

7.20. Megjegyz´es A fenti t´etel megford´ıt´asa nem igaz! Teh´at nem minden Riemann-integr´alhat´o f¨uggv´eny folytonos. K¨onnyen meggondolhat´o, hogy ha egy [a, b]-n folytonos f¨uggv´enyt egy pontban

”elrontunk” ´ugy, hogy ott ne legyen folytonos, akkor Riemann-integr´alhat´o marad (pl.a 7.12.Leghasznosabb krit´erium seg´ıts´eg´evel meggondolhat´o). Ha-sonl´oan, ha v´eges sok pontban szakad egy f¨uggv´eny, akkor is Riemann-integr´alhat´o.

7.5. Feladat Igazoljuk, hogy ha f : [a, b] →R olyan korl´atos f¨uggv´eny, mely megsz´ am-l´alhat´oan v´egtelen sok pont kiv´etel´evel folytonos, akkor f Riemann-integr´alhat´o [a, b]-n!

7.21. K¨ovetkezm´eny Haf az[a, b]intervallumon monoton f¨uggv´eny, akkorf ∈R[a, b].

Bizony´ıt´as. A 4.34. Megjegyz´esb˝ol k¨ovetkezik.

7.22. T´etel Ha f ∈R[a, b], akkor |f| ∈R[a, b].

Bizony´ıt´as. Legyenf ∈R[a, b] ´esε >0 r¨ogz´ıtve. A7.12.T´etel alapj´anε-hoz l´etezik olyan Φ∈ F[a, b] feloszt´as, melyre Ω_f(Φ)< ε. Megmutatjuk, hogy ekkor Ω|f|(Φ) ≤Ω_f(Φ)< ε is teljes¨ul. Mivel adott Φ feloszt´as eset´en

Ωf(Φ) =

n

X

i=1

ωf(Ii)· |Ii|,

ez´ert el´eg bel´atni, hogy minden i-re

ω|f|(I_i)≤ω_f(I_i).

A h´aromsz¨og-egyenl˝otlens´eg miatt tetsz˝oleges x, y ∈I_i eset´en

|f(x)| − |f(y)| ≤ |f(x)−f(y)| ≤ωf(Ii), amib˝ol

ω|f|(I_i) = sup{|f(x)| − |f(y)|:x, y ∈I_i} ≤ω_f(I_i).

7.23. ´All´ıt´as Legyen f ∈R[a, b], a≤α < β ≤b. Ekkor f|_[α,β]∈R[α, β].

Bizony´ıt´as. A 7.12. T´etel szerint minden ε > 0-hoz van olyan Φ ∈ F[a, b], melyre Ω_f(Φ) < ε. Vegy¨uk ezen feloszt´as [α, β] intervallumba es˝o oszt´opontjait ´es az ´ıgy ka-pott Ψ ∈ F[α, β] feloszt´ast, ekkor kapjuk, hogy

Ωf|_[α,β](Ψ)≤Ω_f(Φ)< ε.

7.24. T´etel Ha f, g∈R[a, b], akkor f ·g ∈R[a, b].

Bizony´ıt´as. Legyen ε > 0 r¨ogz´ıtve, ´es a 7.12. T´etel alapj´an keres¨unk hozz´a Φ ∈ F[a, b]

feloszt´ast. Defini´aljuk

K := max{sup

[a,b]

|f|,sup

[a,b]

|g|},

´

es v´alasszunk _2K^ε -hoz Φ_f,Φ_g ∈ F[a, b] feloszt´asokat, melyekre Ω_f(Φ_f)< ε

2K ´es Ω_g(Φ_g)< ε 2K.

(Ha K = 0, az ´erdektelen eset.) Tekints¨uk ezen feloszt´asok egyes´ıt´es´et:

Φ := Φ_f ∨Φ_g. Ekkor a 7.11.All´ıt´´ as alapj´an

Ωf(Φ) < ε

2K ´es Ωg(Φ) < ε 2K

is teljes¨ul. Legyen I_i ∈ Φ, ekkor a h´aromsz¨og-egyenl˝otlens´eg alapj´an minden x, y ∈ I_i eset´en

|f(x)g(x)−f(y)g(y)|=|f(x)g(x)−f(x)g(y) +f(x)g(y)−f(y)g(y)|

≤ |f(x)||g(x)−g(y)|+|f(x)−f(y)||g(y)|

≤K·ω_g(I_i) +ω_f(I_i)·K =K ·(ω_g(I_i) +ω_f(I_i)).

Ebb˝ol

In document ´a riSzakosokr ´e sz ´e re Anal ´ı zisjegyzetMatematikatan (Pldal 155-167)