F¨ uggv´ eny hat´ ar´ ert´ eke

Vizsg´aljunk meg h´arom, egym´ashoz nagyon hasonl´o f¨uggv´enyt!

Legyen

f₁ :R→R f₁(x) := x+ 2, (4.1. ´abra) f₂ :R\ {2} →R f₂(x) := x² −4

x−2 = (x−2)(x+ 2)

x−2 =x+ 2, (4.2. ´abra) f₃ :R→R f₃(x) :=

(x+ 2, hax6= 2

1, hax= 2. (4.3. ´abra)

x y

2 f1(2)

f1

4.1. ´abra.

x y

2 f2

4.2. ´abra.

x y

1

2 f3

4.3. ´abra.

A f¨uggv´enyek a := 2 pont k¨or¨uli viselked´es´ere vagyunk k´ıv´ancsiak. Az f₁ f¨uggv´eny eset´en j´ol l´athat´o, hogy ha x k¨ozel van a 2-h¨oz, akkor az f₁(x) = x+ 2 ´ert´ekek k¨ozel esnek a 4-hez, amely ´eppen f₁(2).

Azf₂ f¨uggv´eny ugyan nincs ´ertelmezve a 2-ben, de haxk¨ozel van a 2-h¨oz, azf₂(x) = x+ 2 ´ert´ekek egy sz´am, ebben az esetben a 4 k¨or¨ul keveset ingadoznak.

Azf₃ f¨uggv´eny a 2-ben is ´ertelmezve van. Haxk¨ozel van a 2-h¨oz (dex6= 2), akkor az f₃(x) = x+ 2 ´ert´ekek (az f₁ ´es f₂ f¨uggv´enyhez hasonl´oan) a 4 k¨or¨ul keveset ingadoznak (f¨uggetlen¨ul att´ol, hogy f(2) = 1).

A p´eld´akban tapasztalt jelens´egek nyom´an alak´ıtjuk ki a f¨uggv´eny hat´ar´ert´ek´enek fogalm´at.

Az f f¨uggv´eny a pontbeli hat´ar´ert´ek´enek fogalm´at olyan pontokra ´ertelmezz¨uk, me-lyek ”el´eg k¨ozel” vannak az ´ertelmez´esi tartom´anyhoz, de annak nem felt´etlen¨ul elemei, vagyis melyek D(f)⁰-ben vannak.

4.5. Defin´ıci´o Legyen f :R → R ´es a ∈ D(f)⁰ az ´ertelmez´esi tartom´any egy torl´od´asi pontja.

Azt mondjuk, hogy az f f¨uggv´eny hat´ar´ert´eke a-ban A∈R, ha

∀ε >0 eset´en ∃δ >0, hogy ha x∈K˙_δ(a)∩ D(f), akkor f(x)∈K_ε(A),

vagyisa-hoz

”el´eg k¨ozeli” (´ertelmez´esi tartom´anyb´ol val´o) pontok eset´en a f¨uggv´eny´ert´ekek k¨ozel vannak A-hoz.

Jel¨ol´esben:

lima f =A vagy lim

x→af(x) =A.

Fontos megjegyezn¨unk, hogy amennyiben a ∈ D(f)⁰ ∩ D(f), vagyis a az ´ertelmez´ e-si tartom´anynak is eleme, a defin´ıci´o nem f¨ugg a f¨uggv´eny a-ban felvett helyettes´ıt´esi

´

ert´ek´et˝ol, f(a)-t´ol!

Tov´abb´a, az´ert k¨ovetelt¨uk meg, hogy a az ´ertelmez´esi tartom´any torl´od´asi pontja legyen, hogy ´ıgy (b´armely δ > 0 eset´en) ˙K_δ(a)∩ D(f) tartalmazzon (legal´abb egy) x elemet.

4.1. Feladat Fogalmazzuk meg a fenti defin´ıci´o ¨osszesen9speci´alis eset´et aszerint, hogy a ∈R, a= +∞ vagy a=−∞, illetve A∈R, A = +∞ vagy A=−∞!

N´ezz¨uk meg p´eldak´ent az a∈R, A∈R esetet! A defin´ıci´o az al´abbi form´at ¨olti:

lima f =A∈R⇐⇒

∀ε >0-hoz ∃δ >0, hogy hax∈(a−δ, a+δ)∩ D(f), x6=a, akkor f(x)∈(A−ε, A+ε).

M´ask´epp,

lima f =A ∈R⇐⇒

∀ε >0-hoz ∃δ > 0, hogy ha 0<|x−a|< δ, x∈ D(f), akkor |f(x)−A|< ε.

N´ezz¨uk meg az a ∈R, A= +∞esetet is! A defin´ıci´o az al´abbi form´at ¨olti:

lima f = +∞ ⇐⇒

∀ε >0-hoz ∃δ >0, hogy hax∈(a−δ, a+δ)∩ D(f), x6=a, akkor f(x)> 1 ε. (Vil´agos, hogy itt ε helyettK >0-t ´es f(x)> K-t is ´ırhattunk volna.)

A szakasz elej´en l´ev˝o p´eld´aban

lim2 f₁ = lim

2 f₂ = lim

2 f₃ = 2.

P´elda v´egtelen hat´ar´ert´ekre:

limx→0

1

x² =∞.

A k¨ovekez˝o fontos t´etel a f¨uggv´enyhat´ar´ert´ek fogalm´at

”viszi ´at” sorozathat´ar´ert´ek fogalm´ara, ez´ert a neve ´Atviteli elv.

4.6. T´etel ( ´Atviteli elv f¨uggv´enyhat´ar´ert´ekre) Legyen f : R → R, a ∈ D(f)⁰ ´es A ∈R. Ekkor az al´abbi ´all´ıt´asok ekvivalensek.

1. lim

a f =A;

2. minden (x_n)⊂ D(f), x_n 6=a (n∈N), x_n→a sorozat eset´en f(x_n)→A.

Bizony´ıt´as. 1. ⇒ 2.: Legyen (x_n) ⊂ D(f), x_n 6= a, x_n → a tetsz˝oleges sorozat (ilyen l´etezik a∈ D(f)⁰ ´es a4.4. All´ıt´´ as miatt!). Legyen advaε >0. Mivel 1.szerint lim

a f =A, ez´ert a defin´ıci´o alapj´an

ε >0-hoz l´etezik δ >0, hogy ha x∈K˙_δ(a)∩ D(f), akkor f(x)∈K_ε(A). (4.4) M´asr´eszt, xn →a miatt

δ >0-hoz l´etezik N ∈N, hogy ∀n≥N eset´en x_n∈K_δ(a).

Mivel a felt´etel szerint x_n 6=a, x_n ∈ D(f) is teljes¨ul, ez´ert n ≥ N eset´en x_n ∈ K˙_δ(a)∩ D(f), ´es ´ıgy (4.4) miatt

f(x_n)∈K_ε(A), n≥N.

Teh´at adott ε-hoz tal´altunk olyan N ∈ N k¨usz¨obindexet, hogy n ≥ N eset´en f(x_n) ∈ K_ε(A), ez´ert f(x_n)→A teljes¨ul.

2.⇒1.: Tegy¨uk fel, hogy 2. teljes¨ul. Indirekt tegy¨uk fel, hogy f-nek A nem hat´ar´ er-t´eke a-ban. Ekkor

∃ε >0, hogy minden 1

n >0 eset´en tal´alhat´o olyanxn ∈K˙ ¹

n(a)∩ D(f), melyre f(x_n)∈/K_ε(A).

´Igy kaptunk egy (x_n) ⊂ D(f), x_n 6= a, x_n → a sorozatot (hiszen x_n ∈ K˙ ¹

n(a)), melyre f(x_n)9A (hiszen f(x_n)∈/ K_ε(A) minden n-re), ami ellentmond 2-nek.

4.7. K¨ovetkezm´eny Adott pontbeli f¨uggv´enyhat´ar´ert´ek egy´ertelm˝u. Teh´at lima f =A ´es lim

a f =B =⇒A=B.

Bizony´ıt´as. K¨ovetkezik a 3.10.´es a 3.43. Megjegyz´esekb˝ol ´es a 4.6. T´etelb˝ol.

4.8. P´elda Egyszer˝u p´elda olyan f¨uggv´enyre, amelynek nem l´etezik hat´ar´ert´eke egy pont-ban, az el˝ojelf¨uggv´eny f(x) = sgn(x) a 2.2.5. alszakasz 2. p´eld´aj´ab´ol.

Ennek az a = 0 pontban nincs hat´ar´ert´eke, hiszen ha x_n = _n¹ → 0, akkor f(x_n) = 1 → 1, viszont ha x_n =−_n¹ → 0, akkor f(x_n) = −1 → −1. K¨onnyen l´athat´o azonban, hogy ez a f¨uggv´eny sem

”teljesen cs´unya”, mert rendelkezik a k¨ovetkez˝o tulajdons´aggal.

Hax_n >0,x_n→0, azaz az (x_n) sorozat jobbr´ol tart azaponthoz, akkorf(x_n) = 1→1.

Hasonl´oan, ha x_n < 0, x_n → 0, azaz az (x_n) sorozat balr´ol tart az a ponthoz, akkor f(x_n) = −1→ −1.

Az ´Atviteli elv egy k¨ovetkezm´enye, hogy f¨uggv´enyek v´eges hat´ar´ert´ek´ere megfogal-mazhatunk a sorozat konvergenci´aj´aval anal´og m´odon Cauchy-krit´eriumot (ld. a 3.39.

T´etelt).

4.9. T´etel (Cauchy-krit´erium f¨uggv´enyhat´ar´ert´ekre) Legyen f : R → R, a ∈ D(f)⁰. A k¨ovetkez˝ok ekvivalensek.

1. L´etezik ´es v´eges a lim

a f hat´ar´ert´ek.

2. B´armely ε > 0 sz´amhoz tal´alhat´o olyan δ > 0, hogy minden x, y ∈ K˙δ(a)∩D(f), eset´en |f(x)−f(y)|< ε.

Bizony´ıt´as. 1.⇒2.: Tegy¨uk fel, hogy l´etezik lim

a f =A∈R. Ez azt jelenti a hat´ar´ert´ek defin´ıci´oja szerint, hogy

∀ε >0-hoz ∃δ >0, hogy ∀x∈K˙_δ(a)∩ D(f) eset´en|f(x)−A|< ε 2.

´Igy ha x, y ∈K˙_δ(a)∩ D(f), akkor

|f(x)−f(y)| ≤ |f(x)−A|+|A−f(y)|< ε 2 +ε

2 =ε.

2. ⇒ 1.: A 4.6. Atviteli elvet haszn´´ aljuk. El˝osz¨or bel´atjuk, hogy ha (x_n) ⊂ D(f), xn 6=a,xn →a, akkor (f(xn)) Cauchy-sorozat. A sorozathat´ar´ert´ek defin´ıci´oja alapj´an

∀δ >0-hoz ∃N ∈N, hogy ∀n≥N eset´enx_n ∈K˙_δ(a)∩D(f).

Legyen ε > 0 adva. A 2. felt´etelb˝ol kapjuk, hogy ehhez l´etezik megfelel˝o δ > 0 sz´am.

V´alasszunkδ-hoz az el˝obbiek szerinti N k¨usz¨obindexet! Ekkor 2.alapj´an n, m≥N eset´en x_n, x_m ∈K˙_δ(a)∩ D(f) ⇒ |f(x_n)−f(x_m)|< ε.

Teh´at minden ilyen tulajdons´ag´u (xn) sorozatra (f(xn)) sorozat Cauchy-sorozat, ´ıgy l´etezik limf(x_n) v´eges hat´ar´ert´ek.

Azt kell meggondolnunk, hogy k¨ul¨onb¨oz˝o (x_n) sorozatokra nem kaphatunk k¨ul¨onb¨oz˝o hat´ar´ert´ekeket (teh´at minden esetben ugyanaz az A sz´am lesz a hat´ar´ert´ek). Legyen (x_n) ⊂ D(f), x_n 6= a, x_n → a sorozat – ehhez tal´alhat´o A ∈ R, hogy f(x_n) → A.

Hasonl´oan, legyen (z_n) ⊂ D(f), z_n 6= a, z_n → a. Az el˝oz˝oek alapj´an ehhez is tal´alhat´o B ∈R, hogy f(z_n)→B.

Ekkor

”¨osszef´es¨ulve” az (x_n) ´es a (z_n) sorozatot kapjuk, hogy az al´abbi sorozat x₁, z₁, x₂, z₂, . . . , x_n, z_n, . . .

a-hoz tart. Az el˝oz˝oek alapj´an k¨ovetkezik, hogy

f(x₁), f(z₁), f(x₂), f(z₂), . . . , f(x_n), f(z_n), . . .

sorozat Cauchy-sorozat, azaz konvergens. Mivel a p´aratlan index˝u r´eszsorozataA-hoz, a p´aros index˝uB-hez tart, ez´ert a 3.32. All´ıt´´ as miatt A=B.

A f¨uggv´enyhat´ar´ert´ek ´es m˝uveletek kapcsolata k¨onnyen meggondolhat´o az ´Atviteli elv

´

es a sorozathat´ar´ert´ek ´es m˝uveletek kapcsolat´ar´ol tanultak alapj´an (ld. a 3.48.All´ıt´´ ast).

4.10. ´All´ıt´as (F¨uggv´enyhat´ar´ert´ek ´es m˝uveletek) Legyenek f ´es g val´os f¨uggv´ e-nyek, legyen a∈(D(f)∩ D(g))⁰, ´es A, B ∈R. Tegy¨uk fel, hogy

lima f =A ´es lim

a g =B.

Ekkor

∃lim

a |f|=|A|, tov´abb´a

∃lim

a (f +g) = A+B, ha A+B ´ertelmes;

∃lim

a (f·g) = A·B, ha A·B ´ertelmes.

Ha g 6= 0 az a egy kipontozott k¨ornyezet´eben, akkor

∃lim

a

f g

= A

B, ha A

B ´ertelmes.

Az A ´es B k¨oz¨otti m˝uveleteket a 3.48. All´ıt´´ as alapj´an ´ertelmezz¨uk.

Bizony´ıt´as. A bizony´ıt´asok ad´odnak a4.6. T´etelb˝ol ´es a3.48. All´ıt´´ asb´ol. P´eldak´ent n´ ez-z¨uk meg az f+g hat´ar´ert´ek´enek eset´et! A 4.6. T´etel szerint el´eg megmutatni, hogy

ha (x_n)⊂ D(f)∩ D(g), x_n6=a, x_n→a akkor (f +g)(x_n)→A+B.

Mivel lim

a f =A´es lim

a g =B, ez´ert a4.6.T´etel alapj´an igaz, hogy minden ilyen sorozatra f(x_n)→A ´es g(x_n)→B.

Alkalmazva a 3.48. All´ıt´´ ast kapjuk, hogy haA+B ´ertelmes, akkor lim(f+g)(xn) = lim (f(xn) +g(xn)) = A+B.

A k´es˝obbiekben l´atni fogjuk, hogy az f ◦g kompoz´ıci´om˝uvelet nem viselkedik ilyen j´ol a f¨uggv´enyhat´ar´ert´ekre n´ezve.

In document ´a riSzakosokr ´e sz ´e re Anal ´ı zisjegyzetMatematikatan (Pldal 72-77)